WPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ
|
|
- Damian Głowacki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ. Elementy logiki i teoria zbiorów Zad... Rozpatrzmy wartościowanie w takie, że w(p) = i w(q) = 0. Oblicz: a) w( (p p)), b) w( ( p p)), c) w( (q q)), d) w( p q), e) w( p (p q)), f) w( (p q) ( q p)), g) w(( p (q q)) p), h) w((p (p q)) q). Zad... Oblicz wartość logiczną, jaką wyrażenie ((p q) r) ( r (p q)) przyjmuje przy wartościowaniu w takim, że: a) w(p) = w(q) = w(r) = 0, b) w(p) = w(q) = w(r) =, c) w(p) = 0 i w(q) = w(r) =, d) w(p) = i w(q) = w(r) = 0. Zad..3. Czy poniższe wyrażenia są tautologiami (prawami KRZ)? a) ((p q) q) p b) ((p q) p) q c) ((p q) q) p d) ((p q) p) q e) ((p q) p) q f) (p q) ((p r) q) Zad..4. Udowodnij prawdziwość poniższych praw KRZ. a) ( p) p (prawo podwójnego przeczenia) b) p p (prawo wyłączonego środka) c) (p p) (prawo niesprzeczności) d) (p q) ( p q) (prawo de Morgana negacji koniunkcji) e) (p q) ( p q) (prawo de Morgana negacji alternatywy)
2 f) (p q) ( p q) (prawo transpozycji) g) (p (p q)) q (prawo oderywania) h) ( p (q q)) p (prawo dowodu nie wprost) Zad..5. Za pomocą negacji i koniunkcji zdefiniuj (zapisz wyrażenia logicznie równoważne): alternatywę, implikację i równoważność. Zad..6. Zbiory A, B, C oraz D definiujemy następująco: A = {x R : x 6}, B = {x R : x 5 < }, C = {x R : x 3 > x 7 x 9 }, D = {x R : x < 0}. Zaznacz na osi liczbowej te zbiory oraz zbiory A B, A D, A C, B C, C \ B, A D, A A B C, [(A D) B] \ C, (D \ B) C. Zad..7. Znajdź następujące zbiory: {[, 3]} {,, 3}, {, 3} [, 3], {[, 3]} [, 3], [, 3] {,, 3}, [, 3] (0, ), { }, { }. Zad..8. Zbiory A, B, C oraz D definiujemy następująco: A = {(x, y) R : x + y 4}, B = {(x, y) R : x + y }, C = {(x, y) R : x + y }, D = {(x, y) R : x y }. Zaznacz na osi liczbowej te zbiory oraz zbiory A B, A C, C D, B \ C, B D, A \ D, (A C) \ D, B (C \ D). Zad..9. Zbiory A, B, C oraz D definiujemy następująco A = [, ], B = {, 3}, C = (4, 5), D = (5, 6]. Zaznacz na płaszczyźnie zbiory A A, A B, A C, A D, B A, C A, D A, B C, B D, C D, D C, D D. Zad..0. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące równości: a) (A B) C = (A C) (B C) b) (A B) C = (A C) (B C) c) A = A (A B) d) A = A (A B) e) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) f) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) g) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C). Zad... Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące równości: a) A (B C) = (A B) (A C)
3 b) A (B C) = (A B) (A C) Zad... Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C, D zachodzą następujące implikacje i równoważności: a) A B A = A B b) A B B = A B c) A B B = A (B \ A) d) A B C \ B C \ A e) (A B) (C D) A C B D f) (A B) (C D) A \ D B \ C Zad..3. (*) Jakie inkluzje między zbiorami A, B i C muszą zachodzić, aby prawdziwe były następujące równości: a) (A B) (C B) = B b) (A B) \ C = (A \ C) B c) [(A B) C] \ A = (A B) \ C? Zad..4. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, A, B, B zachodzi inkluzja (A B ) (A B ) (A A ) (B B ). Podaj przykład zbiorów A, A, B i B wskazujący, że inkluzja przeciwna nie musi zachodzić. Zad..5. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów skończonych A, B i C zachodzą następujące równości ( A oznacza liczbę elementów zbioru A): a) A B = A + B A B b) A B C = A + B + C A B A C B C + A B C Zad..6. (*) W klasie 5 osób miało piątkę z matematyki, historii lub wychowania fizycznego. Z matematyki były 4 piątki, z historii było 7 piatek, a z wychowania fizycznego. Uczniów, którzy mieli piątkę zarówno z matematyki jak i z w.f.-u było trzech, a takich, którzy mieli piątkę z historii i z w.f.- u było czterech. Ile osób miało piątkę z matematyki i z historii, jeśli piątkę ze wszystkich trzech przedmiotów miała tylko jedna osoba. Zad..7. Ile jest liczb naturalnych mniejszych lub równych tysiąc, podzielnych przez i 3 oraz niepodzielnych przez 7? Zad..8. Ile jest liczb naturalnych mniejszych lub równych tysiąc, podzielnych przez 5 i niepodzielnych przez 3 ani przez 7? Zad..9. (*) Ile jest liczb naturalnych mniejszych lub równych tysiąc, podzielnych przez i 5 oraz niepodzielnych przez 7 ani przez 4? 3
4 . Wyrażenia algebraiczne Zad... Rozłóż podane wyrażenia na czynniki: a) 6b 4, b) (x + 3x ) (x x + ), c) 4x + y 4xy t, d) 36p 4 + q 4 + p q, e) 4(a b) (a + b), f) 7a 6 0, 5c 3, g) a 3 + b 3 + ab(a + b), h) ax bx + bx ax + a b, i) bc(b + c) + ca(c a) ab(a + b), j) a 3 + b 3 + c 3 3abc Zad... Uprościć wyrażenia: a) b) c) d) e) x + x x + x, (x + y) ( x + y ) + (x + y) 3 ( + ), x y a (a b)(a c) + b (b c)(b a) + c (c a)(c b), a c a 3 c 3 a + ac + c a b bc + c a c + c : c a b a + b + a + b a + b + ab a b ab a + b, c( + c) a, bc f) a ( ) + b c b ( ) + c a c ( a b a b (c b) + (a c) + c, (b a) bc ca ab g) + (a + x) (a + x) (a + x ) ax, jeżeli x = a, x a h) a b(ax), jeżeli x = (a + b) a + b. a + b Zad..3. Wykaż, że dla a, b R a) a + b ab, b) a + b + (a + b), 4
