Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec

Transkrypt

1 Strona z 403

2 Przedmowa Do wydania pierwszego Podręcznik przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów w Szkole Głównej Handlowej. Składa się dziesięciu rozdziałów zawierających teorię (definicje, twierdzenia, przykłady i zadania) oraz z rozdziału jedenastego zawierającego rozwiązania i odpowiedzi do zadań. Materiał zawarty w podręczniku w rozdziałach od drugiego do dziewiątego obejmuje program wykładu z matematyki na pierwszym roku studiów w SGH. Przedstawione w nich są kolejno następujące tematy: własności funkcji rzeczywistych jednej zmiennej; ciągi i ich własności, granice ciągów; funkcje ciągłe; Strona 2 z 403 rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej; całki nieznaczone i oznaczone, elementy algebry liniowej, funkcje dwóch i wielu zmiennych. Dwa rozdziały, pierwszy i dziesiąty, zawierają materiał wykraczający poza program wykładu z matematyki. Adresowane są one do studentów wybierających wykłady z zastosowań matematyki

3 w różnych zagadnieniach ekonomicznych. Rozdział pierwszy zawiera elementy logiki i rachunku zbiorów. Wprowadzone jest w nim również pojęcie relacji, w szczególności relacji porządku i relacji równoważności oraz definicja odwzorowania jako relacji. W rozdziale dziesiątym przedstawione są podstawy rachunku prawdopodobieństwa. Elektroniczna forma podręcznika pozwala na łatwe odnalezienie odpowiednich definicji i twierdzeń. Kolorem niebieskim wyróżnione są aktywne linki (spis treści, skorowidz, odsyłacze w tekście). Również łatwo można przejść, klikając na znak (?) przy numerze zadania, do strony zawierającej rozwiązanie tego zadania. Mamy nadzieję, że podręcznik ten ułatwi studentom poznanie i zrozumienie podstawowych pojęć z matematyki wyższej oraz umożliwi lepsze przygotowanie się do kolokwiów i egzaminów z tego przedmiotu. Do wydania drugiego Drugie wydanie zostało dostosowane do zmian w programie wykładu z matematyki. Dodaliśmy informacje dotyczące: całek niewłaściwych, całki Riemanna, przekształceń liniowych i ekstremów warunkowych funkcji dwóch zmiennych. Korzystając z uwag koleżanek i kolegów z Katedry Matematyki i Ekonomii Matematycznej oraz z Instytutu Ekonometrii dokonaliśmy również zmian redakcyjnych. Serdecznie im za te uwagi dziękujemy, a w szczególności dziękujemy dr Justynie Winnickiej, która dokładnie przejrzała wszystkie rozdziały i sporządziła obszerną listę poprawek. Autorzy Strona 3 z 403

4 Elementy logiki i rachunku zbiorów, relacje i odwzorowania (Maria Ekes, Jacek Kłopotowski) 9. Rachunek zdań Rachunek zbiorów Rachunek kwantyfikatorów Relacje Odwzorowania Strona 4 z Własności funkcji (Monika Dędys) Dziedzina, zbiór wartości, wykres Funkcje różnowartościowe, funkcje na, funkcje wzajemnie jednoznaczne Monotoniczność funkcji Ekstrema lokalne funkcji

5 2.5 Obraz i przeciwobraz Złożenie funkcji Funkcja odwrotna Ciągi liczbowe (Maria Ekes) 6 3. Ciągi liczbowe i ich własności Zbieżność ciągów Granica i ciągłość funkcji (Maria Ekes) Granica funkcji Ciągłość funkcji Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej (Maria Ekes, Jacek Kłopotowski) Pierwsza pochodna funkcji Interpretacje pochodnej Interpretacja geometryczna Interpretacja fizyczna Interpretacja ekonomiczna Zastosowania pochodnej Obliczanie granic wyrażeń nieoznaczonych Monotoniczność funkcji Ekstrema lokalne Strona 5 z 403

6 5.3.4 Ekstrema globalne funkcji Druga pochodna funkcji Zastosowania drugiej pochodnej Wyznaczanie ekstremów lokalnych Wypukłość i wklęsłość funkcji Tempo zmian wartości funkcji Badanie przebiegu zmienności funkcji Całki (Monika Dędys) 4 6. Całka nieoznaczona Całka oznaczona Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Całka Riemanna Całka niewłaściwa Przestrzeń liniowa R n (Jacek Kłopotowski) Punkty i wektory w R 2 i w R Struktura liniowa w przestrzeni R n Liniowa niezależność, baza przestrzeni Macierze (Jacek Kłopotowski) Określenie macierzy, działania na macierzach Przekształcenia liniowe Strona 6 z 403

7 8.3 Operacje elementarne Wyznacznik macierzy Układy równań liniowych Rozwiązywanie układów równań za pomocą operacji elementarnych Wzory Cramera Funkcje wielu zmiennych (Sławomir Dorosiewicz) Pojęcia wstępne Uzupełnienie. Ciągłość funkcji Pochodne cząstkowe Uzupełnienie. Pochodne kierunkowe. Różniczkowalność funkcji Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Uzupełnienie. Ekstrema funkcji wielu zmiennych Ekstrema warunkowe funkcji Rachunek prawdopodobieństwa (Jacek Kłopotowski) Własności prawdopodobieństwa Jednowymiarowe zmienne losowe Zmienne losowe o rozkładzie skokowym Zmienne losowe o rozkładzie ciągłym Przybliżenia asymptotyczne rozkładu Bernoulliego Rozwiązania i odpowiedzi 278 Strona 7 z 403

8 . Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Skorowidz 394 Strona 8 z 403

9 Rozdział Elementy logiki i rachunku zbiorów, relacje i odwzorowania.. Rachunek zdań Zdaniem nazywamy w matematyce wypowiedź oznajmującą, dla której można jednoznacznie stwierdzić, czy jest prawdziwa, czy fałszywa. Zdania oznaczamy małymi literami p, q, r,.... Jeśli zdanie p jest prawdziwe, to mówimy, że ma wartość logiczną równą. Jeśli zdanie p jest fałszywe, to mówimy, że ma wartość logiczną równą 0. Korzystając z funktorów zdaniotwórczych,,,, (nazywanych odpowiednio: negacją, alternatywą, koniunkcją, implikacją, równoważnością) z danych zdań możemy tworzyć nowe zdania (nazywane zdaniami złożonymi). Zdanie p, które czytamy nie p lub nieprawda, że p, nazywamy negacją albo zaprzeczeniem Strona 9 z 403

10 zdania p; zdanie p q, które czytamy p lub q, nazywamy alternatywą zdań p, q; zdanie p q, które czytamy p i q, nazywamy koniunkcją zdań p, q; zdanie p q które czytamy jeśli p, to q, nazywamy implikacją zdań p, q; zdanie p q, które czytamy p wtedy i tylko wtedy, gdy q albo p jest równoważne q nazywamy równoważnością zdań p, q. Zauważmy, że negacja jest funktorem jednoargumentowym, pozostałe funktory są dwuargumentowe. Reguły działania kwantyfikatorów określone są w poniższej tabeli (0 oznacza, że zdanie w nagłówku jest fałszywe, a oznacza, że zdanie w nagłówku jest prawdziwe). p q p p q p q p q p q Z podanych reguł działania kwantyfikatorów wynika, że: negacja zmienia wartość logiczną zdania p na przeciwną, Strona 0 z 403 alternatywa p q jest zdaniem prawdziwym wówczas, gdy co najmniej jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, koniunkcja p q jest zdaniem prawdziwym tylko wtedy, gdy oba zdania p, q są prawdziwe, implikacja p q jest zdaniem fałszywym tylko wtedy, gdy p jest zdaniem prawdziwym, a q jest zdaniem fałszywym,

11 równoważność p q jest zdaniem prawdziwym wtedy, gdy oba zdania mają jednakową wartość logiczną. Definicja.. Prawem rachunku zdań lub tautologią nazywamy takie zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe bez względu na wartości logiczne zdań, z których jest utworzone. Przykład.2. Udowodnimy, że zdanie złożone (p q) ( p) ( q) (prawo de Morgana dla zaprzeczenia alternatywy) jest tautologią. Rozwiązanie. W dowodzie wykorzystamy tak zwaną metodę zero-jedynkową. Wypiszemy w tabelce zdania wchodzące w skład rozpatrywanego wyrażenia i zbadamy ich wartości logiczne w zależności od wartości logicznych zdań p i q. p q p q (p q) p q ( p) ( q) (p q) ( p) ( q) W ostatniej kolumnie otrzymaliśmy same jedynki, co oznacza, że rozważane zdanie jest prawem rachunku zdań. Strona z 403

12 Zadania.. (?) Wykazać, że podane wyrażenia są prawami rachunku zdań: a) (p q) ( p) ( q) prawo de Morgana dla zaprzeczenia koniunkcji, b) p q (( q) ( p)) prawo kontrapozycji, c) (p q) (( p) q), d) ((p q) (q p)) (p q), e) ((p q) (q r)) (p r)..2. (?) Sprawdzić, czy podane wyrażenia są prawami rachunku zdań: a) (p q) (p q), b) (p q) (p q), c) ( p) (p q), d) (( p) q) (p q)..3. (?) Dla jakich wartości logicznych p i q prawdziwe są zdania: a) (p q) q, b) (p q) (q p), c) (p q) (p q)..4. (?) Zapisać zdanie równoważne zdaniu p q używając funktorów i..5. (?) Zapisać zdanie równoważne zdaniu p q używając funktorów i..6. (?) Zapisać zdanie równoważne zdaniu p q używając funktorów i. Strona 2 z 403

13 .2. Rachunek zbiorów Zbiory oznaczać będziemy dużymi literami A, B,..., X, a ich elementy małymi literami a, b,..., x. Zapis x X oznacza, że x jest elementem zbioru X, w przeciwnym przypadku piszemy x X. Zbiór skończony złożony z n elementów x, x 2,..., x n zapisujemy w postaci {x, x 2,..., x n }. Zbiór, który nie zawiera żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem. Specjalne oznaczenia przyjmiemy dla podanych niżej zbiorów liczbowych. Symbolem N oznaczać będziemy zbiór wszystkich liczb naturalnych (przyjmujemy umowę, że 0 nie jest liczbą naturalną), symbolem C zbiór wszystkich liczb całkowitych, symbolem W zbiór wszystkich liczb wymiernych, symbolem R zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Zdefiniujemy dalej działania na zbiorach, wykorzystując określone w poprzednim paragrafie funktory zdaniotwórcze. Mówimy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x spełniony jest warunek x A x B. Piszemy wówczas A B. W przeciwnym przypadku, jeśli A nie jest podzbiorem zbioru B, piszemy A / B. Mówimy, że zbiory A i B są równe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x spełniony jest warunek x A x B. W literaturze stosuje się również inną symbolikę, zbiór wszystkich liczb całkowitych oznacza się przez Z, a zbiór wszystkich liczb wymiernych przez Q. Strona 3 z 403

14 Piszemy wówczas A = B. Zauważmy od razu, że A = B A B B A. Sumą zbiorów A, B nazywamy zbiór A B określony warunkiem x A B x A x B, to znaczy zbiór tych elementów, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów A, B. Częścią wspólną lub iloczynem zbiorów A, B nazywamy zbiór A B taki, że x A B x A x B, czyli zbiór tych elementów, które należą do obu zbiorów A, B. Różnicą zbiorów A, B nazywamy zbiór A B określony warunkiem x A B x A x B, a więc zbiór tych elementów zbioru A, które nie należą do zbioru B. Na ogół rozpatrujemy podzbiory pewnego ustalonego, niepustego zbioru X. Zbiór X nazywamy wówczas przestrzenią 2, a różnicę X A, gdzie A X, nazywamy dopełnieniem zbioru A (w przestrzeni X) i oznaczamy przez A. Prawa rachunku zbiorów często dowodzimy korzystając z praw rachunku zdań. Przykład.3. Wykażemy, że (A B) = A B Strona 4 z używa się również nazwy uniwersum.

15 (prawo de Morgana dla dopełnienia sumy zbiorów). Rozwiązanie. Korzystając z prawa de Morgana dla zaprzeczenia alternatywy, otrzymujemy x (A B) x A B (x A B) (x A x B) ( x A) ( x B) x A x B x A B dla każdego elementu x, a zatem zbiory (A B) i A B są równe. Zadania.7. (?) Wykazać, że (A B) = A B (prawo de Morgana dla dopełnienia iloczynu zbiorów)..8. (?) Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, C X spełnione są warunki: a) A A = X, b) A A =, c) A B = A B, d) A A B, e) A (B C) = (A B) (A C), f) A (B C) = (A B) (A C), g) A B A C A B C, h) A C B C A B C. Strona 5 z Rachunek kwantyfikatorów Definicja.4. Niech X. Funkcją zdaniową zmiennej x, gdzie x X, nazywamy wyrażenie ϕ (x), które staje się zdaniem (prawdziwym lub fałszywym), gdy za zmienną x podstawimy nazwę

16 dowolnego elementu ze zbioru X. Zbiór X nazywamy zakresem zmienności funkcji zdaniowej ϕ (x). Funkcję zdaniową zmiennej x zapisujemy w postaci ϕ (x), x X, a zbiór tych wszystkich elementów x X, dla których ϕ (x) jest zdaniem prawdziwym oznaczamy symbolem {x X ϕ (x)}. Przykład.5. Niech A X, ϕ (x) x A, wówczas {x X ϕ (x)} = A. Przykład.6. Wyrażenie x 2 < 0, x R, jest funkcją zdaniową. Podstawiając x = 0 otrzymujemy zdanie prawdziwe, a podstawiając x = otrzymujemy zdanie fałszywe. Łatwo można zauważyć, że {x R x 2 < 0} = (, ). Korzystając z funkcji zdaniowych możemy zapisać sumy, iloczyny i różnice podzbiorów ustalonego zbioru X w postaci Strona 6 z 403 A B = {x X x A x B}, A B = {x X x A x B}, A B = {x X x A x B}. Z funkcji zdaniowych korzystamy często w sformułowaniach definicji i twierdzeń. Używamy wówczas zwrotów dla każdego x X spełniony jest warunek ϕ (x)

17 oraz istnieje x X spełniający warunek ϕ (x). Zdania te zapisujemy odpowiednio w postaci ϕ (x) oraz ϕ (x). Symbol nazywamy x X x X kwantyfikatorem ogólnym, a symbol nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym (lub egzystencjalnym). Zdanie ϕ (x) jest prawdziwe wówczas, gdy x X {x X ϕ (x)} = X, a zdanie ϕ (x) jest prawdziwe wówczas, gdy x X {x X ϕ (x)}. Uwaga. W literaturze często używa się innych oznaczeń, kwantyfikator ogólny oznacza się symbolem, a kwantyfikator egzystencjalny symbolem. Przykład.7. Wykażemy, że ϕ (x) ϕ (x) x X x X (prawo de Morgana zaprzeczenia kwantyfikatora ogólnego). Rozwiązanie. Należy pokazać, że wartości logiczne zdań obu zdań ϕ (x) i x X jednakowe. Zdanie x X ϕ (x) jest fałszywe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie x X ϕ (x) są x X ϕ (x) jest prawdziwe, Strona 7 z 403

18 tzn. wtedy, gdy {x X ϕ (x)} = X; wówczas {x X ϕ (x)} = {x X ϕ (x)} =, a więc zdanie ϕ (x) jest również fałszywe. x X ϕ (x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie x X Zdanie x X wtedy, gdy {x X ϕ (x)} X; wówczas ϕ (x) jest fałszywe, tzn. {x X ϕ (x)} = {x X ϕ (x)}, czyli zdanie ϕ (x) jest również prawdziwe. x X Niech ϕ (x), ψ (x) będą funkcjami zdaniowymi zmiennej x X. Przez zdanie a przez ϕ (x) zdanie ψ(x) (ψ (x) ϕ (x)), x X (ψ (x) ϕ (x)). x X ϕ (x) oznaczamy ψ(x) Niech X, I. Załóżmy, że dla każdego i I jest określony zbiór A i X. Zbiór tych wszystkich zbiorów A i nazywamy indeksowaną rodziną podzbiorów zbioru X i oznaczamy symbolem (A i ) i I. Definicja.8. Sumą uogólnioną indeksowanej rodziny (A i ) i I podzbiorów zbioru X nazywamy Strona 8 z 403

19 zbiór i I A i = {x X x A i }. i I Iloczynem uogólnionym indeksowanej rodziny (A i ) i I podzbiorów zbioru X nazywamy zbiór Z powyższej definicji wynika, że i I A i = {x X x A i }. i I x i I x i I A i x A i, i I A i x A i, i I suma uogólniona indeksowanej rodziny rodziny (A i ) i I jest zatem zbiorem tych elementów zbioru X, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów A i, a iloczyn uogólniony indeksowanej rodziny rodziny (A i ) i I jest zbiorem tych elementów zbioru X, które należą do każdego zbioru A i. Przykład.9. Niech A t = {x R tx < } dla każdej liczby rzeczywistej t. Wyznaczymy A t oraz A t. t R Rozwiązanie. Zauważmy, że A 0 = {x R 0x < } = R. Jeśli t > 0, to t R Strona 9 z 403 A t = {x R tx < } = {x R x < t } = (, t ).

