Andrzej Garstecki, Wojciech Gilewski, Zbigniew Pozorski, eds. VII. Roman Lewandowski

Transkrypt

1 Współczsna mchania onsrucji w projowaniu inżynirsim Modrn srucural mchanics wih applicaions o civil nginring Andrzj Garsci, Wojcich Gilwsi, Zbigniw Pozorsi, ds. VII Analiza dynamiczna onsrucji z wbudowanymi łumiami drgań sr. 8- VII Dynamic analysis of srucurs wih buil in damprs pp. 8- oman Lwandowsi Polichnia Poznańsa Wydział Budownicwa i Inżynirii Środowisa Insyu Konsrucji Budowlanych Słowa luczow: dynamia onsrucji, łumii drgań, modl łumiów, chararysyi dynamiczn Kywords: dynamics of srucurs, damprs, modls of damprs, dynamic propris

2

3 VII ANALIZA DYNAMICZNA KONSTUKCJI Z WBUDOWANYMI TŁUMIKAMI DGAŃ oman LEWANDOWSKI Wsęp Coraz częścij zachodzi oniczność sosowania łumiów drgań w clu zmnijsznia przmiszczń dynamicznych różngo rodzaju onsrucji inżynirsich. Obcni buduj się onsrucj więsz, wyższ niż w przszłości, z mariałów o podwyższonj wyrzymałości i oszczędnij zaprojowan. ównoczśni onsrucj są bardzij wioi i przz o bardzij podan na działani obciążń dynamicznych. Ampliudy drgań aich onsrucji mogą być na yl duż, ż oniczn saj się ich zmnijszni. Nadmirn drgania mogłyby w isonym sopniu zmnijszać omfor użyowania budynu np. biurowca lub wysoigo budynu miszalngo lub/i wywołać uszodznia wyniając z zmęcznia mariału onsrucji. Tłumii drgań są ż sosowan do ochrony onsrucji przd suami drgań przazywanych przz podłoż np. do ochrony budynów w pobliżu linii oljowych i linii mra. Tłumii drgań umiszcza się aż na mosach i ładach dla piszych po o by zabzpiczyć obiy przd drganiami rzonansowymi wywołanymi opływm powirza flarm, ruchm pociągów lub/i przmiszczanim się ludzi. Tłumii drgań zwłaszcza zw. masow łumii drgań sosuj się w clu zmnijsznia drgań zarówno lich sropów, ominów salowych ja i dużych przryć dachowych np. sadionów. W nowoczsnym budownicwi na rnach sjsmicznych sosowani łumiów drgań do ochrony onsrucji przd niszczącym działanim rzęsiń zimi i działanim huraganowych wiarów saj się powoli rozwiązanim sandardowym. Konsrucj wyposaża się w różngo rodzaju łumii drgań, ór w wilu przypadach sładają się na ułady rducji drgań. W ogólności rozróżnia się aywn, półaywn, pasywn i hybrydow ułady rducji drgań. Obszrn omówini najisonijszych cch wyżj wyminionych uładów rducji drgań można znalźć w pracach [6,9,3-33]. Pasywn ułady rducji drgań o ai ułady, urządznia lub łumii, órych działani ni wymaga zasilania z zwnęrzngo źródła nrgii, a rozpraszani nrgii w uładzi rducji drgań js wywoływan ruchm onsrucji. Pasywn ułady rducji drgań umożliwiają bzpiczn prznoszni obciążń dynamicznych i poprawiają omfor użyowania budynu. Najbardzij popularnymi ypami pasywnych łumiów drgań są srojon łumii masow nazywan równiż masowymi łumiami drgań, łumii wisoyczn, łumii lposprężys, łumii ciczow, łumii malow oraz łumii

4 arciow. Obszrny przgląd i omówini pasywnych uładów rducji drgań można znalźć w pracy [3]. Podsawow zasady umożliwiając rducję drgań można zilusrować, rozparując drgania uładu o jdnym sopniu swobody, órgo równani ruchu ma posać: & x + γω& x + ω x = p,. gdzi symbol ω i p oznaczają odpowidnio częsość własną uładu i siłę wymuszającą odnisioną do jdnosowj masy. ozwiązanim równania. js []: γω γω τ x = C cosωd + C sinωd + p τ sinωd τ dτ,. ω d gdzi ωd = ω γ, a C i C o sał wyznaczan z warunów począowych ruchu. Z mamayczngo punu widznia, drgania można zmnijszyć rzma modami: a rduując ampliudę siły wymuszającj, b zwięszając bzwymiarowy współczynni łuminia uładu γ, c zwięszając różnicę między częsością drgań swobodnych i częsością wymusznia λ aby ni wywoływać drgań rzonansowych. Omówion powyżj oncpcj można sarać się ralizować, wyorzysując urządznia łumii i sysmy, ór: a wywołują dodaow siły, b wyorzysują możliwości rozpraszania nrgii dzięi właściwościom lposprężysym i plasycznym mariałów, z órych są zbudowan, c zminiają częsości drgań swobodnych onsrucji, d przrywają drogę przazywania nrgii wymuszń na onsrucję. Praca ma charar przglądowy, a jj clm js możliwi przysępn wprowadzni do problmów modlowania łumiów drgań i analizy dynamicznj onsrucji z wbudowanymi łumiami drgań. W szczgólności rozparuj się onsrucj z łumiami wisoycznymi oraz z łumiami lposprężysymi. Słowa luczow: dynamia onsrucji, łumii drgań, modl łumiów, chararysyi dynamiczn. Modl łumiów drgań Do opisu dynamiczngo zachowania łumiów drgań używa się różngo rodzaju modli rologicznych. Modl sładają się z rozmaici połączonych lmnów sprężysych, łumiących, cirnych lub/i plasycznych. Wszysi modl rologiczn łumiów drgań powinny spłniać pwn wymagania wyniając z drugigo prawa rmodynamii. Wspomnian modl rologiczn spłniają o prawo, jżli dla wszysich warości częsości wymusznia λ warości modułu szywności dynamicznj i modułu sraności modułu łuminia modlu będą dodani. Dfinicj omawianych modułów zosaną podan w dalszj części rozdziału. Poniżj omawia się ila najczęścij sosowanych modli łumiów, poniważ w dynamic budowli sosuj się różn modl i ni można wsazać jdngo modlu, óry byłby powszchni acpowany. Bardzo popularnym ypm łumiów są łumii ciczow. Najczęścij są o cylindry z umiszczonym wwnąrz łoim i wypłnion ciczą. Ciczą ą moż być olj minralny,