5 c) (a > 0 b > 0) (a + b)( + ) 4, a b d) (a > 0 b > 0) a + b ab, e) x + y + z xy + xz + yz, f) a 4 + b + c ab ac + bc. Zad..4. Wykaż, że jeśli a + b + c = 0, to a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Zad..5. Wykaż, że jeśli a + b + c = a + b + c, to co najmniej dwie spośród liczb a, b, c są liczbami przeciwnymi. Zad..6. Oblicz wartość wyrażenia ( m + n ) dla x = a, a > 0, n > m > 0. mn Zad..7. Udowodnij, że jeżeli b = a, to (x + a ) + (x a ) (x + a ) (x a ) (a + b)(a + b )(a 4 + b 4 )(a 8 + b 8 )(a 6 + b 6 )(a 3 + b 3 ) = a 64 b 64. Zad..8. Uprościć wyrażenie Zad..9. (*) Wykazać, że jeżeli x a a b(ax), jeżelix = (a + b) ( a + b a + b ). m = a + b a b, m = c + d c d, m 3 = m + m + m 3 = m m m 3. ac bd ad + bc, to Zad..0. (*) Obliczyć x 4 + y 4 + z 4 jeżeli x + y + z = 0 i x + y + z = a 5
6 3. Liczby rzeczywiste Zad. 3.. Czy suma i iloczyn dwóch liczb a i b jest liczbą wymierną? Rozważ różne przypadki wymierności a i b. Zad. 3.. Udowodnij niewymierność podanych poniżej liczb Zad Oblicz a) 5, b), c) 5 + 7, d) log 7. a) (3 8 : 3 4 ) c) b) ( 5 [ ] d) Zad Usuń niewymierność z mianownika ) ( ) 3 (3 ) ( ) [ (6 ) + ( ) 6 ] a) 3 5 b) c) 3 3 d) e) f) Zad Sprawdź, czy podane poniżej liczby są niewymierne a) b) c) d*) Zad Wykaż, że a) = b) 5 6 = Zad Wyznacz odwrotność liczby Zad Niech a) b) Udowodnij, że jeżeli x A, to x A. Zad Niech Udowodnij, że jeżeli x A, to x A. Zad Oblicz a) A = {x : x = a + b 5, a, b Q} A = {x : x = a + b 3 + c 3 4, a, b, c Q} b) Zad. 3.. Liczby naturalne dodatnie a, b, c, d spełniają warunki Znajdź d. 3 abc = 4 i 4 abcd = 0. 6
7 Zad. 3.. Wykaż, że jeżeli a = 9 3+ i b = 3 3+5, to b = 7 a. Zad Jeżeli liczba naturalna m = p n p n... p n k k, gdzie p, p,..., p k są różnymi liczbami pierwszymi, zaś n, n,..., n k są liczbami naturalnymi dodatnimi, to liczba wszystkich naturalnych dzielników liczby m jest równa (n + )(n + )... (n k + ). Wyznacz liczbę naturalnych dzielników liczby a) 756 b) c)!. Zad Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równa 04, a ich największym wspólnym dzielnikiem jest 3. Podaj te liczby. Zad Iloczyn dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równy 60, a ich największym wspólnym dzielnikiem jest. Podaj te liczby. Zad Liczba piłeczek w pudle należy do przedziału (7, 04). Jeśli z pudła wybieramy za każdym razem po 0 piłeczek, to w pudle pozostaną 4 piłeczki, a jeśli wybieramy po 8 piłeczek, to w pudle zostanie 6 piłeczek. Oblicz, ile piłeczek było w pudle. Zad (*) Wykaż, że jeżeli różne liczby a, b, a + b są liczbami wymiernymi, to liczby a, b są liczbami wymiernymi. Zad (*) Wykaż, że między dowolnymi liczbami rzeczywistymi a i b, a < b istnieje liczba wymierna (niewymierna) x, taka, że a < x < b. 7
8 4. Indukcja matematyczna Zad. 4.. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n różnej od zera prawdziwe są nastąpujące równości: n a) k = n(n+) b) k= n k= c) * n k = n(n+)(n+) 6 k= d) * n k= k 3 = n (n+) 4 = ( n k= k) k 4 = n(n+)(n+)(3n +3n ) 30 Zad. 4.. Udowodnij, że a) n N4 (5 n ) b) n N6 (7 n ) c) n N9 (0n ) Zad Udowodnij, że n N k N (k (k + ) n ). Zad Udowodnij, że a) n N6 n(n + )(n + ) b) n N7 0 6n. Zad Udowodnij, że: a) n N \ {0}( n ( ) n k = ( ) n n(n+) ), k= b) n N \ {0}( n k= k(k + ) = n(n+)(n+) 3 ). Zad (*) Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej większej badz równej oraz dla dowolnego n-elementowego ciągu a, a,..., a n liczb rzeczywistych zachodzi wzór: ( n a k ) = n a k + n k a k a l. k= l= Zad Udowodnij, że dla każdej różnej od zera, a w punkcie b) większej od, liczby naturalnej n prawdziwe są nierówności: k= k= a) n k= k n, b) n + < n *c) n k=. k n 8
9 Zad Udowodnij, że dla każdej różnej od zera liczby naturalnej n i dla każdej liczby rzeczywistej x większej lub równej zachodzi nierówność Bernoulliego: ( + x) n + nx. Gdzie wykorzystany jest w dowodzie warunek x? Zad Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n: a) 6 n 3 + 5n, b) 33 n+ + n+, c) 5 n+ 3 n + 5n 4. Zad Ciąg (a n ) n N definiujemy indukcyjnie w następujący sposób: a 0 =, a = 3, a n+ = 3a n a n. Udowodnij, że n Na n = n +. Zad. 4.. Ciąg Fibonacciego (a n ) n N definiujemy indukcyjnie w następujący sposób: a 0 = 0, a =, a n+ = a n + a n. Udowodnij, że wyrazy ciągu Fibonacciego posiadają następujące własności: a) n N(3 a 4n ), b) n N( a 3n ). Zad. 4.. Dla jakich n prawdziwa jest nierówność: a) n < 3 n, b) n k= n. k Zad (*) Udowodnij, że a, b > 0, n N((a + b) n < n (a n + b n )). Zad (**) Korzystając z zasady minimum udowodnij, że jeśli A N jest zbiorem takim, że k A oraz dla każdego n k jeśli n A, to n + A, to N \ {0,,..., k } A. Zad (**) Udowodnij zasadę indukcji porządkowej: Jesli A N jest zbiorem takim, że k A oraz dla każdego n > k jeśli {k,..., n } A to n A, to N \ {0,,..., k } A. Zad (**) Czy jeśli A N spełnia poniższe warunki, to A = N? a) (i) A A, (ii) n N b) (i) 0 A A, (ii) n N c) (i) A A, (ii) n N (iii) n N (n + A n A). (n A n A). (n A A n A), (n A n A). Zad (**) Korzystając z zadania?? c) udowodnij,że x,..., x n > 0 x... x n ( x x n n ) n. 9