20 Jeśli t < 0, to A t = {x R tx < } = {x R x > t } = ( t, ). Stąd wynika, że A t = R, A t = {0}. t R t R W szczególnym przypadku, gdy I = N, zamiast A n. n= n N A n piszemy A n, a zamiast A n piszemy n= n N Przykład.0. Jeśli A n = n, n dla n N, to n= A n =, ) oraz n= A n = {0}. Przykład.. Wykażemy, że ( A i ) i I uogólnionej ). Rozwiązanie. Korzystając z prawa de Morgana zaprzeczenie kwantyfikatora ogólnego, otrzymujemy = A i i I (prawo de Morgana dopełnienia sumy x ( A i ) i I x i I A i (x i I A i ) x A i i I i I (x A i ) i I x A i x A i. i I Strona 20 z 403 Zadania.9. (?) Udowodnić, że ϕ (x) ϕ (x) x X x X (prawo de Morgana zaprzeczenia kwantyfikatora szczegółowego).

21 .0. (?) Udowodnić, że ( A i ) = A i (prawo de Morgana dopełnienia iloczynu uogólnionego). i I i I.. (?) Niech A t = {x R x 2 < t} dla każdej liczby rzeczywistej t. Wyznaczyć A t oraz A t. t R t R.2. (?) Wyznaczyć A n i A n, jeśli: n= n= a) A n = n,, n b) A n = ( n, ), n c) A n = ( ) n + n, +. n.4. Relacje Niech X, Y. Symbolem (x, y), gdzie x X, y Y, oznaczamy parę uporządkowaną o poprzedniku x i następniku y. Definicja.2. Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór X Y = {(x, y) x X y Y }. Iloczyn kartezjański X X zapisujemy często również w postaci X 2. Przykład.3. Iloczynem kartezjańskim zbiorów X = {, 2, 3} i Y = {a, b} jest zbiór Strona 2 z 403 X Y = {(, a), (2, a), (3, a), (, b), (2, b), (3, b)}. Definicja.4. Niech X, Y. Dowolny podzbiór ρ X Y nazywamy relacją określoną w iloczynie kartezjańskim zbiorów X i Y. Jeśli X = Y, to relację ρ X X nazywamy relacją

22 w zbiorze X. Mówimy, że element x jest w relacji z elementem y, jeśli (x, y) ρ, piszemy wówczas również xρy. Dziedziną relacji ρ nazywamy zbiór przeciwdziedziną zbiór D ρ = {x X (x, y) ρ}, y Y P ρ = {y Y (x, y) ρ}. x X Relacją odwrotną do relacji ρ nazywamy relację ρ = {(y, x) Y X (x, y) ρ}. Przykład.5. Niech ρ = {(, 2), (, 3), (2, 3), (3, 4), (3, 5)} N N, wówczas D ρ = {, 2, 3}, P ρ = {2, 3, 4, 5}, ρ = {(2, ), (3, ), (3, 2), (4, 3), (5, 3)}. Zajmiemy się obecnie wybranymi relacjami określonymi w zbiorze X. Definicja.6. Relację ρ X X nazywamy: a) zwrotną (x, x) ρ, x X b) przeciwzwrotną x X c) symetryczną x,y X (x, x) ρ, d) przeciwsymetryczną x,y X e) przechodnią x,y,z X f) antysymetryczną x,y X [(x, y) ρ (y, x) ρ], [(x, y) ρ (y, x) ρ], [((x, y) ρ (y, z) ρ) (x, z) ρ], [((x, y) ρ (y, x) ρ) x = y], Strona 22 z 403

23 g) spójną [(x, y) ρ (y, x) ρ]. x,y X Przykład.7. Określona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych R relacja niewiększości jest zwrotna, przechodnia, antysymetryczna i spójna, a relacja mniejszości < jest przeciwzwrotna, przeciwsymetryczna i przechodnia. Przykład.8. Określona w przestrzeni R 2 relacja (x, x 2 ) (y, y 2 ) x y x 2 y 2 jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna, ale nie jest spójna. Definicja.9. Relację ρ X X nazywamy częściowym porządkiem wtedy i tylko wtedy, gdy ρ jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna. Jeśli ponadto ρ jest spójna, to ρ nazywamy porządkiem liniowym. Parę (X, ρ) nazywamy wówczas odpowiednio przestrzenią częściowo (lub liniowo) uporządkowaną. Definicja.20. Relację ρ X X nazywamy nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy ρ jest zwrotna, przechodnia i symetryczna. Jeśli xρy, to mówimy, że elementy x i y są równoważne. Definicja.2. Klasą abstrakcji o reprezentancie x X relacji relacji równoważności ρ X X nazywamy zbiór [x] ρ = {y X xρy}. Zbiór klas abstrakcji relacji równoważności ρ nazywamy przestrzenią ilorazową i oznaczamy symbolem X/ρ. Definicja.22. Rodzinę (A i ) i I niepustych i parami rozłącznych podzbiorów przestrzeni X taką, że A i = X nazywamy podziałem zbioru X. i I Strona 23 z 403

24 Twierdzenie.23. Jeśli ρ jest relacją równoważności w zbiorze X, to zbiór klas abstrakcji relacji ρ jest podziałem zbioru X. Przykład.24. W zbiorze wszystkich liczb naturalnych N określamy relację nρk n + k = 2p. p N Wykażemy, że ρ jest relacją równoważności i wyznaczymy klasy abstrakcji tej relacji. Rozwiązanie. Relacja ρ jest oczywiście zwrotna i symetryczna, wykażemy, że jest również przechodnia. Załóżmy, że nρk i kρm, tzn. n + k = 2p i k + m = 2q, gdzie p, q N, wówczas n + m = n + k + k + m 2k = 2 (p + q k), przy czym p + q k N. Relacja ta ma dwie klasy abstrakcji: Strona 24 z 403 [] ρ = {, 3, 5,...}, [2] ρ = {2, 4, 6,...}. Zadania.3. (?) Wykazać, że jeśli niepusta relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna.

25 .4. (?) Zbadać czy relacja ρ X X jest zwrotna, przeciwzwrotna, symetryczna, przeciwsymetryczna, przechodnia, antysymetryczna, spójna, jeśli: a) X = N, kρn n k, 3 b) X = R,xρy x = y, c) X = R, xρy x < y, d) X = R, xρy x y = 2, e) X = R, xρy sgn x = sgn y, f) X = R, xρy x 2 + y 2 =..5. (?) Sprawdzić, czy określona w zbiorze 2 R, relacja AρB A B jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem..6. (?) W zbiorze R 2 określamy relację (x, x 2 ) ρ (y, y 2 ) x + x 2 y + y 2. Strona 25 z 403 Sprawdzić, czy ρ jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem..7. (?) W zbiorze R 2 określamy relację (x, x 2 ) ρ (y, y 2 ) x < y (x = y x 2 < y 2 ) (x = y x 2 = y 2 ). Sprawdzić, czy ρ jest: 3 Zapis n k oznacza, że liczba n jest dzielnikiem liczby k.

26 a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem..8. (?) Niech f R 2 R będzie dowolną funkcją. Sprawdzić, czy określona w zbiorze R 2 relacja (x, x 2 ) ρ (y, y 2 ) f (x, x 2 ) f (y, y 2 ) jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem..9. (?) W zbiorze X = {a, b, c, d, e} określona jest relacja ρ = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, c), (c, b), (d, d), (d, e), (e, d), (e, e)}. Wykazać, że ρ jest relacją równoważności i podać podział na klasy abstrakcji..20. (?) Sprawdzić, czy ρ X X jest relacją równoważności, jeśli: a) X = N, kρn k n = 3p, p C b) X = N, kρn k + n = 3p, p N c) X = R, xρy x 2 = y 2, d) X = R, xρy sin x = sin y, e) X = R 2, (x, x 2 ) ρ (y, y 2 ) x 2 + x2 2 = y2 + y2 2. Jeśli ρ jest relacją równoważności, to podać podział na klasy abstrakcji..2. (?) Niech f R 2 R będzie dowolną funkcją. Sprawdzić, czy określona w zbiorze R 2 relacja (x, x 2 ) ρ (y, y 2 ) f (x, x 2 ) = f (y, y 2 ) jest relacją równoważności..22. (?) W zbiorze R 2 określamy relację Strona 26 z 403 (x, x 2 ) ρ (y, y 2 ) (x y = k x 2 y 2 = k). k C

27 a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji [(, 2)]..23. (?) W zbiorze R 2 określamy relację a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. (x, x 2 ) ρ (y, y 2 ) x 2 x 2 2 = y 2 y 2 2. b) Podać ilustrację graficzną klasy abstrakcji [(, )]..24. (?) W zbiorze X = R {0} określamy relację xρy (x y) (x y ) = 0. a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji [ 2 ]. Strona 27 z (?) W zbiorze R określamy relację a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji [ 2]. xρy x 2 y 2 = k. k C

28 .26. (?) W zbiorze W określamy relację xρy x y = k. k C a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji [ 2 ]..27. (?) W zbiorze R określamy relację a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji [ 2]. xρy x y = w. w W.28. (?) W zbiorze N 2 określamy relację Strona 28 z 403 (x, x 2 ) ρ (y, y 2 ) x y = x 2 y 2. a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji [(2, )]..29. (?) W zbiorze R 2 określamy relację (x, x 2 ) ρ (y, y 2 ) (x + x 2 ) 2 = (y + y 2 ) 2.

29 a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji [(, 3)]..30. (?) W zbiorze R 2 określamy relację (x, x 2 ) ρ (y, y 2 ) sin (x x 2 ) = sin (y y 2 ). a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji [( 2 π, 2 π)]..3. (?) W zbiorze R 2 określamy relację (x, x 2 ) ρ (y, y 2 ) cos (x x 2 ) = cos (y y 2 ). a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji [( 4 π, 4 π)]. Strona 29 z Odwzorowania Definicja.25. Relację ρ X Y nazywamy: a) prawostronnie jednoznaczną wtedy i tylko wtedy, gdy x X y,y 2 Y (x, y ) ρ (x, y 2 ) ρ y = y 2,

30 b) lewostronnie jednoznaczną wtedy i tylko wtedy, gdy x,x 2 X y Y (x, y) ρ (x 2, y) ρ x = x 2. Definicja.26. Odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y (lub funkcją przekształcającą X w Y ) nazywamy prawostronnie jednoznaczną relację f X Y taką, że D f = X. Zamiast f X Y piszemy wówczas f X Y, a zamiast (x, y) f piszemy y = f (x). Jeśli f X Y jest odwzorowaniem i A X, to przez f A oznaczamy odwzorowanie f A A Y określone wzorem f A (x) = f (x) dla x A. Odwzorowanie f A nazywamy obcięciem odwzorowania f do zbioru A. Definicja.27. Niech f X Y, A X, B Y. a) Obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f nazywamy zbiór f (A) = {y Y y = f (x)} = {f (x) x A}. x A b) Przeciwobrazem zbioru B przy odwzorowaniu f nazywamy zbiór Strona 30 z 403 f (B) = {x X y = f (x)} = {x X f (x) B}. y B Definicja.28. Odwzorowanie f X Y nazywamy:

31 a) suriekcją lub odwzorowaniem zbioru X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy y Y y = f (x), x X b) iniekcją lub odwzorowaniem różnowartościowym wtedy i tylko wtedy, gdy x x 2 f (x ) f (x 2 ), x,x 2 X c) bijekcją lub odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym wtedy i tylko wtedy, gdy f jest suriekcją i iniekcją. Uwagi:. Odwzorowanie f X Y jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy P f = Y, tzn., gdy f (X) = Y. 2. Warunek na różnowartościowość odwzorowania f można zapisać w równoważnej postaci f (x ) = f (x 2 ) x = x 2. x,x 2 X Strona 3 z 403 Twierdzenie.29. Jeśli f X Y jest bijekcją, to relacja odwrotna f : a) jest odwzorowaniem zbioru Y na zbiór X, b) jest bijekcją. Odwzorowanie f Y Y nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do odwzorowania f.

32 Związek między wartościami f i f można zapisać w postaci x X y Y y = f (x) x = f (y). Definicja.30. Złożeniem lub superpozycją odwzorowań f X Y, g Y Z nazywamy odwzorowanie g f X Z określone wzorem (g f) (x) = g (f (x)). Twierdzenie.3. Jeśli odwzorowania f X Y, g Y Z są suriekcjami, to g f jest suriekcją. Twierdzenie.32. Jeśli odwzorowania f X Y, g Y Z są iniekcjami, to g f jest iniekcją. Twierdzenie.33. Jeśli odwzorowania f X Y, g Y Z są bijekcjami, to: a) g f jest bijekcją, b) (g f) = f g. Zadania.32. (?) Sprawdzić, czy relacja f jest odwzorowaniem: a) f = {(n, y) N W n + 2y 3 = 0}, b) f = {(n, k) N N n + k = 2}, c) f = {(x, y) R 2 x = y}, d) f = {(x, y) R 2 x 2 = y 2 }, Strona 32 z 403

33 e) f = {(x, y) R 2 sin x = sin y}..33. (?) Niech f R R, f (x) = x + x. Wyznaczyć f (, ), f (R), f (, 2 ), f ({0}), f ( 0, + ))..34. (?) Niech f R R, f (x) = x 2 + x 2. Wyznaczyć f ( 2, ), f (R), f ( 2, 0 ), f ({0}), f (R)..35. (?) Niech f R R, f (x) = sin x. Wyznaczyć f ( 2 π, 2 π ), f (R), f ({0}), f ( 0, 2 ), f (R)..36. (?) Wyznaczyć złożenie g f funkcji: a) f R R, f (x) = 2x, g R R, g (x) = x 2 ; b) f R + R, f (x) = x, g R R +, g (x) = x (?) Wyznaczyć złożenie g f i f g funkcji f R + {0} R, f (x) = log x, g R R + {0}, g (x) = 00 x..38. (?) Zbadać różnowartościowość funkcji: a) f R { } R, f (x) = x x+, b) f (0, + ) R, f (x) = ln x 2, c) f R {0} R, f (x) = arc tg ( x ), d) f, R, f (x) = arc sin x + arc cos x..39. (?) Niech f R ( 2 π, 2π), f (x) = arc tg (3x 2). a) Wykazać, że f jest bijekcją. b) Wyznaczyć f. Strona 33 z 403

34 .40. (?) Niech f R 2 R 2, f ((x, x 2 )) = (x + x 2, x x 2 ). a) Wykazać, że f jest bijekcją. b) Wyznaczyć f. c) Wyznaczyć f (R 2 +) 4, f ({(y, y 2 ) R 2 y y 2 0}). Strona 34 z R 2 + = {(x, x 2 ) R 2 x 0 x 2 0}.

35 Rozdział 2 Własności funkcji 2.. Dziedzina, zbiór wartości, wykres Jak pamiętamy, w szkole definiowaliśmy pojęcie funkcji w następujący sposób. Jeżeli każdemu elementowi x zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden element y zbioru Y, to mówimy, że w zbiorze X określona jest funkcja f zmiennej x o wartościach ze zbioru Y. Bardziej formalnie, na funkcję możemy patrzeć jako na pewien podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów X i Y (por. rozdział ). Powtórzymy dla przypadku, gdy X, Y R sformułowane w rozdziale definicje dotyczące odwzorowań. Strona 35 z 403 Definicja 2.. Niech X, Y R, X, Y. Funkcją ze zbioru X w zbiór Y nazywamy podzbiór f zbioru X Y taki, że dla każdego x X istnieje dokładnie jeden y Y taki, że (x, y) f.