5 żl sylionowy lub inny płyn o dużj lpości. Przyładową onsrucję łumia ciczowgo poazano na rys... ysun.. Schma łumia ciczowgo W łumiu poazanym na rys.. ruch łoa w cylindrz wymuszają względn przmiszcznia punów onsrucji, do órych js przymocowany cylindr i łoczyso łoa. Przsuwający się ło ścisa cicz w cylindrz i wymusza jj przpływ poprzz mał owory w łou z jdnj omory cylindra do drugij. Siły łuminia są wywołan oporami ruchu ciczy. Modl używany do opisu dynamiczngo zachowania niórych ciczowych łumiów drgań słada się ylo z lmnu łumiącgo poazango na rys... Na ym rysunu poazano modl łumia ciczowgo jao lmn sończony, gdzi symbolami i, q i i =,,3, 4 oznaczono odpowidnio podan w uładzi loalnym racj i przmiszcznia na ońcach modlu, a symbolm c oznaczono współczynni łuminia. q q y c q q 3 ysun.. Schmayczn przdsawini łumia ciczowgo jao lmnu sończongo Siłę u w ym łumiu wyznacza się z wzoru: α x u = csign x& x&,.3 gdzi x & = q & 3 q& js prędością przmiszczń łoa względm obudowy łumia, a α - współczynniim. Ponado, sign x& =, jżli x& > oraz sign x& = jżli x& <. Warości współczynnia α zawirają się w przdzial od,3 do,95 parz [7] i zalżą od budowy łumia. Tłumii insalowan w budynach po o, aby rduować drgania wywołan rzęsiniami zimi mają współczynni α równy ooło,5. W mosownicwi używa się łumiów, órych warość współczynnia α js w przybliżniu równa,. Tłumii używan do rducji drgań budynów poddanych parciu wiaru są częso a onsruowan, aby warość współczynni α był równy,. Wdy zalżność.3 saj się liniowa, zn. co w isony sposób uławia analizę drgań. u = c x&,.4

6 Siły oporu są proporcjonaln do względnj prędości łoa, jżli przpływ ciczy ma charar laminarny, prędość przpływu js mała, a częsość drgań ni js zby duża. Zazwyczaj aa syuacja wysępuj wdy, gdy łumi js używany do zmnijszania drgań wywołanych działanim wiaru. Częso do opisu dynamiczngo zachowania onsrucji używa się mody lmnów sończonych. W loalnym i globalnym uładzi współrzędnych równania łumia wisoyczngo raowango jao lmn sończony można zapisać w posaci nasępujących zalżności porównaj rys..: q C & =, q C & =.5 gdzi symbol = 4 3, = 4 3 q q q q q, = 4 3, = 4 3 q q q q q, oznaczają wory racji i przmiszczń węzłowych odpowidnio w loalnym i globalnym uładzi współrzędnych, a = c C, = s c s s c s c s c c s c s c s s c s c s c c s c c C,.6 są macirzami łuminia lmnu. Ponado, α = cos c, α = sin s, a α js ąm między osiami uładu globalngo i loalngo. Inną ważną grupą pasywnych łumiów drgań są łumii arciow cirn. ysun.3 przdsawia schma przyładowgo łumia arciowgo. Słada się on z rzch pły salowych, pomiędzy órymi są umiszczon dwi warswy mariału ompozyowgo, órgo rolą js zapwnini nizminnych sił arcia między warswami łumia. Płyy salow i warswy mariału ompozyowgo są ściśnię śrubami sprężającymi wywołującymi odpowidnio dobran siły sprężając. W ych łumiach nrgia drgań js zużywana na poonani sił arcia między lmnami łumia. Tłumii są używan do zmnijszania drgań wywoływanych działanim rzęsiń zimi i/lub silnych wiarów. ysun.3. Schma łumia arciowgo

7 Jżli łumini js spowodowan arcim dwóch powirzchni chropowaych o siła arcia opisywana js prawm Coulomba, zn. u = µ N sign x& d,.7 gdzi N d js siłą nacisu powirzchni arcia na sibi, prosopadłą do syających się powirzchni, µ współczynniim arcia suchgo, x& prędością przsuwania syających się powirzchni względm sibi. Informacj o arciowych łumiach drgań i opis mod analizy dynamicznj onsrucji z ymi łumiami można znalźć m.in. w pracach [8,,,4]. Inną grupą pasywnych łumiów drgań są łumii lposprężys. Tłumii w ogólności dzili się na dwi grupy w zalżności od użygo mdium lposprężysgo. ozróżnia się łumii ciczow, w órych cicz np. olj silionowy ma właściwości lposprężys i łumii z warswą z mariału lposprężysgo. Schma łumia ciczowgo poazano na rys.., a łumi z warswami z mariału lposprężysgo przdsawiono schmayczni na rys..4. Jżli cicz użya w łumiu ciczowym js ciczą o dużj lub bardzo dużj lpości o do opisu zachowania go łumia nalży użyć modli bardzij złożonych niż modl wisoyczny. Typowy łumi z warswami z mariału lposprężysgo słada się z dwóch warsw mariału o właściwościach lposprężysych przyljonych do pły salowych. Jao mariału lposprężysgo używa się opolimrów najczęścij arylowych lub subsancji szlisych. Względn przmiszcznia punów onsrucji, do órych js przymocowana blacha środowa i blachy zwnęrzn powodują odszałcnia posaciow warsw mariału lposprężysgo i rozpraszani nrgii. Tłumii mogą rozpraszać nrgię aż wdy, gdy częsość siły wymuszającj js mała. ysun.4. Schma łumia wyonango z mariału lposprężysgo Właściwości mchaniczn łumiów lposprężysych zalżą od mpraury T, częsości wymusznia λ oraz, w pwnych oolicznościach, od odszałcń. Właściwości opisuj się za pomocą modułów sprężysości h sorag modulus E' λ, T i modułów łuminia h loss modulus E" λ, T. Wilości zosaną omówion w dalszj części pracy. Wpływ mpraury można uwzględnić w sposób przybliżony sosując zasadę równoważności mpraurowo częsoliwościowj h mpraur-frquncy quivalnc principl lub h mpraur frquncy suprposiion principl, óra usanawia zalżność między fami zmiany mpraury i zmiany częsości wymusznia na właściwości mariałów lposprężysych [9]. Zasada a swirdza, ż właściwości lposprężys orślon w różnych mpraurach można odnosić do sibi przz zmianę przsunięci aualnj warości częsości wymusznia. Do j pory ni opracowano jdna mod pozwalających uwzględnić n wpływ w obliczniach dynamicznych. Badania łumia