10 Zad Udowodnij, że n N ( n5 5 + n n 5 N). Zad Ile przekątnych ma n-kat wypukły? Zad Udowodnij, że suma kątów wewnętrznych w n-kącie wypukłym jest równa (n ) 80. Zad. 4.. Udowodnij, że n-kąt wypukły można podzielić przekątnymi na n trójkąty tak, by żadne dwie z wybranych przekątnych nie przecinały się wewnątrz trójkąta. Zad. 4.. Znajdź błąd w poniższym dowodzie faktu, że wszystkie kwiaty są tego samego koloru. a) Jeden kwiat jest tego samego koloru, co on sam. b) Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich m n i weźmy n + kwiatów {k,..., k n+ }. Podzielmy je na dwa zbiory: {k,..., k n },{k n, k n+ }. W każdym ze zbiorów jest co najwyzej n kwiatów, więc na mocy założenia indukcyjnego wszystkie sa tego samego koloru. Jednocześnie kwiat k n jest w obu zbiorach, więc oba zbiory są tego samego koloru. Zad (*) Wieże z Hanoi. Na desce znajdują się 3 pręty, na jednym z nich znajduje się n krążków o różnych średnicach ułożonych w kolejności średnic od największego na dole do najmniejszego na górze. Należy przenieść całą wieżę na drugi pręt korzystając z trzeciego w ten sposób, że w jednym ruchu można przenieść tylko jeden krążek i nie można położyć większego na mniejszym. Jaka jest najmniejsza ilość ruchów, przy której można to uczynić? Zad (**) Na jednym z trzech prętów z poprzedniego zadania znajduje się n krążków, po tej samej wielkości n różnych wielkości. Jaka jest najmniejsza ilość ruchów, jakie trzeba wykonać aby przenieść przy regułach z poprzedniego zadania całą wiezę na drugi pręt jesli: a) krążki tej samej wielkości są nierozróżnialne? b) chcemy otrzymać wieże, której krążki będą ułożone w tej samej kolejności, co w wieży wyjściowej nawet te tej samej wielkości? Zad (**) Udowodnij, że n kwadratów można poprzecinać wzdłuż prostych w ten sposób, aby ze wszystkich otrzymanych kawałków można było ułożyć jeden kwadrat. Zad Na ile obszarów dzieli płaszczyznę n prostych, z których każde dwie się przecinają i żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie? 0
11 5. Podstawowe własności funkcji Zad. 5.. Określ (naturalną) dziedzinę funkcji : a) f(x) = x+ x+3, b) f(x) = c) f(x) = d) f(x) = x x, (x )(x )(x 3)(x 4), sin( x), e) f(x) = log 3 ( 3x x+ ), f) f(x) = log 3 x 5x+3 x. Zad. 5.. Na podstawie wykresu funkcji f(x) = x 4x + 5 narysuj wykres funkcji : a) f(x) +, b) f(x + ) 3, c) f(x) 3 +, d) f(x ). Zad Dana jest funkcja k(x) = a) k = k( x), b) k (x) = k(x+) k( x ). x. Wyznacz wzór funkcji: +x Zad Narysuj wykres funkcji x +, dla x f(x) = x +, dla x >, znajdż przeciwobrazy zbiorów [, 3], (, 0], [, 0) i obrazy zbiorów [0, ], (, 3), R. Wyznacz ilość rozwiązań równania f(x) = x + m w zależności od parametru m R. Zad Zbadaj różnowartościowość funkcji: a) f(x) = 3x 6x+3, b) f(x) = c) f(x) = x x 3, x 3, d) f(x) = x 3 x 4. Zad Zbadaj parzystość funkcji: a) f(x) = log(x + x + ), b) f(x) = sin(cosx),
12 c) f(x) = log +sinx sinx. Zad Niech f(x) = x+3. Określ naturalną dziedzinę funkcji, zbadaj odwracalność f(x), 3x określ funkcję odwrotną do f, ewentualnie ograniczając jej dziedzinę. Zad Znależć funkcję odwrotną do f(x): a) f(x) = x, D f = [, + ), b) f(x) = x, D f = (, 0), c) f(x) = x +x, D f = (, ], d) f(x) = x +x, D f = [, + ), e) f(x) = x +x, D f = [, ]. Zad Wyznacz funkcję f(x), jeżeli spełnia ona warunek: a) f(x ) = x x + 3, x R, b) f(x + x ) = x + x, x R \ {0}. Zad Wykaż, że jeżeli: a) f(x) jest rosnąca,to dla każdych a > 0, b funkcja g(x) = af(x) + b jest rosnąca. b) f(x) jest rosnąca, h(x) malejąca, to f(x) h(x) jest rosnąca. c) f(x) rosnća, to g(x) = f( x) jest malejąca. Zad. 5.. Wykaż, że jeżeli f(x) jest funkcją parzystą, to g(x) = af(x) + b jest też funkcją parzystą dla dowolnych a, b. Czy prawdziwe jest analogiczne twierdzenie dla funkcji nieparzystych? Zad. 5.. Zbadaj parzystość iloczynu (złożenia) dwóch funkcji parzystych, funkcji parzystej i nieparzystej, dwóch funkcji nieparzystych. Zad Zbadaj monotoniczność złożenia dwóch funkcji monotonicznych. Rozważ różne przypadki. Zad Zbadaj okresowość funkcji: a) f(x) = Asin(ax) + Bcos(ax), b) f(x) = sinx + sinx, c) f(x) = sin x, d) f(x) = sin(x ), e) f(x) = sinx, f) f(x) = sin x, g) f(x) = sinx + sin( x).
