Twierdzenia o wzajemności

Transkrypt

1 Twierdzenia o wzajemności

2 Praca - definicja Praca iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt materialny pod wpływem działania tej siły. L S r r F( s) o ds r F( s) cos ( α ) ds F r (s) ds r S ds r r F s F r (s) α r ( s) F ( s)cos s ( ) α S S

3 Praca zewnętrzna Praca statycznego układu sił zewnętrznych na konstrukcję trwa w nieskończenie długim czasie i dlatego można narysować wykres tego obciążenia tak jak na rysunku: L z r r F( s) o ds S F F i F s i i F i L wi s s F w F s i s s

4 Praca zewnętrzna sił Praca jest to iloczyn skalarny wektora siły i wektora drogi jaką pokonuje punkt belki pod wpływem działania tej siły czyli, aby policzyć pracę trzeba pomnożyć przez siebie wartość przemieszczenia i wartość składowej siły, działającej na kierunku tego przemieszczenia. F F s s F y F F F x s s L r r F( s) ds F s s ( F s F ) z o i i y i S

5 Praca zewnętrzna sił i momentów Praca jest to iloczyn skalarny wektora oddziaływania (siły lub momentu) i wektora przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) przekroju belki pod wpływem działania tego oddziaływania siły czyli, aby policzyć pracę trzeba pomnożyć przez siebie wartość przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) i wartość składowej odpowiedniego oddziaływania (siły lub momentu), działającej na kierunku tego przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu). M F ϕ s L z ϕ ( M F s )

6 Praca zewnętrzna obciążeń Praca jest to iloczyn skalarny wektora oddziaływania (siły lub momentu) i wektora przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) przekroju belki pod wpływem działania tego oddziaływania siły czyli, aby policzyć pracę trzeba pomnożyć przez siebie wartość przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu) i wartość składowej odpowiedniego oddziaływania (siły lub momentu), działającej na kierunku tego przemieszczenia (przesunięcia lub kąta obrotu). s u(a) a L x a b z q u a q u(x) b F s u(ab) ( x) dx F s ( qa F s ) a s q A b F s

7 Praca wewnętrzna Praca sił wewnętrznych jest zawsze ujemna, bo siły wewnętrzne przeciwstawiają się odkształceniom, a więc mają przeciwne zwroty. Praca ta jest równa całce iloczynu naprężeń, wywołanych siłami wewnętrznymi, i odkształceń jakie powoduje działanie sił zewnętrznych:. L w T T dv dv V V Energia sprężysta V T T dv dv V V Energia sprężysta powoduje, że gdy usuniemy obciążenie, to układ wróci do kształtu pierwotnego przed działaniem sił.

8 Oznaczenia Wektor naprężeń: x y z τ xy τ xz τ yz Praca sił wewnętrznych: T T Lw dv dv V Energia sprężysta T T V dv dv V V V Wektor odkształceń x y z γ xy γ xz γ yz u x x x u y y y u z z z γ γ γ xz yz xy u x u z z x u y uz z y u y x u x y

9 Równania konstytutywne Równania konstytutywne to zależności opisujące związki pomiędzy naprężeniami i odkształceniami D Najbardziej popularne i najczęściej stosowane równania konstytutywne dla układów Clapeyrona i materiałów izotropowych dla stanu przestrzennego: τ τ τ yz xz xy zz yy xx γ γ γ yz xz xy zz yy xx µ µ µ µ λ λ λ λ µ λ λ λ λ µ λ D ( )( ) λ G E ( ) G E µ gdzie stałe Lamego

10 Równania konstytutywne Równania konstytutywne to zależności opisujące związki pomiędzy naprężeniami i odkształceniami D Najbardziej popularne i najczęściej stosowane równania konstytutywne dla układów Clapeyrona i materiałów izotropowych dla stanu przestrzennego: τ τ τ yz xz xy zz yy xx γ γ γ yz xz xy zz yy xx ( )( ) λ G E ( ) G E µ gdzie stałe Lamego ) ( ) ( ) ( E D

