Wewnętrzny stan bryły

Transkrypt

1 Stany graniczne

2 Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez materiał bryły naprężeń, które występują w bryle z powodu zewnętrznych sił. α

3 Wewnętrzny stan bryły W każdym przekroju bryły mamy ciągłe wzajemne oddziaływania, które nazywane są naprężeniami. Przekroje z siłami Siły wewnętrzne są wypadkowymi z naprężeń q P wypadkowymi z naprężeń. P q q P P q W W P Przekroje z naprężeniami P W. Przekroje ze składowymi sił wypadkowych czyli siłami wewnętrznymi T y T z x y N z

4 odele materiału Naprężenia σ w przekroju zależą od odkształceń ε, będących wynikiem oddziaływań zewnętrznych. Kształt wykresu, opisującego tą zależność, decyduje m.in. o klasyfikacji materiałów. ateriał z wyraźną granicą plastyczności Przykład stal niskowęglowa ateriał bez granicy plastyczności Przykład stal konstrukcyjna stopowa ateriał kruchy Przykład żeliwo, beton

5 odele materiału W obliczeniach wykorzystuje się uproszczone modele materiałów σ σ σ σ σ pl ε ε ε ε ateriał idealnie sprężysty ateriał idealnie sprężysto-plastyczny ateriał idealnie sztywno plastyczny ateriał ze wzmocnieniem

6 Wewnętrzny stan w przekroju belki Stan użytkowania konstrukcji stan, w którym mamy pewien stan sił wewnętrznych, które są efektem naprężeń dopuszczalnych w danym materiale. Przekrój belki y σ pl =50000kPa z g=0.06m Przykład belki z zestawem sił wewnętrznych A=gh= m 2 pole przekroju J z =gh 3 /12= m 4 moment bezwładności względem osi z W z =J z /(h/2)= m 3 wskaźnik wytrzymałości przy zginaniu względem osi z S z =gh/2 h/4= m 3 moment statyczny fragmentu przekroju powyżej osi z i względem osi z

7 Wewnętrzny stan w przekroju belki Stan użytkowania konstrukcji stan, w którym mamy pewien stan sił wewnętrznych, które są efektem naprężeń dopuszczalnych w danym materiale. α Naprężenia w α α y σ = α J z gdzie: =0.5qb(a+0.75b)=5kNm, q=0.5kn/m, a=2m, b=4m, J z = m 4, y=h/2=0.06m y z y 5kNm 0.06m σ = = = -8 4 J z m = 35722kPa σ = 35722kPa < σ pl σ pl =50000kPa max =0.5qb(a+0.75b) y 5kNm 0.06m σ = = = -8 4 J z m = 35722kPa < σ dop

8 Sprężysty stan graniczny nośności, Jeżeli na konstrukcję działa obciążenie takie, że w najbardziej wytężonym przekroju zostaje osiągnięta granica sprężystości czyli w przekroju mamy naprężenia równe σ pl, to mówimy,że został osiągnięty sprężysty graniczny stan nośności. σ σ pl y σ pl = 50000kPa ε z ateriał idealnie sprężysto-plastyczny σ pl = 50000kPa Dla obciążeń od 0 do obciążenia, przy którym nastąpi osiągnięcie sprężystego stanu granicznego, naprężenia są wprost proporcjonalne do obciążeń.

9 Sprężysty stan graniczny nośności Wyznaczenie wartości q, przy której zostanie osiągnięty sprężysty stan graniczny. α Naprężenia w α α σ = y J z Naprężenia w skrajnych włóknach: -górnych y σ = 1 J z α y -dolnych y σ = 2 J z Naprężenia maksymalne gdzie: J z W z W z = z = y 1 J z y 2 σ = W z dla y 1 > y 2 dla y 2 > y 1 max =0.5qb(a+0.75b)