8 wypłniongo ciczą opisan w pracach [,5,7] wsazują, ż mpraura ma isony wpływ na możliwości rozpraszania nrgii przz omawiany łumi. Do opisu dynamiczngo zachowania łumiów lposprężysych sosuj się modl rologiczn różngo rodzaju. Najczęścij sosuj się pros modl Klvina lub Maxwlla [4,7,8]; osanio równiż uogólnion modl Klvina lub Maxwlla [,,] oraz modl opisywan za pomocą zw. pochodnych nicałowigo rzędu [3,6,34]. Wypada aż zauważyć, ż pros modl Klvina i Maxwlla ni opisują poprawni zachowania łumiów lposprżysych w zalżności od częsości wymusznia []. Modl Klvina sładający się z, połączonych równolgl, lmnu sprężysgo i lmnu łumiącgo poazano na rys..5. Zachowani go modlu opisuj równani: u = x + c x&,.8 gdzi oznacza współczynni szywności lmnu sprężysgo, a x = q q. 3 ysun.5. Schmayczn przdsawini modlu Klvina jao lmnu sończongo ównania modlu Klvina raowango jao lmn sończony, poazany na rys..5, i zapisan w uładzi loalnym i globalnym mają posać: = K q + C q &, = K q + C q&..9 Macirz łuminia C i C są dan wzorami.6, a macirz szywności zapisan odpowidnio w loalnym i globalnym uładzi współrzędnych są nasępujących posaci: K =, c c s c c s c s s c s s K =.. c c s c c s c s s c s s Modl Maxwlla słada się z dwóch lmnów: sprężysgo i łumiącgo połączonych szrgowo w sposób poazany na rys..6. Na ym rysunu symbolm q d oznaczono przmiszczni punu, w órym sprężyna łączy się z łumiim. W dalszym ciągu o przmiszczni nazywa się zminną wwnęrzną. ysun.6. Schmayczn przdsawini modlu Maxwlla jao lmnu sończongo Zachowani modlu Maxwlla najczęścij opisuj się za pomocą równania []: u + τ u& = c x&,.

9 gdzi symbol τ = c / oznacza czas rlasacji. Tłumii sosowan w budownicwi mają zazwyczaj mały współczynni rlasacji. ównani. wynia z warunu równości sił wysępujących w obu lmnach modlu. W wilu przypadach wygodni js posługiwać się zw. zminną wwnęrzną, órą oznaczać będzimy symbolm qd porównaj rys..6. Jżli posłużymy się ą zminną i uwzględnimy, ż w obu lmnach modlu panują jdnaow siły o zachowani modlu Maxwlla można opisać dwoma równaniami o posaci: u = q q d, u = c q & 3 q&.. Opis modlu Maxwlla raowango jao lmn sończony oraz opisy suprlmnów sończonych uogólnionych modli Klvina i Maxwlla można znalźć w pracy []. Isoną wsią js ocna możliwości rozpraszania nrgii przz łumi. Enrgię rozpraszaną dyssypowaną E wyznacza się z zalżności [,9,]: d d E = u x& d,.3 d gdzi symbol i począ i onic przdziału czasu, w órym mirzy się ą nrgię. Jżli łumi wyonuj drgania harmoniczni zminn x = x sin λ, gdzi x js względną ampliudą drgań o nrgia rozpraszana w raci jdngo orsu drgań odpowidnio przz łumi wisoyczny i Klvina oraz przz łumi Maxwlla wyznacza się z wzorów []: E d π λ c x λ =, E d = π λ cx / + τ..4 Wzory dla łumiów opisywanych innymi modlami rologicznymi są podan w pracy []. Właściwości mchaniczn łumiów drgań częso opisuj się za pomocą dynamiczngo modułu sprężysości E ' λ, modułu łuminia E " λ, lub/i współczynnia sra η λ. Wilości można wyznaczyć doświadczalni lub obliczyć, jżli znamy sał modlu używango do opisu łumia. Omawian wilości zosaną poniżj wyznaczon dla modlu Maxwlla. Załada się, ż rozwiązani równania., opisującgo drgania usalon łumia, js o posaci: λ iλ u = U, λ iλ x = X,.5 gdzi i = js jdnosą urojoną, a U λ i X λ są odpowidnio zspolonymi ampliudami siły w łumiu i względnych przmiszczń łumia. Po podsawiniu.5 do. orzymuj się τλ + i icλ τλ U λ = X λ = X λ..6 + iτλ + τ λ Część rzczywisa współczynnia w wzorz.6 js nazywana dynamicznym modułm sprężysości E ' λ, a część urojona modułm sraności E " λ, a iloraz ych wilości nazywa się współczynniim sra, zn. τ λ E ' λ =, + τ λ τ λ E " λ =, + τ λ E λ η λ = =,.7 E λ τ λ W przypadu modlu Klvina omawian powyżj wilości opisan są wzorami:

10 E ' λ =, E " λ = cλ, η λ = c λ /,.8 a wzory dla innych modli łumiów można znalźć w pracach [,]. Współczynni sra moż być inrprowany jao sosun nrgii rozpraszanj w raci jdngo cylu drgań orsowych do, pomnożonj przz π, masymalnj nrgii sprężysj łumia. Na rys poazano wyrsy omawianych wilości dla obu wspomnianych powyżj modli w zalżności od warości bzwymiarowj częsoliwości wymusznia τ λ. ysun.7 przdsawia wyrsy bzwymiarowych modułów dynamicznych E ' λ /, a rys..8 wyrsy bzwymiarowych modułów sraności E λ /. Na rys..9 poazano wyrsy współczynnia sra. dynamiczny moduł sprężysości modl Klvina modl Maxwlla bzwymiarowa czsoliwość wymusznia ysun.7. Wyrs zalżności bzwymiarowgo modułu dynamiczngo bzwymiarowj częsoliwości wymusznia τ λ E ' λ / od bzwymiarowy moduł sranościi modl Klvina modl Maxwlla bzwymiarowa czsoliwość wymusznia ysun.8. Wyrs zalżności bzwymiarowgo modułu sraności bzwymiarowj częsoliwości wymusznia τ λ E λ / od

