1.1 Wahadło anharmoniczne(m5)

Transkrypt

1 10 Mechanika 1.1 Wahadło anharmoniczne(m5) Celem ćwiczenia jest zbadanie drgań anharmonicznych wahadła fizycznego(zależność okresu drgań wahadła od amplitudy jego drgań, bilans energetyczny wahadła). Zagadnienia do przygotowania: oscylator harmoniczny; wahadło fizyczne; oscylator anharmoniczny; wykresy fazowe. Literaturapodstawowa:[1],[],[5],[4] Podstawowe pojęcia i definicje Wahadło fizyczne Wahadło fizyczne to bryła, która może obracać się wokół osi O nie przechodzącej przez środek ciężkości CM(rysunek 1.1.1). Niech kąt θ oznacza wychylenie z położenia równowagi. Moment siły N działający na wahadło, pochodzący od siły ciężkości, wyraża się wzorem: CM l lsin mg O N = mgl sin θ, (1.1.1) gdzie m to masa wahadła, l odległość środka ciężkości od punktu podparcia, czyli od osi obrotu. Równanie ruchu wahadła ma postać: N = J θ, (1.1.) gdzie J jest momentem bezwładności względem osi obrotu.wprowadzającoznaczenie ω 0 = mgl/jmożna równanie ruchu zapisać w postaci: Rys : Wahadło fizyczne. θ + ω 0 sinθ = 0. (1.1.3) Przybliżenie oscylatora harmonicznego Dla małych wychyleń możemy zrobić przybliżenie sin θ θ. Wtedy równanie(1.1.3) sprowadza się do równania ruchu oscylatora harmonicznego: Rozwiązaniem równania(1.1.4) jest funkcja postaci: gdzie θ 0 toamplituda,aφ 0 fazapoczątkowa. θ + ω0 θ = 0. (1.1.4) θ (t) = θ 0 sin(ω 0 t + φ 0 ), (1.1.5)

2 Wahadło anharmoniczne(m5) 11 Okres drgań wahadła fizycznego Ruchopisanyfunkcją(1.1.5)jestokresowyzokresem T 0 = π/ω 0.Dlapewnych warunków początkowych ruch opisany równaniem(1.1.3) jest również okresowy. Aby obliczyćokresdrgań Tmnożymyrównanie(1.1.3)przez θiposeparacjizmiennych całkujemyobustronnieuwzględniającwarunek θ = 0dla θ = θ 0.Otrzymujemywtedy równanie ruchu: θ ω 0 (cos θ cos θ 0) = 0. (1.1.6) Przyprzejściuwahadłaodkąta 0do θ 0 upływaczasrówny T/4.Więcrozdzielajączmienneicałkującrównanie(1.1.6)poczasiewgranicach (0,T/4)orazpokącie wgranicach (0,θ 0 )otrzymujemy: T 4 = θ 0 0 dθ ω 0 (cos θ cos θ 0 ). (1.1.7) W całce z równania(1.1.7) wykonujemy zamianę zmiennych z θ na α poprzez podstawienie sin α = sin (θ/)/sin (θ 0 /).Otrzymujemycałkęeliptycznązupełnąpierwszego rodzaju: T = T 0 π π/ 0 dα 1 sin (θ 0 /) sin α. (1.1.8) Całkęeliptycznąmożnawyrazićprzezfunkcjęhipergeometryczną F 1 lubjejrozwinięcie w szereg. Wtedy okres drgań wynosi: [ 1 T = T 0 F 1, 1 ( )] ;1;sin = [ = T ( ) 4 sin + 9 ( ) ] 64 sin (1.1.9) W przybliżeniu małych wychyleń otrzymujemy okres drgań: [ T = T θ ] 307 θ (1.1.10) Przybliżenie oscylatora anharmonicznego Dla większych wychyleń musimy uwzględnić kolejne wyrazy rozwinięcia w szereg funkcji sin θ θ θ 3 /6.Wtedyrównanie(1.1.3)sprowadzasiędorównaniaruchu oscylatora anharmonicznego:

3 1 Mechanika θ + ω0θ ω 0 θ3 = 0. (1.1.11) 6 Można znaleźć przybliżone rozwiązanie tego równania w postaci[4]: gdzie ω ω 0 ( 1 θ 0 /16 ). θ (t) = θ 0 sin (ωt) + θ3 0 sin(3ωt), (1.1.1) 19 Wykresy fazowe Ruch wahadła fizycznego(i ( innych układów mechanicznych) można wygodnie przedstawić na płaszczyźnie fazowej θ, θ ) [4]. Korzystając z równania(1.1.6) możemy zapisać energię mechaniczną wahadła fizycznego(energia potencjalna określona względem najniższego położenia wahadła): E = J θ + mgl (1 cos θ) = mgl (1 cos θ 0). (1.1.13) Różnym wartościom energii E odpowiada rodzina krzywych na płaszczyźnie fazowej. Jeżeli E = 0, to wahadło pozostaje w spoczynku. Odpowiada temu punkt (0, 0) na płaszczyźnie fazowej. Dla 0 < E < mgl otrzymujemy krzywe zamknięte otaczające punkt (0, 0), a ruch jest periodyczny względem położenia równowagi. Dla E > mgl mamy krzywe otwarte, a ruch odbywa się tylko w jednym kierunku. Przy rysowaniu krzywych wygodnie jest wprowadzić bezwymiarową energię ǫ = E/ ( Jω 0) iprędkość υ = θ/ω0.wtedynapłaszczyźnie (θ,υ)rysujemykrzywe υ = ǫ 4sin (θ/).ruchperiodycznymamydla 0 < ǫ < Przebiegpomiarów Układ doświadczalny Przyrządy: wahadło fizyczne ze skalą kątową, miernik czasu z układem fotokomórek (schemat układu pomiarowego przedstawiony jest na rysunku 1.1.). Badanie zależności okresu od amplitudy Zmierzyćokresdrgańwahadła Twzależnościodamplitudy θ 0 przystałympołożeniu fotokomórki, np. w najniższym położeniu wahadła. Sprawdzanie bilansu energetycznego Fotokomórkęumieścićwnajniższympołożeniuwahadła.Zmierzyćprędkość θwzależnościodkątapoczątkowego θ 0.Wtejseriipomiarówzewzrostemkątapoczątkowego ustalamy coraz większą całkowitą energię mechaniczną układu. Prędkość w całym

4 Wahadło anharmoniczne(m5) 13 wahad³o uk³ad fotokomórek miernik czasu skala k¹towa Rys. 1.1.: Schemat układu do badania drgań anharmonicznych. doświadczeniu obliczać jako odwrotność czasu przelotu pomiędzy bramkami. Przyjąć umowne jednostki prędkości, ponieważ jest to wystarczające do naszych rozważań. Ponadto unika się kłopotliwego pomiaru odległości kątowej pomiędzy bramkami. W następnej serii pomiarów wahadło wprawić w ruch za każdym razem z ustalonego położeniapoczątkowego θ 0.Wtensposóbukładmazakażdymrazemtąsamącałkowitąenergięmechaniczną.Zmierzyćprędkość θwfunkcjikąta θ 1 podjakimumieszczona jest fotokomórka. Wahadło nie może być w ruchu dłużej niż przez czas połowy jednego drgania, aby wpływ tarcia był minimalny. Badanie dyssypacji energii Wahadłowprawićwruchzustalonegopołożeniapoczątkowego θ 0.Zmierzyćprędkość θwzależnościodkąta θ 1,wktórymumieszczonajestfotokomórka.Tymrazem notować prędkości w obu kierunkach i na przestrzeni kilku okresów Opracowaniewyników Zależność okresu od amplitudy Narysowaćwykreszależności Tod θ 0 dladanychdoświadczalnychidopasowaćprostą T = aθ 0 + b(wykorzystaćtylkopunktyzprzedziałuod0do1rad ).Parametry otrzymane z dopasowania porównać z przewidywaniami równania(1.1.10). Parametr b = T 0 porównaćzezmierzonymiwartościamiokresu Tdlamałychwychyleń.Sprawdzić czy stosunek parametrów b i a zgodnie z równaniem(1.1.10) w granicy niepewności

5 14 Mechanika wynosi b/a = 16.Narysowaćwykreszależności T/T 0 od θ 0 dladanychdoświadczalnych. Na tym samym wykresie przedstawić zależność teoretyczną daną równaniem(1.1.9). Bilans energetyczny Narysowaćwykresyzależności θ od (1 cos θ 0 )oraz θ od (cos θ 1 cos θ 0 ).Do danych eksperymentalnych dopasować zależność liniową i obliczyć współczynnik korelacji. Z zasady zachowania energii mechanicznej wynika, że energia kinetyczna wahadła w najniższym położeniu jest równa energii potencjalnej wahadła w najwyższym położeniu.dlategooczekujemyzależnościliniowej θ od (1 cos θ 0 ).Ponieważwkażdej chwili energia kinetyczna wahadła jest równa ubytkowi energii potencjalnej wahadła,torównieżwdrugimprzypadkuoczekujemyzależnościliniowejzmiennych θ od (cos θ 1 cos θ 0 ).Oznaczato,żewobydwóchprzypadkachpowinnootrzymaćsię współczynnik korelacji bliski jedności. W rozważaniach tych pominięto wpływ tarcia, który rozważany jest w przypadku dyssypacji energii. Dyssypacja energii Nawykresiefazowym (θ, θ)zaznaczyćkolejnepozycjewahadła.zaobserwowaćstopniowe zbliżanie się do punktu (0, 0). Wynik ten potwierdza istnienie tarcia w układzie, które powoduje stopniowe zmniejszanie całkowitej energii mechanicznej układu. Energia mechaniczna zamienia się na inne formy energii, głównie na ciepło.