10 Sprężysty stan graniczny nośności Wyznaczenie wartości q, przy której zostanie osiągnięty sprężysty stan graniczny. α Naprężenia maksymalne σ = = σ W z gdzie: =0.5b(a+0.75b)q=10m 2 q, a=2m, b=4m, y=h/2=0.06m, J z =gh 3 /12= m 4 moment bezwładności względem osi z; W z =J z /(h/2)= m 3 wskaźnik wytrzymałości przy zginaniu względem osi z 2 10m q 50000kPa = m y = σ pl 3 pl q=0.72kn/m α z max =0.5qb(a+0.75b) = σ pl

11 y Wzrost obciążenia Wzrost obciążenia może spowodować przekroczenie naprężeń w części przekroju. α Naprężenia w α α y σ = σ gdzie: =0.5qb(a+0.75b), a=2m, dop =50000kPa b=4m, J z = m 4, y=h/2=0.06m =5kNm q=0.5kn/m σ = 35722kPa z σ = 35722kPa < σ =9.2kNm q=0.92kn/m dop σ = 63889kPa c=0.02m σ = 63889kPa Rozkład naprężeń bez uwzględnienia przekroczenia naprężeń dopuszczalnych J z =9.2kNm, q=0.92kn/m Rozkład naprężeń rzeczywisty czyli po uwzględnieniu przekroczenia naprężeń dopuszczalnych i uplastycznieniu części c przekroju

12 Wzrost obciążenia Wzrost obciążenia może spowodować przekroczenie naprężeń w części przekroju. α Naprężenia w α α y σ = σ pl =50000kPa J z gdzie: =0.5qb(a+0.75b)=10m 2 q, a=2m, b=4m, J z = m 4, y=h/2=0.06m y c q=0.92kn/m z A oment wyznaczony jako moment od obciążenia ciągłego względem punktu A: h c h σyda = 2 g σ plc c σ 2 h 3 = c c=0.02m pl 2 A m 0.02m m = kPa 0.06m 0.02m m = = 9.2kNm

13 Wzrost obciążenia Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia uplastycznienia w całym przekroju czyli osiągnięcia stanu, po którym kolejnym etapem jest utrata nośności przekroju. Taki stan graniczny nosi nazwę plastycznego stanu granicznego nośności. y q=0.5kn/m σ = 35722kPa q=0.92kn/m q=1.08kn/m z h A σ pl =50000kPa g σ = 35722kPa < σ dop Rozkład naprężeń przed przekroczeniem naprężeń dopuszczalnych oment przeniesiony w stanie granicznym: A, o = 2( gh / 2) σ doph / 4

14 Wzrost obciążenia Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia uplastycznienia w całym przekroju czyli osiągnięcia stanu, po którym kolejnym etapem jest utrata nośności przekroju. Taki stan graniczny nosi nazwę stanu granicznego nośności. σ pl =50000kPa g y z h q=??? A gr oment przeniesiony w stanie granicznym, wyznaczony jako moment od obciążenia ciągłego względem punktu A: = A o σ yda = A, gr = 2( gh / 2) σ doph = 10.8kPa / 4 = 2(0.06m 0.12m / 2) 50000kPa 0.12m / 4 Ponieważ =0.5qb(a+0.75b), a=2m, b=4m, to q max = A,o /[0.5b(a+0.75b)]= =10.8kPa/(0.5 4m (2m m))=1.08kNm Jeżeli przyjmujemy za wyjściowe obciążenie q=0.5kn/m, to mnożnik obciążenia granicznego wynosi µ G =q max /q=1.08/0.5=2.16 =

15 Przegub plastyczny Dalszy wzrost obciążenia doprowadza do osiągnięcia uplastycznienia w całym przekroju. Taki stan graniczny nosi nazwę stanu granicznego nośności. W przekroju, w którym nastąpiło uplastycznienie całego przekroju powstaje przegub plastyczny. z h A g Przegub plastyczny Różnica pomiędzy zwykłym przegubem a przegubem plastycznym: zwykły przegub jest to połączenie, które pozwala na obrót i w ogóle nie stawia oporu przy obrocie; przegub plastyczny nie pozwala na obrót przy obciążeniu mniejszym niż to powodujące uplastycznienie przegubu, natomiast przy większym obciążeniu przenosi moment graniczny gr i pozwala na obrót przekroju.

