Zbigniew Starczewski. Drgania mechaniczne

Transkrypt

1 Zbigniew Sarczewsi Drgania mechaniczne Warszawa

2 Poliechnia Warszawsa Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Kierune "Eduacja echniczno informayczna" -5 Warszawa, ul. Narbua 8, el () 89 7, () 8 8 ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spin/, so@simr.pw.edu.pl Opiniodawca: prof. nzw. dr hab. Zbigniew SKUP Proje oładi: Norber SKUMIAŁ, Sefan TOMASZEK Proje uładu graficznego esu: Grzegorz LINKIEWICZ Sład esu: Janusz BONAROWSKI, Pior KORCZAK-KOMOROWSKI Publiacja przeznaczona jes dla sudenów ierunu "Eduacja echniczno informayczna" Copyrigh Poliechnia Warszawsa Uwór w całości ani we fragmenach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń eleronicznych, mechanicznych, opiujących, nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw auorsich. ISBN Dru i oprawa: Druarnia Epol P. Rybińsi, J. Dąbe Spóła Jawna, 87-8 Włocławe, ul. Brzesa

3 Spis reści Wsęp Wprowadzenie Kinemaya drgań.... Pojęcia podsawowe.... Sładanie ruchów harmonicznych Sładanie drgań o aich samych częsościach...6. Sładanie drgań o różnych częsościach...7. Elemeny analizy harmonicznej.... Przeszałcenie Fourier a Modelowanie uładów drgających Uładanie równań ruchu Siły w ruchu drgającym Króa lasyfiacja drgań Drgania swobodne liniowego uładu drgającego o jednym sopniu swobody (bez łumienia) Drgania swobodne uładu o jednym sopniu swobody łumione arciem wisoycznym... 8

4 . Drgania wymuszane uładu o jednym sopniu swobody bez łumienia Drgania wymuszane liniowego uładu drgającego o jednym sopniu swobody z łumieniem wisoycznym.... Drgania liniowe uładu o jednym sopniu swobody wymuszane bezwładnościowo (z łumieniem).... Drgania uładów o jednym sopniu swobody przy wymuszeniu inemaycznym (z łumieniem) Amoryzacja drgań Rejesracja drgań Drgania swobodne uładu liniowego o dwóch sopniach swobody bez łumienia Drgania wymuszane uładów o dwóch sopniach swobody, łumienie dynamiczne Lieraura... 6

5 Wsęp Niniejsze maeriały zosały opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Poliechnii Warszawsiej współfinansowanego ze środów PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI. Przeznaczone są dla sudenów sudiów inżyniersich ierunu Eduacja echniczno-informayczna prowadzonych na Wydziale Samochodów i Maszyn Roboczych Poliechnii Warszawsiej Niniejsze opracowanie przygoowano dla przedmiou p. DRGANIA MECHANICZNE. Jego zawarość meryoryczna w pełni odpowiada zaresowi opisanemu w sylabusie opracowanym dla ego przedmiou. Całość opracowanych maeriałów dydaycznych dla ww przedmiou zawara zosała w 8 rozdziałach. Rozdział zosał poświęcony ogólnym pojęciom z zaresu drgań, opisany jes cel badania drgań, możliwości zasosowania ruchów drgających, a aże definicji ruchu drgającego. Rozdział dosarczy inemayi ruchów drgających, opisane są podsawowe pojęcia aie ja przemieszczenia w ruchu drgającym ores, drgań częsość drgań, faza począowa, definicja ruchu oresowego. Rozdział poświęcony jes sładaniu ruchów drgających o ych samych częsościach i różnych ampliudach, o różnych częsościach drgań sładowych, omówione zosało pojęcie dudnienia. Rozdział zawiera elemeny analizy harmonicznej co związane jes z rozwinięciem funcji oresowej w szereg Fourier`a. Rozdział 5 poświęcony jes problemom modelowania rzeczywisych uładów drgających. Nauralną onsewencją procesu modelowania jes opis maemayczny modelu. Wiąże się o z uładaniem równań ruchu. Meodom uładania równań ruchu poświęcony jes rozdział 6. W równaniach ruchu wysępują oreślone siły związane z ruchami drgającymi. Siły e są opisane w rozdziale 7.

6 Rozdział 8 zawiera róą podsawową lasyfiacje drgań. Auor posłużył się u podziałem zaproponowanym przez prof. Zbigniewa Osińsiego. Rozdziały 9, poświęcone są drganiom swobodnym uładów o jednym sopniu swobody bez łumienia i z łumieniem. Rozdziały,,, poświęcone są drganiom uładów o jednym sopniu swobody z różnymi rodzajami wymuszeń (siłowym, bezwładnościowym i inemaycznym). Rozparzono pojęcie współczynnia uwieloronienia ampliudy drgań oraz rzywych rezonansowych. Rozdział 5 przedsawia problemayę amoryzacji drgań, o znaczy ochronę ooczenia przed suami drgań obieu i ochronę obieu przed suami drgań ooczenia. Ważnemu problemowi pomiaru paramerów uładów drgających (częsość, ampliuda, miejsca wysępowania) poświęcony jes rozdział 6. Rozdziały 7 i 8 poświęcone są drganiom uładów o dwóch sopniach swobody bez łumienia (swobodnych) oraz z wymuszeniem harmonicznym. Czyelni jes wprowadzony w pojęcie a zwanego łumienia dynamicznego. Należy podreślić iż do ażdego rozdziału wprowadzone są przyłady zadaniowe poazujące zasosowanie przedsawionego maeriału eoreycznego. Przewidziano aże dwa ćwiczenia laboraoryjne (rzywe rezonansowe beli z wymuszeniem bezwładnościowym oraz badanie dynamicznego eliminaora drgań) óre lepiej urwalą przedsawiony maeriał eoreyczny i zadaniowy. Myślę, że a sonsruowane maeriały dydayczne pomogą słuchaczowi w nabyciu eoreycznych i praycznych umiejęności z zaresu przedsawionego maeriału. Zajęcia dydayczne zdecydowanej więszości przedmioów sładających się na program sudiów będą realizowane, oprócz wyładu, aże w formie ćwiczeń laboraoryjnych prac projeowych. Dlaego isoną częścią ych maeriałów, oprócz prezenacji maeriału eoreycznego, są opisy przebiegu ćwiczeń wyonywanych podczas zajęć dydaycznych oraz propozycje zadań do samodzielnego wyonania przez słuchaczy. Ta sonsruowane maeriały dydayczne pomogą słuchaczom w nabyciu praycznych umiejęności z zaresu posługiwania się echniami ompuerowymi niezbędnych w realizacji współczesnych procesów projeowo wywórczych.

7 Wprowadzenie

8 ROZDZIAŁ Zachowanie się uładów mechanicznych w racie drgań jes nieusannie przedmioem zaineresowań wielu badaczy i insyucji nauowych. Chodzi o zbadanie, jai wpływ mają drgania na wyrzymałość i żywoność, a co za ym idzie niezawodność elemenów i maszyn, oraz jaie są przyczyny, źródła drgań, i ja ochronić się przed nimi. W wyniu drgań elemenów maszyn pojawiają się negaywne zjawisa z órych do najważniejszych zaliczamy:. Załócenia prawidłowości działania maszyn. Nadmierne drgania mogą spowodować wadliwą, nierównomierną pracę maszyn i urządzeń. Np. w obrabiarach mogą urudnić uzysanie odpowiedniej doładności obróbi. w elemenach złącznych gwinowych, zacisowych mogą być przyczyną ich rozłączania się.. Zmniejszenie rwałości maszyn i urządzeń. Zjawiso drgań powoduje powsawanie w elemenach maszyn zmiennych naprężeń co prowadzi poprzez procesy zmęczeniowe do szybszego ich zużycia. Szczególnie groźne jes o w przypadu wałów maszynowych, łożys ślizgowych i ocznych, łopae wirniów, wszeliego rodzaju elemenów zawieszeń.. Nieorzysny wpływ drgań na organizm człowiea. Generalnie wszelie posacie drgań mają wpływ szodliwy dla organizmu ludziego. Drgania powsające w maszynach roboczych aich ja młoy pneumayczne, opari, żurawie budowlane, walcari i szereg innych bywają bardzo częso powodami. zw. chorób zawodowych.. Hałas. Drgania są przyczyną hałasu. Źródła hałasu są różnoraie, są o zarówno drgania ośroda (gazy), ja i drgania elemenów maszyn i urządzeń. długorwałe przebywanie w środowisu o podwyższonym hałasie wywołuje uczucie zmęczenia, rozdrażnienia, wysępuje zjawiso sresu, a częso uszodzenie organów człowiea (głuchoa) lub w przypadu infradźwięów (drgania o bardzo nisich częsoliwościach) wręcz fizyczne nieodwracalne uszodzenie ych organów. Srona 8