11 Równania konstytutywne ( ) G E µ gdzie stałe Lamego µ µ λ λ λ λ µ λ λ λ λ µ λ D Macierz, zawierająca dane materiałowe ( )( ) λ G E ( ) µ µ µ E moduł Younga, moduł sprężystości podłużnej G moduł Kirchoffa, moduł sprężystości postaciowej współczynnik Poissona, równy ilorazowi odkształceń wzdłuż kierunku działania naprężenia i w kierunku prostopadłym, np. przy zz xx yy xx.,, zz yy xx

12 Równania konstytutywne - geneza Zestawienie zależności pomiędzy odkształceniami podłużnymi i naprężeniami normalnymi w przestrzennym stanie naprężeń, wyznaczonymi na podstawie badań dla materiałów liniowo-sprężystych, np. próba statyczna rozciągania. naprężenia działają tylko wzdłuż osi x xx xx E xx yy xx xx E E xx zz xx xx E E du x dx xx du dx du y dy yy dv dy yy zz τ xy τ yx τ xz τ zx τ yz τ zy du z dz zz dw dz

13 Równania konstytutywne - geneza Zestawienie zależności pomiędzy odkształceniami podłużnymi i naprężeniami normalnymi w przestrzennym stanie naprężeń, wyznaczonymi na podstawie badań dla materiałów liniowo-sprężystych, np. próba statyczna rozciągania. naprężenia działają wzdłuż osi y yy yy E yy xx yy yy E E yy zz yy yy E E naprężenia działają wzdłuż osi z zz zz E zz xx zz zz E E yy zz E zz E zz

14 Równania konstytutywne - geneza Zestawienie zależności pomiędzy odkształceniami postaciowymi i naprężeniami stycznymi w przestrzennym stanie naprężeń, wyznaczonymi na podstawie badań dla materiałów liniowo-sprężystych, np. próba statyczna skręcania. γ γ γ xy yz xz τxy G τ yz G τxz G

15 Układy Clapeyrona Układ sprężysty musi spełniać następujące warunki: materiał, z którego wykonany jest układ, zachowuje się zgodnie z prawem Hooke a czyli jest to materiał liniowo-sprężysty, w układzie nie ma takich warunków brzegowych, których istnienie zależy od odkształcenia konstrukcji, temperatura układu jest stała, nie ma naprężeń i odkształceń wstępnych. Układy, które spełniają wymienione warunki, nazywane są układami Clapeyrona.

16 Twierdzenie Clapeyrona Twierdzenia Clapeyrona mówi, że dla układu sprężystego, znajdującego się w równowadze, praca sił zewnętrznych L z równa jest energii potencjalnej sił wewnętrznych (energii sprężystej): L z V n i P i u i T dv T dv V V lub w innej wersji Praca sił zewnętrznych jest miarą energii potencjalnej obciążenia zewnętrznego przekształcającej się w energię sprężystą: L z V z V-L w

17 Twierdzenie E.Bettiego o wzajemności pracy Układ sił P ik wykonuje taką samą pracę na przemieszczeniach wywołanych układem sił P jn jak układ sił P jn na przemieszczeniach wywołanych przez siły P ik. k P ik u jk P i n P jn u in P i u j P j u Ugięcie belki od siły P i Ugięcie belki od siły P j P j i u ii u ji u ij u jj Praca siły P j P j P i Praca siły P i u ii Pj u ji u ji i u ij P u ij u jj

18 Twierdzenie E.Bettiego o wzajemności pracy - dowód Układ sił P ik wykonuje taką samą pracę na przemieszczeniach wywołanych układem sił P jn jak układ sił P jn na przemieszczeniach wywołanych przez siły P ik. Zgodnie z twierdzeniem Clapeyrona praca sił zewnętrznych L z równa jest energii potencjalnej sił wewnętrznych (energii sprężystej): L z V czyli Pi ui Wykorzystując równania konstytuwne: mamy: n i D T dv T dv V T T D T V T D k P ik u jk V T i j dv k P ik V u T i jk D T j dv n P jn V u T i in j dv n P jn u in