11 .5 współczynni sra modl Klvina modl Maxwlla bzwymiarowa czsoliwość wymusznia ysun.8. Wyrs zalżności współczynnia sra η λ od bzwymiarowj częsoliwości wymusznia τ λ Widać, ż omawian wilości zalżą od częsości wymusznia. Moduł sprężysości dynamicznj modlu Klvina js nizalżny od częsoliwości wymusznia, a w modlu Maxwlla wzrasa asympoyczni do. W modlu Maxwlla funcja modułu łuminia E λ ma srmum dla λ = / τ. Ponado, współczynni sra zawsz malj wraz z wzrosm częsości wymusznia co znajduj powirdzni w wyniach doświadczń z łumiami lposprężysymi. Z wzoru.7.3 wynia, ż dla λ, η λ, co ni zgadza się z wyniami sprymnów. Podobni ni znajduj powirdznia sprymnalngo wyni E =. Z ych powodów modl Klvina i Maxwlla ni opisują poprawni zachowania łumiów lposprężysych. Najprosszym modlm łumia, óry jaościowo poprawni opisuj zachowani łumiów lposprężysych js modl sandardowy opisany np. w [,].. ównania ruchu onsrucji z lposprężysymi łumiami drgań ozparuj się onsrucj pręow zbudowan z mariału o właściwościach liniowosprężysych. Masa lmnów onsrucji js albo rozłożona w sposób ciągły na długości lmnu albo soncnrowana w wybranych punach onsrucji. Do opisu onsrucji sosuj się modę lmnów sończonych lub modę przmiszczń. Jao uproszczony modl onsrucji budynu wyorzysuj się aż modl ramy z niodszałcalnymi ryglami. W modlu ym rygl ramy są nisończni szywn, pomija się odszałcnia osiow pręów, a masa onsrucji js soncnrowana na poziomi sropów parz []. Na schmaach onsrucji łumii drgań są oznaczan za pomocą małych prosoąów. Dwa ypow sposoby połącznia łumiów z onsrucją poazano na rys.. i.. Tłumii mają małą masę w porównaniu z masą innych lmnów onsrucji szczgólni sropów i dlago rauj się j jao lmny bzmasow. Elmny łącząc łumi z onsrucją są nazywan zasrzałm. Zasrzały są lmnami sprężysymi, al w uproszczonych modlach onsrucji pomija się masę zasrzałów i rauj się j jao lmny niodszałcaln.

12 ysun.. Tłumi wbudowany w zasrzał ysun.. Tłumi połączony z onsrucją za pomocą zasrzału w szałci liry V ównani ruchu onsrucji bz łumiów drgań raowanj jao uład dysrny o n dynamicznych sopniach swobody ma znaną posać: M q& + C q& + K q = p,. gdzi symbolami M, C i K oznaczono odpowidnio bzwładności, łuminia i szywności onsrucji, węzłowych przmiszczń uogólnionych, a n n wymiarow macirz q js worm paramrów p worm sił wymuszających. ozparzmy raz onsrucję z łumiami wisoycznymi lub/i łumiami Klvina. Modl łumiów go ypu ni zawirają wspomnianych powyżj zminnych wwnęrznych. Jżli łumii poraujmy jao lmny sończon opisan w sposób podany powyżj o sosując procdurę mody lmnu sończongo orzymamy równani ruchu o posaci: M q& + C + C q& + K + K q = p,. w órym symbolami C i K oznaczono części macirzy łuminia i szywności, ór wyniając z isninia łumiów. W przypadu łumiów wisoycznych K =. ównania ruchu onsrucji z łumiami opisywanymi za pomocą modli zawirających zminn wwnęrzn mają odminną, poazaną poniżj posać: M q& + C q& + C q& + K q + K q = p, C q& + C q& + K q + K q =..3 W powyższych równaniach symbolami q i q oznaczono odpowidnio n -wymiarowy wor paramrów węzłowych onsrucji, do órj zalicza się raz aż zasrzały, oraz r wymiarowy wor zawirający zminn wwnęrzn łumiów. Macirz M, C i K o wymiarach n n o odpowidnio bloow macirz bzwładności, łuminia i szywności onsrucji uzupłnion o lmny wyniając z isninia łumiów. Macirz bloow C i K o wymiarach r r opisują odpowidnio właściwości łumiąc i szywność łumiów, podczas gdy n r wymiarow macirz C i K opisują fy sprzężnia onsrucji T T z łumiami. Ponado, C = C, K = K. Sruura równań ruchu. i.3 ni zalży od go czy do opisu onsrucji sosujmy modę lmnów sończonych czy ż wspomniany modl uproszczony. Dodaow

13 informacj o równaniach ruchu onsrucji z łumiami lposprężysymi można znalźć w pracy []. Przyład Wyprowadzono równania ruchu ramy z łumiami drgań poazanj na rys..3. Zachowani łumiów js opisan modlm Maxwlla. Do opisu onsrucji zasosowano modl ramy z niodszałcalnymi ryglami. Zasrzały łącząc łumii drgań z onsrucją są niodszałcaln. Masy sropów są jdnaow i oznaczon symbolm m, szywności pięr są aż jdnaow i oznaczono symbolm. Pod pojęcim szywność pięra nalży rozumić ą część lmnu macirzy szywności, óra wynia z szywności na zginani słupów znajdujących się na jdnj ondygnacji. Szczgółow informacj na n ma są podan w pracach [8,]. W rozważanym przypadu szywność pięra oblicza się z wzoru 3 = 4EJ / h, gdzi EJ js szywnością na zginani przroju słupa, a h wysoością słupa. Pomija się właściwości łumiąc onsrucji. Paramry łumiów są aż jdnaow i oznaczan symbolami: współczynni szywności oraz c współczynni łuminia. ysun.3. Schma ramy z dwoma łumiami drgań ównania ruchu rozparywango uładu mają posać.3. Pirwsza grupa równań wyniająca z warunów równowagi rygli ramy parz rys..4 ma posać: mq& T + T u, = P P P mq& T + T + u, 3 s = mq& T u, a = gdzi T ij js siłę poprzczną w słupi łączącym sropy o numrach i oraz j. T T 3 3 T us P q P q P3 q3 m m m u u T T T T T T 3 3 ysun.4. Siły działając na rygl ramy T

14 Z wzorów ransformacyjnych mody przmiszczń wynia, ż T = q, T = T = q, T = T = q. b q q ównania. opisując siły w łumiach mają w omawianym przypadu posać: u =, u = c q& q&, u = q, u = c q& q&, c s qd, d, s d, q 3 d, gdzi symbol u s, u s, u, u oznaczają siły w łumiu i wyznaczon odpowidnio na podsawi odszałcń sprężyny lub prędości odszałcń lmnu łumiącgo. Zminn wwnęrzn łumiów oznaczono odpowidnio symbolami q d, i q d,. Po podsawiniu zalżności b i c do równań a orzymuj się: mq& + q q + c q& c q& P, d, = mq& q + q q + q q P, 3 d, = mq& q + q + c q& c q& P. d d, = 3 Druga grupa równań.3 wynia z zalżności: us = u, us = u. Po uwzględniniu związów c orzymuj się: q q c q& + c q&, d, d, = + q, c q& 3 + c q&,. d d = ównania d i opisują dynamiczn zachowani rozparywango uładu. Przyjmują on T T posać macirzową.3 jżli: q = [ q, q, q ], q = [ q, q ], oraz 3 d, d, K = +, c C =, c c T C = C =, c T c K = K =, K =, C =, c m M = m. f m 3. Chararysyi dynamiczn onsrucji z łumiami lposprężysymi Pod pojęcim chararysyi dynamiczn onsrucji rozumi się częsości i posaci drgań swobodnych. Wyznaczając częsości i posaci drgań, zazwyczaj pomija się w równaniach ruchu wpływ sił łuminia, zn. równani ruchu ma posać: M q & + K q =. 3. & ozwiązanim równania 3. js funcja q = a cos ω + φ, a częsości drgań ω i wory posaci drgań a wyznacza się rozwiązując uogólnion zagadnini własn o posaci: K ω M a =. 3.