9 WPROWADZENIE Generalnie należy mówić o szodliwości drgań, jednaże bywają one wyorzysywane z pożyiem dla człowiea. Wysępuje o w przypadu wszeliego rodzaju przenośniów wibracyjnych, przesiewaczy, zagęszczaczy. Cały oddzielny rozdział o muzya. Zarówno a poważna, ja i rozrywowa. Kóż z nas nie podziwiał wspaniałych solówe wyonanych na insrumenach dęych, srunowych czy perusyjnych. Zdefiniujmy zaem co o jes drganie zwane nieiedy ruchem drgającym. Według Osińsiego definicja a ma nasępujące brzmienie: DRGANIEM lub RUCHEM DRGAJĄCYM nazywamy ai ruch w órym badana współrzędna na przemian zbliża się i oddala od pewnej warości przecięnej. Warość a może być usalona w czasie. Zwyle przyjmuje się ją zerową w przyjęym uładzie współrzędnych. Warość przecięna może eż być zmienna w czasie w dowolny sposób. a) b) Rysune. Ruchy drgające. a) warość przecięna równa zero, b) warość przecięna zmienna w czasie Srona 9

10 ROZDZIAŁ Srona

11 ` Kinemaya drgań

12 ROZDZIAŁ Pojęcia podsawowe Podsawowe pojęcia związane z drganiami opare są na opisie ruchu harmonicznego prosego. Ruch ai opisany jes równaniem. gdzie: współrzędna ruchu drgającego, a ampliuda drgań, częsość ąowa drgań, a cos( ϕ ) (.) ϕ faza począowa drgań (przesunięcie fazowe), czas, Srona Rysune. Ilusracja przebiegu drgań w ruchu harmonicznym prosym i podsawowe paramery ego ruchu ampliuda począowa, T ores drgań. Pomiędzy częsością f wyrażoną w hercach (wielość a zwana jes przez eleroechniów częsoliwością) i oresem T zachodzą zależności: π π T ; πf ; f (.) T T π

13 KINEMATYKA DRGAŃ Zapis ruchu harmonicznego może być przedsawiony w posaci: Jeżeli doonamy podsawienia: Osaecznie: gdzie w zależności (.) Acos B sin (.) A a cosψ ; B a sinψ (.) a cosψ cos asinψ sin (.5) cos cosψ sin sinψ cos( ψ ) a A B ; a cos( ψ ) (.6) B B gψ ; ψ arcg (.7) A A Ruch będziemy nazywać oresowym wedy, gdy spełniona będzie zależność: ( T ) ( ) (.8) Należy pamięać iż ażdy ruch harmoniczny jes ruchem oresowym, naomias nie ażdy ruch oresowy jes ruchem harmonicznym. Srona

14 ROZDZIAŁ Srona

15 ` Sładanie ruchów harmonicznych

16 ROZDZIAŁ.. Sładanie drgań o aich samych częsościach Drganie wypadowe () jes sumą dwóch drgań harmonicznych o ej samej częsości ołowej i różnych ampliudach a i różnych przesunięciach fazowych ϕ. ( ) a sin( ϕ) a sin( ϕ ) sin( ϕ) sin cosϕ cos sinϕ sin( ϕ ) sin cosϕ cos sinϕ ( ) a sin cosϕ a a sin cosϕ a cos sinϕ cos sinϕ (..) (..) Grupując wyrazy z cos i sin orzymujemy: ( ) ( a sinϕ a sinϕ )cos ( a cosϕ a cosϕ )sin (..) Wyonujemy podsawienie: a a sinϕ a cosϕ a sinϕ a sinψ cosϕ a cosψ (..) ( ) a cos sinψ a sin cosψ (..5) Osaecznie: ( ) asin( ψ ) (..6) gdzie z (..) ( a sinϕ ) ( a ϕ ) a (..7) sin a sinϕ a sinϕ ψ arcg (..8) a cosϕ a cosϕ Srona 6

17 SKŁADANIE RUCHÓW HARMONICZNYCH Wynia sąd iż drganie wypadowe będzie eż drganiem harmonicznym o częsości. Przypade en można uogólnić na sumę n drgań harmonicznych o częsości. gdzie: ( ) i n i ai sin( ϕi ) a sin( ψ ) (..9) a i n i n sin i ) i i ( a i ϕ ( a cosϕ ) (..) i i i n ai sinϕi i ψ arcg (..) i n ai cosϕi i.. Sładanie ruchów drgań o różnych częsościach Rozparzmy przypade, gdy wypadowe drganie () jes sumą dwóch drgań harmonicznych o różnych częsościach. ) a sin( ϕ ) a sin( ) (..) ( ϕ Dla ej posaci równania możemy wyróżnić rzy przypadi: a) Częsość jednego z drgań sładowych jes dużo więsza od częsości drgań drugiego. ) a sin( ) ; ) a sin( ) ( ϕ załóżmy że a < a ; << ; ϕ ϕ ( ϕ Srona 7

18 ROZDZIAŁ Rysune.. Przypade (a), a < a, <<, ϕ ϕ Srona 8

19 SKŁADANIE RUCHÓW HARMONICZNYCH gdy a > a, << orzymujemy: Rysune.. Przypade (a), <<, a > a Srona 9

20 ROZDZIAŁ b) Częsości drgań sładowych różnią się nieznacznie od siebie. ) a sin( ), ) a sin( ) (..) Należy pamięać iż: ( ϕ ( <<, ϕ - przesunięcie począowe ( ) względem ( ). Drgania wypadowe orzymujemy w posaci: ( ) ( ) ( ) a sin( ϕ) a sin( ) a sin cosϕ a cos sinϕ a sin cos a cos sin ( a sinϕ a sin )cos ( a cosϕ a cos )sin (..) Wprowadzając oznaczenia: a sinϕ a a cosϕ a sin A( )sin Ψ( ) cos A( )cos Ψ( ) (..) Orzymujemy osaecznie: ( ) A( )sin( Ψ( )) (..5) gdzie: A( ) ( a sinϕ a sin ) ( a cosϕ a cos ) a sinϕ a sin Ψ( ) arcg a cosϕ a cos Ta więc ampliuda zmienia się oresowo od A do A min, gdzie: ma A A ma min a a a a (..6) Drgania mają posać ja na rysunu.. i ę posać drgań nazywamy DUDNIENIEM. Srona

21 SKŁADANIE RUCHÓW HARMONICZNYCH Rysune... Przypade (b), dudnienie c) Sosune częsości drgań sładowych wyraża się przez niewielie liczby nauralne. W ym przypadu przebiegi drgania wypadowego () w zależności od sosunu ampliud, częsości oraz ąów przesunięcia fazowego może przyjąć różne formy. Niech a ( ) a sin, ( ) a sin( ϕ) oraz a Rysune... Przebieg ) ( ) dla ( o ϕ Srona

22 ROZDZIAŁ Rysune..5 Przebieg ) ( ) dla ( o ϕ 9 W przypadu gdy i nie są współmierne, o drganie wypadowe jes nieoresowe. Przyład. Ruch punu opisany jes superpozycją dwóch ruchów opisanych równaniami: π 5sin, sin Znaleźć ampliudę i przesunięcie fazowe ruchu wypadowego. Ampliuda A : π 5sin 5cos A i i i ( a i sinϕ ) ( a i i i cosϕ ) i 5 ( ) 5 7, Srona

23 SKŁADANIE RUCHÓW HARMONICZNYCH Przyład. gψ i i i i ai sinϕi 5 ( ) a cos i ϕi 5 Ruch punu opisany jes równaniami : Znaleźć or punu. 5cos ; 5sin,5 Równanie parameryczne na i możemy przedsawić w posaci: cos 5 ; sin 5 Podnosząc obusronnie do wadrau i dodając do siebie sronami orzymujemy: 5 Czyli osaecznie: ( ) 5 cos sin 5 ( ) 5 Rysune..6 Trajeoria punu órego ruch opisują równania i Srona