16 Przegub plastyczny Różnica pomiędzy zwykłym przegubem a przegubem plastycznym: zwykły przegub jest to połączenie, które pozwala na obrót i w ogóle nie stawia oporu przy obrocie; przegub plastyczny nie pozwala na obrót przy obciążeniu mniejszym niż to powodujące uplastycznienie przegubu, natomiast przy większym obciążeniu przenosi moment graniczny gr i pozwala na obrót przekroju. z h A g Przegub plastyczny W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego (dystrybucja momentów zginających).

17 Przegub plastyczny w układzie statycznie niewyznaczalnym qµ przegub zwykły gr qµ przegub plastyczny przegub zwykły W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego (dystrybucja momentów zginających).

18 Przegub plastyczny w układzie statycznie niewyznaczalnym 12qlµ qµ gr 12qlµ gr qµ gr gr W układach statycznie wyznaczalnych wzrost obciążenia powyżej tego, który spowodował uplastycznienie przegubu oznacza utratę nośności, a w układach statycznie niewyznaczalnych oznacza zmianę rozkładu momentu zginającego (dystrybucja momentów zginających).

19 g gr Plastyczny wskaźnik y wytrzymałości przy zginaniu oment graniczny można wyznaczyć ze wzoru σ pl ( S ) 1 + S2 2σ pls1 σ yda = σ y da = σ = = pl A A z h A σ pl pl σ pl = gr = 2 S 1 Wpl, gdzie plastyczny wskaźnik przekroju przy zginaniu wynosi: gr z W pl, z = 2S 1 S 1 moment statyczny przekroju powyżej osi z względem osi z S 2 moment statyczny przekroju poniżej osi z względem osi z S 1 = S 2

20 h/2 S = Plastyczny wskaźnik wytrzymałości Ay c przy zginaniu - prostokąt y z h/4 h Wskaźnik plastyczny prostokąta: W pl z = 2S = 2A h / 4 = 2( gh / 2) h / 4 = Wskaźnik sprężysty prostokąta: 3 gh 2 g J z 12 gh Wz = = = y1 h / 2 6 Współczynnik kształtu k iloraz plastycznego wskaźnika wytrzymałości przy zginaniu do sprężystego wskaźnika wytrzymałości. Współczynnik kształtu jest zawsze większy niż 1., 2 gh Wpl k = = 4 = W gh 6 - moment statyczny figury płaskiej można liczyć jako iloczyn pola i odległości środka ciężkości od osi, względem której liczony jest moment statyczny. 1 1 gh 4 2

21 Badanie zmian w belce pod wpływem wzrastającego obciążenia Przykładowa belka z obciążeniem statycznym 10kN 2.0kN/m 2m 3m 6m 4m Przekrój belki y g=0.06m z σ dop =σ pl =50000kPa E= kpa W=J z /(h/2)=gh 2 /6= m 3 wskaźnik wytrzymałości przy zginaniu względem osi z W pl =2(gh/2)(h/4)=gh 2 /4= m 3 plastyczny wskaźnik wytrzymałości przy zginaniu względem osi z σ σ pl Wykres σ-ε dla materiału idealnie sprężysto-plastycznego α ε oduł Younga E=tg(α)

22 Wykresy sił wewnętrznych w zakresie sprężystym A =-6.45kNm 10kN 2.0kN/m A B C D V A =6.03kN 2m 3m 6m 4m 6.47 V B =10.44kN V C =6.41kN V D =-0.88kN T [kn] [knm]

23 aksymalne naprężenia normalne dla danego obciążenia A =-6.45kNm 10kN 2.0kN/m A B C D V A =6.03kN m 3m 6m 4m Największy moment zginający jest w punkcie A σ W V 6.47 B =10.44kN V C =6.41kN V D =-0.88kN kNm 2 = = 44792kN/m = 44792kPa m = σ pl α W= m 3 σ pl =50000kPa ε [knm]