15 Mody rozwiązywania zagadninia własngo 3. są opisan w wilu publiacjach np. w [8,] i ni będą uaj omawian. Jżli na onsrucję działają duż siły łuminia o nalży jszcz wyznaczyć bzwymiarow współczynnii łuminia modalngo γ. Współczynnii są uważan za wygodną miarę suczności działania łumiów drgań. Dla uładu o jdnym sopniu swobody bzwymiarowy współczynni łuminia wyznacza się z wzoru γ = c / c, gdzi c r = mω = m js zw. łuminim ryycznym, przy órym ruch uładu saj się ruchm nioscylacyjnym. Współczynni n orśla, jai ułam łuminia ryyczngo sanowi łumini rozparywango uładu lub rozparywanj posaci drgań jżli rozważa się uład o wilu sopniach swobody. Chararysyi dynamiczn onsrucji z lposprężysymi łumiami drgań wyznacza się rozwiązując równania ruchu opisując drgania swobodn, łumion. Nalży wobc go rozwiązać równania. lub.3 załadając, ż p =. ozwiązani omawianych równań js jdna bardzij złożon w porównaniu z rozwiązanim równania 3.. ozparzmy równania. i.3 z p = opisując drgania onsrucji z łumiami drgań. ozwiązania ych równań mają posaci: s q = a, s q = a, 3.3 gdzi funcja 3.3. opisuj rozwiązani równania., a obi funcj 3.3 są rozwiązaniami uładu równań.3. Niznan wory a, a i sałą s wyznaczymy po podsawiniu 3.3 do. i.3. W rzulaci orzymuj się równani algbraiczn wadraowy problm własny o posaci: s M s C + C + K + K a = + r, 3.4 jżli rozparuj się onsrucję z łumiami opisywanymi bz użycia zminnych wwnęrznych oraz równania: s M s C + K a + s C + K a =, + s C K a + s C + K a =, jżli zminn wwnęrzn są używan do opisu łumiów lposprężysych. Podobni ja w przypadu liniowgo problmu własngo 3., rozwiązania nirywialni nizrow obu powyższych wadraowych problmów własnych isniją jżli są spłnion waruni: d s M s C + C + K + K =, s M + s C + K s C + K =, 3.7 s C + K s C + K doycząc odpowidnio problmu 3.4 i 3.5. Z ych warunów można wyznaczyć warości własn s. Wypada jdna w ym mijscu zaznaczyć, ż chociaż isniją mody rozwiązania wadraowgo problmu własngo o z rguły ni są on dosępn w inżynirsich programach omrcyjnych. Szrszgo omówinia wymagają rozwiązania powyższych problmów własnych. W pirwszj oljności omówion zosaną rozwiązania problmu 3.4, zn. przypad gdy zminn wwnęrzn ni są używan do opisu łumiów. W ym przypadu orzymuj się n rozwiązań; gdzi n js liczbą dynamicznych sopni swobody. Jżli rama z ymi łumiami

16 js podryyczni łumiona o warości własn s i wory własn a są odpowidnio liczbami i worami zspolonymi, parami sprzężonymi. Niór warości i wory własn są liczbami rzczywisymi, jżli isniją ai posaci drgań uładu, ór są nadryyczni łumion zn. jżli dla ych posaci bzwymiarowy współczynni łuminia γ >. W przypadu onsrucji z łumiami opisywanymi za pomocą zminnych wwnęrznych liczba warości i worów własnych js więsza i wynosi n + r, gdzi r js liczbą zminnych wwnęrznych. Podobni ja w poprzdnim przypadu najczęścij n warości i worów własnych o odpowidnio liczby i wory zspolon, parami sprzężon. ozwiązania są rozwiązaniami oscylacyjnymi; poazanymi na rys. 3.; podobnymi do rozwiązania dla drgań swobodnych, podryyczni łumionych uładu o jdnym sopniu swobody. Ponado orzymuj się r warości i worów własnych będących odpowidnio liczbami i worami rzczywisymi. T warości i wory własn są sowarzyszon z rozwiązanim nioscylacyjnym podobnym do rozwiązania poazango na prawym wyrsi rys. 3.. Jżli łumini w rozparywanym uładzi będzi duż o część zwyl niwila część warości i worów własnych będących poprzdnio liczbami i worami zspolonymi będzi raz liczbami i worami rzczywisymi. W ażdym przypadu rzczywis warości własn i części rzczywis zspolonych warości własnych są liczbami ujmnymi. przmiszczni q przmiszczni q czas czas ysun 3.. ozwiązani oscylacyjn lwy wyrs i nioscylacyjn prawy wyrs Problm wyznaczania chararysy dynamicznych onsrucji z łumiami drgań można a sformułować, aby oniczn było rozwiązani liniowgo, a ni wadraowgo problmu własngo. Wymaga o wprowadznia zw. wora sanu z i zapisania równań ruchu za pomocą go wora. Jżli do opisu łumiów ni używa się zminnych wwnęrznych o worm sanu js T z = [ q, q& ], zn. js o wor złożony z wora przmiszczń onsrucji i wora prędości onsrucji. W przciwnym przypadu, zn. gdy do opisu łumiów T używa się zminnych wwnęrznych o z = [ q, q&, q ]. Posługując się worm sanu można równania ruchu omawiango uładu zapisać w posaci: B z& = A z + p, 3.8 gdzi C + C B = M M K K, A =, M jżli ni używa się zminnych wwnęrznych do opisu łumiów oraz p p =, 3.9