19 Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń (Maxwella) Jeżeli na konstrukcję działają dwie niezależne uogólnione siły jednostkowe P i i P j, wywołujące odpowiednio przemieszczenia w ji (przemieszczenie w punkcie j na kierunku siły P j wywołane siłą P i ) i w ij (przemieszczenie w punkcie i na kierunku siły P i wywołane siłą P j ), to te przemieszczenia są sobie równe. P i P i w ij P j w ji oraz P i i P j w ij w ji Ugięcie belki od siły P i Ugięcie belki od siły P j P j w ii w ji w ij w jj Praca siły P j P j P i Praca siły P i w ii w ji w ij w jj

20 Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń (Maxwella) Jeżeli na konstrukcję działają dwie niezależne uogólnione siły jednostkowe P i i P j, wywołujące odpowiednio przemieszczenia w ji i w ij, to te przemieszczenia są sobie równe. Przykład Odkształcenie belki od siły P i P i Ugięcie belki od siły P j w ji P j w ij w ii w jj P i w ij P j w ji oraz P i i P j w ij w ji

21 Twierdzenie o wzajemności reakcji (Rayleigha) Jeżeli statycznie niewyznaczalna konstrukcja zostanie poddana dwóm niezależnym uogólnionym przemieszczeniom jednostkowym δ i i δ j (obciążenie geometryczne), wywołującym odpowiednio reakcje R ji (reakcja w podporze j wywołana obciążeniem geometrycznym δ i ) i R ij (reakcja w podporze i wywołana obciążeniem geometrycznym δ j ), to te reakcje są sobie równe. δ i R ij δ j R ji oraz δ i i δ j R ij R ji Ugięcie belki od wymuszenia δ i R ji Ugięcie belki od wymuszenia δ j R jj δ i R ii Praca reakcji R ij Praca reakcji R ji δ j δ i δ R ji j R ij δ i R ij δ j R ji R ij

22 Twierdzenie o wzajemności reakcji (Rayleigha) Jeżeli statycznie niewyznaczalna konstrukcja zostanie poddana dwóm niezależnym uogólnionym przemieszczeniom jednostkowym δ i i δ j, wywołującym odpowiednio reakcje R ji i R ij, to te reakcje są sobie równe. Przykład Odkształcenie belki od przemieszczenia δ i Odkształcenie belki od przemieszczenia δ j R ji R jj δ i R ii δ j R ij δ i R ij δ j R ji oraz δ i i δ j R ij R ji

23 Twierdzenie o wzajemności reakcji (Rayleigha) Jeżeli statycznie niewyznaczalna konstrukcja zostanie poddana dwóm niezależnym uogólnionym przemieszczeniom jednostkowym δ i i δ j, wywołującym odpowiednio reakcje R ji i R ij, to te reakcje są sobie równe. Przykład Odkształcenie belki od przemieszczenia δ i Odkształcenie belki od przemieszczenia δ j δ i δ j R ji R ii R ij R jj δ i R ij δ j R ji oraz δ i i δ j R ij R ji

24 Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń i reakcji Jeżeli na układ statycznie niewyznaczalny działają niezależnie (dwie sytuacje) w punkcie i siła jednostkowa P i oraz w podporze j przemieszczenie jednostkowe δ j (obciążenie geometryczne), wywołujące odpowiednio reakcję R ji (reakcja w podporze j wywołana siłą P i ) i przemieszczenie w ij (przemieszczenie w punkcie i wywołane obciążeniem geometrycznym przyłożonym w podporze j), to reakcja R ji i przemieszczenie w ij są sobie równe. P i Ugięcie belki od siły P i P i w ij R ji δ j R ji Ugięcie belki od wymuszenia δ j R jj w ii Praca reakcji R ji δ i w ij R jj P i Praca siły P i δ j R ji w ii δ i w ij w ii R jj P i w ij δ j R ji δ j