24 ROZDZIAŁ Jes o równanie oręgu o promieniu r 5 i środu przesunięym o wzdłuż osi. Przyład. Znaleźć or punu opisanego równaniami: Zaem: Sąd: π π cos ; y 7 cos π π π cos cos cos sin sin sin π π π cos cos cos sin sin sin sin ; y 7sin y 7 Jes o równanie prosej przedsawionej na rysunu..7. Srona Przyład. Rysune..7 Prosa opisana równaniami i y Znaleźć or punu opisany równaniami: 5sin ; y 7 cos

25 SKŁADANIE RUCHÓW HARMONICZNYCH Równania możemy ławo przeszałcić w posać: y 7 sin ; cos 5 Podnosząc obusronnie do wadrau i dodając sronami, orzymujemy: ( ) ( y 7) 5 9 Jes o równanie elipsy o środu oreślonym współrzędnymi, y 7 i ramionach i 5, przedsawionej na rysunu..8. Przyład 5. Rysune..8 Elipsa opisana równaniami i y Znaleźć or punu poruszającego się zgodnie z równaniami: a cos( α ) y bsin( β ) Równanie drugie możemy przedsawić w formie: y bsin( β α α ) Zauważmy iż w wyrażeniu w nawiasach dodaliśmy i odjęliśmy o samo wyrażenie α, zaem: y bsin[( α) ( β α )] b[sin( α) cos( β α ) cos( α)sin( β α)] Srona 5

26 ROZDZIAŁ Srona Z równania pierwszego orzymujemy: cos( α ) a Zaem: ) sin( a α Uwzględniając osaecznie wyrażenie w równaniu na y mamy: ) sin( ) cos( α β α β a a b y Sąd: ) cos( ) sin( α β α β a a b y Podnosząc obusronnie do wadrau orzymujemy: ) ( cos ) ( sin ) sin( α β α β α β a a ab y b y Po uproszczeniu: [ ] ) ( cos ) ( cos ) ( sin ) sin( α β α β α β α β a ab y b y Uwzględniając jedynę rygonomeryczną orzymujemy osaecznie: ) ( cos ) sin( α β α β a ab y b y

27 SKŁADANIE RUCHÓW HARMONICZNYCH Ja widać charaer rajeorii będzie zależał od wyrażenia ( β α ). a) gdy: β α π ;,,,... sin( β α ) ; cos( β α ) Dla aich warości funcji równanie rajeorii ma posać: y b a Jes o równanie elipsy o środu umieszczonym w puncie ( ;) przyjęego arezjańsiego uładu współrzędnych, π b) gdy: β α π ;,,,... sin( β α) ; cos( β α ) Równanie rajeorii przyjmuje posać: y b y ab a y, czyli b a Osaecznie: b y a Jes o równanie prosej o współczynniu ierunowym przechodzącej przez środe uładu współrzędnych, π c) gdy: β α π ;,,5,... sin( β α ) ; cos( β α ) b a i Srona 7

28 ROZDZIAŁ a) b) c) Rysune..9 Trajeorie punu opisane równaniem ońcowym z przyładu 5 Równanie rajeorii przyjmuje posać: y b y ab a y, czyli b a osaecznie: Srona 8

29 SKŁADANIE RUCHÓW HARMONICZNYCH b y a Jes o równanie prosej o współczynniu ierunowym przechodzącej przez środe uładu współrzędnych. b i a Przypadi a), b), c) obrazuje rysune..9. Przyład 6. Ruch drgający punu jes wypadową nasępujących sładowych: sin(5 ) ; sin(6 ) Ponieważ mamy do czynienia niewielą różnicą prędości ąowych na pewno wysąpi zjawiso dudnienia. Należy wyznaczyć masymalne i minimalne warości ampliud, częsość oraz ores dudnień. a a ma min a a a a 8 Częsość dudnień: d 6 5 s Ores dudnień: T d π π π d [ s] Przebieg wypadowy ilusruje rysune... Srona 9

30 ROZDZIAŁ Rysune.. Wypadowa rajeoria punu z przyładu 6 Srona

31 ` Elemeny analizy harmonicznej

32 ROZDZIAŁ.. Przeszałcenie Fourier a Dowolny przebieg drgań oresowych można rozłożyć na sumę sładowych harmonicznych. Analiza harmoniczna polega na rozwinięciu funcji () o oresie T w a zwany szereg Fourier`a. Szereg en możemy przedsawić w nasępującej formie: Przy czym: i a ( ) ( an cos n bn sin n) (.) i π (.) T Poszczególne współczynnii szeregu Fourier`a wyrażone są nasępującymi zależnościami: T a ( ) d T (.) a n b n T T T ( )cos n d, n,,,... (.) T ( )sin n d, n,,... (.5) Kolejny wyraz szeregu Fourier`a jes nazywany n ą harmoniczną drgań oresowych. Wyraz wolny a nazywamy sładową sałą drgań. Pierwsza harmoniczna nazywana jes harmoniczną podsawową. Dla scharaeryzowania sładowych harmonicznych drgań oresowych sosuje się a zwane widmo funcji będące zbiorem par liczb, a mianowicie olejnych częsości n oraz sumy wadraów odpowiadających im ampliud. n n a b A n Srona

33 ELEMENTY ANALIZY HARMONICZNEJ Rysune.. Widmo funcji Najczęściej zdarza się, że harmoniczne wyższego rzędu mają małe ampliudy, wedy można przybliżoną funcję wyrazić przez a zwany wielomian Fouriera`a. N ( a cos n ( ) b sin n) (.6) n Oczywise jes, że im więcej harmoni uwzględniamy ym bardziej doładnie rozwijana funcja w szereg Fouriera`a oddaje oryginał. Przyład. Znaleźć widmo funcji przedsawionej na rysunu... n Rysune.. Przebieg badanej funcji Ławo zauważyć iż ores funcji wynosi π, a częsość. Poszczególne współczynnii szeregu Fouriera`a obliczamy z zależności (.), (.), (.5). Srona

34 ROZDZIAŁ a π b π n a π cos nd T π π T n π T sin nd ( cosπ ) n ( ) d π π d T π ( ) cos nd π π π cos n d π ( ) sin nd π π π sin n d π π π π π π π cos nd d π π π cos nd sin n n π sin nd π sin nd cos n n π π π π π cos nd π sin nd cos nπ n n Gdy n parzyse, wedy b n, gdy n nieparzyse, wedy b n. n Zaem poszczególne współczynnii A A A a b b A n będą wynosić: π, Rysune.. Widmo funcji wyznaczone w przyładzie Srona

35 ELEMENTY ANALIZY HARMONICZNEJ Srona Przyład. Wyznaczyć współczynnii widma funcji oreślonej zależnością: sin ) ( π Powyższe współrzędne możemy podać jao iloczyn: sin sin ) ( π π Ale: cos sin π π Zaem: cos cos cos cos cos cos ) ( π π π π π π

36 ROZDZIAŁ Srona π π π π π π π π cos 8 cos 8 cos 8 8 cos cos 8 cos cos cos Ale: π π π π π π sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos Ta więc: π π π π sin 6 cos 6 sin cos 8 sin cos 8 sin cos 8 sin sin cos cos 8 sin sin cos cos 8 ) ( Z powyższej analizy: 8 a a

37 ELEMENTY ANALIZY HARMONICZNEJ a ; b a ; b a ; b a ; 6 b 6 Rysune.. Widmo funcji analizowanej w przyładzie Srona 7

38 ROZDZIAŁ Srona 8

39 ` 5 Modelowanie uładów drgających

40 ROZDZIAŁ 5 Gdy przysępujemy do analizy drgań onrenego uładu musimy przedsawić uład rzeczywisy w posaci modelu o mniejszym lub więszym sopniu ompliacji. W sład aiego modelu wchodzą puny maerialne, ciała szywne, ciała odszałcalne o masach różnych od zera, ciała odszałcalne o masach przyjmowanych jao zerowe. Proces modelowania polega na wprowadzaniu pewnych uproszczeń w sosunu do rzeczywisego uładu drgającego. Gdy do analizy przyjęlibyśmy uład rzeczywisy oazałoby się iż bardzo sompliowana (nieiedy wręcz niemożliwa) analiza dawała by niewiele lepsze rezulay niż jej uproszczony model. Położenie modelu oreśla się współrzędnymi uogólnionymi. Jeżeli analizowany uład słada się ze sończonej liczby punów maerialnych lub ciał szywnych, o liczba współrzędnych uogólnionych jes sończona. Gdy mamy do czynienia z ciałami odszałcalnymi o masach rozłożonych w sposób ciągły, wedy liczba współrzędnych uogólnionych jes niesończenie wiela i mówimy że analizowany uład ma niesończenie wielą liczbę sopni swobody. W naszych rozważaniach będziemy zajmować się uładami o sończonej liczbie sopni swobody. Szczególnym przypadiem ych uładów jes uład o jednym sopniu swobody. Ewolucje procesu modelowania prześledzimy na prosym przyładzie n.p. samochodu. Rysune 5. Model pojazdu jao uład o jednym sopniu swobody Srona