36 Uwagi:. Zamiast (x, y) f piszemy zwykle y = f(x). 2. Funkcję nazywamy też przekształceniem lub odwzorowaniem. Mówimy, że funkcja f przekształca (odwzorowuje) zbiór X w zbiór Y. Stosujemy przy tym zapisy: f X Y, y = f(x); y = f(x) dla x X; x f(x) dla x X. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji (oznaczamy go również symbolem D f ), a elementy x tego zbioru argumentami funkcji. Z kolei y 0 = f(x 0 ) nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x 0. Mówimy też, że y 0 jest wartością funkcji f w punkcie x 0. Zbiór tych y Y, dla których istnieje x X, takie że y = f(x) nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez f(x). Funkcję f X Y, gdzie X, Y R, nazywamy funkcją rzeczywistą jednej zmiennej rzeczywistej. Często, określając funkcję podaje się sam wzór y = f(x). Za dziedzinę funkcji przyjmujemy wtedy zbiór tych wszystkich x, dla których wyrażenie f(x) jest dobrze określone. Dla funkcji rzeczywistej jednej zmiennej możemy podać ilustrację graficzną wykresu funkcji, a więc zbioru tych punktów (x, y) płaszczyzny kartezjańskiej, których współrzędne spełniają warunek y = f(x) dla x X. Zważywszy na definicję 2., wykres funkcji utożsamiać możemy ze zbiorem f. Na rysunkach przypominamy wykresy wybranych funkcji znanych ze szkolnego kursu matematyki. Strona 36 z 403

37 Rysunek 2.: f R R, f(x) = ax + b Strona 37 z 403 (a) f R R, f(x) = x 2 (b) f R R, f(x) = x 3 Rysunek 2.2: Wykresy wybranych funkcji

38 (a) f R {0} R, f(x) = x (b) f 0, ) R, f(x) = x Rysunek 2.3: Wykresy wybranych funkcji Strona 38 z 403 (a) f R R, f(x) = a x (b) f (0, ) R, f(x) = log a x Rysunek 2.4: Wykresy wybranych funkcji

39 (a) f R R, f(x) = sin x (b) f R R, f(x) = cos x Rysunek 2.5: Wykresy wybranych funkcji Strona 39 z 403 (a) f R { π + kπ k C}, f(x) = tgx 2 (b) f R {kπ k C}, f(x) = ctgx Rysunek 2.6: Wykresy wybranych funkcji

40 Wraz z funkcją f X R możemy rozważać funkcje: y = f(x) dla x X, y = f( x) dla x {x x R x X}, y = f(x) + q dla x X i q R, y = f(x p) dla x {x x R x p X}. Łatwo zauważyć, że wykresy powyższych funkcji można otrzymać przekształcając w odpowiedni sposób wykres funkcji f. Tabela 2.: Przekształcenia wykresu funkcji przekształcenie v obraz wykresu funkcji f w przekształceniu v symetria osiowa względem osi Oy symetria osiowa względem osi Ox y = f(x) y = f( x) translacja o wektor [0, q] y = f(x) + q Strona 40 z 403 translacja o wektor [p, 0] y = f(x p) Przykład 2.2. Narysujemy wykres funkcji g (, 4 R, g(x) = 4 x 2. Kolejne etapy rysowania wykresu przedstawiamy na rysunku 2.7. W pierwszym kroku wykres funkcji f 0, ) R, f(x) = x przekształcamy, stosując symetrię osiową względem osi 0y.

41 Otrzymujemy w ten sposób wykres funkcji y = x, który przesuwamy o wektor [4, 0]. W wyniku tego przesunięcia dostajemy wykres funkcji y = (x 4), który znowu przesuwamy, tym razem o wektor [0, 2]. Trzeba jeszcze zauważyć, że h(x) gdy h(x) 0, h(x) = h(x) gdy h(x) < 0. Jeśli zatem część wykresu funkcji y = 4 x 2 znajdującą się pod osią 0x odbijemy symetrycznie względem tej osi, to otrzymamy wykres funkcji g. Strona 4 z 403 (a) Przekształcenia wykresu funkcji f(x) = x (b) Przekształcenia wykresu funkcji f( (x 4)) = 4 x Rysunek 2.7: Kolejne etapy rysowania wykresu funkcji y = 4 x 2 z przykładu 2.2

42 2.2. Funkcje różnowartościowe, funkcje na, funkcje wzajemnie jednoznaczne Definicja 2.3. Funkcję f X Y nazywamy różnowartościową wtedy, gdy (x x 2 f(x ) f(x 2 )). x,x 2 X Uwaga. Warunek z definicji jest równoważny następującemu warunkowi: lub iniekcją wtedy i tylko (f(x ) = f(x 2 ) x = x 2 ). x,x 2 X Przykład 2.4. a) Funkcja f R R, f(x) = x 2 nie jest funkcją różnowartościową. Na przykład f( 2) = f(2) = 4. b) Funkcja g R R, g(x) = 3x + jest różnowartościowa. Jeśli bowiem g(x ) = g(x 2 ), czyli 3x + = 3x 2 +, to oczywiście x = x 2. Przypominamy, że jeśli mamy do dyspozycji wykres funkcji, to badanie różnowartościowości sprowadza się do wyznaczania punktów przecięcia wykresu funkcji z prostymi równoległymi do osi 0x. Jeśli dla każdego a R prosta o równaniu y = a ma z wykresem funkcji co najwyżej jeden punkt wspólny, to rozważana funkcja jest różnowartościowa. Patrz rysunek 2.8. Przykład 2.5. Zbadamy, czy funkcja f R {2} R, f(x) = jest różnowartościowa. Przypuśćmy, że f(x ) = f(x 2 ), czyli x x 2 x x 2 = x 2 x 2 2 dla pewnych x, x 2 R {2}. Przekształcając ostatnią Strona 42 z 403

43 (a) Funkcja nie jest różnowartościowa (b) Funkcja jest różnowartościowa Rysunek 2.8: Pojęcie funkcji różnowartościowej. Przykład 2.4 równość, otrzymujemy x (x 2 2) = x 2 (x 2) x x 2 2x = x x 2 2x 2 x = x 2. Strona 43 z 403 A zatem f jest funkcją różnowartościową. Definicja 2.6. Mówimy, że funkcja f X Y przekształca zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego y Y istnieje x X takie, że y = f(x). Uwaga. Funkcja f X Y przekształca zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wartości funkcji f jest równy Y. Funkcję, która przekształca zbiór X na zbiór Y będziemy nazywać krótko funkcją na albo suriekcją.

44 Przykład 2.7. a) Funkcja f R R, f(x) = x 2 nie jest funkcją na. Na przykład, dla y = nie istnieje x R takie, że y = f(x), bowiem równanie x 2 = nie ma rozwiązania w zbiorze R. b) Weźmy teraz pod uwagę funkcję g R 0, ), g(x) = x 2. Zauważmy, że dla dowolnego y 0 istnieje x R takie, że y = f(x). Dla y > 0 mamy y = x 2 wtedy i tylko wtedy gdy x = y lub x = y. Dla y = 0 mamy x 2 = 0, czyli x = 0. A zatem funkcja g jest na. Przykład 2.8. Funkcja g R R, g(x) = 3x+ jest funkcją na. Dla dowolnego y R znajdziemy x R takie, że y = g(x). Wystarczy zauważyć, że y = 3x + wtedy i tylko wtedy, gdy x = y 3. Przykład 2.9. Zbadany czy funkcja f R {2} R, f(x) = x x 2 jest na. Weźmy dowolne y R. Szukamy x R {2} takiego, że y = x x 2. Przekształcając kolejno, mamy y(x 2) = x wtedy i tylko wtedy, gdy yx x = 2y, czyli (y )x = 2y. Zauważmy, że dla y = równanie jest sprzeczne (0x = 2). A zatem funkcja f nie jest na. Dodatkowo, biorąc pod uwagę to, że dla y równanie (y )x = 2y ma rozwiązanie, dochodzimy do wniosku, że zbiór R {} jest zbiorem wartości funkcji f. Definicja 2.0. Funkcję f X Y nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy f przekształca zbiór X na zbiór Y i jest różnowartościowa. Przykład 2.. W przykładach 2.4 i 2.8 pokazaliśmy, że funkcja g R R, g(x) = 3x + jest różnowartościowa i na. Jest zatem funkcją wzajemnie jednoznaczną Monotoniczność funkcji Strona 44 z 403 Definicja 2.2. Niech f X Y. Mówimy, że funkcja f jest:

45 (a) Funkcja malejąca (b) Funkcja niemalejąca Rysunek 2.9: Funkcje monotoniczne rosnąca malejąca niemalejąca nierosnąca stała (x < x 2 f(x ) < f(x 2 )) ; x,x 2 X x,x 2 X (x < x 2 f(x ) > f(x 2 )) ; x,x 2 X (x < x 2 f(x ) f(x 2 )) ; x,x 2 X x,x 2 X (x < x 2 f(x ) f(x 2 )); f(x ) = f(x 2 ). Uwaga. Mówimy, że funkcja f jest monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia któryś z powyższych warunków. W sytuacji, gdy któryś z powyższych warunków jest spełniony dla dowolnych x i x 2 należących do pewnego przedziału zawartego w dziedzinie mówimy, że funkcja f jest rosnąca (malejąca itp.) w tym przedziale. Strona 45 z 403

46 Przykład 2.3. Niech f R {2} R, f(x) = x x 2. Pokażemy, że funkcja f maleje w przedziale (2, ). Weźmy pod uwagę dowolne x, x 2 (2, ) takie, że x < x 2. Oczywiście f(x 2 ) f(x ) = x 2 x 2 2 x x 2 = 2(x x 2 ) (x 2 2)(x 2). Z nierówności x < x 2 wynika, że x x 2 < 0. Z kolei dla x, x 2 (2, ) mamy x 2 > 0 oraz x 2 2 > 0. A zatem 2(x x 2 ) (x 2 2)(x 2) < 0 i tym samym f(x 2) f(x ) < 0. Zauważmy jeszcze, że dla x, x 2 (, 2) takich, że x < x 2, mamy x 2 < 0 oraz x 2 2 < 0. Tak więc f(x 2 ) f(x ) < 0 i funkcja f maleje także w przedziale (, 2). Warto podkreślić, że funkcja f nie jest malejąca. Na przykład f( ) = 3, f(4) = 2. A zatem f( ) < f(4) mimo, że < 4. Własności funkcji f badaliśmy w przykładach 2.5 oraz 2.9. Oczywiście własności te można łatwo odczytać z wykresu funkcji. Aby wykonać wykres (patrz rysunek 2.0) wystarczy zauważyć, że f(x) = x x 2 = x = x 2 2 x 2 +. Strona 46 z Ekstrema lokalne funkcji Definicja 2.4. Dana jest funkcja f X Y i x 0 X.

47 Rysunek 2.0: Wykres funkcji z przykładu 2.5, 2.9, 2.3. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne r>0 f(x) f(x 0 ). x X (x 0 r,x 0 +r) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne Strona 47 z 403 r>0 f(x) f(x 0 ). x X (x 0 r,x 0 +r) Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi. Ilustrację ekstremów lokalnych przedstawia rysunek 2.. Uwaga. Jeśli dla każdego x X (x 0 r, x 0 + r) {x 0 } spełniona jest nierówność f(x) < f(x 0 ), to mówimy o właściwym maksimum lokalnym. Podobnie definiujemy pojęcie właściwego minimum lokalnego.

48 Rysunek 2.: Ekstrema lokalne funkcji Przykład 2.5. Funkcja f R R, f(x) = x 2 ma w punkcie x 0 = 0 maksimum lokalne (patrz rysunek 2.2). Zauważmy, że w tym punkcie f ma jednocześnie wartość największą (tzn. f(x 0 ) f(x) dla każdego x należącego do dziedziny funkcji f). Funkcja g R R, g(x) = x 2 ma również w punkcie x 0 = 0 maksimum lokalne. Tym razem g(x 0 ) nie jest największą wartością funkcji. Zauważmy jeszcze, że funkcja g ma w punktach x = oraz x = minima lokalne. x dla x > 0 Przykład 2.6. Rozważmy funkcję f R R, f(x) = x + dla x 0 x dla x 0 oraz funkcję g R R, g(x) = x + dla x < 0. Strona 48 z 403

49 (a) Funkcja ma w punkcie x = 0 maksimum lokalne i osiąga w tym punkcie wartość największą (b) Funkcja ma w punkcie x = 0 maksimum lokalne i nie osiąga w tym punkcie wartości największej Strona 49 z 403 Rysunek 2.2: Maksimum lokalne a największa wartość funkcji

50 (a) Funkcja ma w punkcie x = 0 maksimum lokalne Rysunek 2.3: Ekstrema lokalne funkcji (b) Funkcja ma w punkcie x = 0 minimum lokalne Funkcja f ma w punkcie x 0 = 0 maksimum lokalne. Funkcja g ma w punkcie x 0 = 0 minimum lokalne (patrz rysunek 2.3). Strona 50 z Obraz i przeciwobraz Definicja 2.7. Niech f X Y oraz A X. Obrazem zbioru A względem funkcji f nazywamy zbiór f(a) = {y Y y = f(x)}. x A Definicja 2.8. Niech f X Y oraz B Y. Przeciwobrazem zbioru B względem funkcji f

51 (a) Obraz zbioru A (na zielono) (b) Przeciwobraz zbioru B (na zielono) Rysunek 2.4: Obraz i przeciwobraz. Przykład 2.9 nazywamy zbiór f (B) = {x X y = f(x)}. y B Uwaga. Mówimy też o obrazie (przeciwobrazie) zbioru wyznaczonym przez funkcję f lub o obrazie (przeciwobrazie) zbioru przy odwzorowaniu f. Strona 5 z 403 Przykład 2.9. Niech f R R, f(x) = x 2. Niech A = 2, ) oraz B = (, 4. Wykorzystując wykres funkcji f (patrz rysunek 2.4), łatwo zauważyć, że f(a) = 0, 4 oraz f (B) = 2, ) (, 2. Przykład Weźmy pod uwagę funkcję f R R określoną następująco:

52 (a) Obraz zbioru A (na zielono) (b) Przeciwobraz zbioru B (na zielono) Rysunek 2.5: Obraz i przeciwobraz. Przykład 2.20 f(x) = 3 x + 2 dla x (, ), 2 dla x, ), 2 x dla x, ). Wyznaczymy obraz zbioru A = 4, oraz przeciwobraz B = (, ). Wykres funkcji f przedstawiamy na rysunku 2.5. Na podstawie wykresu funkcji f łatwo stwierdzić, że f(a) =, 3 { 2 } oraz f (B) = ( 6, 4), ). Strona 52 z 403 Przykład 2.2. Rozpatrujemy funkcję f R R, f(x) = x 2 +. Znajdziemy obraz zbioru A = = ( 2,. Zauważmy, że jeśli x ( 2,, to x 2 0, 4) i tym samym x 2 +, 5). Dla y, 5) mamy y ( 5,. Ostatecznie f(a) = ( 5,. Wyznaczymy teraz przeciwobraz zbioru B = 4, ). Szukamy rozwiązania nierówności 4 f(x) <

53 dla x należących do dziedziny funkcji f (w naszym przypadku dla x R). W kolejnych krokach otrzymujemy: x x x 2 3 x 3, 3 x 2 + < x 2 + > x 2 > 0 x 0. Ostatecznie f (B) = 3, 3 {0} Złożenie funkcji Zajmiemy się teraz sytuacją, w której wartość jednej funkcji staje się argumentem drugiej funkcji. Definicja Niech f X Y oraz g Ỹ Z, gdzie f(y ) nazywamy funkcję g f X Z określoną wzorem: Ỹ. Złożeniem funkcji f i g (g f) (x) = g(f(x)). Strona 53 z 403 Uwaga. Złożenie funkcji nazywamy także superpozycją funkcji. Przykład Weźmy pod uwagę funkcję f R R, f(x) = cos x oraz g R R, g(x) = x 2. Oczywiście zbiór wartości funkcji f zawiera się w dziedzinie funkcji g. Możemy zatem określić złożenie funkcji f i g. Mamy (g f) (x) = g(f(x)) = g(cos x) = (cos x) 2 dla x R. Podobnie g(r) zawiera się w dziedzinie funkcji f. Tak więc możemy wyznaczyć funkcję f g. Mamy (f g) (x) = f(g(x)) = f(x 2 ) = cos(x 2 ) dla x R.

54 Przykład Niech funkcja f 0, ) R będzie określona wzorem f(x) = x, zaś funkcja g ( 2, ) R wzorem g(x) = log 3 (x + 2). Biorąc pod uwagę to, że f( 0, )) = 0, ) ( 2, ), mamy (g f) (x) = g(f(x)) = log 3 (f(x) + 2) = log 3 ( x + 2) dla x 0, ). Zauważmy też, że zbiór wartości funkcji g nie zawiera się w dziedzinie funkcji f, gdyż (g(( 2, )) = R,) i tym samym nie możemy określić złożenia funkcji f g. Oczywiście, gdybyśmy zamiast funkcji g, wzięli pod uwagę na przykład funkcję g, ) R, g(x) = log 3 (x + 2), to mielibyśmy (f g) (x) = f( g(x)) = f(log 3 (x + 2)) = log 3 (x + 2) dla x, ) Funkcja odwrotna Rozważania rozpoczniemy od przykładu. Strona 54 z 403 Przykład Weźmy pod uwagę funkcję f {, 2, 3} {, 3, 5} określoną następująco: f() = = 5, f(2) = 3 oraz f(3) =. Oczywiście funkcja f jest różnowartościowa. Rozważmy funkcję g {, 3, 5} {, 2, 3} określoną następująco: g( ) = 3, g(3) = 2 oraz g(5) =. Zauważmy, że f(x) = y wtedy i tylko wtedy, gdy g(y) = x dla x {, 2, 3} i y {, 3, 5}. Niech teraz h(x) = g(f(x)) dla x {, 2, 3}. Oczywiście h() = g(5) = i ogólnie h(x) = x dla x {, 2, 3}. Łatwo sprawdzić, że również f(g(y)) = y dla y {, 3, 5}.