17 C M C B = M, C C K K A = M, K K p p =, 3. jżli używa się zminnych wwnęrznych. Szczgółow wyprowadzni równania 3.8 js podan w pracach [8-]. s ozwiązani równania 3.8 ma posać z = c jżli p =. Po jgo podsawiniu do 3.8 orzymuj się liniowy problm własny o posaci: A s B c =. 3. z órgo można wyznaczyć warości własn s i wory własn c. Po rozwiązaniu problmu własngo 3. orzymuj się yl samo warości i worów własnych co z rozwiązania wadraowych problmów własnych 3.4 lub 3.5. Warości własn są ai sam, al wory własn są różn. Isniją jdna związi między worami wyznaczonymi z rozwiązania wadraowgo i liniowgo problmu własngo. Jżli zminnych wwnęrznych ni używa się do opisu łumiów o z = c s q = q& a = s a s a c =, 3. s a co oznacza, ż połowa wora własngo c js równa worowi własnmu orzymanmu z rozwiązania wadraowgo problmu własngo, a druga połowa js równa mu worowi pomnożonmu przz odpowiadającą im warość własną. W przypadu gdy do opisu łumiów używa się zminnych wwnęrznych można napisać: q a s s z = c = q& = s a q a a c = s a. 3.3 a Widać, ż wory własn a i a będąc rozwiązaniami wadraowgo problmu własngo 3.5 są jdnoczśni odpowidnimi częściami wora własngo c. Częsość własną ω i bzwymiarowy współczynni łuminia modalngo γ wyznacza się na podsawi pary zspolonych i sprzężonych warości własnych s = µ + iη, s = µ iη z zalżności: ω = µ + η, γ = µ /ω. 3.4 Ni można mówić o częsościach drgań w przypadu rzczywisych warości własnych poniważ odpowiadając im rozwiązania równań ruchu są nioscylacyjn. Przyład Wyznaczono chararysyi dynamiczn ramy z łumiami drgań rozparywanj 4 w przyładzi. Przyjęo nasępując dan do obliczń: masa pięra m = 4, g, szywność pięra 7 = 4, N/m, współczynni szywności łumia = 3, N/m, 5 współczynni łuminia łumia c = 7,5 Ns/m. W pirwszj oljności wyznaczono częsości własn i wory własn wory posaci drgań ramy bz łumiów. Po rozwiązaniu równania 3. orzymano wynii zamiszczono w abl. 3.. Wory własn wory posaci drgań unormowano a, aby warości 7

18 masymalnych lmnów ych worów były równ. Ni uwzględniono właściwości łumiących onsrucji i z go powodu bzwymiarow współczynnii łuminia modalngo są równ zro. Tablica 3.. ozwiązania problmów własnych rama bz i z łumiami drgań Lp. s j ω j γ j ama bz łumiów Wor własny - 4,73,,445,89, - 39,433,,,445 -, ,98, -,89, -,445 ama z łumiami modl Maxwlla -,54 ± i4,536 4,573,7-5,5473 ± i 46, ,63,76 3-4,73 ± i 64,644 64,437,73 4-5, , ,486m i,4,88 ± i, 66, ± i,,564m i,4,837 ± i, 795 -, ± i,,84m i, 4,664 ± i, 34,594 ± i,554,3764m i, 455 -,674 ± i,996, ± i,,657m i, 89,53m i,66,58 m i, 833 -,46, ,7, - -,74 -, ,, ,797 ± i6,5757 -,466 ± i 49,8437-6,586 ± i 63,46 -,86 ± i4,438-3,846 ± i 38,353-3,638 ± i 53,457 ama z łumiami modl Klvina 6,59,434,339m i, 338,8446 ± i, 4, 5,97,,,8 m i, 866,495± i, ,78,475,537± i, 3567,,736m i, 465 ama z łumiami łumi wisoyczny 4,96,858,4447m i, 473,88 ± i, 85, 4,775,3395,,46m i, 347,84 ± i, 39 54,63,39,949 ± i, 455,,488m i, 456

19 Nasępni rozwiązano problm własny 3.. Na podsawi orzymanych rozwiązań wyznaczono chararysyi ramy z łumiami opisywanymi za pomocą modlu Maxwlla. Wynii obliczń zamiszczono w drugij części abl. 3.. Wprowadzni łumiów o wyżj wyminionych paramrach spowodowało, ż bzwymiarow współczynnii łuminia modalngo mają dość duż warości. Częsości własn wzrosły w porównaniu z częsościami własnymi ramy bz łumiów o odpowidnio 3,6%, 9,6% i 3,8%. Zazwyczaj zmiany częsości własnych wyniając z wprowadznia łumiów opisywanych modlm Maxwlla są dużo mnijsz. Ponado, zgodni z ocziwaniami orzymano dwi rzczywis, ujmn warości własn. W abl. 3.. podano równiż warości własn oraz sowarzyszon z nimi wory własn a i a, przy czym wor a js zapisany w górnj części wirsza sowarzyszonj warości własnj, a wor a w dolnj części go wirsza. Podano zarówno wory i warości własn zspolon ja równiż wory i warości własn z nimi sprzężon. Część rzczywisa pirwszgo wora ma warości zbliżon do wora pirwszj posaci drgań ramy bz łumiów. Dla wyższych worów własnych, omawian różnic są wyraźni więsz. Części urojon worów własnych są miarami opóźninia wyprzdznia rozparywango sopnia dynamicznj swobody w sosunu do wiodącgo sopnia swobody w przypadu gdy rama wyonuj drgania swobodn, łumion z odpowidnią częsością własną. Wiodącym sopnim swobody js n sopiń dla órgo warość wora własngo js równa,. W odróżnini od drgań swobodnych, niłumionych w przypadu drgań swobodnych, łumionych masy uładu ni przchodzą równoczśni przz położni równowagi saycznj. Wyonano równiż oblicznia dla ramy z łumiami opisywanymi za pomocą modlu Klvina. Przyjęo sam co poprzdnio warości paramrów i c. Traz nalży rozwiązać problm własny z macirzami A i B obliczonymi za pomocą wzorów 3.9, przy czym w rozparywanym przypadu K =, c C = c c, C =. a c c Wynii obliczń zamiszczono w rzcij części abl. 3.. W ym przypadu częsości własn ramy z łumiami zwięszyły się odpowidnio o 7,9 %, 9,6 % i o 4,6 % w sosunu do częsości drgań ramy bz łumiów. Zmiany są spowodowan znacznym zwięsznim całowij szywności uładu, óra js raz sumą szywności onsrucji i łumiów. Bzwymiarow współczynnii łuminia modalngo są za wyjąim współczynnia pirwszj posaci drgań wyraźni więsz od odpowidnich współczynniów ramy z łumiami opisywanymi za pomocą modlu Maxwlla. ówniż różnic między rzczywisymi częściami worów własnych ramy z łumiami a worami posaci drgań ramy bz łumiów są znaczn. Na onic wyonano oblicznia ramy z łumiami wisoycznymi. ozwiązano problm własny 3. z macirzami A i B obliczonymi za pomocą wzorów 3.9, przy czym raz K =, a macirz C js aa sama ja dla modlu Klvina. Wynii obliczń zamiszczono na ońcu abl. 3.. W ym przypadu różnic częsości własnych ramy z łumiami i ramy bz łumiów są niznaczn, podobni ja różnic między rzczywisymi częściami worów własnych i worów posaci drgań. Bzwymiarow współczynnii łuminia modalngo są w ym przypadu najwięsz. Bzwymiarow współczynnii łuminia modalngo można aż wyznaczyć za pomocą mody modalnj nrgii sprężysj h modal srain nrgy opisanj np.w [].

