IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I

Transkrypt

1 IMIĘ NAZWISKO grupa C... sala Egzamin ELiTM I (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć: b>0 X a,b a>0 b>0 X a,b a>0 X a,b b 0 a>0 X a,b 2. (8 pkt.) Niech R R := {f : R R}. Udowodnić, że relacja zdefiniowana następująco: dla f, g R R, f g f = g (x 0 (0, 1)) (x (0, 1)) (x x 0 f(x) < g(x)) jest relacją częściowego porządku. Niech X = {f R R f(x) = x 1 n, n N \ {0}}. Określić zbiór X dolnych ograniczeń zbioru X. Podać, jeśli istnieje, infx. Jeśli nie istnieje, uzasadnić dlaczego.

2 3. (8 pkt.) Niech R := R \ {0}. Dana jest funkcja f : R R R R, f(a, b) := ( a, b a2 b 2 ). Czy funkcja f jest "na"? Odp. uzasadnić. Naszkicować zbiór f[a], dla A = {(a, 1) a R}. Znaleźć zbiór f 1 [{(1, 0)}]. 4. (8 pkt.) Niech Q[x] = {a 0 + a 1 x a n x n a i Q, n N} będzie zbiorem wielomianów jednej zmiennej o wymiernych współczynnikach. Dla f, g Q[x] definiujemy relację następująco: f g p Q[x] f(x) g(x) = x 2 p(x). Pokazać, że jest relacją równoważności. Znaleźć klasę abstrakcji wielomianu f(x) = x. Jakiej mocy jest ta klasa? Odp. uzasadnić.

3 IMIĘ NAZWISKO grupa C... sala (8 pkt.) Przy pomocy wyłącznie symboli logicznych, kwantyfikatorów (tylko nieograniczonych), zmiennych przebiegających zbiór a) liczb rzeczywistych b) liczb naturalnych oraz znaków podanych w nawiasach zapisać wyrażenie: a) Istnieje funkcja liniowa, która w każdym przedziale domkniętym przyjmuje wartości mniejsze lub równe a. (, +,, a) b) Nie każda liczba naturalna nieparzysta jest podzielna przez 3. (, +, =, 1) 6. (6 pkt.) Niech f : A B będzie funkcją i niech Y B. Podać definicję zbioru f 1 [Y ]. Niech {B i : i I} będzie dowolną rodziną podzbiorów zbioru B. Wyjaśnić (z uzasadnieniem), jaka zależność zachodzi między zbiorami: f 1 [ i I B i] oraz i I f 1 [B i ].

4 7. (7 pkt.) Opisać konstrukcję zbioru liczb całkowitych. Podać definicje dodawania i odejmowania w zbiorze liczb całkowitych. Podać dowód poprawności definicji dodawania. 8. (7 pkt.) Sformułować i udowodnić Twierdzenie Cantora o zbiorze potęgowym. Czy (i dlaczego) istnieją zbiory nieprzeliczalne o mocy innej niż continuum?

5 IMIĘ NAZWISKO grupa C... sala Egzamin ELiTM I (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x a) 2 + (y 1 a )2 b 2 } dla a, b R, a 0, b > 0. Wyznaczyć: a>0 X a,b b>0 a>0 X a,b b>0 X a,b a 0 b>0 X a,b 2. (8 pkt.) Niech R R := {f : R R}. Udowodnić, że relacja zdefiniowana następująco: dla f, g R R, f g f = g (x 0 (0, 1)) (x (0, 1)) (x 0 x f(x) < g(x)) jest relacją częściowego porządku. Niech X = {f R R f(x) = x n, n N}. Określić zbiór X górnych ograniczeń zbioru X. Podać, jeśli istnieje, supx. Jeśli nie istnieje, uzasadnić dlaczego.

6 3. (8 pkt.) Niech R + := {x R x > 0}. Dana jest funkcja f : R R R R, f(x, y) := (xy, x + y 1 ). Czy funkcja f jest "1-1"? Odp. uzasadnić. Naszkicować zbiór f[a], dla A = {(1, y) y R}. Znaleźć zbiór f 1 [{(x, 1) x R + }]. 4. (8 pkt.) Niech R[x] = {a 0 + a 1 x a n x n a i R, n N} będzie zbiorem wielomianów jednej zmiennej o rzeczywistych współczynnikach. Dla f, g R[x] definiujemy relację następująco: f g p R[x] f(x) g(x) = xp(x). Pokazać, że jest relacją równoważności. Znaleźć klasę abstrakcji wielomianu f(x) = 1. Jakiej mocy jest zbiór ilorazowy R[x]/? Odp. uzasadnić.

7 IMIĘ NAZWISKO grupa C... sala (8 pkt.) Przy pomocy wyłącznie symboli logicznych, kwantyfikatorów (tylko nieograniczonych), zmiennych przebiegających zbiór a) liczb naturalnych b) liczb rzeczywistych oraz znaków podanych w nawiasach zapisać wyrażenie: a) Istnieje liczba naturalna większa od b, której kwadrat jest liczbą parzystą. (, +, =,, b) b) Dowolna funkcja stała jest ograniczona z dołu w pewnym przedziale otwartym. (,, +, =) 6. (6 pkt.) Niech R X X będzie relacją równoważności. Podać definicję klasy abstrakcji relacji R. Podać i udowodnić co najmniej trzy własności klas abstrakcji relacji równoważności.

8 7. (7 pkt.) Skonstruować zbiór liczb naturalnych. Podać definicje dodawania i mnożenia w zbiorze liczb naturalnych. Udowodnić, na podstawie definicji łączność dodawania liczb naturalnych. 8. (7 pkt.) Sformułować i udowodnić twierdzenie o liczności podzbiorów zbioru przeliczalnego. Czy (i dlaczego) nieskończony zbiór co najwyżej przeliczalny jest przeliczalny?