Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych. metodą sił

Transkrypt

1 Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Zakład echaniki Budowli Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Rama Dla układu pokazanego poniŝej naleŝy: - Oblicz i wykonać wykresy sił wewnętrznych powstałych od zadanego obciąŝenia, wpływu temperatury, osiadania podpór. - Po wyznaczeniu sił wewnętrznych naleŝy wykonać sprawdzenie kinematyczne - Obliczyć zaznaczone przemieszczenia uogólnione. Rama obciąŝona tylko obciąŝeniem zewnętrznym Układ statycznie niewyznaczalny: Układ jest wewnętrznie, trzykrotnie statycznie niewyznaczalny. SS Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

2 Układ potawowy: Równania kanoniczne metody sił: P P P Wyznaczenie przemieszczeń ( ik ) Przy wyznaczaniu ( ik ) uwzględniamy tylko wpływ momentów przekrojowych, obliczenia dokonujemy za pomocą wzoru: ik i k Stan Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

3 Stan Stan Stan P i k ik pr s 4 I - I cm 4 I 45cm - I4 I I,7,7 Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

4 Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -4- ) ( ( ) ),5 (,5 ),5 (,5 9 9 ( ),5 8 9 ) (,5,5 ( ) ),5 (,5,5,5 ( ) 54 ) ( / ) (,5 4 ( ) ) ( / ) (, ) 8 ( 8 4 ( / ) 8,5 8,5 8 ( / ) 8 P P ( ) 8 8 ),5 8 4 ( / ) ( / ) 8,5,5 8 4 ( / ) ( / ) 8 (,5,5 8 ( / ) 8,5,5 8 ( / ),5 8 P P ( ) ) ( / ) 8 (8 8,5 P P Rozwiązanie równań kanonicznych: 89 79,5 474,5,() k k km,84,588

5 Wykres omentów rzeczywistych: Sprawdzenie kinematyczne: Układ statyczny (potawowy) k n 4,4( ) ( / ) (,74 ( / ) 8 pr 8 s 45,8,558,884 45,8,558 44, (,5 (,74,4) ),5(),5() ,759 8 ) [rad] Błąd procentowy:,5() %,4% 45,8 Obliczenia uwaŝa się za poprawne Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -5-

6 Wykresy sił tnących i normalnych:. Rama obciąŝona tylko zmianą temperatury Układ statycznie niewyznaczalny: Układ jest wewnętrznie, trzykrotnie statycznie niewyznaczalny. SS Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

7 Układ potawowy: Równania kanoniczne metody sił: Wartości ik zostały wyznaczone w poprzedniej części projektu. Wyznaczenie przemieszczeń ( i ) Przy wyznaczaniu ( i ) uŝywamy następującego wzoru: i t i αt i αt t h Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -7-

8 Stan Stan Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -8-

9 Stan Parametry temperaturowe dla układu: i t i αt i αt t h t t αt pr h s,95,99α t αt pr h s α t t,5 ( 5),5 5 4 ( 4) αt αt,4,4,, α t t ( 4) 5 ( 4) αt,4,4, ( ( 5) 5) Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -9-

10 Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -- ( ) t t t t t t h t α α α α α 45, 5) (,5, 4,5, 4,5, kpam, C o t α 745 9,74, ,54,59 Rozwiązanie równań kanonicznych:,54 9,74 745,74, k k km 48,849 7,8 Wykres momentów rzeczywistych:

11 Sprawdzenie kinematyczne: Układ statyczny (potawowy) n t k t α h (,5 (74,5 7,84) ( )) αt,4,,4,997,499 95,99α t,599,5999 8,59 9 rad Błąd procentowy: 8 5 9,59 %,,599 % Obliczenia uwaŝa się za poprawne. α t t ( 74,5( ) 7,8) Wykresy sił tnących i normalnych: Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

12 . Rama obciąŝona tylko osiadaniem podpór Osiadanie podpór nie wywoła sił wewnętrznych w ramie. Zewnętrznie rama jest statycznie wyznaczalna, moŝną ją traktować jak jedną tarcze, podpartą swobodnie. W wyniku osiadania podpór rama ulegnie tylko przemieszczeniu (obrót całej ramy, przesuniecie poziome i pionowe)..4 Wyznaczenie przemieszczenia uogólnionego: Wyznaczenie przemieszczenia pionowego punktu K znajdującego się w środku rozpiętości na ryglu górnym. W obliczeniach przemieszczenia uwzględniono tylko wpływ sił wewnętrznych (bez i ) Korzystając z twierdzenia redukcyjnego wzór za pomocą którego moŝna wyliczyć przemieszenie uogólnione przyjmuje następującą postać: ( P) k n Wykres momentów rzeczywistych: Wykres momentów wirtualnych: Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