41 MODELOWANIE UKŁADÓW DRGAJĄCYCH Pojazd przedsawiony zosał jao ciało o masie m z elemenami zawieszenia (szywność, oraz łumi o współczynniu łumienia c ), wyonujące drgania pionowe wywołane oddziaływaniem funcji opisanej drogą f (s). Ławo zauważyć iż en najprosszy model ma jeden sopień swobody, a ruch ciała o masie m, oreślany jes jedną współrzędną, będącą jego przemieszczeniem. Nawe omplena noga echniczna zauważy iż model przedsawiony na rysunu 5. ma mało wspólnego z rzeczywisym pojazdem. Spróbujmy zaem nieco sompliować badany uład samochodu. Rysune 5. Model pojazdu jao uład o dwóch sopniach swobody Widać iż przedsawiony na rysunu 5. model pojazdu rochę zbliżył się do rzeczywisości. Ma on eraz dwa sopnie swobody, resorowana masa pojazdu może poruszać się niezależnie pionowo i jednocześnie wyonywać ruch obroowy woół środa masy z. Ta więc jego ruch opisany jes dwoma współrzędnymi, przemieszczeniem i ąem obrou ϕ. Kolejny eap przybliżania modelu do rzeczywisości obrazuje rysune 5.. W modelu ym uwzględniono szywności op, łumienie c op opon pojazdu i masy ół m. Nasąpiło dalsze powięszenie liczby sopni swobody modelu. Zwięszyła się liczba współrzędnych opisujących ruch masy resorowanej. Zwięszyła się zaem liczba równań opisujących en model. Srona

42 ROZDZIAŁ 5 Rysune 5. Model pojazdu w órym uwzględniono masę ół, oraz współczynnii szywności i łumienia opon Proces modelowania powinniśmy zaończyć na ym sopniu ompliacji, óry pozwoli poznać najwłaściwsze paramery drganiowe analizowanego uładu rzeczywisego. Srona

43 ` 6 Uładanie równań ruchu

44 ROZDZIAŁ 6 Mając sworzony mniej lub bardziej przybliżony model rzeczywisego uładu drgającego możemy pousić się o jego opis maemayczny co pozwoli na dalszą analizę jego paramerów drganiowych. Równania ruchu sworzonego uładu maerialnego można wyprowadzić za pomocą dowolnej z meod poznanej z wyładu z mechanii. w szczególnie w prosych przypadach gdy w grę wchodzą ułady o jednym sopniu swobody można zasosować bezpośrednio II zasadę dynamii Newona lub meodą energeyczną. Dla uładów bardziej złożonych wygodniej posłużyć się równaniami Lagrange`a drugiego rodzaju. Przybliżmy e rzy meody. a) Meoda Newona Rozparzmy uład o jednym sopniu swobody sładający się z ciała o masie m mogącego poruszać się pionowo, pobudzanego do drgań siłą P, podparego elemenami szywnymi o szywności, i elemenami łumiącymi o współczynniu łumienia c. Uład przedsawiony jes na rysunu 6.. Rysune 6. Rozparywany model i uład sił działających na ciało o masie m Zgodnie z przyjęym uładem współrzędnych równanie równowagi sił będzie nasępujące: P G B S R (6.) Srona

45 UKŁADANIE RÓWNAŃ RUCHU gdzie: P - siła zewnęrzna, B - siła bezwładności, G - obciążenie uładu, S - siła induowana w elemencie sprężysym, R - siła oporu. Podsawiając pod poszczególne oznaczenia onrene zależności, równanie (6.), sanie się równaniem ruchu analizowanego uładu. b) Meoda energeyczna Dla uładów zachowawczych, o znaczy aich, w órych całowia energia uładu pozosaje niezmienna w czasie ruchu, możemy uładać równania ruchu w oparciu o zasadę: gdzie: E E K - energia ineyczna, E P - energia poencjalna. E cons (6.) K P Różniczując po czasie zależność (6.) orzymujemy: d d ( E K E ) P (6.) W zasosowaniu do uładów drgających, równanie (6.) saje się równaniem ruchu. c) Meoda z zasosowaniem równania Lagrange`a II rodzaju Równanie Lagrange`a dla uładów holonomicznych ma posać: d d E q& K j E q P j E q K j Q j R j (6.) Srona 5

46 ROZDZIAŁ 6 gdzie: E K - energia ineyczna uładu drgającego, E P - energia poencjalna uładu drgającego, Q j Q j () - zewnęrzna siła uogólniona odpowiadająca współrzędnej uogólnionej q. R j - uogólniona siła oporu, odpowiadająca współrzędnej j uogólnionej q sierowana przeciwnie doq. j j Po wyonaniu operacji różniczowania zgodnie z zależnością (6.) uzysujemy bezpośrednio równania ruchu uładu drgającego. Przyład. Wyznaczyć szywność zasępczą sprężyn oraz wyznaczyć równania ruchu uładu ja na rysunu 6. sosując meodę Newona, energeyczną i równania Lagrange`a II rodzaju. Dane:,,,, 5, 6, G. Rysune 6. Model uładu analizowany w przyładzie W pierwszym eapie należy znaleźć szywność zasępczą elemenów sprężysych. Sprężyny i są połączone szeregowo. Ich szywność zasępcza wynosi: Srona 6

47 UKŁADANIE RÓWNAŃ RUCHU sąd Czyli: Ta samo posępujemy w przypadu elemenów sprężysych i. Elemeny,, 5 i 6 sanowią sobą połączenie równoległe, zaem szywność wypadowa W jes równa sumie poszczególnych szywności: W 5 6 Zgodnie z zależnością (6.) na uład działają siły: gdzie: Zaem: G B m & & - siła bezwładności, g G mg - obciążenie uładu, S l ) - reacja elemenów sprężysych, W ( s G l s - ugięcie sayczne elemenów sprężysych wywołane W obciążeniem G, B G S Srona 7

48 ROZDZIAŁ 6 m& & mg W m& mg W G W mg Osaecznie: G m& W ; & W g Jes o równanie ruchu uładu z rysunu 6. oreślone meodą Newona. Dla zasosowania meody energeycznej onieczne jes oreślenie energii ineycznej i poencjalnej. Energia ineyczna uładu: E K m & G g & Energia poencjalna uładu: E P Korzysając z równania (6.) orzymujemy: d d G & g W W G g &&& W & G & W g Meoda równania Lagrange`a II rodzaju. Korzysając z równania (6.) orzymujemy: Srona 8

49 UKŁADANIE RÓWNAŃ RUCHU d E d G G K & & d & d g g E P W E K Q j R j Zaem: G & W g We wszysich rzech przypadach orzymaliśmy o samo równanie opisujące ruch uładu. Ja wspomnieliśmy meoda Newona sprawdza się przy sosunowo prosych uładach drgających (zwyle o jednym sopniu swobody), meoda energeyczna ma silne ograniczenia w posaci aiej iż uład musi być auonomiczny. Najwygodniej jes sosować meodę równania Lagrange`a II rodzaju, i w nasępnych przyładach będziemy właśnie ją sosować. Przyład. Oreślić za pomocą równania Lagrange`a II rodzaju równanie ruchu uładu ja na rysunu 6.. Dane: szywności elemenów sprężysych,,,, 5, 6, Współczynnii łumienia c, c, ciężar ciała G, P () siła wymuszająca, przemieszczenie ciała (współrzędna uogólniona). Srona 9

50 ROZDZIAŁ 6 Rysune 6. Model uładu analizowany w przyładzie Szywność zasępcza : W czyli: W Zasępczy współczynni łumienia: 5 c W c c Energia ineyczna rozparywanego uładu: E K m & G g m& Energia poencjalna: Srona 5 E P W