13 Zad Niech f(x) = Zad Zbadaj okresowość funkcji: a) f(x) = Asin(ax) + Bcos(ax), b) f(x) = sinx + sinx, c) f(x) = sin x, d) f(x) = sin(x ) e) f(x) = sinx, f) f(x) = sin x, g) f(x) = sinx + sin( x). x +x. Znależć wzór funkcji, będącej złożeniem n funkcji f(x). Zad (*) Udowodnij, że iloczyn dwóch funkcji okresowych o okresach współmiernych wymiernie jest funkcją okresową. Zad (*) Czy złożenie funkcji okresowej z dowolną funkcją jest funkcją okresową? Rozważ dwa przypadki kolejności złożenia. Zad (*) Zbadaj okresowość funkcji f(x) = Asinx + Bcos(ax + b). Zad (*) Udowodnij, że jeżeli f(x + T ) = kf(x), k, T są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, to f(x) = a x g(x), gdzie g(x) jest funkcją okresową o okresie T. Zad. 5.. (*) Wykaż, że jeżeli f : R R, to istnieją funkcje g : R R, h : R R takie, że g jest funkcją parzystą, h jest funkcją nieparzystą oraz f(x) = g(x) + h(x). Zad. 5.. (*) Zbadaj okresowość funkcji f(x) = sinx + sin x. Zad (*) Znależć wszystkie funkcje ciągłe spełniające równanie Cauchy ego : f(x + y) = f(x) + f(y). 3
14 6. Funkcja liniowa Zad. 6.. Dana jest funkcja o wzorze f(x) = 3x + 4 b, x R. 3 a) Podaj miarę kąta nachylenia wykresu funkcji do osi OX. b) Wyznacz wszystkie liczby b, dla których miejsce zerowe funkcji jest liczbą większą od 5 3. c) Napisz wzór funkcji liniowej g, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji f i przechodzi przez punkt A( 3, ). Zad. 6.. Dana jest funkcja o wzorze f(x) = (3 a)x + 4, x R. a) Dla a = 0, 5 wyznacz zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości należące do zbioru [, 5]. b) Wyznacz a tak, by kąt nachylenia wykresu funkcji do osi OX wynosił 3π 4. c) Dla jakich a wykres funkcji f jest prostopadły do wykresu funkcji g(x) = 0, 5x + 4? Zad Dana jest funkcja f(x) = x + x + 4x + 4. a) Napisz wzór tej funkcji nie używając symbolu wartości bezwzględnej i pierwiastka kwadratowego. b) Narysuj wykres. c) Zbadaj liczbę rozwiązań, równania f(x) = k, k R, ze względu na wartość parametru k. Zad Zaznacz na płaszczyźnie zbiór A = {(x, y) R : [x] = y 3 }, gdzie symbol [a] oznacz największą liczbę całkowitą niewiększą niż a. Zad Dla jakich wartości parametru t rozwiązaniem układu równań, { 4x + 5y = t x + 3y = t + 3 jest para liczb o przeciwnych znakach? Zad Jaką figurę tworzą wszystkie punkty przecięcia prostej y = x + k z prostą y = 0, 5x + k, dla k R? Napisz równanie tej krzywej. Zad Wyznacz wzór funkcji liniowej f, która dla każdego x R spełnia warunek f(4x + 8) = x +. Zad Rozwiąż równanie: x + x + 3 = 4. Zad Rozwiąż równanie: x + x = 0. Zad Rozwiąż nierówność: x 3 3. Zad. 6.. Wyznacz zbiór punktów na osi liczbowej, o następującej własności: suma odleg łości od punktów i 3 jest większa od 5. Zad. 6.. (*) Znajdź wszystkie funkcje f : R R spełniające równanie: f(x) + 3f( x) = 4x. 4
15 Zad (*) Wykaż, że jeżeli wykresy funkcji y = ax + b, y = x + c, y = cx + a mają punkt wspólny, to a = b = c. Zad (*) Rozwiąż równanie x + y x xy + = 0. Zad Rozwiąż układ równań { (a 3)x + 4y = m 9x + (a + )y = 9 i przeprowadź dyskusję dotyczącą istnienia rozwiązań, ze względu na wartości parametrów a i m. Zad (*) Funkcje f(x) = ax + 8, g(x) = 3x + b, gdzie a, b N i a (50, 75), wartość 00 przyjmują dla tego samego argumentu. Znajdź liczby a i b. 5
16 7. Funkcja kwadratowa Zad. 7.. Dla jakiej wartości m R równanie kwadratowe: (m 3)x + (m )x + = 0 ma wspólny pierwiastek z równaniem mx + 3 = 0? Zad. 7.. Zbadaj w zależności od parametru m R liczbę rzeczywistych rozwiązań równania: x (m + )x + m = 0. Zad Określ liczbę pierwiastków równania: (m )x (m + )x 0, 5 = 0 w zaleznosci od parametru. m R Zad Dla jakich wartości parametru m R równanie: (m )x (5m )x + m = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste różnych znaków? Zad Dla jakich wartości parametru m R równanie: (m + m )x (5 m)x 6 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste jednakowych znaków? Zad Dla jakich wartości parametru m R równanie: ma dwa różne pierwiastki dodatnie? (m + )x (m + 3)x + m + = 0 Zad Dla jakich wartości parametru m R funkcja: f(x) = (m )x + (m )x + m przyjmuje wartości ujemne dla każdej liczby x R? Zad Dla jakich wartości parametru m R nierówność: jest spełniona dla każdej liczby x R? (m 3)x + (6 m)x + (m 9) > 0 7 Zad Dla jakich wartości parametru m R pierwiastki x, x równania: spełniają warunek x + x < m +? mx m + m + x 6 = x +
