W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

Transkrypt

1 dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2. W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: i lub jeżeli to wtedy i tylko wtedy gdy ogólny (dla każdego) Symbole kwantyfikatorów: np. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny. 1

2 2 0 R szczególny ( istnieje ) np. Nierówność 2-9>0 ma rozwiązanie. R Funkcje jednej zmiennej. Podstawowe definicje. Def.1 Funkcją rzeczywistą określoną na zbiorze XR o wartościach ze zbioru YR nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu yy. Oznaczenie: f: XY, y=f(), 2

3 Def.2. Dziedziną funkcji f:xy nazywamy zbiór X i oznaczamy D f. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną. Z kolei zbiór nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy W f. Def.3. Wykresem funkcji f, f: XY nazywamy zbiór. Wybrane własności funkcji Def.4. Funkcja f: XR jest okresowa jeżeli istnieje taka wartość T0, że (+T)X oraz f()=f(+t). Inaczej T 0 X T X f ( T) f ( ) Def.5. Funkcja f: XR jest parzysta jeżeli X f ( ) f ( ). X Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy. Funkcja f: XR jest nieparzysta jeżeli 3

4 X f ( ) f ( ). X Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu (0,0). Def.6. Funkcja f jest rosnąca na zbiorze AD f, jeżeli 1 2 f ( 1 ) f ( 2). 1, 2 A Def.7 Funkcja f jest malejąca na zbiorze AD f, jeżeli 1 2 f ( 1 ) f ( 2). 1, 2 A Def.8. Niech X, Y, Z, W będą podzbiorami zbioru R przy czym YZ oraz niech f: XY, g: ZW. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g f: XW określoną wzorem:. Def.9. Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze AD f jeżeli 1 2 f ( 1) f ( 2). 1, 2 A 4

5 Uwaga: Jeżeli funkcja jest rosnąca lub malejąca na zbiorze A to jest na nim różnowartościowa. Def.10. Niech funkcja f: XY będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcję odwrotną do f nazywamy funkcję f -1 :YX określoną przez warunek: Wykres funkcji odwrotnej =f -1 (y) otrzymujemy z wykresu funkcji y=f() odwzorowując go symetrycznie względem prostej y=. Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej także jest rosnąca. Funkcja odwrotna do funkcji malejącej także jest malejąca. Def.11. Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne. Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji nazywamy funkcjami elementarnymi. Przegląd funkcji elementarnych. Funkcja stała wykresem jest prosta równoległa do osi O 5

6 Funkcja liniowa a-współczynnik kierunkowy a>0 funkcja rosnąca a<0 funkcja malejąca Funkcja kwadratowa Wyróżnik: brak miejsc zerowych Postać iloczynowa: Postać kanoniczna:, Wykresem jest parabola, -to wierzchołek paraboli Wielomian W() 6

7 n- stopień wielomianu, miejsca zerowe W()=0 Równanie algebraiczne: W()=0 tzn. Tw.( Bézouta). Liczba a jest pierwiastkiem równania jeżeli wielomian W() jest podzielny przez dwumian (-a). Tw. Jeżeli liczba wymierna (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych (przy czym a n a 0 0) to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a 0, a q jest dzielnikiem współczynnika a n. Wniosek: Pierwiastków całkowitych równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych wystarczy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego a 0. 7

8 Schemat Hornera: a n n +a n-1 n a 1 +a 0 = (- 0 )( b n-1 n-1 +b n-2 n b 1 +b 0 ) gdzie współczynniki b i wyznaczamy w tabeli: a n a n-1 a n-2... a 1 a 0 0 b n-1 =a n b n-2 = 0 b n-1 +a n-1 b n-3 = 0 b n-2 +a n-2 b 0 = 0 b 1+ a 1 0 b 0 +a 0 =0 Uwaga: Jeśli w ostatniej kolumnie wartość jest różna od 0 to 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu Funkcja wymierna, to wielomiany o różnych miejscach zerowych Ułamki proste: I rodzaju II rodzaju, dla trójmianu w mianowniku 8

9 Funkcja potęgowa. Dziedzina i własności zależą od wykładnika: Funkcja pierwiastkowa Dziedzina zależy od parzystości stopnia n. Jeśli n jest parzyste to Jeśli n jest nieparzyste to 9