55 Definicja Niech f X Y. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję g X Y spełniającą następujący warunek: x X y Y f(x) = y g(y) = x. Uwaga. Funkcję odwrotną do funkcji f oznaczamy przez f. Przykład a) Weźmy pod uwagę funkcję f 0, ) 0, ), f(x) = x 2. Zauważmy, że dla każdego x 0 oraz y 0 mamy: y = x 2 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y. A zatem funkcją odwrotną do funkcji f jest funkcja przekształcająca zbiór 0, ) w zbiór 0, ) i określona wzorem f (y) = y. b) Rozważmy teraz funkcję g (, 0 0, ), g(x) = x 2. Dla każdego x 0 oraz y 0 mamy: y = x 2 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y. W tym przypadku g 0, ) (, 0, g (y) = y. Twierdzenie Funkcja f X Y ma funkcję odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Przykład Funkcja f R 0, ), f(x) = x 2 nie jest różnowartościowa. A zatem f nie ma funkcji odwrotnej. Przykład Funkcja f R R, f(x) = 2x 2 jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wyznaczymy funkcję odwrotną do f. Dowolnemu y chcemy przyporządkować x takie, że y = f(x). Szukamy zatem takiego x, że y = 2x 2. Z tego równania wyznaczamy x = 2 y +. Mamy f R R, f (y) = 2 y +. Strona 55 z 403

56 Rysunek 2.6: Wykresy funkcji f i f Przykład 2.3. Funkcja f (0, ) R, f(x) = log 2 x jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Zauważmy, że y = log 2 x wtedy i tylko wtedy, gdy x = 2 y. A zatem f R (0, ), f (y) = 2 y. Omówimy teraz związek między wykresem funkcji f i funkcji odwrotnej f. Jeśli punkt o współrzędnych (a, b) należy do wykresu funkcji f, to punkt o współrzędnych (b, a) należy do wykresu funkcji f i na odwrót. A zatem wykresy funkcji f i f są symetryczne względem prostej o równaniu y = x (patrz rysunek 2.6). Sformułujemy teraz najważniejsze własności funkcji odwrotnej. Twierdzenie Jeśli funkcja f X Y ma funkcję odwrotną f Y X, to: a) f (f(x)) = x dla x X. b) f (f (y)) = y dla y Y. c) Funkcja f ma funkcję odwrotną. Funkcją odwrotną do f jest funkcja f. Strona 56 z 403

57 Zadania (x 2) 3 + dla x > 2.. (?) Niech f R R, f(x) = x dla x. a) Sprawdzić, czy f( ) < f(2). b) Narysować wykres funkcji f. c) Podać zbiór wartości funkcji f. d) Czy f jest funkcją na? e) Podać przedziały, w których funkcja f maleje. f) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f. log 2 (x 2) dla x (?) Niech f R R, f(x) = x 2 2x + dla x < 2. a) Narysować wykres funkcji f. b) Podać zbiór wartości funkcji f. c) Dla jakich x R funkcja przyjmuje wartości dodatnie? d) Dla jakich x R spełniona jest nierówność f(x) 2? e) Podać przedziały, w których funkcja rośnie. f) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (?) Wyznaczyć dziedzinę funkcji: a) f(x) = x + x x+2 ; b) f(x) = x+2 ; c)f(x) = log 3 (2 x+ ) ; d)f(x) = log 2 (4 x2 ). (log 2 x) 3 log 2 x Strona 57 z 403

58 2.4. (?) Sprawdzić, czy funkcja f jest różnowartościowa, na, wzajemnie jednoznaczna, gdy: a)f R R, f(x) = x 3 + 2; b) f R {2} R, f(x) = x+3 x 2 ; c)f R 0, ), f(x) = x (?) Niech f X Y, f(x) = cos x. Podać przykład takich zbiorów X i Y, że: a) funkcja f jest różnowartościowa i jest funkcją typu na ; b) funkcja f nie jest różnowartościowa i jest funkcją typu na ; c) funkcja f jest różnowartościowa i nie jest funkcją typu na ;. d) funkcja f nie jest różnowartościowa i nie jest funkcją typu na (?) Sprawdzić, czy funkcja f jest monotoniczna. Odpowiedź uzasadnić. a)f R R, f(x) = 2x + 5; b) f ( 3, ) R, f(x) = log 0,5(3x + ); c) f (, 0, ) R, f(x) = x 2 + x. Strona 58 z (?) Niech f X R oraz g X R. Czy funkcja f +g X R,gdzie (f +g)(x) = f(x)+g(x) jest: a) różnowartościowa, jeśli funkcje f i g są różnowartościowe? b) jest na, jeśli funkcje f i g są na? c) rosnąca, jeśli funkcje f i g są rosnące? 2.8. (?) Wyznaczyć obraz zbioru A i przeciwobraz zbioru B wyznaczone przez funkcję f. a) f {, 2,..., 0} N, f(n) = 3n, A = {2, 3, 4}, B = {6n n N}.

59 b) f R R, f(x) = x 2 + 4x 5, A = 0, 3), B = (, 2. c) f R R, f(x) = ( 3 ) x, A = (, 2), B = 9, 3. d) f R R, f(x) = x 2 9, A = 4, ) (3, 3 2), B = (5, 7. e) f R R, f(x) = x + x, A = 3, 2) 3, 4), B = {, 2}. tgx dla x (0, π 2 f) f R R, f(x) = 2, π) x w p.p., A = (, 2 3 π, B = 3, ). 3x dla x ( 2, 2 g) f R R, f(x) = log 2 x 2 w p.p., A = ( 6, 6), B = (0, ). h)*f (0, π) R, f(x) = log 2 (sin x), A = 4 π, 3 4π, B =, (?) Wyznaczyć, o ile to możliwe, funkcje f g oraz g f, gdy: a) f R R, f(x) = 2x +, g R R, g(x) = sin x + cos x; b) f R R, f(x) = +x, g (, 0) R, g(x) = log 2 3 ( x); 3x dla x < c)f R R, f(x) = 2 +x, g R R, g(x) = 2 x 2 dla x (?) Niech f X Y oraz g Y Z. Czy g f jest: a) funkcją różnowartościową, jeśli funkcje f i g są różnowartościowe? b) funkcją na, jeśli funkcje f i g są funkcjami na? c) funkcją rosnącą, jeśli funkcje f i g są rosnące? d) funkcją malejącą, jeśli funkcje f i g są malejące? e) funkcją malejącą, jeśli funkcja f jest malejąca, zaś g rosnąca? Strona 59 z 403

60 2.. (?) Niech f X Y oraz g Y Z. Funkcja g f jest różnowartościowa. Czy z tego wynika, że: a) f jest funkcją różnowartościową? b)g jest funkcją różnowartościową? 2.2. (?) Niech f X Y oraz g Y Z. Funkcja g f jest funkcją na. Czy z tego wynika, że: a) f jest funkcją na? b) g jest funkcją na? 2.3. (?) Dana jest funkcja f X Y. Wyznaczyć zbiór Y taki, że f jest bijekcją, a następnie znaleźć funkcję odwrotną do funkcji f, gdy: a) f R Y, f(x) = 3x + ; b)f, ) Y, f(x) = x + ; c) f R Y, f(x) = 5 x+2 ; d) f ( 3 2, ) Y, f(x) = log 3(2x + 3); e) f, ) Y, f(x) = x 2 2x + 3; f) f (, Y, f(x) = x 2 2x + 3; g) f R {2} Y, f(x) = x+4 x 2. Strona 60 z 403

61 Rozdział 3 Ciągi liczbowe 3.. Ciągi liczbowe i ich własności Definicja 3.. Ciągiem liczbowym nazywamy dowolną funkcję a N R, gdzie N jest zbiorem liczb naturalnych, a R jest zbiorem liczb rzeczywistych. Wartość a(n) = a n nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Ciąg oznaczamy symbolem (a n ), a zbiór jego wyrazów symbolem {a n }. Przykład 3.2. Ciąg o początkowych wyrazach, 3, 5, 7, 9 możemy zapisać za pomocą wzoru a n = 2n i jest to ciąg liczb nieparzystych. Podobnie ciąg liczb parzystych 2, 4, 6, 8, 0,... będzie dany wzorem a n = 2n. Ciągi możemy także opisywać w sposób rekurencyjny, co oznacza, że wyznaczamy wzór na n-ty wyraz ciągu, korzystając z wartości wyrazów poprzedzających oraz podając wartości odpowiedniej liczby wyrazów początkowych, np. a =, a 2 = 2, a n = 2a n 2 + a n dla n 3. Wówczas kolejne wyrazy ciągu będą równe: a 3 = 2 2 = 0, a 4 = 2 ( 2) + 0 = 4 i Strona 6 z 403

62 tak dalej. Ważnym przykładem jest ciąg postaci a n = n! dla n N {0} (jest to silnia kolejnych liczb naturalnych). Jego wyrazy są równe odpowiednio a 0 = 0! =, a =! =, a 2 = 2! = 2 = 2, a 3 = 3! = 2 3 = 6 i ogólnie a n = n! = 2 (n ) n. Zauważmy, że ciąg ten można zdefiniować w sposób rekurencyjny następująco: a 0 = oraz a n = a n n dla n N. Definicja 3.3. Mówimy, że (a n ) jest ciągiem: a) rosnącym a n+ > a n, n N b) niemalejącym a n+ a n, n N c) malejącym a n+ < a n, n N d) nierosnącym a n+ a n, n N e) stałym a n+ = a n. n N Ciąg mający jedną z tych własności nazywamy ciągiem monotonicznym. Zauważmy, że ciąg monotoniczny charakteryzuje się tym, że różnica między jego kolejnymi wyrazami ma stały znak (to znaczy jest stale niedodatnia, albo stale nieujemna). Przykład 3.4. Sprawdzimy, czy ciąg o wyrazie ogólnym danym wzorem a n = n 2 3n jest ciągiem monotonicznym. W tym celu badamy znak różnicy Strona 62 z 403 a n+ a n = (n + ) 2 3(n + ) n 2 + 3n = 2n 2 0

63 dla n N. Różnica a n+ a n jest dodatnia dla wszystkich n naturalnych większych od, a dla n = wynosi 0, co oznacza, że ciąg a n jest niemalejący. Co więcej możemy stwierdzić, że ciąg a n dla n = 2, 3, 4,... jest ciągiem rosnącym. Przykład 3.5. Ciąg a n = ( ) n ujemne i dodatnie. n n 4 +2 Definicja 3.6. Ciąg (a n ) nazywamy nie jest monotoniczny, ponieważ jego wyrazy są na przemian a) arytmetycznym r Rn N b) geometrycznym a n+ a n = r, q R {0} n N a n+ a n = q. Liczbę r w definicji ciągu arytmetycznego nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego, a liczbę q w definicji ciągu geometrycznego nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. Z definicji ciągu arytmetycznego wynika, że jest on zawsze ciągiem monotonicznym rosnącym dla r > 0, malejącym dla r < 0 i stałym dla r = 0. Wartość n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego zależy od wartości jego pierwszego wyrazu i od różnicy tego ciągu i daje się zapisać wzorem Strona 63 z 403 a n = a + (n )r dla n N. Wyrazy ciągu arytmetycznego spełniają zależność a n = 2 (a n+ + a n )

64 dla n >, czyli wyraz o numerze n jest średnią arytmetyczną jego wyrazów sąsiednich - poprzedzającego a n i następnego a n+. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem S n = n i= a i = n a + a n. 2 Dla ciągu geometrycznego można także zapisać wzór uzależniający wartość wyrazu a n od wartości a i ilorazu q: a n = a q n dla n N. Wyrazy ciągu geometrycznego, w którym a > 0 i q > 0 spełniają warunek a n = a n a n+ dla n >, czyli każdy wyraz ciągu geometrycznego o numerze większym od jest średnią geometryczną dwóch sąsiednich wyrazów. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego takiego, że q jest dana wzorem S n = n i= a i = a q n q. Przykład 3.7. Sprawdźmy, czy ciąg (a n ) jest ciągiem arytmetycznym lub geometrycznym, jeśli a) a n = 3n + 2, b) a n = 2 3 n+. Dla ciągu z punktu a) mamy: a n+ a n = 3(n + ) + 2 (3n + 2) = 3, czyli jest to ciąg arytmetyczny = 2 3n n+ = 3, czyli jest to ciąg o różnicy r równej 3. W przypadku ciągu z punktu b) zachodzi: a n+ a n geometryczny o ilorazie q równym 3. Zauważmy, że w obu przypadkach są to ciągi rosnące. Strona 64 z 403 Definicja 3.8. Mówimy, że ciąg (a n ) jest:

65 a) ograniczony z góry b) ograniczony z dołu c) ograniczony m,m Rn N M Rn N m Rn N a n M, a n m, m a n M. Powyższe warunki interpretujemy w następujący sposób: ciąg jest ograniczony z góry, jeśli wszystkie jego wyrazy są nie większe od pewnej liczby rzeczywistej M, ciąg jest ograniczony z dołu, jeśli wszystkie jego wyrazy są nie mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej m oraz ciąg jest ograniczony, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu, czyli wszystkie jego wyrazy należą do przedziału m, M, dla liczb rzeczywistych m,m takich, że m < M. Przykład 3.9. Ciąg a n = n+6 n+3 jest ciągiem ograniczonym. Zauważmy, że wyrazy tego ciągu można zapisać w następujący sposób a n = n+3+3 n+3 = + 3 n+3. Ponieważ ciąg b n = 3 n+3 jest ciągiem malejącym i jego pierwszy wyraz jest równy 3 4, ciąg (a n) jest ograniczony z góry przez 7 4. Widać też, że wszystkie wyrazy ciągu (a n ) są większe od, zatem ciąg (a n ) jest ograniczony z dołu przez liczbę. Przykład 3.0. Zauważmy, że każdy ciąg niemalejący jest ograniczony z dołu przez swój pierwszy wyraz, a każdy ciąg nierosnący jest ograniczony z góry przez swój pierwszy wyraz. Strona 65 z 403 Zadania 3.. (?) Ciąg (a n ) jest ciągiem arytmetycznym takim, że a = 2 oraz a 6 a 3 = 6. Podać wzór ogólny ciągu a n oraz obliczyć sumę jego pierwszych dziesięciu wyrazów.

66 3.2. (?) Ciąg (a n ) jest ciągiem geometrycznym, którego pierwszy wyraz jest równy 2 oraz spełniony jest warunek a 4 a 2 = 9. Podać wzór ogólny ciągu (a n ) oraz zbadać, czy ciąg ten jest monotoniczny (?) Obliczyć piąty wyraz ciągu 3 x, 3 x 2, 3 x 3,... wiedząc, że jest to ciąg geometryczny oraz, że x + x x 9 = 9 i x = x 8. Czy jest to ciąg ograniczony? 3.4. (?) Zbadać, czy poniższe ciągi są monotoniczne i ograniczone. a) a n = 3n 4, b) b n = ( )n+ 2 n +3 n, c) c n = 5n n+2, d) d n = n n 2, e) e n = 2n! (?) Sprawdzić, czy poniższe ciągi są ciągami geometrycznymi. a) a n = ( 4 5 )n, b) b n = n! 3n, ( )n+ c) n (?) Niech a n = 52n 3 2n 5 n 3 n. Wykazać, że a n = 5 n + 3 n oraz sprawdzić, czy (a n ) jest ciągiem arytmetycznym oraz czy jest monotoniczny Zbieżność ciągów Strona 66 z 403 Definicja 3.. Mówimy, że liczba g R jest granicą (właściwą) ciągu (a n ) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek ε>0 N ε N a n g < ε. n>n ε Warunek podany w definicji oznacza, że niezależnie od wyboru liczby ε > 0, w każdym przedziale postaci (g ε, g +ε) będą się znajdowały prawie wszystkie (czyli wszystkie za wyjątkiem skończonej liczby) wyrazy ciągu. Jeśli ciąg (a n ) ma granicę g R, to mówimy, że jest on zbieżny (do g) i

67 zapisujemy to w następujący sposób: lim n a n = g, lub a n g. Jeżeli ciąg nie ma granicy, czyli nie istnieje liczba g spełniająca warunek podany w definicji 3., to mówimy, że ciąg jest rozbieżny. Przykład 3.2. Pokażemy, że ciąg z przykładu 3.9 jest zbieżny do. Weźmy dowolne ε > 0. Mamy a n = 3 n+3 = 3 n+3 < ε n > 3 ε 3. Jeżeli zatem weźmiemy N ε = [ 3 ε 3] +, gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej x, to dla wszystkich n > N ε będzie spełniony warunek a n < ε, dla dowolnego ε > 0. Oznacza to, że liczba jest granicą ciągu (a n ). Przykład 3.3. Rozważmy ciąg a n = ( ) n. Łatwo stwierdzić, że ten ciąg nie ma granicy, czyli jest ciągiem rozbieżnym. Jego wyrazy są na przemian równe oraz, więc w dowolnym otoczeniu liczby znajdują się wszystkie wyrazy ciągu o numerach nieparzystych, a w dowolnym otoczeniu liczby znajdują się wszystkie wyrazy ciągu o numerach parzystych, ale w żadnym z tych przypadków nie są to prawie wszystkie wyrazy ciągu. Nie istnieje zatem żadna liczba rzeczywista g, która spełnia warunek z definicji 3., czyli ciąg (a n ) jest rozbieżny. Przykład 3.4. Jeżeli iloraz ciągu geometrycznego (a n ) spełnia warunek q <, to ciąg sum częściowych S n = n i= a i tego ciągu jest zbieżny do S = i= a i = a q. Warunek q < jest warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności ciągu sum częściowych ciągu geometrycznego. Twierdzenie 3.5 (arytmetyka granic właściwych). Jeżeli a n a i b n b, gdzie a, b R, to a) a n ± b n a ± b, Strona 67 z 403