51 UKŁADANIE RÓWNAŃ RUCHU Siła oporu (rozpraszająca): R j c W & Siła wymuszająca: Q j P() Wyznaczamy poszczególne człony równania Lagrange`a II rodzaju. d E d G G K & & d & d g g E K Podsawiając do równania (6.) orzymujemy: Osaecznie: G & & c & W W P() g G & ( c c ) & 5 P( ) g Przyład. Oreślić równania ruchu uładu ja na rysunu (6.). Meodą równania Lagrange`a II rodzaju. Dane: G, G,,, P (), rysune 6.. Uład ma dwa sopnie swobody, czyli może wyonywać dwa niezależne od siebie ruchy. Przemieszczenia ciał o ciężarach G, G wynoszą,. W Srona 5

52 ROZDZIAŁ 6 Rysune 6. Model uładu analizowany w przyładzie Energia ineyczna uładu: E K m & m & G m ; g m G g Zaem energia ineyczna wynosi: E K G g & G g & Energia poencjalna induowana w sprężynach wynosi: E P ( ) Poszczególne człony równania (6.): Srona 5

53 UKŁADANIE RÓWNAŃ RUCHU Srona g G E d d K & & & ; g G E d d K & & & Energię poencjalną możemy przedsawić w wygodnej formie: E P zaem: ( ) E P ) ( E P Osaecznie równania ruchu przyjmują posać: ) ( ( ) P g G & & ) ( g G & & Przyład. Oreślić równania ruchu dla uładu ja na rysunu 6.5, meodą równania Lagrange`a II rodzaju. Uład posiada rzy sopnie swobody. Rysune 6.5 Model uładu analizowany w przyładzie Dane: Momeny bezwładności rążów I, I, I, szywności na sręcanie wałów łączących,,, momen wymuszający drgania M().

54 ROZDZIAŁ 6 Srona Energia ineyczna uładu: ϕ ϕ ϕ & & & I I I E K gdzie: ϕ, ϕ, ϕ - ąy sręcania poszczególnych wałów o momenach bezwładności arcz I, I, I. Energia poencjalna uładu: ) ( ) ( ϕ ϕ ϕ ϕ E P Energię poencjalną przedsawmy w wygodnej do różniczowania formie: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ E P Poszczególne człony równania (6.). ϕ ϕ && & I E d d K ; ϕ ϕ && & I E d d K ; ϕ ϕ && & I E d d K ϕ ϕ ϕ E P ; ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ E P ϕ ϕ ϕ E P Podsawiając do równania (6.) orzymamy: ( ) ϕ ϕ ϕ I & & ) ( ) ( ) ( M I ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ& & ( ) ϕ ϕ ϕ I & & Powyższy uład rzech równań opisuje ruch rozparywanego uładu.

55 ` 7 Siły w ruchu drgającym

56 ROZDZIAŁ 7 Ogólne równanie różniczowe drgań uładu o jednym sopniu swobody możemy zapisać w formie: m & F(, &, ) (7.) Dla wielu przypadów siła F (, &, ) może być przedsawiona jao superpozycja sładniów z órych ażdy będzie zależał od jednej z wymienionych wielości: F (, &, ) S( ) R( & ) G( ) (7.) Uwzględniając osaecznie równanie ruchu drgającego może być przedsawione w nasępującej formie: gdzie: f ( ) G( ) m & R( & ) S( ) f ( ) (7.) Gdy siła sprężysa S() i siła łumienia R (& ) są liniowymi funcjami przemieszczenia i prędości &, równanie (7.) możemy przedsawić w formie: m & c& f () (7.) Siła óra jes zależna od przemieszczenia, jao funcja S () nazywana jes siłą resyucyjną lub wznawiającą. Możemy wyróżnić dwa rodzaje sił resyucyjnych: Srona 56

57 SIŁY W RUCHU DRGAJĄCYM a) grawiacyjna Rysune 7. Charaer siły resyucyjnej grawiacyjnej Sładowa mg cosϕ, napięcie nici o długości l. Sładowa mg sinϕ jes siłą wznawiającą grawiacyjną. b) sprężysa Powsawanie sił resyucyjnych sprężysych jes związane z właściwościami sprężysymi zasosowanych maeriałów onsrucyjnych. Przyłady sił resyucyjnych sprężysych przedsawiono na rysunu 7. W rozparywanych przez nas uładach liniowych zależność pomiędzy siłą sprężysą i przemieszczeniem ciała jes linią prosą. Zależność a wysępuje dla ciał óre spełniają prawo Hoo`a oraz przy małych odszałceniach. Siły zależne od prędości są w drganiach siłami oporu (rozpraszają energię). Sierowane są przeciwnie do zwrou prędości. Siły rozpraszające powodują łumienie drgań. Charaerysya łumienia o zależność siły oporu od prędości. Srona 57

58 ROZDZIAŁ 7 l - długość beli E - moduł Young`a J - momen bezwładności G - moduł Kirchoffa Rysune 7. Przyłady siły resyucyjnej sprężysej W uładach drgających liniowych siła oporu jes zależna liniowo od prędości. Mówimy wedy o a zwanym arciu (łumieniu) wisoycznym. Srona 58

59 SIŁY W RUCHU DRGAJĄCYM gdzie: c - współczynni łumienia R ( & ) c& (7.5) Należy podreślić, że siła oporu wisoycznego wysępuje przy ruchu ciała w płynie lepim. Musi eż być zachowany przepływ laminarny (warswowy) cieczy. Wysępuje o zwyle przy małych prędościach ciała. Siły zależne ylo od czasu, a niezależne od przemieszczenia i prędości nazywamy siłami wymuszającymi. Siły e mogą mieć charaer oresowy oraz róorwały (impulsowy). Siły impulsowe wyprowadzają uład z położenia równowagi, po czym drga on z częsoliwością drgań własnych zależną od paramerów uładu. Możemy wyróżnić nasępujące ypowe siły wymuszające: a) Siła oresowa harmoniczna o sałej ampliudzie. gdzie: A - sała ampliuda, f ( ) Asin - częsość siły wymuszającej, - czas. b) Siła oresowa wyniająca z niewyważenia wirującego ciała względem osi obrou (wymuszenie bezwładnościowe). gdzie: f ( ) md r sin m d - niewyważone ciało o masie r - promień niewyważenia, - częsość wymuszenia, - czas. m d, Siła a jes szczególnie niebezpieczna, jej ampliuda ja widać zależy od wadrau prędości. Srona 59

60 ROZDZIAŁ 7 c) Wymuszenie inemayczne. Rysune 7. Idea wymuszenia inemaycznego Pun zamocowania sprężyny wyonuje ruch oresowy opisany zależnością: gdzie: u Asin A - ampliuda przemieszczenia punu zamocowania sprężyny, - częsość drgań punu zamocowania. Zaem całowie odszałcenie sprężyny (ξ ), będzie różnicą przemieszczeń dolnego i górnego ońca. ξ u Asin Siła sprężysa induowana w sprężynie: S( ) Asin Widać że siła sprężysa może być rozdzielona na siłę zależną od przemieszczenia ciała i siłę zewnęrzną zależną od czasu. d) Wymuszenie impulsowe. W ym ypie wymuszenia może o być jeden róorwały impuls wyrącający uład drgający z położenia równowagi lub seria impulsów nasępujących po sobie. Srona 6

61 SIŁY W RUCHU DRGAJĄCYM Rysune 7. Przyłady wymuszeń impulsowych Srona 6

62 ROZDZIAŁ 7 Srona 6

63 ` 8 Króa lasyfiacja drgań

64 ROZDZIAŁ 8 Drgania lasyfiujemy w różny sposób. Przyoczmy lasyfiację zaproponowaną przez Z. Osińsiego. Według Z. Osińsiego możemy rozważać: a) drgania o jednym sopniu swobody, b) drgania o sończonej liczbie sopni swobody, c) drgania uładów o masach rozłożonych w sposób ciągły (niesończenie wiela liczba sopni swobody). Drgania mogą być: a) swobodne, gdy nie ma siły wymuszającej, wymuszenie jes poprzez waruni począowe (począowe przemieszczenie, począowa prędość, zadane uładowi drgającemu), b) wymuszone, gdy uład drgający poddany jes działaniu jednej z omawianych w poprzednim puncie sił wymuszających, c) samowzbudne, gdy uład nie jes poddany jawnemu działaniu siły zewnęrznej, ale isnieje doprowadzenie energii serowane przez sam uład drgający. Ułady na óre nie działają siły zewnęrzne nazywamy auonomicznymi, a e na óre działają siły zewnęrzne nieauonomicznymi. Drganiami paramerycznymi nazywamy drgania uładów w órych paramery aie ja masa lub szywność zależą od czasu (najczęściej w sposób oresowy). Ułady e są opisane równaniami różniczowymi o zmiennych współczynniach. Jeżeli drgania opisane są przez równania różniczowe liniowe, o mówimy o drganiach liniowych. Ich charaerysyi sprężyse i łumienia są liniami prosymi. Jeżeli charaerysyi sprężyse i łumienia są nieliniowe, uład drgający jes opisany równaniami różniczowymi nieliniowymi i mamy wedy do czynienia z drganiami nieliniowymi. Srona 6