13 ( P) k n,5,4(/ ),5,5,(/),5 (/) 8 8, 8,,787m 875 Przemieszenie uogólnione ( k ) wynosi:,787m,5,5. Kratownica Dla układu pokazanego poniŝej naleŝy: - Obliczyć i wykonać wykresy sił wewnętrznych powstałych od zadanego obciąŝenia. - Po wyznaczeniu sił wewnętrznych naleŝy wykonać sprawdzenie kinematyczne Układ statycznie niewyznaczalny: Parametry przekrojów: Pas górny Pas dolny KrzyŜulce,5 Słupki,8 Układ jest zewnętrznie i wewnętrznie jednokrotnie niewyznaczalny: SS Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

14 Układ potawowy: Równania kanoniczne metody sił: X X P X X P Wyznaczenie przemieszczeń ( ik ) Przy wyznaczaniu ( ik ) korzystamy ze wzoru: Stan X ik pr i k l sin α 4/5 cos α / 5 Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -4-

15 Stan X Układ jest symetryczny, siły w prętach w jednej części kratownicy są równe odpowiednim siłom w prętach w drugiej części kratownicy. Z tego względu obliczenia dokonane zostaną dla połowy kratownicy. Stan P Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -5-

16 Wyznaczenie przemieszczeń ik wykonano w tabeli poniŝej: r pręta l [m] l m P [k] [-] [-] l m l m l m P l mk P l mk (n) [k] -8,75 -,,75,8,4875 -,75,75 -,98 -, -,5,75,4875-9,5-5, ,5,5,95-95, -, ,8 -,5,,5 - -,5 -, ,5,5,95,5 -,5-9,5, ,8 -, 5 4 -,57 5,5,5,95 9,5, ,5,5,5-9,7 5-4,75,5,95-7,48 -, ,75 -,75,4875 -,98 8,595 5,5 -, -,75,8,875,5-4,5-5,5 7,475,5 -,75,875-5,5,95 7,5 -,75,4875-9,5 5, ,5575 8,5/ 8,8/,9/ -89,5/ -7,/ 8,5/ P P 8,8/,9/ 89,5/ 7,/ Rozwiązanie równań kanonicznych metody sił 8,5X,9X 89,5,9X 8,8X 7, X 9, 5575k X 8, 4k Wartości w kolumnie (n) w powyŝszej tabeli reprezentują wartości rzeczywistych sił normalnych w kratownicy. Wyznaczono je za pomocą zasady superpozycji ze wzoru: ( n) X X P Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

17 Sprawdzenie kinematyczne: Układ potawowy przyjmujemy taki sam jak w obliczeniach powyŝej, jako przemieszczenie obieramy przemieszczenie poziome punktu znajdującego się nad środkową podporą. Wartość sił w prętach równa się wartości sił w stanie. pr n ( ) K Sprawdzenia dokonano w tabeli poniŝej: (n) (n) K [k] K [-] l -,,75 -,8-5,595,75-7,7 -,599,5-84,9949 -,95 -,5,495,745,5,94 -,57 -,585,98,5 49,8-9,7 -,5 47,8 -,99,5 -, 8,595 -,75-9,7945 7,475 -,75 -,,95 -,75 -,978 5,595 -,75-7,7-9,5575 mk,75/,75 4 Błąd procentowy: % 7,9 % Obliczenia uwaŝa się za poprawne. 49,8 Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -7-

18 . Łuk Dla układu pokazanego poniŝej naleŝy: - Obliczyć i wykonać wykresy sił wewnętrznych powstałych od zadanego obciąŝenia. - Po wyznaczeniu sił wewnętrznych naleŝy wykonać sprawdzenie kinematyczne Układ statyczny: Parametry przekrojów: Układ potawowy: Równania kanoniczne metody sił: X X P X X P Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -8-