68 b) a n b n a b, c) an b n a b, gdy b 0, b n 0 dla n N d) a n a. Twierdzenie 3.6 (wybrane własności granic). a) n 0, b) a n 0 a <, c) n n, d) a n a b > 0 b an b a, e) (a n a a > 0 ( a n > 0)) n N p R a p n a p. Twierdzenie 3.7 (twierdzenie o trzech ciągach). Jeśli spełnione są warunki a) c n a n b n, n N b) lim c n = lim b n = g, n n to lim a n = g. n Przykład 3.8. Pokażemy, że ciąg a n = ( )n 3n ciągu spełniają nierówność jest zbieżny do 0. Zauważmy, że wszystkie wyrazy 3n a n 3n. Strona 68 z 403

69 Ciągi 3n oraz 3n są zbieżne do zera, zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach, ciąg (a n) jest także zbieżny do 0. Twierdzenie 3.9. Ciąg zbieżny jest ograniczony. Definicja Mówimy, że ciąg (a n ) ma granicę niewłaściwą + (odpowiednio ) wtedy i tylko wtedy, gdy M R N M N a n > M (odpowiednio a n < M). n>n M Jeśli ciąg ma granicę niewłaściwą + ( ), to mówimy, że jest rozbieżny do +, (rozbieżny do ) i piszemy lim n a n = + lub a n (odpowiednio lim n a n = lub a n ). Przykład 3.2. Pokażemy, że ciąg a n = 3 n + 2n jest rozbieżny do +. Weźmy dowolną liczbę dodatnią M. Wówczas a n > M 3 n + 2n > M. Zauważmy, że jeśli znajdziemy takie n, że 3 n > M, to będziemy także mieć spełnioną nierówność 3 n + 2n > M. Z nierówności 3 n > M wynika, że n > log 3 M. Zatem dla n > N M, gdzie N M = [log 3 M] + zachodzi a n > M, czyli ciąg (a n ) jest rozbieżny do +. Przykład Każdy ciąg arytmetyczny o dodatniej różnicy jest rozbieżny do +, a każdy ciąg arytmetyczny o ujemnej różnicy jest rozbieżny do. Każdy ciąg geometryczny o ilorazie większym od jest rozbieżny do +, jeśli jego pierwszy wyraz jest dodatni, oraz jest rozbieżny do, jeśli jego pierwszy wyraz jest ujemny. Twierdzenie 3.23 (arytmetyka granic niewłaściwych). Niech (a n ), (b n ) będą ciągami liczbowymi. Strona 69 z 403

70 a) Jeśli a n + i b n +, to a n + b n + oraz a n b n + ; b) jeśli a n i b n, to a n + b n oraz a n b n + ; c) jeśli a n + i b n, to a n b n +, b n a n oraz a n b n ; d) jeśli a n a, gdzie a R i b n ±, to a n + b n ± oraz an b n 0; e) jeśli a n a, gdzie a > 0 i b n ±, to a n b n ± ; f) jeśli a n a, gdzie a < 0 i b n ±, to a n b n. Istnieją także przypadki ciągów (złożonych z innych ciągów), których granicy nie da się określić, znając granice ciągów składowych. Na przykład, jeśli ciągi (a n ) i (b n ) są rozbieżne do ±, to nie jesteśmy w stanie powiedzieć w przypadku ogólnym jaka będzie granica ilorazu tych ciągów an b n, którą możemy umownie zapisać jako. Tego typu granice nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi, ich wartość zależy od konkretnych przypadków rozważanych ciągów. Poniżej przedstawiamy listę wyrażeń nieoznaczonych (wypisane wartości rozumiemy zawsze jako umowne znaki, opisujące granice rozważanych ciągów, a nie działania arytmetyczne). + lub + Strona 70 z

71 0 0 0 Przykład Obliczymy granicę ciągu a n = n2 +3n+ n 2 +7n+3. Granicą licznika jest +, a granicą mianownika jest, zatem mamy do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym w granicy. Jeśli podzielimy licznik i mianownik ułamka przez n 2, to otrzymamy a n = + 3 n + n n + 3 n 2. Widać teraz, że granicą licznika jest, a granicą mianownika jest, czyli lim n a n =. Twierdzenie Jeśli ciąg (a n ) jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny. Przykład Rozważmy ciąg postaci a n = ( + n )n. Wykażemy, że jest to ciąg niemalejący i ograniczony, a zatem zbieżny. Jego granicą jest liczba Eulera e = W tym celu skorzystamy z dwumianu Newtona. Zauważmy, że a n = ( + n n ) = ( 0 n ) + n ( n ) n(n ) + ( 2 2! n ) = + + n + + ( n ) n ( ) n. 2! n! + + n! n! ( n ) n = Strona 7 z 403

72 Podobnie a n+ = ( + n+ n + ) = ( 0 n + ) + (n + ) ( n + ) (n + )n + ( 2 2! n + ) + (n + )! + (n + )! ( n+ n + ) = + + n+ + + ( n ) n+ ( ) n+ + ( ) n+ ( n 2! n! (n + )! Porównując kolejne wyrazy sum łatwo widać, że a n a n+, czyli ciąg (a n ) jest niemalejący. Wykażemy teraz, że jest on ograniczony z góry (jest ograniczony z dołu przez swój pierwszy wyraz jako ciąg niemalejący). Zauważmy, że a n = + + n 2! + + ( n ) n ( ) n + + n! 2! + 3! + + n! + 2 = n = + ( 2 )n Wynika stąd, że ciąg (a n ) jest monotoniczny i ograniczony, a więc zbieżny. Twierdzenie Jeśli ciąg (a n ) jest rozbieżny do + lub do, to lim ( + a n ) = e. n a n Zadania 3.7. (?) Obliczyć granicę ciągu: a) 3n 5n 2, b) n3 + 2n 3, c) 2n3 +3n 2 +2 n 2 3n+2, d) n2 +2 n 4 +, e) (n+)4 (n+2) 4, f) n(n+)(n 2 +3) (n+) 4 +(n+2) 4 n 2, n 3 +2) g) n 2 + n 2 + 3, h) n + n n n, i) n2 +2n+5 2 n (n 2 3), j) 3n +5 n +5, k) n+ n 2 n k= k, n+ ). Strona 72 z 403

73 l) ( n+3 n )n, m) ( n+2 )n+3, n) ( n+6 n+4 )2n, o*)( (n+) 2 ) n+, p*) n 2 n n + 7 n, q) sin n n+, r*) a n+ = 2 + a n, a = (?) Rozwiązać równanie x + ( x )2 + ( x )3 + = 2x (?) Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a n = n a. Obliczyć lim n n a n (?) Wyznaczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym a n = n n+5 n (?) Dla jakich wartości parametru p R granica ciągu a n = log 2 (p2 +) n +2 n+ jest większa od? Strona 73 z 403

74 Rozdział 4 Granica i ciągłość funkcji 4.. Granica funkcji Definicja 4.. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru X R wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (x n ) zbieżny do x 0 o wyrazach należących do zbioru X {x 0 }. Punkt x 0 X R nazywamy punktem izolowanym zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest on punktem skupienia zbioru X. Przykład 4.2. Niech X = ( 2, {2, 8}. Wówczas zbiór punktów skupienia zbioru X to 2,, natomiast zbiór punktów izolowanych to {2, 8}. Strona 74 z 403 Definicja 4.3 (Heinego zbieżności funkcji w punkcie). Niech x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X R oraz f będzie funkcją, której dziedziną jest zbiór X, czyli f X R. Mówimy, że

75 funkcja f ma granicę właściwą g w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) zbieżnego do x 0 o wyrazach należących do zbioru X {x 0 } zachodzi równość lim n f(x n ) = g. Jeśli g jest granicą funkcji f w punkcie x 0, to piszemy lim x x0 f(x) = g. Jeżeli zbiór X zawiera przedział (a, + ) (odpowiednio (, a)) dla pewnego a R i dla każdego ciągu (x n ) rozbieżnego do + (odpowiednio do ) o wyrazach należących do X zachodzi lim f(x n) = g, n to mówimy, że funkcja f ma granicę właściwą w + (odpowiednio w ) i piszemy lim f(x) = x + = g (odpowiednio lim f(x) = g). x Jeżeli dla każdego ciągu (x n ) zbieżnego do x 0 o wyrazach należących do zbioru X {x 0 } zachodzi równość lim f(x n) = + odpowiednio lim f(x n ) =, n n to mówimy, że funkcja f ma granicę niewłaściwą w punkcie x 0 i piszemy lim x x0 f(x) = + (odpowiednio lim x x0 f(x) = ). Uwaga. Jeżeli w definicji Heinego założymy, że rozpatrujemy jedynie takie ciągi (x n ) zbieżne do x 0, których wszystkie wyrazy należą do X i są mniejsze od x 0 (odpowiednio są większe od x 0 ), to otrzymamy definicję granicy lewostronnej (odpowiednio prawostronnej ) w x 0, którą oznaczamy w następujący sposób lim x x 0 f(x) (odpowiednio lim x x + 0 f(x)). Przykład 4.4. Niech f(x) = 2x 4x Obliczymy lim f(x). Weźmy dowolny ciąg (x n) zbieżny do x o wyrazach różnych od. Mamy wtedy b n = f(x n ) = 2xn 4x 2 n+3. Ciąg b n jest ilorazem dwóch zbieżnych Strona 75 z 403

76 ciągów, przy czym ciąg w liczniku jest zbieżny do, a ciąg w mianowniku jest zbieżny do 7. Wynika stąd, że lim b n = n 7, czyli lim f(x) = x 7. Przykład 4.5. Obliczymy lim x 2 + x x 2 2. Weźmy dowolny ciąg (x n) rozbieżny do. Mamy wtedy b n = f(x n ) = x2 n+ x 2 n 2. Jeżeli podzielimy licznik i mianownik ciągu b n przez x 2 n, dostaniemy b n = + Wyrażenia x i 2 2 n x 2 n x zatem lim 2 + x x 2 2 =. Przykład 4.6. Obliczymy lim x 2 n 2 x 2 n są zbieżne do 0, gdyż ciąg (x2 n) jest rozbieżny do +. Wynika stąd, że lim n b n =, x x 3 x 3. Zauważmy, że mianownik tego wyrażenia dąży do 0 i jest ujemny (rozważamy tylko ciągi zbieżne do 3 o wartościach mniejszych od 3). Granicę mianownika możemy więc symbolicznie zapisać jako 0. Licznik jest zbieżny do 3, zatem nasza granica jest postaci 3 0, czyli dzielimy wyrażenie dodatnie przez ujemne dążące do 0, a to daje. Obliczając w ten sam sposób granicę prawostronną dostaniemy +. Twierdzenie 4.7. Jeżeli lim x x0 f(x) = a oraz lim x x0 f(x) = b, gdzie a, b R, to a) lim( x x 0 f(x) ± g(x)) = a ± b; b) lim( x x 0 f(x) g(x)) = a b; f(x) c) lim x x0 g(x) = a b, jeśli g(x) /= 0 w pewnym otoczeniu punktu x 0 i b 0. Powyższe wzory są także prawdziwe dla granic jednostronnych oraz w przypadku, gdy zastąpimy granicę w punkcie x 0 przez granicę w + lub w.. Strona 76 z 403

77 4.2. Ciągłość funkcji Definicja 4.8. Funkcję f X R, gdzie X R nazywamy ciągłą w punkcie x 0 X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) zbieżnego do x 0 o wyrazach w zbiorze X zachodzi lim f(x n) = f(x 0 ). n Mówimy, że funkcja f X R jest ciągła w zbiorze X, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Jeżeli x 0 jest punktem skupienia zbioru X, to warunek ciągłości w punkcie x 0 jest równoważny warunkowi lim f(x) = f(x 0 ). Jeżeli x 0 jest punktem izolowanym zbioru X, to zbieżność ciągu x x0 (x n ) X do tego punktu oznacza, że musi to być od pewnego miejsca ciąg stale równy x 0. Zatem dowolna funkcja jest ciągła w punktach izolowanych dziedziny. Przykład 4.9. Niech f R R, f(x) = x Wykażemy, że funkcja f jest ciągła w swojej dziedzinie. Weźmy dowolny ciąg (x n ) zbieżny do punktu x 0. Mamy wówczas lim f(x) = lim (x 2 x x 0 n n + 3) = ( lim x 2 n n) + 3 = x = f(x 0 ). Wynika stąd, że granica funkcji f w dowolnym punkcie dziedziny jest równa jej wartości w tym punkcie, a zatem funkcja f jest ciągła w swojej dziedzinie. Strona 77 z 403

78 Przykład 4.0. Dana jest funkcja f R R, określona wzorem f(x) = x + 3 x 3 x = 3. Zbadamy, czy funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 = 3. W tym celu obliczymy najpierw granice jednostronne funkcji f w x 0. Mamy więc: lim x 3 f(x) = lim x + 3 = lim (x + 3) = 0. x 3 x 3 lim x 3 +f(x) = lim x + 3 = lim x + 3 = 0. x 3 + x 3 + Wynika stąd, że lim x 3 f(x) = 0. Zauważmy jednak, że funkcja f nie jest ciągła w punkcie x 0, ponieważ nie jest spełniona równość lim x 3 f(x) = f( 3), gdyż f( 3) =. Przykład 4.. Wielomiany, funkcje potęgowe, wykładnicze, wymierne, logarytmiczne i trygonometryczne są ciągłe w swoich dziedzinach. Uwaga: Jeżeli obliczając granicę funkcji otrzymujemy jedno z wyrażeń nieoznaczonych, omawianych na stronie 3.2, to musimy starać się tak je przekształcić, aby otrzymać wyrażenie, którego granicę potrafimy obliczyć (podobnie jak w przypadku ciągów). Twierdzenie 4.2 (działania na funkcjach ciągłych). a) Jeżeli funkcje f X R, g X R są ciągłe w zbiorze X R, to funkcje f + g, f g, f g są ciągłe w zbiorze X. Strona 78 z 403

79 b) Jeśli funkcje f X R, g X R są ciągłe w zbiorze X R, to funkcja f g ciągła w zbiorze X = {x X g(x) 0}. jest określona i c) Jeżeli funkcja f X Y jest ciągła w zbiorze X R oraz funkcja g Y Z jest ciągła w zbiorze Y R, to złożenie tych funkcji, czyli g f X Z jest ciągłe w zbiorze X. Przykład 4.3. Funkcja h (0, + ) R, h(x) = (log 3 x) jest ciągła jako złożenie ciągłych funkcji f (0, + ) R, f(x) = log 3 x oraz g R R, g(y) = y Definicja 4.4. Jeśli granica jednostronna lim f(x) (odpowiednio lim f(x)) jest niewłaściwa, to x x 0 x x + 0 prostą o równaniu x = x 0 nazywamy asymptotą pionową lewostronną (odpowiednio asymptotą pionową prawostronną) wykresu funkcji f. Jeśli obie granice lim f(x) i lim f(x) są x x 0 x x + 0 niewłaściwe, to prostą o równaniu x = x 0 nazywamy asymptotą pionową obustronną. Jeśli lim f(x) = c (odpowiednio lim f(x) = c), gdzie c R, to prostą o równaniu y = c x x + nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji f w + (odpowiednio w ). Jeżeli spełniony jest warunek lub lim (f(x) (ax + b)) = 0 x + lim (f(x) (ax + b)) = 0, x gdzie a, b R, a 0, to prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną wykresu funkcji f X R odpowiednio w + lub w. Strona 79 z 403

80 Twierdzenie 4.5. Jeżeli granice: f(x) a = lim x + x, b = lim (f(x) ax) x + odpowiednio: f(x) a = lim x x, b = lim (f(x) ax) x istnieją i są właściwe, to prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w + (odpowiednio w ). Przykład 4.6. Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji f(x) = x2 x+ dla x. Sprawdzimy najpierw, czy prosta o równaniu x = jest asymptotą pionową. Obliczając granice jednostronne funkcji f w tym punkcie, otrzymujemy: oraz x lim x f(x) = lim 2 x x + = x lim x +f(x) = lim 2 x + x + = +, podobnie jak w przykładzie 4.6. Ponieważ obie granice w punkcie x = są niewłaściwe, prosta x = jest asymptotą pionową (obustronną) wykresu funkcji f. Obliczymy teraz granice funkcji f w + i w. Mamy lim x + x 2 x + = lim x + x + = + = +. x Strona 80 z 403