17 Zad Dla jakich wartości parametru m R równanie: a) ma dwa pierwiastki rzeczywiste, b) ma jeden pierwiastek rzeczywisty, c) nie ma pierwiastków rzeczywistych? x + a x a ax = x a Zad. 7.. Sporządź wykres funkcji określonej wzorem: f(x) = x + x x 4. Ustal liczbe rozwiazan równania f(x) = x + x x 4 = m w zależności od parmetru m R Zad. 7.. Dla jakich wartości całkowitych m pierwiastki równania: są liczbami całkowitymi? (m )x (m + )x + m + a = 0 Zad Znaleźć trójmian kwadratowy wiedząc, że suma jego pierwiastków wynosi 8, suma ich odwrotności wynosi 3, a wartość dla x = 0 wynosi 4. Zad Wykazać, że jeżeli zachodzi związek mp = (n+q), to przynajmniej jedno z równań x + px + q = 0 i x + mx + n = 0 ma rozwiązanie. Zad Dla jakich wartości parametru m R równanie: x (m )x + m + = 0 ma dwa różne pierwiastki a, b spełniające zależność a b =? Zad Dla jakich wartości parametru a R zbiorem rozwiązań nierówności: jest zbiór liczb rzeczywistych? (a )x + (a )x + > 0 Zad Dla jakich wartości parametru k R oba pierwiastki równania: są większe od? Zad Dane jest równanie: x + (k + 6)x + 4k + = 0 x + px + q = 0. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór punktów (p, q), dla których dane równanie ma: a) dwa pierwiastki równe, b) dwa pierwiastki rózne, c) jeden pierwiastek jest wiekszy od drugiego. 7
18 Zad Dla jakich wartości parametru m R pierwiastki równania: zawarte są między i 4? x mx + m = 0 Zad Dla jakich wartości parametru m R równania: mają wspólny pierwiastek? Zad. 7.. Rozwiąż równanie: x 3(m + )x + = 0 oraz 4x (9m )x + 36 = 0 x + xsin(xy) + = 0. Zad. 7.. Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiaząń nierówności: jest zawarty w zbiorze rozwiaząń nierówności: x 3x + < 0 mx (3m + )x + 3 > 0? Zad Dla jakich wartości parametru m funkcja: f(x) = (m + 4m 5)x (m )x + przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich liczb rzeczywistych x? Zad Dla jakich wartości parametru k zbiorem wartości funkcji f określonej wzorem: jest przedział [54, )? f(x) = (k 4)x ( k)x + + 0, 5k Zad Dla jakich wartości parametru m przedział (, ) zawarty jest w zbiorze rozwiązań nierówności: mx mx + > 0? 8
19 8. Wielomiany Zad. 8.. Wykonaj mnożenie wielomianów a) (x 4 x 3 + x + x + )(x 3x + ) b) (x 3 + x x )(x 3 x ) Zad. 8.. Rozwiąż równanie (x 3) 4 5(x 3) + 4 = 0. Zad Rozwiąż równanie x x 3 + x = 0 Zad Dany jest wielomian W (x) = x 3 (p + 3)x 4x. Dla jakiej wartości parametru p jeden z pierwiatków wielomianu jest średnią arytmetyczną pozostałych dwóch pierwiastków? Zad Trzy pierwiastki wielomianu W (x) o współczynnikach całkowitych są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ich suma wynosi, a iloczyn 35. Wykaż, że dla każdego x całkowitego i nieparzystego wartość wielomianu W (x) jest podzielna przez 48. Zad Wykaż, że niezależnie od wartości parametru p wielomian ma pierwiastek całkowity. W (x) = x 3 (p + )x + (p 3)x + 3 Zad Dla jakich wartości parametru p pierwiastki wielomianu z poprzedniego zadania tworzą ciąg arytmetyczny? Zad Wykonaj dzielenie z resztą wielomianu P (x) przez wielomian Q(x) a) P (x) = x 4 x 3 + 4x 6x + 8, Q(x) = x, b) P (x) = x 5 5x 3 8x, Q(x) = x + 3, Wykonaj dzielenie z resztą wielomianu P (x) przez wielomian Q(x) a) P (x) = x 4 3x 3 + 4x 5x + 6, Q(x) = x 3x +, b) P (x) = x 3 3x x, Q(x) = 3x x +, Zad Wyznacz a i b tak, aby wielomian był podzielny przez x. Zad Rozwiąż równanie W (x) = x 4 + x + (a )x + b (x )(x )(x 3)(x 4) = 5. Wskazówka. Przedstaw lewą stronę w postaci (x 5x + 4)(x 5x + 6) a następnie dokonaj podstawienia x 5x + 4 = t. 9
20 Zad. 8.. (*) Rozwiąż równanie (x + a)(x + a)(x + 3a)(x + 4a) = b 4. Wskazówka. Spróbuj postąpić podobnie jak w poprzednim zadaniu. Zad. 8.. Rozłóż wielomian na czynniki liniowe a) x 3 6x + x 6, b) x 3 5x 7x +, c) x 4 0x +. Zad (*) Wielomian W (x) = x rozłóż na dwa czynniki, będące trójmianami kwadratowymi o współczynnikach całkowitych. Zad (*) Wielomian W (x) = x rozłóż na trzy czynniki, będące trójmianami kwadratowymi o współczynnikach całkowitych. Zad Znajdź wszystkie liczby całkowite będące rozwiązaniami nierówności wielomianowej Zad Rozwiąż nierówność x 4 3x 3 x + 3 < 0 (x + )(x 3) (x 4)(x 7) (x ) < 0 Zad (*) Określ dla jakich wartości parametru p jedno z rozwiązań równania x 3 7x + p = 0 jest równe podwojonej wartości drugiego rozwiązania. Zad Wykonując odpowiednie podstawienie rozwiąż równanie a) (x 6x) (x 3) = 8, b) 6x 4 3x 3 + x 3x + 6 = 0 Zad Znajdź resztę z dzielenia wielomianu P (x) = x 3 + x x + 5 przez wielomian Q(x) = x, nie wykonując operacji dzielenia. 0
21 9. Funkcja wymierna Zad. 9.. Rozwiąż równania: a) x+ 4x = x b) x x x = x x+ x +x c) x+ x = d) x +8x x +x 8 + x = x+ x+4 x e) x+ x+ x x+3 = 5 f) x 3 6x = x+3 g) x x+3 + x+ = x+6 x +5x+6 h) x 3 + 4x x+ = 3 i) x+ x 3 + x x+ = x +x+ x x 3 j) x+ x x 4 x = 9 Zad. 9.. Rozwiąż nierówności a) x+3 x+ + 8 x 5 < x 3 x 4x 5 b) x+ x x + x x 3 + c) x x x 6 3 x +3x+ x+ d) x 4 x+ Zad Wykonaj następujące działania. Pamiętaj o koniecznych założeniach (wyznaczeniu dziedziny) a wynik przedstaw w postaci nieksracalnego ułamka algebraicznego: a) b) c) x x + 3 x x + x + x x 3 x x + 6x + 5 x + x + x + 3x x 3 + x + 6x + 3 : 4x 4x + 4x + Zad Niech A oznacza zbiór rozwiązań równania 3x 3 4x 7x + 36 = 0, natomiast B zbiór rozwiązań równania 3x x 4 = 0. Wypisz elementy zbiorów A i B. Wyznacz zbiory: x + x + A B, A B, A \ B, B \ A. Zad Niech A oznacza zbiór rozwiązań nierówności 3x + x x 3, natomiast B zbiór x rozwiązań nierówności. Wypisz elementy zbiorów A i B. Wyznacz zbiory: A B, A B, x A \ B, B \ A.