24 aksymalne naprężenia normalne dla danego obciążenia A =-6.45kNm 10kN 2.0kN/m A B C D V A =6.03kN 6.45 σ = 44792kPa 2m 3m 6m 4m 5.61 V B =10.44kN 6.47 V C =6.41kN V D =-0.88kN 6.30 Rozkład naprężeń w przekroju w p. A 4.09 g 3.51 y z σ = 44792kPa < σ h pl σ = 44792kPa [knm]

25 Dystrybucja momentów zginających A =-µ6.45knm µ10kn µ2.0kn/m A B C D V A =µ6.03kn m 3m 6m 4m 6.26 V B =µ10.44k 6.47 N V C =µ6.41k V D =-µ0.88kn N Proporcjonalne zwiększenie obciążenia, dla którego mnożnik obciążenia wynosi µ= Przy µ=1.116 osiągamy sprężysty stan graniczny Rozkład naprężeń w p.a = σ pl [knm]

26 Dystrybucja momentów zginających A =-µ6.45knm µ10kn µ2.0kn/m A B C D V A =µ6.03kn 10.8 gr = W pl pl 2m 3m 6m 4m 9.39 V B =µ10.44k 6.47 N V C =µ6.41k V D =-µ0.88kn N , zσ = m 50000kPa = 10.8kNm gr zostanie uzyskane przy mnożniku obciążenia µ= Rozkład naprężeń w p.a = σ [knm] pl

27 Dystrybucja momentów zginających µ10kn µ2.0kn/m A gr = B C -10.8kNm K L V A =10.09kN Punkt A 10.8 = σ 2m 3m 6m 4m pl 9.39 Punkt K gr = 10.8kNm µ=1.674 V B =17.48kN 6.47 V C =10.73kN V D =-1.47kN Punkt B Punkt L σ = 47500kPa D [knm] c=0.022m c=0.044m σ = 47500kPa

28 Dystrybucja momentów zginających µ10kn µ2.0kn/m A gr = B C -10.8kNm K L V A =10.09kN m 3m 6m 4m 9.39 µ= =1.706 gr = 10.8kNm µ=1.674 V B =17.48kN 6.47 V C =10.73kN V D =-1.47kN Kolejnym punktem, gdzie zostanie osiągnięty moment graniczny jest punkt B. oment zginający wynosi =10.55kNm. W celu uzyskania wartości granicznej gr =10.8kNm trzeba zwiększyć obciążenie z mnożnikiem (siła skupiona w p. K i obciążenie ciągłe). Współczynnik obciążenia wynosi: D [knm]

29 Dystrybucja momentów zginających µ10kn µ2.0kn/m A gr = B C -10.8kNm K L V A =10.24kN Punkt A 10.8 = σ - gr - gr 2m 3m 6m 4m pl 9.67 Punkt K gr = 10.8kNm µ= =1.706 V B =17.86kN 6.47 V C =10.92kN V D =-1.49kN Punkt B 6.97 Punkt L σ = 48403kPa D [knm] c=0.026m σ = 48403kPa

30 Dystrybucja momentów zginających µ10kn µ2.0kn/m A gr = B C -10.8kNm K L V A =10.24kN gr - gr gr = 10.8kNm µ= m 3m 6m 4m 9.67 V B =17.86kN 6.47 V C =10.92kN V D =-1.49kN Kolejnym punktem, gdzie zostanie osiągnięty moment graniczny jest punkt K. oment zginający wynosi =9.67kNm. W celu uzyskania wartości granicznej gr =10.8kNm trzeba zwiększyć obciążenie z mnożnikiem (siła skupiona w p. K i obciążenie ciągłe). Współczynnik obciążenia wynosi: µ= =1.8 D [knm]

31 Dystrybucja momentów zginających µ10kn µ2.0kn/m A gr = B C -10.8kNm K L V A =10.8kN Punkt A 10.8 = σ gr gr - gr - gr 2m 3m 6m 4m pl 10.8 Punkt K gr = 10.8kNm µ= =1. 8 V B =18.55kN 6.47 V C =11.42kN V D =-1.62kN Punkt B 7.56 Punkt L D [knm] Punkt C σ = 43750kPa = σ pl c=0.003m = σ pl σ = 43750kPa

