Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Transkrypt

1 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, /15

2 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora pochodnej jest operator różnicowy, zdefiniowany dla dowolnej funkcji rzeczywistej f jako Operator ten będziemy jednak rozważać tylko dla funkcji określonych na zbiorze liczb naturalnych (czyli dla ciągów). Rozważając funkcję liczb naturalnych nie mamy możliwości badać granicy występującej w definicji pochodnej; w zamian za to rozważamy stosowny iloraz przy najmniejszej możliwej wartości przyrostu x, czyli wartości 1.

3 Przykłady działania operatora różnicowego Dla funkcji mamy Niech f(x) = (x!) 2 dla x N (Δf)(x) = Δ(x!) 2 = [(x+1)!] 2 (x!) 2 = (x!) 2 ((x+1) 2 1)) = (x!) 2 (x 2 +2x) Niech f(x) = a x dla x N Δa x = a x+1 a x = a x (a 1) Niech f(x) = x 3 dla x N Δ x 3 = (x+1) 3 x 3 = 3x 2 + 3x + 1

4 Operator nazywamy n tą iteracją operatora różnicowego, gdzie Przykład Dla funkcji mamy:, (Δ 2 f)(x) = (Δf)(x+1) (Δf)(x) = (x+2) 2 (x+1) 2 = 2x+3, (Δ 3 f)(x) = (Δ 2 f)(x+1) (Δ 2 f)(x) = 2(x+1)+3 2x 3 = 2,.

5 Przykład obliczania wartości różnic dla funkcji dla dwóch wartości dziedziny (dla 0 i dla 1) i dla czterech iteracji:

6 Twierdzenie Operator różnicowy jest operatorem liniowym, tzn.: Przykład Weźmy wcześniej rozważaną funkcję. (Δf)(x) = Δ(x 2 4x + 1) = Δ(x 2 ) 4Δ(x) + Δ(10) = = (x+1) 2 x = 2x = 2x 3

7 Różniczkowanie jednomianów, czyli wielomianów typu, jest bardzo proste: dla dowolnego. Własność ta nie przenosi się jednak na operator :

8 Dla operatora różnicowego odpowiednikiem wielomianu jest m ta dolna silnia x (m ta potęga ubywająca, m ta potęga krocząca), czyli wielomian zmiennej x, zdefiniowany jako oraz m ta górna silnia x (m ta potęga przybywająca), czyli wielomian zmiennej x, zdefiniowany jako dla dla Dodatkowo przyjmujemy, że. Zauważmy, że w odróżnieniu od zwykłego potęgowania mamy tu

9 Twierdzenie Dla zachodzi Policzmy: Dla m=0 mamy Δ(x 0 ) = (x+1) 0 x 0 = 1 1 = 0 = 0 x 1. Dla m<0 wyprowadzimy ten wzór później. Wniosek Δ ( a m x m ) = a m Δ x m = a m m x m 1 m=1 k m=1 k m=1 k

10 Przykłady Δ2 x = 2 x+1 2 x = 2 x (2 1) = 2 x f(x)=h x (funkcja harmoniczna) ΔH x = H x+1 H x = ( 1 / k ) ( 1 / k ) = 1 / (x+1) =... k=1..x+1 x 2 = x(x 1) x 1 = x x 0 = 1 x 1 = 1 / (x+1) x 2 = 1 / (x+1) (x+2) k=1..x x m = 1 / (x+1) (x+2) (x+m) = x 1.

11 Twierdzenie o przekształceniu wielomianu Dowolny wielomian k tego stopnia p(x) można jednoznacznie przedstawić w postaci, gdzie,, i ogólnie Twierdzenie to jest analogią Twierdzenia Taylora dla wielomianów. Dowód pomijamy w tym wykładzie. Korzysta on z faktu, iż ciąg dolnych silni jest bazą przestrzeni liniowej wielomianów. Wykorzystując powyższe twierdzenie możemy szybko różnicować dowolny wielomian p(x) licząc jedynie kolejne różnice.

12 To z kolei dla wielomianu stopnia k sprowadza się do policzenia wartości początkowych. Przykład Aby policzyć najpierw wyrażamy nasz wielomian jako kombinacje dolnych silni. Do tego potrzebujemy współczynników: Teraz korzystamy z twierdzenia o przekształceniu wielomianu:

13 by dostać

14 Twierdzenie o różnicowaniu iloczynu ciągów Δ(f g) = f Δg + g Δf gdzie g(x)=g(x+1) zwana operatorem przesunięcia Z uwagi na przemienność mnożenia jest również: Δ(f g) = g Δf + f Δg. Przykład Δ (3 x (x 2 +1)) = (x 2 +1) Δ3 x + 3 x+1 Δ(x 2 +1) = = (x 2 +1) (3 x+1 3 x ) + 3 x+1 ((x+1) 2 +1 (x 2 +1)) = = (x(x 1)+1) 3 x (3 1) x ((x+1)x+1 (x(x 1)+1)) = = 2(x 2 x+1) 3 x x (x 2 +x+1 (x 2 x+1)) = = 3 x 2 (x 2 x+1) + 3 x 3 (2x) = = 3 x (2x 2 +4x+2)