22 Zad Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f określonej wzorem f(x) = 3 dla x x 0. Wykres ten przesunięto o jednostki w górę wzdłuż osi Oy. Otrzymano w ten sposób wykres funkcji g o wzorze g(x) = 3 + dla x 0. x a) Narysuj wykres funkcji g. b) Oblicz największą wartość funkcji g w przedziale <, 3 >. c) Podaj, o ile jednostek wzdłuż osi Ox należy przesunąć wykres funkcji g, aby otrzymać wykres funkcji przechodzący przez początek układu współrzędnych. Zad Funkcja f(x) = ax+b jest monotoniczna w przedziałach (, 3), (3, + ). Zbiorem x+c wartości funkcji f. jest zbiór R \ {} a jej miejscem zerowym jest liczba. a) Wyznacz wartości a, b i c. b) Podaj zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja osiąga wartości nieujemne. c) Rozwiąż nierówność f(x) > x+ x 3. Zad Wyznacz te wartości parametru m, dla których dane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: x + 8x + m = 0. x + 3 Zad Funkcja homograficzna f jest określona wzorem f(x) = px 3, gdzie p R jest x p parametrem i p 3. a) Dla p = zapisz wzór funkcji w postaci f(x) = a + b, gdzie a, b R. x b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których w przedziale (p, + ) funkcja f jest malejąca. Zad Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem f(m) = x x, gdzie x, x są różnymi pierwiastkami równania gdzie m R \ { }. (m + )x (m + ) x + 3m + = 0,
23 Zad. 9.. Samochód przebył w pewnym czasie 0 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 0 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód. 3
24 0. Trygonometria Zad. 0.. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α = 5. Zad. 0.. Oblicz: a) sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 tg 40, b) sin 0 cos 0 cos 40. Zad Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami: a) tg α = sin α sin α sin α+sin α, b) tg ( π 4 α) = sin α, +sin α c) sin α + cos α + sin 3α + cos 3α = cos α sin ( π 4 + α), d) tg α+tg β tg(α+β) + tg α tg β tg(α β) + tg α = cos α. Zad Kąty x i y są takimi kątami ostrymi, że Czy stąd wynika, że x = y? sin x + sin y = 4 3 i cos x + cos y = 5 3. Zad Wyznacz wszystkie wartości parametru α [0, π] takie, dla których równanie ma rozwiązania. Zad Rozwiąż równania: a) sin x = 0, b) cos 3x =, c) tg 4x = 3. Zad Rozwiąż równania: a) cos x sin x =, b) tg x + cos x +sin x =, c) tg x + ctg x = 4 3. Zad Rozwiąż równania: a) sin 5x = ( cos 3x sin 3x b) sin x + sin α = sin(x + α), c) tg(x + ) ctg(x ) =, (x sin α y ) + (x y sin α ) 4 = 0 ), 4
25 d) sin x + sin x cos x + 3 cos x = 3, e) cos x + cos 3x + cos 4x = 0, f) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x. Zad Rozwiąż nierówności w przedziale [0, π]: a) cos x 3, b) sin x + cos x 0, c) sin x + sinx <, d) tg x > ctg x. Zad (*) Niech α, β, γ bedą kątami pewnego trójkąta. Wykaż, że sin α + sin β + sin γ = 4 cos α cos β cos γ. Zad. 0.. (*) Wykaż, że jeżeli kąty α i β pewnego trójkąta spełniają zależność to trójkąt ten jest prostokątny. + cos (α + β) = cos α + cos β, Zad. 0.. (*) Wykaż, że jeżeli kąty α, β, γ pewnego trójkąta spełniają zależność to trójkąt ten jest równoramienny. Zad (*) Oblicz sumę: cos α = cos γ cos β, S n = sin x + sin x + sin 3x + + sin nx. Zad (*) Rozwiąż nierówności w przedziale [ π, π]: a) cos x 5 sin x 3, b) sin 3x cos 3x, c) sin 3x + sin x 4 sin 3 x, d) cos x+cos x cos x sin x, e) sin x + sin(π 8x) > cos 3x. 5
26 . Funkcje logarytmiczne i wykładnicze Zad... Wyznacz dziedziny funkcji a) y = x+, b) y = x, c) y = x, d) y = (x ) x+5 7 x Zad... Zapisz liczby w kolejności od najmniejszej do największej a) ( ), 3 4, ( ), 0 b) 3 π, 3 3 4, 9 3 c) *( ) 3 4, ( ) 3, ( ), ( ) 5 4 Zad..3. Posługując się wykresem funkcji y = x naszkicuj wykresy funkcji: a) y = x, b) y = x +, c) y x+, d) y = x, *e) y = x, *f) y = x *g) x, *h) y = x Zad..4. (*) Sporządź wykresy funkcji a) y = 3 x x b) y = x. Zad..5. Wykres funkcji y = ( 3 )x przekształcamy przez a) symetrię względem osi OX b) symetrię względem osi OY c) symetrię względem punktu (0, 0). Podaj wzór funkcji, której wykresem będzie otrzymana w każdym z tych przekształceń krzywa. Zad..6. Rozwiąż równania a) 3 5x 8 = 9 x 3, 6
27 b) 7 x 4 = ( 7) 3x, c) 0, 5 4 x 3 = ( 8 ) x, d) 6 x 5 36 x+ = 36 Zad..7. Rozwiąż równania a) 5 x 5 3 x = 0, b) 49 x 6 7 x + 5 = 0, *c) 3 3 x 3 3 x =, 5, *d) 3x 7 x = 4 x+, *e) 8 x + 8 x 7 x = 0. Zad..8. Rozwiąż nierówności a) x < 3, b) 3 x 8, c) x+ > 56, d) ( 5 ) x+ ( 5 )x, *e) 3 x+5 x 7 < 0, 5 8 x+7 x 3, *f) x < x, *g) (x 6x + 9) x+3 <, *h) (3 x) 3x 5 3 x < dla x < 3. Zad..9. Oblicz a) log 6, b) log 0 0, 0, c) log 3 3 3, 9 d) log, 5. 3 Zad..0. Znajdź liczbę x jeżeli a) log x = 3, b) log 0, x =, c) log x = 4, d) log x 8 = 4, e) log x 65 = 3 4, 7