81 Podobnie dostajemy, że lim x 2 x x+ =. Wynika stąd, że wykres funkcji f nie ma asymptoty poziomej w + ani w. W tej sytuacji powinniśmy jeszcze sprawdzić, czy wykres funkcji f ma asymptotę ukośną. Obliczamy najpierw granicę f(x) lim x + x = lim x + x 2 x 2 + x = lim x + + =. x 2 Taki sam wynik otrzymamy wyznaczając granicę wyrażenia f(x) x w. Stąd otrzymujemy, że a =. Wyznaczamy teraz granicę lim x + x 2 x + x = lim x 2 x 2 x x + x + x = lim x + x + = lim x + + x =. Znowu łatwo zauważyć, że w otrzymamy tę samą granicę. Wynika stąd, że prosta y = x jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w + oraz w. Zadania 4.. (?) Obliczyć granice funkcji a) lim x 3 x x+2 x 3 +3 x 3 x 2 x 6, f) lim, b) lim x 3 x 2 9 x+3 g) lim x +, c) lim x x 2 2x+ x 3 x, d) lim x 3 +2x 2 +4x 2 x 2 +4x+3, h) lim j) lim ( x 2 5x x 2 8x 4), x + sin 3x sin 2x l) lim x 0 x, m) lim x 0 8x, n) lim x 0 q) lim x + e x2 +, r) lim x ln(x2 + 2), x x x 2 x 0 + 2x x 3 +6x+8, 3x x 2 x, i) lim x + e) lim x 2 +2x 2 x 2 + x 2, 4x 4 +3x 2 +2x+3 2x 4 6x+, k) lim ( x 3 4x x 3 x + 2), x + o) lim x 0 e x, p) lim e x, x 0 + s) lim x + ln(x+)+3, t*) lim x sin x 0 x. sin 5x sin 9x, Strona 8 z 403

82 4.2. (?) Wykazać, że poniższe granice nie istnieją: a) lim sin x, x + b) lim cos x, x c) lim sin x x π x+, d) lim π 4 4 x x (?) Zbadać ciągłość funkcji: x 2 2 dla x 0, a) f(x) = 2x + dla x > 0 x 2 dla x 0, b) g(x) = 0 dla 0 < x <, ln x dla x ln ((x + 4) 2 ) dla x 5; 5, c) h(x) = x 2 25 dla x 5; (?) Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja f jest ciągła? 3 x+3 dla x 2 ax + 3 dla x 3 a) f(x) = ax + b dla 2 < x < 3, b) f(x) = x 2 2 dla x 3 e 3 x dla x > (?) Wyznaczyć dziedzinę podanych funkcji oraz ich granice na krańcach dziedziny. a) f(x) = ln(x 2 x 4), b) g(x) = 2 x+3, c) h(x) = e x 4 32, d) k(x) = ln 2x (?) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji: a) f(x) = 3x+5 2x 6, b) g(x) = e x4 +, c) h(x) = 3 x 3 +, 4 d) k(x) = 3x + x 2 4, e*) p(x) = sin x x Strona 82 z 403

83 4.7. (?) Wiadomo, że lim f(x) = 3, lim g(x) = 0, lim h(x) = + oraz lim p(x) =. W tych x x0 x x0 x x0 x x0 przypadkach, w których jest to możliwe, obliczyć następujące granice: f(x) x x0 f(x)+g(x), h(x) x x0 p(x), a) lim f) lim f(x)+h(x) b) lim x x 0 g(x)+p(x), g) lim x x 0 ln 2 f 2 (x)+p 2 (x) g(x) x x 0 f(x) p(x), c) lim d) lim e f(x) g(x), x x 0 e) lim x x0 e h(x) p(x), Strona 83 z 403

84 Rozdział 5 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 5.. Pierwsza pochodna funkcji Definicja 5.. Mówimy, że funkcja f (a, b) R jest różniczkowalna w punkcie x 0 (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica właściwa f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Liczbę f (x 0 ) nazywamy pochodną funkcji w punkcie x 0. Funkcję f określoną w tych punktach x (a, b), dla których istnieje f (x), nazywamy pochodną pierwszego rzędu lub pierwszą Strona 84 z 403

85 pochodną funkcji f. Wyrażenie f(x 0+h) f(x 0 ) h nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0. Jeśli funkcja f (a, b) R ma pochodną w każdym punkcie x (a, b), to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna. Analogicznie definiujemy różniczkowalność funkcji f, której dziedzina jest sumą przedziałów otwartych. Jeśli ponadto pochodna f jest funkcją ciągłą, to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w sposób ciągły. Uwaga. Pochodną f (x 0 ) oznaczamy również symbolem d dx f (x 0). Twierdzenie 5.2. Jeśli funkcja f (a, b) R jest różniczkowalna w punkcie x 0 (a, b), to f jest ciągła w x 0. Przykład 5.3. Obliczymy pochodną funkcji f(x) = x 2 w dowolnym punkcie x R. Rozwiązanie. f f(x + h) f(x) (x + h) (x) = lim = lim 2 x 2 h 0 h h 0 h = lim h 0 x 2 + 2xh + h 2 x 2 h = lim h 0 2xh + h 2 h Otrzymany wynik zapisujemy symbolicznie w postaci (x 2 ) = 2x. = lim h 0 (x + h) 2 x 2 h = lim h 0 (2x + h) = 2x. Analogicznie do definicji pochodnej funkcji f w punkcie x 0 określamy pochodne jednostronne funkcji f w punkcie x 0. Pochodną lewostronną funkcji f (a, b) R w punkcie x 0 (a, b) nazywamy granicę właściwą f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ), h = Strona 85 z 403

86 a pochodną prawostronną granicę właściwą f +(x 0 ) = lim h 0 + f(x 0 + h) f(x 0 ). h Twierdzenie 5.4. Funkcja f (a, b) R jest różniczkowalna w punkcie x 0 (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są równe. Przykład 5.5. Pokażemy, że funkcja f R R, f(x) = x nie jest różniczkowalna w punkcie x 0 = 0. Rozwiązanie. Obliczając pochodne jednostronne, otrzymujemy f (0) f(0 + h) f(0) = lim h 0 h f +(0) = lim h 0 + f(0 + h) f(0) h h = lim h 0 = lim h 0 + h =, h h =. Wynika stąd, że f (0) nie istnieje. Pochodne funkcji obliczamy korzystając ze wzorów na pochodne funkcji elementarnych i z tzw. reguł różniczkowania. Przedstawimy najpierw pochodne wybranych funkcji elementarnych: Strona 86 z 403

87 Tabela 5.: Pochodne wybranych funkcji elementarnych (C) = 0 pochodna funkcji stałej (x α ) = αx α pochodna funkcji potęgowej (a x ) = a x ln a, gdzie a > 0, a /= pochodna funkcji wykładniczej (log a x) =, gdzie a > 0, a /= x ln a pochodna funkcji logarytmicznej (sin x) = cos x pochodna funkcji sinus (cos x) = sin x pochodna funkcji cosinus Z powyższych wzorów wynika w szczególności, że (e x ) = e x oraz (ln x) = x. Przykład 5.6. Obliczymy pochodną funkcji f(x) = x. Rozwiązanie. f (x) = ( x) = (x 2 ) = 2 x 2 = 2 x 2 = 2 x. Twierdzenie 5.7 (reguły różniczkowania). Jeśli f i g są funkcjami różniczkowalnymi, to: a) (cf(x)) = cf (x) pochodna iloczynu funkcji przez stałą, b) (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) pochodna sumy (różnicy) funkcji, c) (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) pochodna iloczynu funkcji, d) ( f(x) g(x) ) = f (x)g(x) f(x)g (x) pochodna ilorazu funkcji, g 2 (x) e) (g(f(x))) = g (f(x))f (x) pochodna funkcji złożonej. Przykład 5.8. Korzystając z podanych wzorów i reguł różniczkowania, obliczymy pochodne funkcji: a) (3x sin x) = 3(x 2 ) + 2(sin x) = 6x + 2 cos x, Strona 87 z 403

88 b) (4x 5 cos x) = (4x 5 ) cos x + 4x 5 (cos x) = 20x 4 4x 5 sin x, c) ( 2x2 x ) = (2x2 ) (x ) 2x 2 (x ) 24x(x ) 2x2 = = 2x2 24x, (x ) 2 (x ) 2 (x ) 2 d) (tg x) = ( sin x cos x ) = (sin x) cos x sin x(cos x) cos 2 x = cos 2 x, e) (ctg x) = ( cos x sin x ) = (cos x) sin x cos x(sin x) sin 2 x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x = sin2 x cos 2 x sin 2 = x sin 2 x, f) ( x 2 4) = 2 x 2 4 2x = x x2 4. = = cos x cos x sin x( sin x) cos 2 x ( sin x) sin x cos x cos x cos 2 x = = 5.2. Interpretacje pochodnej Interpretacja geometryczna Prosta przechodząca przez leżące na wykresie funkcji y = f(x) (patrz rysunek 5.) punkty Strona 88 z 403 A (x 0, f (x 0 )), B (x 0 + h, f (x 0 + h)), ma równanie y f(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) (x x 0 ). h

89 y y = f ( x ) f( x 0 + h) f ( x 0 ) x0 x 0+ h x Rysunek 5.: Interpretacja geometryczna pochodnej Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x 0 jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej przechodzącej przez punkty A i B. Jeśli h dąży do 0, to punkt B dąży do punktu A i otrzymujemy prostą o równaniu y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ), Strona 89 z 403 którą nazywamy styczną do wykresu funkcji w punkcie (x 0, f(x 0 )). Różniczkowalność funkcji f w punkcie x 0 jest zatem równoważna warunkowi, że istnieje styczna do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x 0. Pochodna f (x 0 ) jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej, tzn. f (x 0 ) = tg α, gdzie α jest miarą kąta, jaki tworzy styczna z osią 0x. Przykład 5.9. Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = 2x 5 3x 2 w punkcie o odciętej x 0 =.

90 Rozwiązanie. Mamy f() =, f (x) = 0x 4 6x oraz f () = 4. Wstawiając do wzoru na styczną, otrzymujemy y ( ) = 4(x ) y = 4x 5. Uwaga: Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, to jej wartości w pewnym przedziale otwartym o środku w punkcie x 0 możemy przybliżać za pomocą funkcji liniowej L(x) = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ), której wykresem jest prosta styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f (x 0 )). Zauważmy, że f(x 0 ) = L(x 0 ) oraz f (x 0 ) = L (x 0 ). Takie przybliżenie dowolnej różniczkowalnej funkcji f przez funkcję liniową nazywamy linearyzacją funkcji f. Na przykład, jeśli chcemy obliczyć przybliżoną wartość 0, 97, linearyzujemy funkcję f(x) = x w pobliżu punktu x 0 =. Mamy wtedy f(x 0 ) = =, f (x 0 ) = 2, czyli L(0, 97) = 2 ( 0, 03) + = 0, 985. Zatem 0, 97 0, 985. Obliczając wartość 0, 97 na kalkulatorze otrzymujemy liczbę 0, Strona 90 z Interpretacja fizyczna Jeśli przyjmiemy, że f(t), gdzie t 0, oznacza długość drogi, jaką przebył pewien obiekt od chwili 0 do chwili t, to różnica f(t 0 + h) f(t 0 ) jest równa długości przebytej drogi od chwili t 0 do chwili t 0 +h. Iloraz różnicowy f(t 0+h) f(t 0 ) h jest zatem równy średniej prędkości rozważanego obiektu między chwilami t 0 i t 0 + h, a granica tego ilorazu (przy h 0) f (t 0 ) jest równa prędkości rozważanego obiektu w chwili t 0. Rozszerzając tę interpretację na inne funkcje różniczkowalne, możemy przyjąć, że wartość pochodnej f (x 0 ) określa prędkość zmian wartości funkcji f w pewnym otoczeniu punktu x 0.

91 Interpretacja ekonomiczna Wprost z definicji pochodnej wynika, że dla wartości h 0 bliskich 0 mamy: f f( x + h) f( x) ( x) = lim h 0 h f( x + h) f( x), h czyli, że f ( x)h f( x + h) f( x). Zakładając, że wartości funkcji nie zmieniają się zbyt szybko, możemy podstawić h =, otrzymując f ( x) f( x + ) f( x). Wartość f ( x) jest więc w przybliżeniu równa przyrostowi wartości funkcji w przypadku, gdy wartość argumentu wzrośnie o jednostkę (licząc od początkowej wartości x). Wartość f ( x), zgodnie z interpretacją fizyczną, może być uznana za miarę szybkości zmian wartości funkcji. Przykład 5.0. Niech x oznacza wielkość produkcji w pewnym przedsiębiorstwie, a K(x) całkowity koszt jej wytworzenia. Funkcję K(x), gdzie x 0, nazywamy funkcją kosztów całkowitych, funkcję k p (x) = K(x) x, określoną dla x > 0, nazywamy funkcją kosztów przeciętnych, a funkcję K (x), x > 0 (o ile istnieje) nazywamy funkcją kosztów krańcowych. Przykład 5.. Załóżmy, że funkcja kosztów ma postać K(x) = 0, 2x 2 + 6x + 200, x > 0. Wtedy K (x) = 0, 4x + 6 i w szczególności K (0) = 0 oznacza przybliżony wzrost kosztów w przypadku, gdy wielkość produkcji wzrośnie z poziomu 0 do. Dokładna wartość jest równa K() K(0) = = 0, 2. Strona 9 z 403

92 Definicja 5.2. Współczynnikiem elastyczności funkcji f w punkcie x nazywamy liczbę (jeśli istnieje) Ef ( x) = xf ( x) f( x). Elastyczność dodatniej funkcji różniczkowalnej w punkcie x > 0 określa przybliżoną względną zmianę wartości funkcji przy zmianie argumentu o % (przy początkowej wartości x). To znaczy, jeśli argument x zmieni się o %, to wartość funkcji zmieni się w przybliżeniu o Ef ( x) %. Przykład 5.3. Współczynnik elastyczności funkcji kosztów z przykładu 5. w punkcie x = 0 jest równy około 0, 36. Jeżeli więc wielkość produkcji x zwiększymy o % (z początkowego poziomu x = 0), to koszt wzrośnie w przybliżeniu o 0, 36%. Podobne zastosowanie ma pochodna w odniesieniu do innych funkcji występujących w ekonomii. I tak na przykład, z funkcji utargu całkowitego można uzyskać funkcję utargu krańcowego i przeciętnego, z funkcji produkcji, funkcję produkcji krańcowej i przeciętnej itp. Strona 92 z Zastosowania pochodnej Pochodną funkcji wykorzystujemy między innymi przy obliczaniu granic wyrażeń nieoznaczonych oraz do badania monotoniczności funkcji i wyznaczania ekstremów lokalnych Obliczanie granic wyrażeń nieoznaczonych Twierdzenie 5.4 (Reguła de l Hospitala). Jeśli funkcje f i g spełniają warunki:

93 to a) są określone i różniczkowalne w przedziale (x 0 ε, x 0 + ε), gdzie ε > 0, b) g(x) /= 0, g (x) /= 0 dla x (x 0 ε, x 0 + ε), x /= x 0, c) lim f(x) = lim g(x) = 0 x x0 x x0 f d) lim (x) x x0 g (x) = a, f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) = a. Uwaga. Twierdzenie jest również prawdziwe, gdy: a) granice są jednostronne, b) x 0 = ±, c) lim f(x) = lim g(x) = ±, x x0 x x0 d) a = ±. ln x Przykład 5.5. Obliczymy lim x x. Rozwiązanie. Funkcje f(x) = ln x i g(x) = x spełniają warunki lim ln x =, lim x =, ponadto x x ln x zatem lim x x = 0. (ln x) lim x (x) x = lim x = lim x x = 0, Uwaga. Założenie twierdzenia de l Hospitala o istnieniu granicy ilorazu pochodnych jest istotne. Istnieją takie funkcje f i g, że istnieje granica ilorazu f/g, a nie istnieje granica ilorazu pochodnych f /g. Strona 93 z 403

94 Przykład 5.6. Rozważmy granicę Grupując odpowiednio wyrażenia, otrzymujemy x 2 sin x lim x 0 sin x. x 2 sin x lim x 0 sin x = lim x 0 ( Nie istnieje jednak granica ilorazu pochodnych x sin x ) (x sin x ) = 0 = 0. (x 2 sin lim ) x 2x sin x = lim cos x, x 0 (sin x) x 0 cos x ponieważ nie istnieje granica lim x 0 cos x Monotoniczność funkcji Twierdzenie 5.7. Niech f (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas: a) funkcja f jest niemalejąca (odpowiednio nierosnąca) w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) 0 (odpowiednio f (x) 0) dla każdego x (a, b). b) funkcja f jest stała w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) = 0 dla każdego x (a, b). c) Jeśli f (x) > 0 dla każdego x (a, b), to f rośnie w przedziale a, b. d) Jeśli f (x) < 0 dla każdego x (a, b), to f maleje w przedziale a, b. Przykład 5.8. Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji f(x) = x 3 5x 2 + 3x + 2. Strona 94 z 403