65 KRÓTKA KLASYFIKACJA DRGAŃ Drgania nazywamy łumionymi, jeżeli w uładzie drgającym wysępuje rozproszenie energii, oraz niełumionymi gdy nie ma rozproszenia energii. Srona 65

66 ROZDZIAŁ 8 Srona 66

67 ` 9 Drgania swobodne liniowego uładu drgającego o jednym sopniu swobody (bez łumienia)

68 ROZDZIAŁ 9 Rozparzmy uład przedsawiony na rysunu 9.. Rysune 9. Rozparywany model uładu Uład wyonuje drgania pionowe. Dane: elemen sprężysy o szywności, ciało o masie m. Równanie ruchu uładu: m& & (9.) Jeżeli podzielimy obie srony równania przez masę, orzymamy: gdzie: & (9.) (9.) m Zależność (9.) nazywamy częsością drgań własnych. Rozwiązanie równania (9.) przewidujemy w posaci: C cos C sin (9.) Srona 68

69 DRGANIA SWOBODNE LINIOWEGO UKŁADU DRGAJĄCEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY (BEZ TŁUMIENIA) Sałe C i C wyznaczamy z warunów począowych albowiem w chwili, ( ), a prędość &( ) V. & C sim C cos (9.5) Sosując waruni począowe na przemieszczenie z równania (9.) orzymujemy: sąd: C cos C sin (9.6) C (9.7) Sosując warune począowy na prędość orzymujemy: Sąd: V C sin C cos (9.8) V C (9.9) Zaem osaecznie rozwiązanie z uwzględnieniem sałych C i C ma posać: V cos sin (9.) Formułę (9.) możemy zapisać w posaci: asin( ψ ) (9.) V asinψ ; a cosψ (9.) Wyrażenia (9.) podniesione do wadrau i dodane sronami dają: V a (9.) Srona 69

70 ROZDZIAŁ 9 g ψ (9.) V Ciało będzie wyonywać ruch harmoniczny o sałej ampliudzie i fazie, zależnej od warunów począowych i częsości zależnej od paramerów uładu. Przyład. Wsazówa przyrządu pomiarowego ma masę m i zamocowana jes ja na rysunu. Wsazówa wyonuje małe drgania woół punu na sali. Wyznaczyć częsość drgań własnych jeżeli szywności sprężyn podrzymujących ją mają szywność, a szywność sprężyny na sręcanie w puncie zamocowania wynosi. Długość wsazówi wynosi l. sr Rysune 9. Uład rozparywany w przyładzie Współrzędną oreślającą przemieszczenie ońca wsazówi jes ą ϕ. Energia ineyczna wsazówi (ruch obroowy woół punu A ): EK Iϕ& gdzie: I - momen bezwładności wsazówi. I ml Zaem osaecznie energia ineyczna wsazówi: E K ml 6 ϕ& Srona 7

71 DRGANIA SWOBODNE LINIOWEGO UKŁADU DRGAJĄCEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY (BEZ TŁUMIENIA) Energia poencjalna związana z wychyleniem będzie magazynowana w sprężynach, i. Przemieszczenie sprężyn o współczynniach szywności, dla małych wychyleń wynosi: sr Zaem energia poencjalna: lϕ E P l ϕ l ϕ srϕ l ϕ sr ϕ Wyliczając poszczególne człony równania Lagrange`a II rodzaju mamy: Osaeczne: d EK ml && ϕ d & ϕ E P l ϕ ϕ ml sr ϕ ϕ(l ϕ& & ϕ(l sr ) sr ) Po podzieleniu obu członów osaniego równania przez wyrażenie orzymamy: ml sąd: (l sr ) & ϕ ϕ ml (l ml sr ) Ponieważ mamy do czynienia z uładem auonomicznym idenyczny wyni orzymamy sosując meodę Newona uładania równań ruchu ja i energeyczną. Srona 7

72 ROZDZIAŁ 9 Przyład. Dla uładu ja na rysunu oreślić równania ruchu oraz częsość drgań ciężaru G. Dane: G - ciężar drgający, G - ciężar rąża, y - współrzędna oreślająca pun zamocowania sprężyny, d - średnica rąża, - szywność elemenu sprężysego wznawiającego drgania. Rysune 9. Rozparywany uład drgający Równania ruchu uładamy orzysając z równania Lagrange`a II rodzaju. Ciężar G porusza się ruchem posępowym, zaem jego energia ineyczna wyznaczona będzie zależnością: G g d E K mv & ; & V ϕ& E K 8 G g Wyonujący ruch obroowy rąże o ciężarze G posiada energię ineyczną: d ϕ& gdzie: Srona 7 I EK ; ϕ &

73 DRGANIA SWOBODNE LINIOWEGO UKŁADU DRGAJĄCEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY (BEZ TŁUMIENIA) Osaecznie: m r G I g d 8 E K 6 G g d ϕ& Zaem całowia energia ineyczna rozparywanego uładu: E G 8 g G 6 g d 6 g & ϕ & K EK E d d ϕ ( G K G ) & ϕ Energia poencjalna wynosi: zmagazynowana w sprężynie o szywności yϕ - przemieszczenie zamocowanego ońca sprężyny do ciała o ciężarze G. E P y ϕ Poszczególne współczynnii równania Lagrange`a II rodzaju są: Osaeczne: d d EK & ϕ d 8 g 8 d ( G g E P y ϕ ϕ ( G G )&& ϕ G )& ϕ y ϕ Po podzieleniu przez wyrażenie przy drugiej pochodnej orzymujemy: 8y g & ϕ ϕ d ( G G ) Srona 7

74 ROZDZIAŁ 9 sad: d 8y g ( G G ) Przyład. Krąże órego walce o średnicy d wyonują drgania woół najniższego punu oru będącego wyciniem oręgu o średnicy D. Wyznaczyć równanie ruchu rąża, przyjmując, że jego momen bezwładności wynosi I, a ciężar G. Rysune 9. Uład analizowany w przyładzie Współrzędną oreślającą położenie rąża będzie ą ϕ. Krąże będzie się poruszał ruchem obroowym woół osi w puncie A i jednocześnie będzie się przemieszczał po wycinu oręgu o średnicy D. Przemieszczenie liniowe punu A równe wynosi: D d ϕ a prędość: & D d ϕ& Prędość ąowa walca o średnicy d, wynosi: Srona 7

75 DRGANIA SWOBODNE LINIOWEGO UKŁADU DRGAJĄCEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY (BEZ TŁUMIENIA) Srona ϕ ϕ & & & d d D d d D d Całowia energia ineyczna rąża wynosi: ) ( ) ( ϕ ϕ & & d D g G d d D I mv I E K Energia poencjalna: ) cos )( ( )cos ( ) ( )cos ( ) ( ϕ ϕ ϕ d D G d D G d D G d D g g G d D g g G mgh mgh E K Współczynnii równania Lagrange`a II rodzaju: ) ( ) ( ) ( ) ( d D G d d D I d D g G d d D I E d d K ϕ ϕ ϕ ϕ && && && & ϕ ϕ ( d)sin D G E P )sin ( ) ( ) ( ϕ ϕ d D G d D G d d D I & & Po uproszczeniu oraz przyjęciu, że dla małych ąów ϕ, ϕ ϕ sin. ) )( ( ϕ ϕ Gd gi d D Ggd & & Częsość drgań własnych wynosi: ) )( ( Gd gi d D Ggd

76 ROZDZIAŁ 9 Przyład. Obliczyć ampliudę drgań swobodnych podłużnych ciężaru Q zawieszonego na ońcu nieważiego pręa pryzmaycznego o średnicy d. Przemieszczenie począowe, m, prędość począowa m V, 5 se, ciężar Q 5N, długość pręa l, 5 m, moduł N Young`a E. m Rysune 9.5 Uład analizowany w przyładzie Mając ciężar ciała możemy wyznaczyć masę m : Q m g Szywność pręa pryzmaycznego oreślona jes zależnością: EF l gdzie: F - pole przeroju poprzecznego. Dla pręa o przeroju orągłym F πd Srona 76