32 Dystrybucja momentów zginających µ10kn µ2.0kn/m A gr = B C -10.8kNm K L V A =10.8kN 10.8 gr gr - gr - gr gr = 10.8kNm µ=1. 8 2m 3m 6m 4m 10.8 V B =18.76kN V C =11.7kN 6.47 V D =-1.62kN 10.8 Przegub, który byłby wprowadzony jako kolejny, gdyby nie uzyskanie geometrycznej zmienności pomiędzy punktami A i B D [knm] Układ jest trzykrotnie statycznie niewyznaczalny czyli układ na rysunku po wstawieniu trzech przegubów stałby się statycznie wyznaczalny, gdyby nie fakt, że akurat taki układ przegubów powoduje, że po lewej stronie podpory B mam już mechanizm (układ jest geometrycznie zmienny), a po lewej układ jest przesztywniony. A więc w ten sposób osiągnięty został plastyczny stan graniczny a µ=1. 8=µ G i jest graniczny mnożnik obciążenia.

33 Graniczny mnożnik obciążenia gr µ10kn gr µ2.0kn/m A gr = B C D -10.8kNm K gr L V A =10.8kN - gr - gr gr 2m 3m 6m 4m V B =18.76kN Graniczny mnożnik obciążenia: µ G =1.8 V C =11.7kN Graniczny mnożnik obciążenia spełnia warunek: µ s <µ G < µ k = 10.8kNm V D =-1.62kN µ s statyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założenia, że w konstrukcji powstają pełne (zwykłe) przeguby i na podstawie analizy rozkładu momentów zginających, które nie mogą być większe w układzie niż gr µ k kinematyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założeniu, że w konstrukcji powstają przeguby plastyczne, które pozwalają na obrót gdy = gr, ale jednak jest tam wykonywana praca wewnętrznych. Do wyznaczenia µ k wykorzystuje się zasadę prac wirtualnych L z =-L w

34 Graniczny mnożnik obciążenia gr µ10kn gr µ2.0kn/m A gr = B C D -10.8kNm K gr L V A =10.8kN - gr - gr gr 2m 3m 6m 4m V B =18.76kN V C =11.7kN Graniczny mnożnik obciążenia: µ G =1.8 Graniczny mnożnik obciążenia spełnia warunek: µ s <µ G < µ k = 10.8kNm V D =-1.62kN µ s statyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założenia, że w konstrukcji powstają pełne (zwykłe) przeguby i na podstawie analizy rozkładu momentów zginających, które nie mogą być większe w układzie niż gr µ k kinematyczny mnożnik obciążenia granicznego wyznacza się, przy założeniu, że w konstrukcji powstają przeguby plastyczne, które pozwalają na obrót gdy = gr, ale jednak jest tam wykonywana praca wewnętrznych. Do wyznaczenia µ k wykorzystuje się zasadę prac wirtualnych L z =-L w P k k u k = i θ gr i

35 Graniczny mnożnik obciążenia Twierdzenie statyczne Jeżeli dla danego obciążenia może być znalezione pole momentów, spełniających warunki równowagi i nie przekraczających wartości 0, to konstrukcja nie ulegnie pod tym obciążeniem zniszczeniu, lecz co najwyżej osiągnie stan granicznej nośności. Wniosek: Każdy statyczny mnożnik obciążenia µ s jest mniejszy lub co najwyżej równy rzeczywistemu mnożnikowi granicznemu µ G. Oszacowanie następuje od dołu (zbliżamy się do maksimum). Twierdzenie kinematyczne Konstrukcja idealnie plastyczna ulegnie zniszczeniu pod wpływem danego obciążenia jeśli można znaleźć taki mechanizm, dla którego praca obciążeń zewnętrznych będzie większa niż praca jaką mogą wykonać siły wewnętrzne. Wniosek: Każdy kinematyczny mnożnik obciążenia µ k jest mniejszy lub co najwyżej równy rzeczywistemu mnożnikowi granicznemu µ G. Oszacowanie następuje od góry (zbliżamy się do minimum).

36 Koniec