95 Rozwiązanie. Dziedziną funkcji jest zbiór R, funkcja jest ciągła i różniczkowalna w swojej dziedzinie, a jej pochodna jest równa f (x) = (x 3 5x 2 + 3x + 2) = (x 3 ) 5 (x 2 ) + 3 (x) + (2) = 3x 2 0x + 3. Badając znaki pochodnej, otrzymujemy f (x) = 0 x = 3 x = 3, f (x) > 0 x (, ) 3 (3, ), f (x) < 0 x ( 3, 3). Wynika stąd, że funkcja f rośnie w przedziale (, ) 3 i w przedziale (3, ), a maleje w przedziale ( 3, 3) Ekstrema lokalne W rozdziale 2 podana została definicja ekstremów lokalnych funkcji jednej zmiennej. Korzystając z pochodnej funkcji, możemy podać efektywną metodę wyznaczania ekstremów funkcji różniczkowalnych. Twierdzenie 5.9 (warunek konieczny na istnienie ekstremum). Jeśli funkcja różniczkowalna f (a, b) R ma w punkcie x 0 (a, b) ekstremum lokalne, to f (x 0 ) = 0. Punkty x (a, b), w których f (x) = 0, nazywamy punktami podejrzanymi o ekstremum lub punktami stacjonarnymi. Strona 95 z 403

96 Twierdzenie 5.20 (warunek dostateczny na istnienie ekstremum). Niech f (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną, x 0 (a, b) i f (x 0 ) = 0. Jeśli istnieje takie r > 0, że: a) f (x) > 0 dla x (x 0 r, x 0 ) i f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + r), to funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne; b) f (x) < 0 dla x (x 0 r, x 0 ) i f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + r), to funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne; c) f (x) > 0 dla x (x 0 r) (x 0 + r) albo f (x) < 0 dla x (x 0 r) (x 0 + r), to funkcja f nie ma w punkcie x 0 ekstremum lokalnego. Przykład 5.2. Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji f(x) = 3x 5 5x 3. Rozwiązanie. Funkcja f określona jest na całej osi liczbowej, a jej pochodna f (x) = 5x 4 5x 2 jest wielomianem czwartego stopnia. Badamy znak pochodnej rozkładając ją na na czynniki 5x 4 5x 2 = 5x 2 (x 2 ) = 5x 2 (x + )(x ). Strona 96 z 403 Miejscami zerowymi pochodnej są punkty x =, x 2 = 0, x 3 =, przy czym x, x 3 są pierwiastkami pojedynczymi, a x 2 jest pierwiastkiem podwójnym. Znak pochodnej najłatwiej można zbadać korzystając z jej wykresu (patrz rysunek 5.2).

97 Rysunek 5.2: Wykres pochodnej f (x) = 5x 4 5x 2 Otrzymane wyniki zapisujemy w tabeli postaci x (, ) (, 0) 0 (0, ) (, ) f (x) f(x) Na podstawie tej tabeli możemy stwierdzić, że funkcja f ma w punkcie maksimum lokalne, w punkcie ma minimum lokalne, w punkcie 0 mimo, że pochodna jest równa 0, nie ma ekstremum lokalnego. Strona 97 z Ekstrema globalne funkcji Największą i najmniejszą wartość w przedziale domkniętym a, b funkcja może przyjąć w punktach, w których ma ekstrema lokalne lub na końcach przedziału. Stąd wynika metoda wyznaczania

98 ekstremów globalnych w przedziale a, b funkcji różniczkowalnej y = f(x). Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej (nie musimy sprawdzać, czy są to ekstrema lokalne) leżące wewnątrz przedziału, a następnie obliczamy wartość funkcji w wyznaczonych punktach i na końcach przedziału. Z otrzymanych liczb wybieramy wartość największą i najmniejszą. Przykład Wyznaczymy największą i najmniejszą wartość funkcji f(x) = 2x 3 + 9x 2 24x w przedziale, 2. Rozwiązanie. Mamy f (x) = 6x 2 + 8x 24 oraz f (x) = 0 x = x = 4. Obliczając wartości funkcji w punktach,, 2 ( 4 /, 2 ), otrzymujemy f( ) = 3, f() = 3, f(2) = 4. Największą wartość równą 3 funkcja osiąga w punkcie, a najmniejszą równą 3 w punkcie. Odpowiedź zapisujemy w postaci Strona 98 z 403 f max = max f(x) = f( ) = 3, f min = min f(x) = f() = 3. x,2 x,2 Zadania 5.. (?) Obliczyć pochodną funkcji: a) f(x) = x 2 + 3x, b) f(x) = 3 x 2, c) g(x) = 3x 2 sin x, d) f(x) = 2x 4 + x cos x, e) f(x) = x2 x 3,

99 f) h(x) = k) g(z) = z + 3 z 3 4z x 3 x2, g) f(t) =, h) f(x) = 2x 5 + t2 2x, i ) h(x) = ctg x, j) f(t) = 2 t3 sin t, + sin t 2 sin y x sin x, l) h(t) =, ł) f(y) =, m) f(x) = 2 cos t cos y x + cos x (?) Obliczyć pochodną funkcji złożonej: a) f(x) = x 2 +, b) f(x) = sin 2 x, c) f(x) = sin x 2, d) g(x) = x + f) h(v) = cos( + v 2 ), g) f(x) =. x 2 (t + 3)5, e) h(t) =, x2 4 t (?) Wyznaczyć dziedzinę funkcji określonej wzorem f(x) = x +. Zbadać, czy równanie x f (x) = 2 x ma rozwiązanie (?) Wykazać, że pochodna funkcji określonej wzorem f(x) = x sin x, x R jest funkcją nieparzystą (?) Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji f(x) = x 2 3x w punkcie o odciętej x 0 = (?) Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji f(x) = x x + 4 w punkcie o odciętej x 0 = (?) W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji f(x) = 3 x3 2x ma równanie Strona 99 z 403 6x 3y + = 0? 5.8. (?) Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i stycznej do wykresu funkcji f(x) = x 2 + x.

100 5.9. (?)Linearyzując odpowiednią funkcję obliczyć przybliżoną wartość (?)Wyznaczyć funkcję liniową L(x), która jest przybliżeniem funkcji f(x) = e x2 + x 2x dla wartości x bliskich x 0 =. 5.. (?) Obliczyć granice: 3x a) lim 4 2x xe x (x 2 2, b) lim x + 3x) x 0 e x, g) lim x x, x h) lim ( π x 2 π 2 x) tg x, c) lim x 0 2 x e, d) lim x e x x x 0 sin x, j) lim ( + a x x x ). i) lim ( x 0 x tg x ), ln 3x e) lim x 0 + ctg x, f) lim x 0 xx, (?) Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: a) f(x) = x 2 2x + 5, b) f(t) = 2t 4 t 2, c) f(x) = x + x, d) f(x) = 3x2 6 x2, e) f(x) = x x 2 +, f) f(x) = x + 3 x (?) Wyznaczyć b tak, aby funkcja określona wzorem f(x) = cos 2 x bx, x R była funkcją malejącą (?) Niech f(x) = x2 a. Dla jakich a R funkcja f: x + a) jest przedziałami rosnąca, b) ma ekstremum lokalne w punkcie x = 2? 5.5. (?) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: a) f(x) = 4x x 2, b) f(x) = x 2 6x + 5, c) f(x) = 3x (x 2) 2, d) f(x) = x + x, e) f(x) = + x, x 2 f) f(x) = + x. 2 Strona 00 z 403

101 5.6. (?) Cena p, jaką uzyskuje się za jednostkę pewnego towaru zależy od wielkości dostawy x 00 według wzoru p =. Przy jakiej wielkości dostawy uzyska się największy utarg? x (?) W pewnym zakładzie produkcyjnym koszt całkowity wytworzenia x jednostek towaru wyraża się wzorem K(x) = 2x x + 32, gdzie x 0. Przy jakiej wielkości produkcji koszt przypadający na jednostkę wytworzonego produktu jest najmniejszy? 5.8. (?) Wyznaczyć taką liczbę a, żeby funkcja f(x) = 2x 3 + 3ax + 4 miała ekstremum lokalne w punkcie x =. Następnie zbadać, czy jest to maksimum czy minimum (?) Niech f(x) = ax 3 3x 2 + 2, x R. Dla jakich wartości parametru a R funkcja f: a) ma ekstremum lokalne w punkcie x = 5, b) ma dokładnie jedno ekstremum lokalne? (?) Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x) = x(x 2) 2 w przedziale, (?) Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x) = x 3 6x 2 w przedziale 2, (?) Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f(x) = x+ 2 x 2 w przedziale ; (?) Wydajność pracy pewnego robotnika zmienia się w ciągu 8-godzinnego dnia pracy i po t godzinach osiąga wartość w = 00+2t+9t 2 4t 3. O której godzinie jego wydajność jest największa, jeżeli pracę rozpoczyna o godzinie siódmej? Strona 0 z 403

102 5.4. Druga pochodna funkcji Definicja Pochodną drugiego rzędu lub drugą pochodną funkcji f (a, b) R nazywamy funkcję f = (f ), o ile taka funkcja istnieje. Funkcję, która w każdym punkcie przedziału (a, b) ma drugą pochodną, nazywamy funkcją dwukrotnie różniczkowalną, a jeśli f (a, b) R jest funkcją ciągłą, to mówimy, że f jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły. Przykład Wyznaczymy drugą pochodną funkcji f R R, f(x) = x 3 cos x. Rozwiązanie. f (x) = 3x 2 cos x x 3 sin x oraz f (x) = 6x cos x 6x 2 sin x x 3 cos x. Przykład Wykażemy, że nie istnieje f (0), gdzie f R R, f(x) = x x. Rozwiązanie. Dla x > 0 funkcja f jest określona wzorem f(x) = x 2, zatem f(x) = 2x; dla x < 0 mamy f(x) = x 2, a więc w tym przypadku f (x) = 2x. Pochodną w 0 obliczamy z korzystając z definicji: f f(h) f(0) h h (0) = lim = lim h 0 h h 0 h = lim h = 0. h 0 Ostatecznie mamy f (x) = 2 x, a ta funkcja nie jest różniczkowalna w x = 0 (por. przykład 5.5). Strona 02 z Zastosowania drugiej pochodnej Wyznaczanie ekstremów lokalnych Drugą pochodną stosujemy do wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji, wyznaczania przedziałów wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji f oraz do badania tempa zmian wartości funkcji.

103 Twierdzenie 5.26 (warunek dostateczny na istnienie ekstremum). Niech f (a, b) R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły, a x 0 (a, b) takim punktem, że f (x 0 ) = 0. a) Jeśli f (x 0 ) > 0, to f ma w x 0 minimum lokalne. b) Jeśli f (x 0 ) < 0, to f ma w x 0 maksimum lokalne. Przykład Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji f(x) = x + 4 x. Rozwiązanie. Dziedziną funkcji jest zbiór D f = (, 0) (0, ). Pierwsza pochodna jest równa f (x) = 4 x oraz f (x) = 0 x = 2 x = 2. Druga pochodna jest równa f (x) = 8 2 x. 3 Ponadtof ( 2) = < 0, f (2) = > 0. Funkcja f w punkcie x = 2 ma maksimum lokalne, a w punkcie x = 2 ma minimum lokalne Wypukłość i wklęsłość funkcji Definicja Mówimy, że funkcja f (a, b) R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek f (( t) x + tx 2 ) ( t) f(x ) + tf(x 2 ) dla dowolnych x, x 2 (a, b), t 0,. Jeśli ponadto f (( t) x + tx 2 ) < ( t) f(x ) + tf(x 2 ) dla t (0, ), to mówimy, że funkcja f jest ściśle wypukła. Mówimy, że funkcja f (a, b) R jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek Strona 03 z 403 f (( t) x + tx 2 ) ( t) f(x ) + tf(x 2 )

104 dla dowolnych x, x 2 (a, b), t 0,. Jeśli ponadto f (( t) x + tx 2 ) > ( t) f(x ) + tf(x 2 ) dla t (0, ), to mówimy, że funkcja f jest ściśle wklęsła. Rysunek 5.3: Wykres funkcji wypukłej Warunek podany w definicji 5.28 oznacza, że dla dowolnych x, x 2 (a, b) odcinek łączący punkty (x, f(x )), (x 2, f(x 2 )) (cięciwa wykresu funkcji f) funkcji wypukłej (odpowiednio wklęsłej) leży na lub powyżej (odpowiednio leży na lub poniżej) wykresu funkcji f (por. rys. 5.3). Bezpośrednio z definicji wynika również, że jeśli funkcja f jest wklęsła (ściśle wklęsła), to funkcja f jest wypukła (ściśle wypukła) i na odwrót. Definicja Punkt (x 0, f (x 0 )), gdzie x 0 (a, b), nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie r > 0, że w jednym z przedziałów (x 0 r, x 0 ), (x 0, x 0 + r) funkcja jest wypukła, a w drugim wklęsła. Strona 04 z 403

105 Twierdzenie Niech f (a, b) R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły. Wówczas: a) funkcja f jest wypukła na (a, b) wtedy i tylko i wtedy, gdy f (x) 0 dla każdego x (a, b); b) funkcja f jest wklęsła na (a, b) wtedy i tylko i wtedy, gdy f (x) 0 dla każdego x (a, b); c) jeśli f (x) > 0 (odpowiednio f (x) < 0) dla każdego x (a, b), to funkcja f jest ściśle wypukła (odpowiednio ściśle wklęsła) na (a, b). Twierdzenie 5.3. Niech f (a, b) R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły, x 0 (a, b). Jeśli (x 0, f (x 0 )) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f, to f (x 0 ) = 0. Twierdzenie Niech f (a, b) R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły, x 0 (a, b), f (x 0 ) = 0. Jeśli istnieje takie r > 0, że w jednym z przedziałów (x 0 r, x 0 ), (x 0, x 0 + r) mamy f (x) 0, a w drugim f (x) 0, to (x 0, f (x 0 )) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f. Przykład Niech f(x) = xe x. Wyznaczmy przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f oraz punkty przegięcia jej wykresu. Rozwiązanie. Dziedziną funkcji f jest zbiór R. Pierwsza i druga pochodna jest odpowiednio równa: f (x) = e x xe x, f (x) = 2e x + xe x. Mamy: f (x) = 0 x = 2, f (x) > 0 x > 2, f (x) < 0 x < 2. Strona 05 z 403

106 Stąd wynika, że f jest wypukła w przedziale (2, ), wklęsła w przedziale (, 2), a punkt (2, 2e 2 ) jest punktem przegięcia wykresu funkcji Tempo zmian wartości funkcji W tym paragrafie przedstawimy zastosowanie pierwszej i drugiej pochodnej do badania tempa zmian wartości funkcji. Rozważmy na początku funkcję liniową f(x) = ax+b, która jest jednocześnie wypukła i wklęsła. Jeśli a = 0, to funkcja jest stała (jej wartości nie zmieniają się). Jeśli a > 0, to funkcja jest rosnąca, ale tempo zmian jej wartości jest stałe (jednakowym przyrostom argumentów odpowiadają jednakowe przyrosty wartości funkcji). W ostatnim przypadku, gdy a < 0, funkcja jest malejąca, ale również tempo zmian wartości jest stałe (jednakowym przyrostom argumentów odpowiadają jednakowe spadki wartości funkcji). Zajmijmy się teraz funkcjami nieliniowym. Definicja Niech f (a, b) R. a) Jeśli funkcja f jest rosnąca i ściśle wypukła, to mówimy, że funkcja f rośnie coraz szybciej w przedziale (a, b). b) Jeśli funkcja f jest rosnąca i ściśle wklęsła, to mówimy, że funkcja f rośnie coraz wolniej w przedziale (a, b). c) Jeśli funkcja f jest malejąca i ściśle wypukła, to mówimy, że funkcja f maleje coraz wolniej w przedziale (a, b). d) Jeśli funkcja f jest malejąca i ściśle wklęsła, to mówimy, że funkcja f maleje coraz szybciej w przedziale (a, b). Strona 06 z 403

107 (a) Funkcja rośnie coraz szybciej (b) Funkcja rośnie coraz wolniej Rysunek 5.4: Tempo zmian funkcji rosnącej Twierdzenie Niech f (a, b) R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły. a) Jeśli f (x) > 0 i f (x) > 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f rośnie coraz szybciej w przedziale (a, b). b) Jeśli f (x) > 0 i f (x) < 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f rośnie coraz wolniej w przedziale (a, b). c) Jeśli f (x) < 0 i f (x) > 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f maleje coraz wolniej w przedziale (a, b). d) Jeśli f (x) < 0 i f (x) < 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f maleje coraz szybciej w przedziale (a, b). Przykład Zbadamy tempo zmian wartości funkcji f (0, 2π) R, f(x) = sin x. Strona 07 z 403

108 (a) Funkcja maleje coraz wolniej (b) Funkcja maleje coraz szybciej Rysunek 5.5: Tempo zmian funkcji malejącej Rozwiązanie. Mamy f (x) = cos x, f (x) = sin x, oraz f (x) = 0 cos x = 0 x D f x = 2 π x = 3 2 π, f (x) = 0 sin x = 0 x D f x = π. Strona 08 z 403 Ponadto f (x) > 0 cos x > 0 x (0, 2 π) ( 3 2π, 2π), f (x) < 0 cos x < 0 x ( 2 π, 3 2 π), f (x) > 0 sin x > 0 x (π, 2π), f (x) < 0 sin x < 0 x (0, π).