25 Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń i reakcji Jeżeli na układ statycznie niewyznaczalny działają niezależnie w punkcie i siła jednostkowa P i oraz w podporze j przemieszczenie jednostkowe δ j, wywołujące odpowiednio reakcję R ji i przemieszczenie w ij, to reakcja R ji i przemieszczenie w ij są sobie równe. Przykład Odkształcenie belki od siły P i Odkształcenie belki od przemieszczenia δ j P i w ji w ij δ j w ii R ji R jj w ii R jj P i w ij δ j R ji

26 Metoda kinematyczna wyznaczania linii wpływu

27 Linie wpływu a twierdzenie o wzajemności przemieszczeń i reakcji P Układ i a b Układ j w δ j δ j - b P i w ij δ j R ji Praca sił układu i na przemieszczeniach układu j Pwδ j R R-w R l.w.r

28 Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu reakcji V C (reakcja w formie siły), to należy przesunąć podporę o jednostkę w kierunku działania tej reakcji. Pod wpływem takiego wymuszenia nastąpi przesunięcie podpory. Jeżeli podpora ma zamocowanie sztywne, to nastąpi przesunięcie przęsła czyli fragmentu belki od podpory do przegubu. Belka w pozostałych podporach nie może się przesunąć, ale jeżeli są to podpory przegubowe, to może się obrócić. Przy rysowaniu kształtu belki pod wpływem wymuszenia należy pamiętać, że belka może załamywać się w przegubach. A A L.w.V C x x VC(x) P - B B C C przesunięcie VC

29 Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu reakcji M C (reakcja w formie momentu), to należy obrócić podporę o jednostkowy kąt w kierunku działania tej reakcji. Obrót o kąt jednostkowy oznacza (przy założeniu małych przemieszczeń), że obracamy o kąt, którego tangens jest równy. Pod wpływem takiego wymuszenia nastąpi obrót podpory, ale nie przesunięcie. Na rysunku pokazano wymuszony obrót w punkcie C. Belka załamuje się w przegubie, po to aby wrócić do podpory B. To powoduje przesunięcie drugiego przegubu, w którym belka także musi się złamać po to, aby wrócić do podpory w punkcie A. Przemieszczenia zgodne ze zwrotem siły P bierzemy ze znakiem ujemnym. A A x x P MC(x) B B obrót k _ k C C MC L.w.M C

30 Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu siły poprzecznej (tnącej) T M, to należy belkę rozciąć i rozsunąć o jednostkę. Rozcięte fragmenty przęsła muszą być po rozsunięciu równoległe, tak więc przesunięcia punktów rozcięcia (c i c ) w stosunku do pierwotnego położenia muszą spełniać następujące warunki: c c c c A x TM(x) B x P M A B M rozsunięcie d d d d - L.w.T M d c b C C

31 Wyznaczanie linii wpływu belek metodą kinematyczną Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu momentu zginającego M M, to należy belkę przełamać i obrócić w taki sposób, aby kat pomiędzy fragmentami przęsła wyniósł. W związku z tym należy odłożyć odcinek d z lewej strony rozcinanego fragmentu (d BF) a d z prawej strony (d EG). Następnie połączyć końce tych odcinków z przeciwległymi punktami przęsła czyli narysować odcinki BG i EF. Odcinki pomiędzy punktami B, H i G tworzą kształt belki, spowodowany analizowanym wymuszeniem. Wartość h można wyznaczyć ze wzoru: h dd d d A A x MM(x) x P złamanie - d B F B d H M M h d G E d b C C

32 Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną P Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu siły normalnej w pręcie, to należy pręt skrócić o. α Skrócenie pręta o y Obrót pręta tak, aby pozostałe węzły nie przesunęły się w poziomie. α α y α cos ( α ) y y cos( α )