20 4. Analiza drgań wymuszonych onsrucji z łumiami lposprężysymi ozparzmy onsrucję z łumiami drgań poddaną działaniu sił harmoniczni zminnych p = p cos λ + sin λ, 4., c p, s gdzi λ js częsością sił wymuszających. Drgania usalon aigo uładu są opisan funcjami: q = q cos λ + sin λ, q = q cos λ + sin λ. 4., c q, s, c q, s Po podsawiniu 4. i 4. do równań.3 i przyrównaniu do zra współczynniów sojących przy funcjach cos λ i sin λ orzymuj się uład równań algbraicznych o posaci: M q, s λcq, c + K q, s λcq, c, s K λ = p, q, s + K λ M q, c + λcq, s + K q, c p, c λ C =, K q λ C q + K q C q =,, s, c, s λ, c λ C q K q + C q + K q =, 4.3, s +, c λ, s, c z órgo można wyznaczyć niznan wory q, s, q, c, q, s i q, c. Nich wybran lmny o numrz i worów q, s i q, c będą oznaczon symbolami q, s i q, c. Ampliudę drgań przmiszcznia dynamiczngo o numrz i wylicza się z wzoru, s, c A = q + q. Jżli do opisu łumiów drgań ni używa się zminnych wwnęrznych o po podsawiniu 4. i 4.. do równania ruchu. orzymuj się uład równań o posaci: + K M q, s λ C + C q, c, s K λ = p, + C q, s + K + K λ M q, c, c λ C = p, 4.4 z órgo można wyznaczyć niznan wory q, s i q, c. W przypadu dowolni zminiającgo się w czasi obciążnia dynamiczngo rozwiązani równań ruchu orzymuj się modami numryczngo całowania. W modach ych wyznacza się, w sposób przybliżony, warości funcji będących rozwiązanim równań ruchu. Przdział czasu, w órym nalży wyznaczyć omawian rozwiązani dzili się na mał podprzdziały o długości h. Wilość h nazywa się równiż roim numryczngo całowania. Warości poszuiwanych funcji q i q wyznacza się w chwilach czasu i = ih, i =,,..., N. Oznaczmy warości funcji opisujących san dynamiczny uładu w chwili n symbolami: q n = d, n, q & n = v, n, q & n = a, n, q n = d, n, q & = v. Za pomocą ych symboli można równania ruchu.3, rozumian jao waruni n, n równowagi dynamicznj w chwili n, zapisać w posaci: M a C v C v K d K d p,, +, +, +, +, =, C v, + C v, + K d, + K d, =. 4.5

21 ównania ruchu można całować różnymi modami. Tuaj użyo w ym clu mody śrdnigo przyspisznia Nwmara oraz mody Eulra. Dososowan do oznaczń użyych w 4.5 wzory mody śrdnigo przyspisznia mają posać [8]: h v, = v, n + a, n + a,, h d, = d, n + h v, n + a, n + a, Wzór mody Eulra wyniający z liniowj aprosymacji funcji prędości zminnj wwnęrznj q& w ypowym przdzial czasu n, ma posać [8, 5]: h d, = d, n + v, n + v,. 4.7 Ta przyję formuły numryczngo całowania zapwniają zgodną aprosymację funcji q& i q& w ypowym przdzial czasu n,. Po podsawiniu zalżności 4.6 i 4.7 do równań 4.5, orzymuj się: gdzi h h h, + C + K a + C + K v, = p, M, 4 h + K a, + C + K v, = f, C. 4.8 h h h h v + a K d + v + a K d v p +, = p, C, n, n, n h, n 4, n, n, n, f = C + h v + a K d + v + a K d v, h, n, n h, n, n, n h, n, n. 4.9 Z równań 4.8 wyznacza się wory a, i v,, a pozosał wory opisując san dynamiczny uładu, zn. wory d,, v,, i d,, można wyznaczyć odpowidnio z wzorów 4.6 i 4.7. W n sposób wyznacza się san dynamiczny uładu w chwili. Powarzając oblicznia dla oljnych roów całowania można wyznaczyć rozwiązani równań ruchu w całym inrsujących nas przdzial czasu. W modach numryczngo całowania bardzo ważny js dobór odpowidnij wilości rou całowania h. Kro n powinin spłniać waruni sabilności i doładności zasosowanj mody numryczngo całowania [8]. Zazwyczaj ro numryczngo całowania js ni więszy od / orsu drgań swobodnych j posaci drgań, óra jszcz ma isony udział w rozwiązaniu równań ruchu. W razi rudności z orślnim rou całowania można jgo warość usalać moda prób i błędów, wyonując oblicznia dla dwóch roów, np. h = h i h = h / i porównując z sobą orzyman wynii. Kro h js odpowidnim roim całowania, jżli oba rozwiązania prayczni ni różnią się od sibi. Przyład 3 Wyznaczono rozwiązani równań ruchu onsrucji z łumiami drgań opisywanymi za pomocą modlu Maxwlla. Do obliczń przyjęo warości paramrów onsrucji i łumiów podan w przyładzi. Uład js poddany przyspiszniom grunu zarjsrowanym podczas rzęsinia zimi w El-Cnro. Przyjęo ro całowania h =,s.

22 Na rys. 4. poazano, w jai sposób zminiają się w czasi przmiszcznia sropu rzcij ondygnacji, a na rys. 4. poazano przbig siły w łumiu umiszczonym na pirwszj ondygnacji..4 przmiszczni [m] czas [s] ysun 4. Przmiszcznia sropu rzcij ondygnacji. siła w pirwszym łumiu [N].5E+5.E+5 5.E+4.E+ -5.E+4 -.E+5 -.5E czas [s] ysun 4. Siła w łumiu umiszczonym na pirwszj ondygnacji. 5. Uwagi ońcow W pracy soncnrowano uwagę na analizi dynamicznj onsrucji z łumiami wisoycznymi i lposprężysymi. Tłumii go rodzaju pomimo różnorodnj onsrucji mogą być opisywan za pomocą modli rologicznych i z go powodu w więszym zarsi js możliwa analiza zachowania dynamiczngo uładów z ymi łumiami. Toria drgań go ypu uładów js, zdanim auora, słabo znana projanom, a moż być przydana z względu na szrg orzysnych właściwości omawianych łumiów. W szczgólności wil z nich ma prosą budowę i moż fywni zmnijszać drgania onsrucji budowlanych. Isniją oczywiści łumii inngo ypu, ór równiż mogą zmnijszać drgania onsrucji. W pirwszym rzędzi są o zw. dynamiczn łumii masow nazywan równiż srojonymi łumiami masowymi. Toria drgań onsrucji z łumiami go ypu js lpij znana projanom i dlago, z względu na ograniczoną objęość pracy, ni zosała uaj omówiona. Można ją znalźć w wilu monografiach np. w [8,, 3]. W osanich laach w szczgólności analizowano onsrucj z zw. wilomasowymi łumiami drgań [, 3, 5,