109 Zestawiamy znaki pochodnych w tabeli. x (0, 2 π) 2 π ( 2 π, π) π (π, 3 2 π) 3 2 π ( 3 2π, 2π) f (x) f (x) f(x) 0 Wynika stąd, że funkcja f rośnie coraz wolniej w przedziale (0, 2π), maleje coraz szybciej w przedziale ( 2 π, π), maleje coraz wolniej w przedziale (π, 3 2π), rośnie coraz szybciej w przedziale ( 3 2π, 2π) Badanie przebiegu zmienności funkcji W tym paragrafie omówimy badanie przebiegu zmienności funkcji i szkicowanie jej wykresu. Badanie funkcji dwukrotnie różniczkowalnej w sposób ciągły przeprowadzamy według następującego schematu: wyznaczamy dziedzinę funkcji oraz (jeśli istnieją) punkty, w których wykres funkcji przecina osie układu współrzędnych, tzn. wartość f(0) i rozwiązania równania f(x) = 0; obliczamy granice funkcji na końcach przedziałów określoności i wyznaczamy równania asymptot; wyznaczamy pierwszą pochodną i badamy jej znaki; Strona 09 z 403 wyznaczamy drugą pochodną i badamy jej znaki;

110 w tabeli zestawiamy znaki pochodnych i zaznaczamy tempo zmian wartości funkcji; na podstawie tabeli szkicujemy wykres funkcji. Przykład Zbadamy przebieg zmienności funkcji f (x) = x2 2x + 4. Rozwiązanie. Dziedziną funkcji jest zbiór D f = (, 2) ( 2, ). Obliczając f(0) i rozwiązując równanie f(x) = 0, otrzymujemy f(0) = 4, f(x) = 0 x = x =, zatem wykres przecina osie układu współrzędnych w punktach (0, ), 4 (, 0), (, 0). Obliczamy granice na końcach przedziałów określoności. W mamy x lim f(x) = lim 2 x x 2x + 4 = lim x 2 x 2x + 4 = lim x 2 ( ) x 2 x x (2 + 4) = lim x ( ) x 2 x x (2 + 4) =. x Podobnie lim x f(x) =. Nie istnieje zatem asymptota pozioma. Sprawdzamy, czy istnieje asymptota ukośna y = ax + b. W mamy f(x) a = lim x x = lim x 2 x x 2x + 4 = 2, b = lim (f(x) ax) = lim ( x2 x x 2x + 4 x) =. 2 Analogiczne wartości granic otrzymujemy w +. Prosta y = 2x jest asymptotą ukośną zarówno w i w +. Obliczamy granice jednostronne w punkcie x = 2. Strona 0 z 403 lim x 2 x 2 f(x) =, lim f(x) =. +

111 Prosta x = 2 jest asymptotą pionową wykresu funkcji. Pierwsza pochodna funkcji jest równa f (x) = x 2 + 4x + 2 (x + 2) 2. Badając jej znaki otrzymujemy f (x) = 0 x = 2 3 x = 2 + 3, f (x) > 0 x (, 2 3) ( 2 + 3, ), f (x) < 0 x ( 2 3, 2) ( 2, 2 + 3). Druga pochodna funkcji jest równa f (x) = 3 (x + 2) 3. Druga pochodna nie zeruje się w żadnym punkcie, ponadto Strona z 403 f (x) > 0 x ( 2, ), f (x) < 0 x (, 2). Znaki pochodnej zestawiamy w tabelce, w której odpowiednimi strzałkami ilustrujemy wykres funkcji.

112 Rysunek 5.6: Wykres funkcji f (x) = x2 2x+4 x f (x) f (x) f(x) 2 3 max Wykres funkcji przedstawiony jest na rysunku min Strona 2 z 403 Zadania (?) Wyznaczyć pochodną drugiego rzędu funkcji f i obliczyć jej wartość w punkcie x 0 : a) f(x) = x 3 2x 2 + 4x x x + 3, x 4 0 =, b) f(x) = ln x x, x 0 = e, c)f(x) = ex2 +2x, x 0 = 0, d) f(x) = x2 + e, x x 0 = (?) Wyznaczyć przedział, w którym funkcja f(x) = 3 x x 3 :

113 a) maleje coraz szybciej, b) rośnie coraz wolniej (?) Wyznaczyć przedział, w którym funkcja f(x) = 4 x 2 : a) rośnie coraz szybciej, b) rośnie coraz wolniej, c) maleje coraz szybciej, d) maleje coraz wolniej (?) Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji: a) f(x) = x 2 e 2 x, b) f(x) = x2 + x, c) f(x) = x ln x2, d) f(x) = x ln x (?) Zbadać tempo zmian wartości funkcji: a) f(x) = e x x, b) g(x) = 2x 2 + 3, c) h(x) = x + 3 x 2, d) p(x) = cos x * (?) Zbadać, dla jakich wartości parametrów α, β, γ R funkcja f(x) = x α + βx + γ jest wklęsła, a dla jakich wypukła w przedziale (0, + ). Czy istnieją takie wartości parametrów, przy których funkcja rośnie coraz wolniej w przedziale (0, + )? * (?) Zbadać tempo zmian wartości funkcji f(x) = e ax + e ax w zależności od wartości parametru a R {0}. Strona 3 z (?) Zbadać przebieg zmienności funkcji f: a) f(x) = (x+)2 2x, b) f(x) = e x, c) f(x) = x ln x, d) f(x) = xe x * (?) Dla funkcji z zadania 5.3 wyznaczyć f((, + )), f ((, 0)), f(d f ).

114 Rozdział 6 Całki 6.. Całka nieoznaczona Mając daną funkcję f wyznaczaliśmy jej pochodną (o ile taka istniała). Obecnie zajmiemy się nieco innym, w pewnym sensie odwrotnym działaniem. Dla danej funkcji f będziemy poszukiwać funkcji, której pochodną jest funkcja f. Definicja 6.. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f w (niepustym) przedziale I = (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy F (x) = f(x) dla każdego x I. Uwaga. Możemy również definiować funkcję pierwotną funkcji f w przedziale domkniętym a, b i w dowolnym innym przedziale, żądając dodatkowo aby F +(a) = f(a) oraz F (b) = f(b). Strona 4 z 403 Przykład 6.2. Funkcją pierwotną funkcji f(x) = 3x 2 w dowolnym przedziale I jest na przykład

115 funkcja F (x) = x 3, ale też funkcja F (x) = x Ogólnie, każda funkcja postaci F (x) = x 3 +C, gdzie C jest pewną stałą należącą do zbioru R, jest funkcją pierwotną funkcji f w dowolnym przedziale I. Dla każdego x R mamy bowiem F (x) = (x 3 + C) = (x 3 ) + 0 = 3x 2. Przykład 6.3. Funkcją pierwotną funkcji f(x) = sin x + 3 w dowolnym przedziale I jest funkcja F (x) = cos x + 3x + C, gdzie C R. Przykład 6.4. Funkcją pierwotną funkcji f(x) = x w dowolnym przedziale I (0, ) jest funkcja F (x) = lnx + C, gdzie C R. Zauważmy również, że (ln( x)) = ( ) x = x. A zatem funkcja F (x) = ln( x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f(x) = x w dowolnym przedziale I (, 0). Łatwo zauważyć, że jeśli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f, to również funkcja F + C, gdzie C R, jest funkcją pierwotną funkcji f. Pojawia się pytanie, czy wszystkie funkcje pierwotne funkcji f są tej postaci. Twierdzenie 6.5. Niech funkcja F będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I. Wtedy: a) Dla każdego C R funkcja G = F + C jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I. b) Jeśli G jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I, to istnieje C R takie, że G = F + C. A zatem wyznaczając jedną funkcję pierwotną danej funkcji, znajdujemy wszystkie funkcje pierwotne tej funkcji. Operację wyznaczania funkcji pierwotnych nazywamy całkowaniem, zaś rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji całką nieoznaczoną. Definicja 6.6. Całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale I nazywamy rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w przedziale I. Strona 5 z 403

116 Uwaga. Całkę nieoznaczoną oznaczamy przez f(x)dx. Mamy zatem: f(x)dx = F (x) + C F (x) = f(x). Poniżej przedstawiamy przydatne wzory, które wynikają wprost ze wzorów na pochodne wybranych funkcji. x a dx = a+ xa+ + c, a /= dx = ln x + C x a x dx = ln a ax + C e x dx = e x + C cos xdx = sin x + C sin xdx = cos x + C Przykład x 2 dx = x 3 + C, gdyż (x 3 ) = 3x 2. Przykład 6.8. x 2 dx = 3 x2 + C, gdyż ( 3 x3 ) = 3 (x3 ) = x 2. Przykład 6.9. x dx = ln x + C w każdym przedziale, do którego nie należy 0, gdyż (ln x ) = = (lnx) = x dla x > 0 oraz (ln x ) = (ln( x)) = x dla x < 0. Przykład 6.0. (tg 2 x + )dx = ( sin2 x cos 2 x + )dx = sin2 x+cos 2 x cos 2 x dx = cos 2 xdx = tgx + C. Twierdzenie 6.. Jeśli funkcje f i g mają funkcje pierwotne w przedziale I, to funkcje f + g, af, gdzie a R, mają funkcje pierwotne w tym przedziale, przy czym: a) af(x)dx = a f(x)dx; b) (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx. Strona 6 z 403

117 Przykład xdx = 5 xdx = 5 ( x2 2 ) + C = 5 2 x2 + C. Przykład x dx = 3 x 2 dx = 3 ( 2 +x 2 + )+C = 6 x + C. Przykład 6.4. (x 4 + sin x)dx = x 4 dx + sin xdx = 5 x5 cos x + C. Przykład 6.5. x3 + x+ dx = (x+)(x2 x+) x+ = (x 2 x + )dx = x 2 dx xdx + dx = = 3 x3 2 x2 + x + C. Twierdzenie 6.6. Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale I (otwartym lub domkniętym), to f ma funkcję pierwotną w tym przedziale. Uwaga. Całkowanie jest na ogół przedsięwzięciem znacznie trudniejszym od wyznaczania pochodnej. Co więcej, istnieją funkcje ciągłe, których funkcje pierwotne nie są funkcjami elementarnymi. Do takich funkcji należy między innymi funkcja f(x) = e x2. Obecnie przedstawimy twierdzenie, które w wielu wypadkach ułatwia całkowanie. Twierdzenie 6.7 (o całkowaniu przez części). Jeśli funkcje f i g mają w przedziale I ciągłe pochodne f i g, to Strona 7 z 403 f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx. Uwaga. Teza twierdzenia wynika bezpośrednio ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji. Przykład 6.8. xe x dx = x(e x ) dx = xe x (x) e x dx = xe x e x dx = xe x e x + C. Czasem wygodniej wykonywać rachunki, wypisując wszystkie kroki pośrednie. Na przykład można to zrobić w następującej postaci.

118 f(x) = x f (x) = xe x dx = = xe x g (x) = e x g(x) = e x e x dx = xe x e x + C. Przykład 6.9. x sin xdx = x( cos x) dx = x cos x (x) cos xdx = x cos x + cos xdx = = x cos x + sin x + C Przykład lnx x dx = lnx(2 x) dx = 2 xlnx 2 x(lnx) dx = 2 xlnx 2 x x dx = = 2 xlnx 2 x dx = 2 xlnx 4 x + C. Przykład 6.2. lnxdx = (x) lnxdx = xlnx x(lnx) dx = xlnx x x dx = xlnx dx = = xlnx x + C. Innym ważnym twierdzeniem ułatwiającym całkowanie jest twierdzenie związane ze wzorem na pochodną funkcji złożonej. Twierdzenie 6.22 (o całkowaniu przez podstawienie). ciągłą pochodną g, zaś funkcja f ma w przedziale g(i) funkcję pierwotną F, to w przedziale I. f(g(x))g (x)dx = F (g(x)) + C Jeśli funkcja g ma w przedziale I Zauważmy, że f(t)dt = F (t) + C. Tym samym wzór możemy zapisać w następującej postaci: f(g(x))g (x)dx = f(t)dt, gdzie t = g(x). Innymi słowy stosujemy podstawienie t = g(x) i obliczanie całki sprowadzamy do wyznaczenia f(t)dt. Strona 8 z 403

119 Przykład Znajdziemy całkę nieoznaczoną funkcji h(x) = 2x(x 2 + ) 0. Zauważmy, że we wzorze funkcji h występuje funkcja g(x) = x 2 + wraz ze swoja pochodną g (x) = 2x. Przyjmując dodatkowo, że f(x) = x 0, mamy f(g(x)) = (x 2 + ) 0. Tak więc h(x) = f(g(x))g (x). Funkcja F (x) = x jest funkcją pierwotną funkcji f w dowolnym przedziale I. Mamy zatem F (g(x)) = = (x2 + ) i tym samym 2x(x 2 + ) 0 dx = (x2 + ) + C. Wykorzystując notację t = g(x) oraz dt = g (x)dx, powyższe rachunki możemy przedstawić w nieco bardziej zwartej postaci t = x 2 + 2x(x 2 + ) 0 dx = dt = 2xdx = t 0 dt = t + C = (x2 + ) + C. Przykład cos(5x + 2)dx = t = 5x + 2 dt = 5dx 5dt = dx = 5 cos tdt = 5 sin t + C = 5 sin(5x + 2) + C. t = x 3 Przykład x 2 e x3 dx = dt = 3x 2 dx = 3 et dt = 3 et + C = 3 ex3 + C. 3 dt = x2 dx Przykład tgxdx = sin x cos x dx = t = cos x dt = sin xdx dt = sin xdx = t dt = ln t + C = ln cos x + C. Strona 9 z 403

120 6.2. Całka oznaczona Definicja Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale a, b. Całką oznaczoną funkcji f w przedziale a, b nazywamy liczbę a b f(x)dx = F (b) F (a), gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale a, b. Uwaga. Liczbę a nazywamy dolną granicą całkowania, liczbę b zaś górną granicą całkowania. W dalszych rozważaniach będziemy posługiwać się następującym oznaczeniem: [F (x)] b a = F (b) F (a). Przykład (x2 + 4)dx = [ 3 x3 + 4x] 2 = ( ) ( 3 ( 2)3 + 4 ( 2)) = 5. Przykład Wyznaczymy całkę 0 xex dx. Po zastosowaniu twierdzenia o całkowaniu przez części (patrz przykład 6.8) otrzymujemy xe x dx = xe x e x + C. A zatem 0 xex dx = [xe x e x ] 0 = = ( e e ) (0 e 0 e 0 ) =. Łatwo pokazać, że całka oznaczona ma następujące własności. Strona 20 z 403 Twierdzenie 6.30 (własności całki oznaczonej). Jeśli funkcje f i g są ciągłe w przedziale a, b, to: a) b a αf(x)dx = α b a f(x)dx dla dowolnego α R ; b) b a (f(x) + g(x))dx = b a f(x)dx + b a g(x)dx; c) b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx dla dowolnego c (a, b).

121 6.3. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Poznamy teraz jedno z ważnych zastosowań całki oznaczonej. Weźmy pod uwagę funkcję f ciągłą w przedziale a, b taką, że f(x) 0 dla x a, b. Rozważamy zbiór A = {(x, y) x R y R x a, b 0 y f(x)}. Interpretację geometryczną zbioru A przedstawia rysunek 6.. Można udowodnić, że pole powierzchni zbioru A (oznaczane dalej przez A ) jest równe b a f(x)dx. Strona 2 z 403 Rysunek 6.: Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Wykorzystując powyższy fakt, możemy także wyznaczać pole powierzchni B zbioru ograniczonego prostymi o równaniach x = a i x = b, osią 0x oraz wykresem funkcji f, która w przedziale a, b jest ciągła i niedodatnia. Odbijając wykres funkcji f symetrycznie względem osi 0x, otrzymujemy wykres funkcji g = f, która w przedziale a, b jest ciągła i nieujemna (patrz rysunek 6.2). Łatwo zauważyć, że B = b a g(x)dx = b a ( f(x))dx = b a f(x)dx.

122 Rysunek 6.2: Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Przykład 6.3. Obliczymy pole powierzchni zbioru A ograniczonego wykresem funkcji f(x) = = x 2 2x + 2, osią 0x oraz prostymi o równaniach x = i x = 2 (patrz rysunek 6.3). Zauważmy, że w przedziale, 2 funkcja f jest nieujemna i ciągła. Mamy zatem A = 2 (x2 2x + 2)dx = = [ x3 3 x2 + 2x] 2 = 6. Strona 22 z 403 Rysunek 6.3: Interpretacja geometryczna całki. Przykład 6.3