19 Parametry geometryczne: Równanie łuku parabolicznego: 4f y x( l x) f 5m l m l y,5x,785x x m y 4, 875m x,84458m y m Wyznaczenie przemieszczeń ( ik ) Przy wyznaczaniu ( ik ) uwzględniamy tylko wpływ momentów przekrojowych, siłę normalną uwzględniamy tylko w ściągu, który wykonano z mniejszego przekroju niŝ łuk, obliczenia dokonujemy za pomocą wzoru: ik i k s i k Wzór ten jest słuszny we współrzędnych krzywoliniowych. Chcąc ułatwić dalsze obliczenia przechodzimy na współrzędne prostoliniowe XY gdzie początek układu znajduje się w punkcie lewej podpory. Wzór powyŝszy przyjmuje następującą postać: ik ik ik dx dx cosϕ pr ϕ kąt nachylenia stycznej do paraboli w danym punkcie do poziomu Stan X Równanie momentu: x[m] Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -9-

20 Stan X Równania momentów: y ; [ m] y ;4 y[ m] Stan P Równania momentów: x x ; [ km] y ; ( x )[ km] Wyznaczenie kąta ϕ y,5x,785x dy,555x, 5 tgϕ dx Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

21 Dalsze obliczenia przemieszczeń przeprowadzono w poniŝszej tabeli: X [m] Y [m] dy/dx [-] ϕ [rad] cos(ϕ ) [-] [m] [m] P[km] /cos(ϕ ) /cos(ϕ ) /cos(fi) P/cos(ϕ ) P/cos(ϕ ),5,8955,495,7875,975,844,7479 -,788-5,48988, ,5477-7,4994,758,875,975,755,7957 -,875-5,48985,994 -, ,8985,554885,4875,785,,7884 -,488-45,495 5,75-7,7949-7,4498, ,75,5,558599, ,75-8 8,879 8,989 -, , , ,9875,4875,487, , ,79,484-8,5548-9, ,89 4,875,5,885, , ,7879 4,449 -,85 -,59 95, ,9875,55,54997, , , , ,785-7,845 95, ,9875 -,55 -,55, ,988-8,9887 5, , ,8 49,5874 4,875 -,5 -,88, , ,799 4,449-8,4-44,84, 4,9875 -,4875 -,484, ,988-48,89,484-4,59-58,97 747,7489,75 -,5 -,558, , ,8 8,989-8,957-74,547 75,8748,4875 -,785 -,,7884 -,488-4,47 5,75 -, ,7 558,4858 4,875 -,975 -,755, ,875-8,474,994 -, ,58 74,5 5,7875 -,975 -,84, ,788-7,44748, ,8758-5,477 8,94 -,5 -,89, , ,747 P P trapezy 77,8448,5997-9, ,578 8,89 simpson 8,79 5, ,47-875, ,949 Do otrzymanych wyników ik naleŝy dodać wpływ siły normalnej w ściągu. Wartość siły normalnej w sciągu ma wpływ jedynie na. A więc wartość naleŝy zwiększyć o dx. Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

22 Wartości przemieszczeń uzyskanych za pomocą metody rapezów: P P 78,85/,5997 / 9,4879 / 74,578 / 8,89 / Układ równań kanonicznych metody sił (metoda rapezów): 78,85 X 9,4879 X 74,578 9,4879 X,5997 X 8,89 Rozwiązanie układu równań: X 49, 774k X 8, 74k Wartości przemieszczeń uzyskanych za pomocą metody Simpsona: P P 8,85/ 5,94487 / 89,47 / 875,874 / 579,944 / Układ równań kanonicznych metody sił (metoda Simpsona): 8,85 X 89,47 X 875,874 89,47 X 5,94489 X 579,944 Rozwiązanie układu równań: X 49, 757k X 7, 8k Przy wyznaczaniu momentów rzeczywistych posłuŝono się zasadą superpozycji. Wartości momentów wyznaczono ze wzoru: X X P ( n) Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

23 Wartości momentów rzeczywistych wyznaczonych obiema metodami przetawiono poniŝej: Sprawdzenie kinematyczne: x [m] y [m] n (rapezy) n (Sipmson),7875 9,89 9,985,875 45,785 4,545, ,475 47,75 4,75 9,975 4,9 5 4,9875 9,75,55 4,875,595, ,9875-4, , ,944 -, ,9875-4, , ,875-8,975-4,795 4,9875-7, ,875,75 -,8955-9,48,4875 -, ,875 4,875,5875,85 5,7875,579,845,784 5,9 Układ potawowy wraz z wykresem momentów wirtualnych: Równanie momentów: x[ ] Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