77 DRGANIA SWOBODNE LINIOWEGO UKŁADU DRGAJĄCEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY (BEZ TŁUMIENIA) Zaem osaecznie: Eπd l Częsość drgań własnych uładu auonomicznego o jednym sopniu swobody: m Eπd l g Q Zaem ampliuda a : V V lq a Eπd g Obliczenie wyniu pozosawiam czyelniowi. Przyład 5. Oreślić moduł Kirchoffa G maeriału meodą drgań sręnych na podsawie danych: długość pręa l m, średnica d, 5m, średnica rąża D, m, ciężar rąża Q 5N, zmierzona częsoliwość drgań swobodnych f Hz. cyli se Rysune 9.6 Badany uład Srona 77

78 ROZDZIAŁ 9 Równanie ruch drgań sręnych swobodnych: Dzieląc przez I orzymujemy: I & ϕ ϕ ϕ& & ϕ I πf f π π I Szywność wynosi (sręcanie) gdzie: GJ l J πd - momen bezwładności pręa. czyli: πd G l Momen bezwładności rąża o średnicy D : czyli: mr I Q g D 8 f π πd G 8g l QD Srona 78

79 DRGANIA SWOBODNE LINIOWEGO UKŁADU DRGAJĄCEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY (BEZ TŁUMIENIA) Podnosząc obusronnie do wadrau: sąd osaecznie: π f lqd d G8g G 6πf D lq gd Obliczenia pozosawiam czyelniowi. Srona 79

80 ROZDZIAŁ 9 Srona 8

81 ` Drgania swobodne uładu o jednym sopniu swobody łumione arciem wisoycznym

82 ROZDZIAŁ 5 Rozparzmy uład ja na rysunu. Rysune. Analizowany uład - szywność elemenu sprężysego, c - współczynni łumienia wisoycznego, - współrzędna oreślająca położenie ciała o masie m, g - przyspieszenie ziemsie. Równanie ruchu ma posać: m & c& (.) Po podzieleniu obusronni przez m uzysujemy: gdzie: & h& (.) c m h - zreduowany współczynni łumienia, Srona 8

83 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY TŁUMIONE TARCIEM WISKOTYCZNYM - częsość drgań własnych. m Rozwiązanie równania (.) Przewidujemy w posaci: h e ξ() (.) ξ () - nieznana funcja órej będziemy poszuiwać. Różniczując dwusronnie zależność (.) orzymujemy: h h & he ξ ( ) e & ξ ( ) (.) h h h h h e ξ ( ) & ξ ( ) e h he & & ξ ( ) e & ξ ( ) (.5) Podsawiając wyrażenia (.5), (.), (.) do równania (.) orzymujemy: h e h h h h h ξ ( ) & ξ ( ) e h he & ξ ( ) e && ξ ( ) h h h e ξ ( ) he & ξ ( ) e ξ ( ) (.6) Po podzieleniu równania (.6) przez h e orzymujemy: h ξ ( ) & ξ ( ) h && ξ ( ) h ξ( ) h & ξ( ) ξ ( ) (.7) Osaecznie po uproszczeniu mamy: Oznaczając: & ξ ( ) ( h ) ξ ( ) (.8) h ) (.9) ( p Orzymujemy: & ξ ( ) p ξ( ) (.) Jes o lasyczne równanie ja dla drgań swobodnych nie łumionych z h nową częsością p. Rozwiązaniem równania (.) będzie wyrażenie: Srona 8

84 ROZDZIAŁ 5 ξ ) C cos p C sin p (.) ( Zaem ogólne rozwiązanie równania (.) ma posać: h h ( ) ξ ( ) e e ( C cos p C sin p) (.) Sałe C i C wyznaczamy z warunów począowych. ; ( ) (.) Uwzględniając en warune w równaniu (.) orzymujemy: Sąd : ( C cos p C sin ) (.) p C Różniczując wyrażenie (.) orzymujemy: & ( ) he e h ( C h ( C cos p C cos p C sin p) sin p) (.5) Uwzględniając drugi warune począowy w formie: ; &( ) V (.6) Orzymujemy: V h C C sin p) ( C cos p p C sin p ) (.7) sąd: Osaecznie: ( p h C p (.8) V C V h p Pełne rozwiązanie równania (.) przyjmuje formę: Srona 8

85 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY TŁUMIONE TARCIEM WISKOTYCZNYM V h ( ) e ( cos p sin p) (.9) p h Z osaniej zależności jednoznacznie wynia że posacie drgań swobodnych łumionych zależą od charaeru łumienia. a) małe łumienie, wedy: Przyjmując: h < oraz p h < (.) V h asinϕ ; a cosϕ p (.) Orzymujemy: h h ( ) e a(cos p sinϕ sin p cosϕ) ae sin( p ϕ) (.) gdzie: a ( V h ) (.) g p p h V ϕ (.) Rysune. Przebieg rozwiązania równania (.) Srona 85

86 ROZDZIAŁ 5 Z ogólnego rozwiązania wynia że dla, ( ), o znaczy, że drgania wygasają całowicie po niesończenie długim czasie. Wielość: T h π p π h (.5) nazywamy oresem drgań łumionych. Ores drgań nie łumionych: π T (.6) Sosune: h <, zaem T h > T ( ) e ( T ) h ht h (.7) Srona 86 Jes niezależny od czasu i jes równy sosunowi olejnych masymalnych wychyleń w czasie jednego oresu drgań. Wielość: ( ) δ ln hth (.8) ( T ) nazywamy logarymicznym deremenem łumienia i jes miarą łumienia w uładzie. b) łumienie ryyczne: h h r ; p wedy współczynni łumienia cr ma posać: c h h m m m (.9) r r W ym przypadu posać ruchu swobodnego:

87 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY TŁUMIONE TARCIEM WISKOTYCZNYM ( ) e lim e p e h ( h h ( ( ( V V cos p cos p ( V h ) ) h p sin p) sin p h ) ) p (.) Jes o ruch niedrgający zaniający z czasem. Tłumienie ryyczne wyznacza granicę pomiędzy drganiami harmonicznymi a ruchem niedrgającym. c) duże łumienie: p, jes zaem warością urojoną. h > ; p h < Rozwiązanie uzysamy sosując podsawienie: Ta więc: p i h ip (.) cos i cosh ; sin i sinh (.) h V h ( ) e ( cosh p sinh p) (.) p Jes o eż ruch aperiodyczny co ilusruje rysune.. Rysune. Ilusracja ruchu, dla h > Srona 87

88 ROZDZIAŁ 5 Przyład. Wyznaczyć częsość i ores drgań uładu mechanicznego przedsawionego na rysunu.. Dane są wielości a i l wyznaczające zamocowania łumia i elemenu sprężysego oraz masa pręa m. Masa supiona ciała M m. Znany jes współczynni szywności sprężyny i wiadomo że siła arcia jes proporcjonalna do pierwszej poęgi prędości (arcie wisoyczne), R α &, α - współczynni proporcjonalności. gdzie: Srona 88 Rysune. Ilusracja do przyładu Równanie ruchu ma posać: I & ϕ αa & ϕ l ϕ gdzie: ml ml I Ml ml Po podzieleniu równania ruchu przez I orzymujemy: h & ϕ h & ϕ ϕ αa ml αa ml czyli h ml

89 Częsość drgań własnych : DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY TŁUMIONE TARCIEM WISKOTYCZNYM m Znając częsość drgań własnych oraz współczynni łumienia można wyznaczyć częsość drgań łumionych oraz ores drgań: h p ; T h π p π h Aby wysąpił ruch aperiodyczny (nieoresowy) musi być spełniona zależność: czyli: h αa ml m Ta więc: Przyład. α l a m Ciężar Q zawieszony na sprężynie o szywności i zanurzony w ieczy sawiającej opór wisoyczny wyonuje drgania pionowe. Doświadczalnie zmierzono iż ampliuda ych drgań po czerech wahnięciach zmalała -ronie. Obliczyć ores drgań łumionych i wyznaczyć logarymiczny deremen łumienia. Dane: uład przedsawia rysune.5. Q 5N, N. Analizowany m Srona 89