23 , 4]. Ni omówiono równiż szrzj analizy dynamicznj onsrucji z łumiami cirnymi. Możliwości analizy dynamicznj są w ym przypadu ograniczon w zasadzi do numryczngo całowania równań ruchu. Pominięo równiż problmayę idnyfiacji paramrów łumiów drgań i problmy projowania onsrucji z łumiami drgań. Pwn informacj na n ma można znalźć w pracach [8, 9]. Podzięowania Praca wyonana zosała w ramach proju badawczgo DS--46/5 finansowango przz MNiSW. Bibliografia [] Ab M., Fujino Y., Dynamic characrizaion of mulipl und mass damprs and som dsign formulas, Earhqua Enginring and Srucural Dynamics, 3, 994, [] Blac C.J., Maris N.: Viscous haing of fluid damprs undr small and larg ampliud moions: Exprimnal sudis and paramric modling, Journal of Enginring. Mchanics, 33, 7, [3] Flaga A., Wilgos P, Zagadninia opymalizacji paramrów wiloronych łumiów masowych, Zszyy Nauow Polichnii zszowsij, Mchania, 74, 8, [4] Haada T., Kobori T., Ishida M., Niwa N.: Dynamic analysis of srucurs wih Maxwll modl, Earhqua Enginring and Srucural Dynamics, 9,, [5] Hoang N., Warnichai P., Dsign of mulipl und mass damprs by using a numrical opimizr, Earhqua Enginring and Srucural Dynamics, 34, 5, [6] Housnr B.W., Brgman L.A., Caughy T.K., Chassiaos A.G., Claus.O., Masri S.F., Slon.E., Soong T.T., Spncr B.F., Yao J.T.P.: Srucural conrol: pas, prsn, and fuur, Journal of Enginring Mchanics, 3, 997, [7] L D., Taylor D.P.: Viscous dampr dvlopmn and fuur rnds, Th Srucural Dsign of Tall Buildings,,, 3 3. [8] Lwandowsi,: Dynamia onsrucji budowlanych, Wydawnicwo Polichnii Poznańsij, Poznań, 6. [9] Lwandowsi.: Problmy rducji drgań onsrucji budowlanych z wisoycznymi i lposprężysymi łumiami drgań, Biulyn WAT, 6,, [] Lwandowsi.: ducja drgań onsrucji budowlanych, PWN, Warszawa, 4. [] Lwandowsi., Barowia A., Macijwsi H.: Dynamic analysis of frams wih viscolasic damprs: a comparison of dampr modls, Srucural Enginring and Mchanics, 4,, [] Lwandowsi., Grzymisławsa J., Dynamic analysis of srucurs wih mulipl und mass Damprs, Journal of Civil Enginring and Managmn, 5, 9, [3] Lwandowsi., Pawla Z.: Dynamic analysis of frams wih viscolasic damprs modlld by rhological modls wih fracional drivaivs, Journal of Sound and Vibraion, 33,, [4] Li, C., Opimum mulipl und mass damprs for srucurs undr h ground acclraion basd on DDMF and ADMF, Earhqua Enginring and Srucural Dynamics, 3,, [5] Maris N.: Viscous haing of fluid damprs. Par I, Journal of Enginring. Mchanics, 4, 998, 6. [6] Maris N, Consaninou M.C.: Fracional-drivaiv Maxwll modl for viscous damprs, Journal of Srucural Enginring, 7, 99, [7] Maris N., oussos Y., Whiar A.S., Klly J.: Viscous haing of fluid damprs. II: Largampliud moions, Journal of Enginring. Mchanics, 4, 998, 7 3. [8] Mualla I.H, Blv B.: Prformanc of sl frams wih a nw fricion dampr dvic undr arhqua xciaion, Enginring Srucurs, 4,, [9] Nashif A.D., Jons D.I.G., Hndrson J.P.: Vibraion damping, Wily, Nw Yor, 985.

24 [] Ng, C.L., Xu, Y.L.: Sismic rspons conrol of a building complx uilizing passiv fricion dampr: Exprimnal invsigaion, Earhqua Enginring and Srucural Dynamics, 35, 6, [] Osińsi Z.: Tłumini drgań mchanicznych, PWN, Warszawa, 979. [] Pall A.S., Marsh C.: spons of fricion dampd bracd frams. ASCE, Journaal of Srucural Division, 98;8, [3] Par S.W.: Analyical modling of viscolasic damprs for srucural and vibraion conrol, Inrnaional Journal of Solids and Srucurs, 38,, [4] Pal C.C, Jangid.S.: Dynamic rspons of adjacn srucurs conncd by fricion dampr, Earhquas and Srucurs,,, [5] Por D.: Mody obliczniow fizyi, PWN, Warszawa, 98. [6] Singh M.P., Chang T.S.: Sismic analysis of srucurs wih viscolasic damprs. Journal of Enginring Mchanics, 35, 9, [7] Singh M.P., Morschi L.M.: Opimal placmn of damprs for passiv rspons conrol, Earhqua Enginring and Srucural Dynamics, 3,, [8] Singh M.P., Vrma N.P., Morschi L.M.: Sismic analysis and dsign wih Maxwll damprs, Journal of Enginring Mchanics, 9, 3, [9] Soong T.T.: Sa-of-h-ar-rviw. Aciv srucural conrol in civil nginring, Enginring Srucurs,, 988, [3] Soong T.T, Dargush G.F.: Passiv nrgy dissipaion sysms in srucural nginring, Wily, Chichsr, 999. [3] Soong T.T., Spncr B.F.: Supplmnal nrgy dissipaion: sa-of-h-ar and sa-of-hpracic, Enginring Srucurs, 4,, [3] Spncr, B.F.: Sa of h ar of srucural conrol, Journal of Srucural Enginring, 9, 3, [33] Symans M.D., Consaninou M.C.: Smi-aciv conrol sysms for sismic procion of srucurs: A sa-of-ar rviw, Journal of Enginring Srucurs,, 999, [34] Y K., Li L., Tang J.: Sochasic sismic rspons of srucurs wih addd viscolasic damprs modld by fracional drivaiv, Earhqua Enginring and Enginring Vibraion,, 3,