28 f) log x 0, 5 =. Zad... Oblicz a) log 3, b) 49 log 7, c) 0 + log 0 7, d) 8 log 3 Zad... (*) Uprość wyrażenie log 3 log 3 4 log 4 5 log 5 6 Zad..3. Określ dziedzinę funkcji i naszkicuj jej wykres a) y = log (x + ), b) y = log (x ) 3, 3 *c) y = log ( x + ), *d) y = log 3 (x + ). Zad..4. (*) Wyznacz dziedziny funkcji a) y = log [ log (x 5x + 6)], b) y = log c) y = x, x log x (3 x) Zad..5. Rozwiąż równania a) log(0, 5 + x) = log(0, 5) log x, b) log(x ) log(4 x) = log(3 x), c) log 4 { log 3 [ + log ( + log x)]} =, d) log x log(5x 4) =, e) log x + log(6 x ) = 0, f) 5 4 log x + 4 +log x = 3, g) log 3 x log 3 x 3 + = 0, h) log 6 x + log 4 x + log x = 7, i) x log x = 00x, j) log( x + 4 x ) log 8 = log( x 4 ) Zad..6. Rozwiąż nierówności a) log (x + ) > 3, 8
29 b) log (x 5) < 4, c) log x 3 <, 4 d) log x 7 > 3, e) log x x x >, f) log [log 3 4 (x 5)] > 0, g) 3 log x <, h) log x 3 (3x 7x + 3) <. 9
30 . Ciągi Zad... Wypisz pięć początkowych wyrazów ciągu opisanego wzorem a) a n = n + 3n, b) b n = 3n n, c) c n = 3 n + 3 n, d) d n = 3n ( )n n, e) e n = n. Zad... Narysuj wykres ciągu określonego wzorem a) a n = n 3, n N +, b) b n = n+ n, n N+, n < 6, c) c n = ( ) n+, n N +, n {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Zad..3. Kolejne wyrazy ciągu (a n ) wyznacza się stosując pewną regułę. Znajdź ją i zapisz wzorem n-ty wyraz ciągu (a n ) o początkowych wyrazach a),, 4, 6,..., b), 9, 5, 49,..., c),, 3,, 5,.... Zad..4. Wyznacz a n+, a n, a n dla ciągów a) a n = n 3 n, b) a n = ( n)(n + ), c) a n = n 3 n. Zad. {.5. Napisz wzór na { n-ty wyraz ciągu (a n ), określonego wzorem rekurencyjnym a = a = 3 a) a n+ = b) a n a n+ = a { { n a = 3 a = c) a n+ = a d) 5 n a n+ = ( ) log an. Zad..6. Wykaż, że ciąg a n = 3 ( ) n +5 n spełnia równanie rekurencyjne a = 7, a = 3, a n+ = a n+ + a n. Zad..7. Zbadaj monotoniczność ciągu określonego wzorem a) a n = 9 n, b) b n = 3 + n+, c) c n = n 3 n+3, d) d n = n+ 3 n, 30
31 e) e n = log(log 0.3 (n + 6)). Zad..8. Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągów a n = n+5 n+, b n = n +n+7 n +n+8. Zad..9. Oblicz ile wyrazów a) nieujemnych ma ciąg a n = 4n + 9n + 3, b) ujemnych ma ciąg b n = 3n 7n + 0, c) niedodatnich ma ciąg c n = n + 44, d) mniejszych od 55 ma ciąg d n = 5 n e) równych co najmniej i niewiększych od 3 ma ciąg f n = n +. Zad..0. Ciąg określony jest wzorem a n = n+8 n. Który z wyrazów ciągu (a n) jest równy 3? Podaj wszystkie wyrazy ciągu (a n ), które są liczbami naturalnymi. Zad... Który z wyrazów ciągu a n = n jest równy 7? Czy istnieje wyraz tego ciągu równy 00? Zad... Oblicz czwarty wyraz ciągu (a n ), którego suma n-początkowych wyrazów S n jest dana a) S n = 3n(n + ), b) S n = 5( n ). Zad..3. Napisz wzór na n-ty wyraz ciągu (a n ), którego suma n początkowych wyrazów określona jest wzorem a) S n = n(3n+) 3, b) S n = 9 n. Zad..4. Wykaż, że ciąg (a n ) określony wzorem a n = ( ) n + ( ) n, jest stały. Zad..5. Sprawdź, czy ciąg (a n ) jest arytmetyczny. Jeśli tak, to określ jego monotoniczność, gdy a) a n = n + 4, b) a n = 3, c) a n = 3n. Zad..6. Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego (a n ), gdy a) a 4 = 5, a 8 = 3, b) a 6 a 3 = 5 i a a 5 = 50, c) a 3 + a 5 = 6 i a 3 + a 7 = 5, d) S = i a 0 a 6 =. Zad..7. Oblicz ile jest liczb naturalnych 3
32 a) podzielnych przez 6 w przedziale [7; 35], b) trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 5. Zad..8. Oblicz x, wiedząc że kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego są, x +3, x+0. Zad..9. Między liczby i 4 wstaw cztery liczby tak, by łącznie z danymi tworzyły ciąg arytmetyczny. Zad..0. Suma n początkowych liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez 3 jest równa 900. Oblicz ile jest tych liczb. Zad... Rozwiąż równanie przyjmując, że jego lewa strona jest sumą kolejnych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego a) x = 648, b) n 3 = 55 3, n N +, c) (3x ) + (3x 5) (3x 8) = 44. Zad... Oblicz sumę pięćdziesięciu wyrazów ciągu (a n ) określonego wzorem a n = 4 n. Zad..3. Liczby: log ( ), log x ( ), log x ( ) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a n ). Oblicz x. Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu (a n ). Oblicz dziewiąty wyraz tego x ciągu i sumę dziewięciu początkowych jego wyrazów. Zad..4. Wykaż, że jeżeli liczby,,, gdzie (a + b)(a + c)(b + c) 0, są kolejnymi a+b a+c b+c wyrazami ciągu arytmetycznego, to liczby a, b, c są również wyrazami ciągu arytmetycznego. Zad..5. (*) Ciąg (a n ) jest określony w sposób rekurencyjny: a = m, a = m,..., a n+ = a n a n, n, gdzie m jest liczbą naturalną. Wykaż, że każda liczba całkowita większa od 0 i podzielna przez m jest wyrazem tego ciągu. Zad..6. Które z poniższych ciągów są geometryczne? a) a n = 4 n, b) b n = ( )n n, c) c n = n, d) d n = 3( 5 )n, e) e n = n n, f) f n = n+ n, g) g n = 3 n. Odpowiedź uzasadnij. Zad..7. Wyznacz ciąg geometryczny (a n ), wiedząc, że: a) a + a 5 = 85 i a a 4 = 6400, b) S 9 = 4088 i q =, 3