90 ROZDZIAŁ 5 Rysune.5 Uład ilusrujący przyład Ampliudowe wymuszenie w n ym oresie możemy przedsawić zależnością: A po czerech oresach: a n ae a n ae gdzie: T h - ores drgań łumionych. Uwórzmy sosune: h( nth ) h( ( n ) T h ) a n ht h a n e Logarymując obusronnie orzymujemy: ht h a ln a n n a ln a n n czyli : ht δ Podsawiając dane orzymujemy: h ln a a n n Srona 9

91 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY TŁUMIONE TARCIEM WISKOTYCZNYM ht h δ ln.6 Z osaniej zależności możemy wyznaczyć współczynni łumienia h : δ.6 h T T s h Podsawiając do wzoru na ores drgań łumionych w formie: orzymujemy: π T h h h T h π.6 gdzie: g m Q 5 s Po podsawieniu do zależności na ores drgań łumionych orzymujemy: T h π [ s] Srona 9

92 ROZDZIAŁ 5 Srona 9

93 ` Drgania wymuszane uładu o jednym sopniu swobody bez łumienia

94 ROZDZIAŁ Rozparywany uład drgający przedsawiono na rysunu.. Uład wyonuje drgania pionowe. Do ciała o masie m zawieszonego na elemencie sprężysym o szywności przyłożona jes siła zależna od czasu P( ) Acos, gdzie A - ampliuda siły, - częsość siły wymuszającej. Rysune. Analizowany uład Równanie ruchu uładu: m& Acos (.) Po podzieleniu przez m orzymujemy: & & q cos (.) gdzie: - częsość drgań własnych, m Srona 9

95 DRGANIA WYMUSZANE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY BEZ TŁUMIENIA q A m Równanie (.) jes niejednorodnym równaniem różniczowym. Jego rozwiązanie jes superpozycją rozwiązania ogólnego równania jednorodnego O oraz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego S, czyli: Rozwiązanie ogólne ma posać: O S (.) O C cos C sin (.) Rozwiązania szczególnego poszuujemy w posaci: S H cos (.5) gdzie: H - należy wyznaczyć. Podsawiając wyrażenie (.5) do równania (.) orzymujemy: & S && S H sin H cos (.6) Po uproszczeniu: H cos H cos q cos (.7) [ H( ) q]cos (.8) Aby równanie (.8) było spełnione dla wszysich warości : czyli: H ( ) q (.9) q H (.) Ta więc poszuiwane rozwiązanie szczególne ma posać: Srona 95

96 ROZDZIAŁ S q cos (.) Zaem całowie rozwiązanie według (.) wygląda: q C cos C sin cos (.) Widać że ruch ciała o masie m jes sumą dwóch ruchów harmonicznych. Drgań swobodnych niełumionych i drgań wymuszonych o częsości. Ampliuda drgań wymuszonych H opisana jes zależnością: l s q H (.) A A q l m s (.) m gdzie l s jes o przemieszczenie sayczne badanego ciała o masie m, pod wpływem siły o ampliudzie siły wymuszającej działającej w sposób sayczny. Wprowadźmy pojęcie współczynnia uwieloronienia ampliudy µ. Jes o sosune ampliudy drgań H do saycznego przemieszczenia l s jaie wywołała by saycznie przyłożona do uładu siła, równa ampliudzie siły wymuszającej, czyli: µ H l s (.5) Przebiegi współczynnia uwieloronienia ampliudy µ w funcji sosunu częsości siły wymuszającej do częsoliwości drgań własnych obrazuje rysune.. Srona 96

97 DRGANIA WYMUSZANE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY BEZ TŁUMIENIA Rysune. Przebieg współczynnia uwieloronienia µ w funcji sosunu Widać, że dla częsości siły wymuszającej, µ, dla sosunu, µ dąży do niesończoności, wysępuje zjawiso zw. rezonansu. Gdy dąży do niesończoności µ dąży do zera. Zajmijmy się przypadiem, gdy, czyli przypadiem rezonansu. Rozwiązanie szczególne równania ruchu (.) ma wedy formę: S Różniczując dwuronie orzymujemy: H sin (.6) & S H sin H cos (.7) Po podsawieniu do równania (.) orzymujemy: Po uproszczeniu: H cos q cos (.8) Srona 97

98 ROZDZIAŁ H cos q cos (.9) ( H q) cos (.) H q (.) czyli: q H (.) Zaem osaecznie: q sin (.) S Drgania wymuszone dla omawianego przypadu nie są harmoniczne, można je raować jao drgania oresowe o narasającej ampliudzie proporcjonalnie do czasu. Rysune. Przebieg drgań wymuszonych w przypadu Sałe C i C wysępujące w równaniu (.) należy wyznaczyć z warunów począowych w formie; dla ; ( ) i dla ; & ( ). Wyznaczenie sałych pozosawiam czyelniowi. Srona 98

99 DRGANIA WYMUSZANE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY BEZ TŁUMIENIA Przyład. Ciało o ciężarze Q, zawieszone na nieważim pręcie pryzmaycznym, wyonuje drgania podłużne wymuszone siłą sinusoidalnie zmienną w czasie. Dane Q 5N, wydłużenie sayczne pręa pod wpływem ej siły l s. 5m, P( ) P sin, P N, liczba cyli siły wymuszającej f 5Hz. Obliczyć: a) współczynni uwieloronienia ampliudy µ, b) całowie przemieszczenie ciężaru Q po upływie czasu s od chwili począowej ruchu. Waruni począowe: dla ; ( ) i dla ; & ( ). Rysune. Analizowany uład drgający Częsość drgań własnych wynosi: m Q m g Wydłużenie sayczne oreślone jes zależnością : Q l s sąd Q l s Srona 99

100 ROZDZIAŁ Podsawiając obliczoną szywność i masę do wzoru na częsość drgań własnych orzymujemy: g l s Częsość ąowa siły wymuszającej: 9.8 s πf π 5 π. s Współczynni uwieloronienia ampliudy µ : µ Pod wpływem Q, ciężar przemieszcza się o l s, a pod wpływem P o δ, czyli: Sąd: Q l s P δ P δ Q Po podsawieniu danych liczbowych: l s δ.5.5m 5 Zaem ampliuda drgań H wynosi: H µδ m Srona

101 DRGANIA WYMUSZANE UKŁADU O JEDNYM STOPNIU SWOBODY BEZ TŁUMIENIA Chcąc obliczyć przemieszczenie w danej chwili musimy w rozwiązaniu równania ruchu (.) wyznaczyć sałe C i C. Po zasosowaniu przyjęych warunów począowych: C H ; C Wobec ego równanie (.) przyjmuje posać: Sąd: Ponieważ: Więc dla H cos H cos H cos cos π ; π ;. 59 s s se, orzymamy: ( s) H (cosπ.59cos6.π ).(.59 cos.π ).m Srona

102 ROZDZIAŁ Srona

103 ` Drgania wymuszone liniowego uładu drgającego o jednym sopniu swobody z łumieniem wisoycznym

104 ROZDZIAŁ Analizowany uład drgający przedsawia rysune.. Rysune. Analizowany uład drgający - szywność elemenu sprężysego, c - współczynni łumienia wisoycznego, - przemieszczenie, m - masa ciała, g - przyspieszenie ziemsie, P( ) Asin - siła wymuszająca o ampliudzie A i częsości. Równanie ruchu uładu: m& c& Asin (.) Po podzieleniu przez m orzymujemy: gdzie: & & h& qsin (.) c h ; m A q ; m m Srona

105 DRGANIA WYMUSZANE LINIOWEGO UKŁADU DRGAJĄCEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY Z TŁUMIENIEM WISKOTYCZNYM Podobnie ja w rozdziale rozwiązanie równania (.) jes superpozycją dwóch rozwiązań równań, ogólnego i szczególnego. Rozwiązanie ogólne: O S (.) h e ( C cos p C sin p) (.) O Rozwiązanie szczególne przyjmujemy w formie: S C sin C cos (.5) Poszczególne pochodne mają posać: & S C cos C sin (.6) & C sin C cos (.7) S Podsawiając zależności (.5), (.6), (.7) do równania (.) orzymujemy: C sin C cos hc C sin C cos q sin cos hc sin (.8) Zgrupujmy wyrażenia z cos i sin. ( C ( ) hc q)sin (.9) ( C h ( ) C )cos (.) Wyrażenia powyższe będą się zerować dla ażdego, gdy elemeny w nawiasach będą równe zeru, czyli: C ( C ) hc q (.) Z równania (.) wyznaczamy wielość C. h ( ) C (.) Srona 5