33 Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną P Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu siły normalnej w pręcie, to należy pręt skrócić o. Przesuwamy węzły w pionie tak, aby uzyskać odkształcenie kratownicy y Najpierw węzły prętów sąsiadujących z prętem, dla którego wyznaczana jest linia wpływu siły normalnej y cos( α ) Dopasowanie pozostałych części kratownicy; lewa część górnego pasa ma być równoległa do prawej części górnego pasa

34 Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną P Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu siły normalnej w pręcie, to należy pręt skrócić o. y Linię wpływu tworzą przesunięte węzły, leżące na drodze siły y cos( α ) a y y y y y - a l.w. N l.w. N y y y y a y a

35 Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną P Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu siły normalnej w pręcie, to należy pręt skrócić o. B β C Skrócenie pręta o A B A C Skrócenie pręta zmienia trójkąt ABC, bok BC się skraca a bok AC się obraca. y β ( β ) y tg β y β y ctg ( β )

36 Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną P Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu siły normalnej w pręcie, to należy pręt skrócić o. α β Przesuwamy węzły w pionie tak, aby uzyskać odkształcenie kratownicy B A y C Najpierw węzły prętów sąsiadujących z prętem, dla którego wyznaczana jest linia wpływu siły normalnej y ctg ( β ) y Przesunięcie węzła C na linię i dopasowanie pozostałych części kratownicy

37 Wyznaczanie linii wpływu kratownic metodą kinematyczną P Jeżeli chcemy otrzymać metodą graficzną linię wpływu siły normalnej w pręcie, to należy pręt skrócić o. α y y l.w. N - y l.w. N

38 Wyznaczanie linii wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych Wyznaczenie linii wpływu metodą kinematyczną reakcji M P M Uzyskanie linii wpływu reakcji M wymaga obrotu podpory o kąt równy - M l.w.m Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych są krzywoliniowe.

39 Wyznaczanie linii wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych Wyznaczenie linii wpływu metodą kinematyczną T α i M α P α α Uzyskanie linii wpływu siły tnącej T α wymaga przesunięcia o końców belki w przekroju, proporcje rozdzielenia dobieramy tak, jak dla układu statycznie wyznaczalnym. l.w.t α Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych są krzywoliniowe.

40 Wyznaczanie linii wpływu w belkach statycznie niewyznaczalnych Wyznaczenie linii wpływu metodą kinematyczną T α i M α P Uzyskanie linii wpływu siły tnącej M α złamania w przekroju i wzajemnego obrotu końców belki w przekroju o, pozostałe zasady doboru wartości w przekroju także tak, jak w układach statycznie wyznaczalnych. α α l.w.m α Linie wpływu w układach statycznie niewyznaczalnych są krzywoliniowe.

41 Zasada prac wirtualnych

42 Przemieszczenie wirtualne Przemieszczenie wirtualne powinno spełniać następujące warunki: dowolne, niezależne od sił działających na bryłę, zgodne z więzami, a więc kinematycznie dopuszczalne, niezależne od czasu. P i Ciało sprężyste Clapeyrona u i P i u i u i

43 Zasada prac wirtualnych dla ciał sprężystych (odkształcalnych) Suma prac sił zewnętrznych P ik na przemieszczeniach wirtualnych u ik i naprężeń rzeczywistych i na odkształceniach wirtualnych jest równa zero. i k P czyli ik u ik V P ik uik k V T i T i j j dv dv P i u i P i u i u i

44 Zasada prac wirtualnych dla elementów prętowych W elementach prętowych stosujemy założenie płaskich przekrojów, dzięki czemu wektory naprężeń i odkształceń redukują się do dwóch składowych: naprężeń normalnych i odkształceń oraz naprężeń stycznych i odkształceń postaciowych. P ik uik Pik uik i jdv k k V V T i j dv V τ γ dv i j P i u i P i u i u i

45 Koniec