33 c) a =, a n = 458 i S n = 86. Zad..8. Między liczby 8 i ciągu geometrycznego. 7 wstaw sześć liczb takich, by łącznie z danymi były wyrazami Zad..9. Wykaż, że dla ciągu geometrycznego zachodzi b + b 4 + b b m = Zad..30. (*) Wykaż, że jeśli a, b, c, d tworzą ciąg geometryczny, to a) (a + b + c)(a b + c) = a + b + c b) (a + b + c )(b + c + d ) = (ab + bc + cd) q +q S m. Zad..3. Trzy liczby x, y, 6 tworzą ciąg geometryczny (a n ), natomiast x, y, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego (b n ). Wyznacz te liczby. Zad..3. Malejący ciąg geometryczny (a n ) oraz malejący ciąg arytmetyczny (b n ) mają pierwsze wyrazy równe 8. Trzecie wyrazy tych ciągów są także równe. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego. Wyznacz te ciągi. Zad..33. Trzy liczby, których suma jest równa, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a n ). Jeśli od pierwszego wyrazu ciągu (a n ) odejmiemy, od drugiego odejmiemy, zaś trzeci wyraz pozostawimy bez zmian, to otrzymane liczby utworzą ciąg geometryczny (b n ). Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego (a n ). Zad..34. Trzy liczby, których suma jest równa 39, są trzema początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego (a n ). Te same liczby tworzą pierwszy, trzeci i dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego (b n ). Oblicz wyrazy ciągu geometrycznego (a n ). Zad..35. (*) Wykaż, że jeżeli ciąg o wyrazach a, b, c jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to a = b = c. Zad..36. (*) Wykaż, że jeżeli liczby b, c, b a są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to liczby ab, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zad..37. (*) Wykaż, że jeżeli ciąg (a n ) jest ciągiem arytmetycznym, to ciąg określony wzorem b n = ( 3) a n+ jest geometryczny. Zad..38. (*) Wykaż, że jeżeli trzy liczby dodatnie a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to logarytmy tych liczb są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zad..39. (*) Oblicz sumy a) (x + x ) + (x + x ) (x n + x n ) b) (a + b) + (a + ab + b ) (a n + a n b ab n + b n ) **c) }{{} n 33
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log )
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr LICZBY RZECZYWISTE Zad. Wskaż liczby wymierne: 4 9 ; 7; 6; π;, 333...; 3, (); 3 5; ( ) 0 ; 7 9 ; 4, 000000...; 3 7 7 3 ; 3 3 3. Zad. Dane są liczby
Bardziej szczegółowoZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY)
ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY) wersja robocza - 19.03.2019 Edukacja Karol Suchoń Korepetycje, zajęcia, przygotowanie do egzaminu www.karolsuchon.pl kontakt: kontakt@karolsuchon.pl
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5)
Lista nr 1 LICZBY RZECZYWISTE Zad.1 Udowodnij równość: 5 3 10 27 = 10 3 5 9. Zad.2 Wartość wyrażenia (3 1 3 27 2 3 9 1 ) 3 4 zapisz w postaci pierwiastka z liczby wymiernej. Zad.3 Oblicz wartość wyrażenia:
Bardziej szczegółowoZad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4
Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY
ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoPrzygotowanie do poprawki klasa 1li
Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym
S t r o n a ZBIÓR ZADAŃ Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym Każdy uczeń, który kończy szkołę ponadgimnazjalną i chce przystąpić do matury, zobowiązany jest do zdawania egzaminu z matematyki
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz
Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoZadania z wprowadzenia do matematyki wyższej
Logika Zadania z wprowadzenia do matematyki wyższej. Wyznacz zbiory A B, A B, A \ B i B \ A dla: a) A = {x N : x < 5} B = {x Z : 5 x}, b) A = {x R : x 5} B = {x R : 6 x < 0}.. Niech A i B będą dowolnymi
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoOstatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoZestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.
Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.
I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoZagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ
KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Bardziej szczegółowoMatura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3
Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189
Bardziej szczegółowoFunkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa
Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Bardziej szczegółowoZad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=
Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoWykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowoKurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka
Bardziej szczegółowo