24 Obliczenia sprawdzające wykonano w tabeli: n x y n (rapezy) n /cos(ϕ ) (t) n /cos(ϕ ) (s) (Sipmson),7875 9,89 9,985,5,884,7444,875 45,785 4,545,5 7, ,995889, ,475 47,75,875,88785,958 4,75 9,975 4,9,5,78757, ,9875 9,75,55,5,84,7775 4,875,595,455,75 4,9557, ,9875-4, ,9875,475 -, , ,944 -,757,5-8,457 -, ,9875-4, , ,55-4,77 -,8989 4,875-8,975-4,795,5-8,5945 -, ,9875-7, ,875,875 -, ,48,75 -,8955-9,48,75-9, ,87947,4875 -, ,875,85 -, ,48 4,875,5875,85,875,8984,7787 5,7875,579,845,975 9,9488 8,955855,784 5,9, ,4778 Obliczenia kontrolne (etoda rapezów),54 Błąd procentowy:,54 %,7% 9,948 Obliczenia kontrolne (etoda Simpsona), Błąd procentowy:, %,7% 8, (t) -,54 (s) -, Błędy w obydwu metodach znajdują się w granicach dopuszczalnych, wyniki moŝna uznać za prawidłowe. Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -4-

25 Wykresy sił nących i ormalnych: 4 (x X (x X ( X ( X )sinϕ )sinϕ X )sinϕ X )sinϕ cosϕ cosϕ 4 ( x X ( x X ( X ( X )cosϕ )cosϕ X )cosϕ X )cosϕ sinϕ sinϕ Wartości sił tnących i normalnych zestawiono w tabeli: x y cos(ϕ ) sin(ϕ ) (t) (t) (s) (s),495,7889-8,88,8945-8,8,59,7875,7479,789-5,7 5,5599-5,88,4998,875,7957,894-4,84, ,94,7949,4875,7884,544-4,7 -,8-4,95 -,47 4,75,847998, ,48 -,98-7,94 -, ,9875,95459,4444-4,44 -,488 -,55 -,98 4,875,95448,9875 -,5-8,4 -,45-8,58 7 4,9875,988,5477 -,889-4,55-5,87-4, ,74 -, -7,8 -,94 9 4,9875,988 -,548-9,998-5,95-8,859-5,9997 4,875, ,987 -,5 -,874-9,449 -,597 4,9875, ,444 -,87,949-9,,949,75, ,5-9,84,5744-8,84 5,89884,4875,7884 -,54-8,959 9, ,877 8,889 4,875,7957 -,894-7,985,74-7,75,75 5,7875,7479 -,78 -,9 4,57 -,7,49,495 -,7887-7,99 -,95-8,85 -,48 Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -5-

26 Wartości sił tnących, normalnych i momentów w punktach połączenia sciągu z łukiem: n n x y cos(ϕ ) (trapezy) (simson) sin(ϕ ) (t) (t) (s) (s),8,49 7,997,484, ,87 7,99 -, 7,55,8,49 7,997,484, ,598,94-5,84 7,4 5,,7 4,95,9855 -,745 -,85 4,998 -,74,7899 5,,7 4,95,9855 -,745-7,9 -,7987-7,79 -,89 Wykresy sił przekrojowych obliczonych za pomocą metody trapezów: r punktu [km] 7,9 9,8 45,78 45,47 9,97 9,7,59-4,44 -,94-4,899-8, ,87 -,89 -,898,5875,57 4,9,78 r punktu ,8 [k] -8,8-5,7-4,84-4, -8,48-4,4 -,5 -,88-8,7-9,998 -,5-5, ,87-9,84-8,95-7,98 -,9 -,85-7,9-7,99 Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych --

27 r punktu ,9 [k],89 5,5,4 -, -,9 -,4-8,4-4,55 -, -5,9 -,87, ,94,57 9,44,7 4, 4,99 -,798 -,9 Wykresy sił przekrojowych obliczonych za pomocą metody Simpsona: r punktu [km] 7,4 9,9 4,5 47, 4,9,5,45 -, -,75 -,895-4, , -9,4 -,,85,84,985 5,9 Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -7-

28 r punktu [k] -8,8 -, -5,88-45,94-4,9-7,9 -,55 -,4-5,8-7, -8,859-9,44-5, , -8,8-8,87-7,7 -, -,7-7,79-8,85 r punktu ,55 [k],5,4,794 -,4 -,97 -,98-8,58-4,4 -,94-5,99 -,59 7, ,9 5,898 8,88,7,4,789 -,89 -,4 Piotr śuchniewicz gr.kbi Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych -8-