15 Zadanie Jak to jest możliwe, że Δ(f g) = f Δg + g Δf, Δ(g f) = g Δf + f Δg oraz Δ(f g) = Δ(g f). Sprawdźmy: f Δg + g Δf = g Δf + f Δg f Δg + g(x+1) Δf = g Δf + f(x+1) Δg (g(x+1) g(x)) Δf = (f(x+1) f(x)) Δg Δg Δf = Δf Δg L=P

16 Sumy nieoznaczone i oznaczone W rachunku różniczkowym operatorem odwrotnym do pochodnej jest całka: wtedy i tylko wtedy, gdy W rachunku różnicowym operatorem takim jest suma nieoznaczona: wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie C jest stałą rachunku różnicowego, czyli funkcją taką, że C(x+1)=C(x). W dziedzinie rzeczywistej jest to funkcja okresowa, a w dziedzinie całkowitej jest to funkcja stała.

17 Zauważmy, że wychodząc od funkcji i definiując poprzez mamy. Moglibyśmy więc zdefiniować sumę nieoznaczoną jako. Ponieważ dla dowolnej stałej, to podobnie jak w przypadku całki nieoznaczonej suma nieoznaczona zdefiniowana jest tylko z dokładnością do stałej addytywnej. Tak więc jest klasą funkcji których różnica równa jest.

18 Następujące własności sumy nieoznaczonej wynikają wprost z własności operatora różnicy : Dla funkcji oraz zachodzi:,, dla.,

19 Suma oznaczona funkcji o parametrach to dla funkcji z klasy, tzn. takiej, że, czyli. Zauważmy, ze definicja ta jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru funkcji, jako że stała, o którą dwie takie funkcje się różnią, zniesie się przy odejmowaniu. Nie będzie to bardzo zaskakujące po udowodnieniu poniższych własności sumy oznaczonej, które są analogiami własności całki oznaczonej.

20 Dla dowolnych całkowitych a, b, c zachodzi:,,,,, o ile tylko.

21 Rachunek różnicowy w liczeniu sum skończonych Wracamy teraz do rozważań o sumach skończonych. Zobaczymy, jak rachunek różnicowy może być pomocny w ich obliczaniu. Widzieliśmy już, że suma to dokładnie, gdzie jest sumą nieoznaczoną funkcji, tzn.. Wystarczy więc wyliczyć sumę nieoznaczoną. A proces ten jest bardzo podobny jak liczenie całek nieoznaczonych. W kolejnych przykładach zobaczymy, jak to można zrobić w praktyce.

22 Przykład Dla policzenia sumy dolnych silni odnotujmy najpierw, że skoro, to. Teraz już oczywiście. Podobnie przy liczeniu, gdzie, wykorzystujemy fakt, iż i dostajemy.

23 Przykład Dla policzenia sumy sześcianów potrzebujemy najpierw znaleźć sumę nieoznaczoną. W tym celu wykorzystujemy najpierw twierdzenie o przekształcaniu wielomianów do przedstawienia wielomianu jako kombinacji liniowej dolnych silni, dla których znamy już sumy nieoznaczone. Liczymy więc współczynniki typu : skąd a zatem

24 Uwalniając się teraz od dolnych silni dostajemy, że to ostatnie wyrażenie wynosi

25 Rozszerzymy teraz pojęcie dolnej silni na ujemne wykładniki kładąc : Prawa dla dolnej silni, które odnotowaliśmy dla wykładników naturalnych są zachowane. W szczególności mamy dla dowolnych :,, Δ x m = (x+1) m x m = = 1 / [(x+2) (x+3) (x+1 m)] 1 / [(x+1) (x+2) (x m)] = = (x+1 x 1+m) / [(x+1) (x+2) (x m+1)] = m x m 1 dla

26 , dla. Zajmiemy się teraz przypadkiem, którego nie potrafimy jeszcze sumować, tzn. wyrażeniem. Oczywiście to. Widzieliśmy, że suma postaci to sza liczba harmoniczna oraz zachowuje się podobnie do logarytmu: Z rachunku całkowego wiemy natomiast, że. Następna obserwacja pokazuje, że podobieństwo to nie jest przypadkowe.

27 oraz. Mamy skąd natychmiast.

28 Z kolei dyskretnym odpowiednikiem funkcji wykładniczej zmienia się przy różniczkowaniu, jest funkcja :, która nie Dla liczby rzeczywistej mamy oraz. W szczególności oraz. Istotnie,, skąd (jeśli tylko ) dostajemy natychmiast.

29 Przykład Używając rachunku różnicowego policzymy teraz sumę skończonego ciągu geometrycznego z ilorazem.

30 Sumowanie przez części Poprzez analogię do rachunku różnicowego zastosujmy operator różnicowy do iloczynu funkcji Dostajemy stąd natychmiast następującą regułę sumowania przez części.

31 Przykład Dla policzenia sumy, wyznaczamy najpierw (przez części) sumę nieoznaczoną. Jest to łatwe, jako że, więc Teraz mamy już