Zajęcia na międzyszkolne kółko wartość oczekiwana (szkic)

Transkrypt

1 Zajęcia a międzyszkole kółko wartość oczekiwaa (szkic) Cóż to jest wartość oczekiwaa? Nie wdając się w formale defiicje apiszę, że jest to średi wyik jakiegoś losowaia. Żeby móc mówić o wartości oczekiwaej, losowaie musi mieć wyiki liczbowe ie moża p. mówić o wartości oczekiwaej wyiku rzutu moetą, ale moża o wartości oczekiwaej wyiku rzutu kostką. Trzeba pamiętać, że wartość oczekiwaa to ie ajczęściej wypadający wyik, tylko średi. Na przykład jeśli mówimy o wartości oczekiwaej wygraej w pewej loterii, w której jest 500 losów, w tym jede wygrywający i wygrywa się a im 500 złotych, to wartość oczekiwaa wygraej to złotówka. Widać tu różicę między prawdopodobieństwem (które mówi, jak często będziemy wygrywać, i w tym wypadku wyosi ) a wartością oczekiwaą, która mówi, ile średio wygramy. Obliczaie wartości oczekiwaej techika a palcach Jak obliczać wartość oczekiwaą? Najprostsze jest to wtedy, gdy możliwych wyików jest skończeie wiele. Wtedy patrzymy, z jakim prawdopodobieństwem wypadie day wyik, możymy te wyik przez to prawdopodobieństwo i sumujemy (jeśli ktoś od tłumaczeń słowych woli wzorki, to E(X) = p i x i, gdzie p i = P (X = x i )). Obliczmy dla przykładu wartość oczekiwaą liczby oczek przy rzucie kostką. Prawdopodobieństwo uzyskaia dowolego wyiku to 1, zatem 6 wartość oczekiwaa to = 1 1 = Jak widać, wartość oczekiwaa może przyjmować ieoczekiwae wartości w tym przykładzie, choć zawsze wypadała całkowita liczba oczek, wartość oczekiwaa byajmiej całkowita ie była (jeśli kogoś to dziwi, to iech zwróci uwagę a to, że średia liczb całkowitych często jest iecałkowita p. średia liczba dzieci w rodziie). Jeżeli wyików jest ieskończeie wiele, to postępujemy podobie. Rozważmy astępującą sytuację rzucamy moetą tak długo, aż wypadie pierwszy orzeł. Iteresuje as wartość oczekiwaa liczby rzutów. Prawdopodobieństwo, że będziemy czekać dokładie rzutów to dokładie 1 w 1 pierwszych rzutach musi wciąż wypadać reszka, w ostatim zaś orzeł. Zatem E = = (zagadka dlaczego). Może też okazać 4 8 się, że wartość oczekiwaa wyosi. Popatrzmy p. a grę (1), w której rzucamy moetą tak długo, aż wypadie orzeł, i jeśli wypadie w -tym rzucie, to wygrywam złotych. Wartość oczekiwaa wygraej = = =. Wypada tu dodać, że wartość oczekiwaa ie zawsze istieje. Gdyby a przykład poprzedią grę zmodyfikować tak, że gdy orzeł wypada po parzystej liczbie rzutów, wygrywamy złotych, zaś gdy wypada po ieparzystej przegrywamy złotych, to wartość oczekiwaa wyosiłaby , co ie daje żadej sesowej liczby. Na końcu zamieściłem parę uwag o tym, kiedy moża się takiej sytuacji spodziewać i jak dowiadywać się, czy ie zachodzi, a razie jedak będziemy zakładać, że wartości oczekiwae, które obliczamy istieją i ie będziemy się kłopotać tym, że mogłoby być iaczej. Techika rekurecyja Teraz pozamy parę bardziej wyrafiowaych sposobów obliczaia wartości oczekiwaej. Zaczijmy od techiki rekurecyjej. Rozważmy taką sytuację rzucamy kostką tak długo, aż wypadie szóstka. Jak długo średio będziemy czekać? Moża jak poprzedio wypisać ieskończoą sumę i zbadać, ile wyosi. Moża jedak rozumować astępująco: załóżmy, że a szóstkę czeka się średio E rzutów. W pierwszym rzucie szóstka wypada z prawdopodobieństwem 1. Gdy ie wypadła szóstka, to wykoaliśmy jede 6 rzut, i musimy czekać dalej. Ale w wyiku tego jedego rzutu ic się ie zmieiło, czyli adal

2 średio a szóstkę będziemy czekać E rzutów. Zatem mamy rówaie E = (1 + E), 6 6 z którego otrzymujemy E = 6. Zadaie 1: Ile czasu będziemy średio czekać a zdarzeie, które w każdej miucie zachodzi z prawdopodobieństwem p? Rozwiążmy tą techiką trochę trudiejsze zadaie, pochodzące z obozu przygotowawczego do zawodów miedzyarodowych Zwardoń 97. W chwili t = 0 w wierzchołkach trójkąta stoją trzy osoby, każda w iym wierzchołku. W kolejych chwilach t = 1,,... każda z ich losowo (z prawdopodobieństwem 1 przemieszcza się do jedego z sąsiedich wierzchołków. Jaka jest wartość oczekiwaa czasu, po którym wszystkie trzy spotkają się w jedym wierzchołku? Ozaczmy szukaą wartość oczekiwaą przez E. W pierwszym ruchu ie uda się im spotkać z każdego wierzchołka ktoś wychodzi, a zatem w żadym ie będzie wszystkich trzech osób. Czy moża zatem wywioskować, że igdy się ie spotkają? Oczywiście ie (p. jeśli w pierwszym ruchu A i B pójdą do wierzchołka C, zaś C do A, zaś w drugim ruchu wszyscy pójdą do B). Co zatem się zmieia w tej sytuacji? W wyprodukowaym przykładzie po pierwszym ruchu w pewym wierzchołku ikogo ie było, co umożliwiło w końcu spotkaie. Zatem zaim dojdzie do spotkaia, pewie wierzchołek musi opustoszeć. Obliczmy, jak długo będziemy a to czekać. Prawdopodobieństwo, że w jedym ruchu trzy osoby ruszą się tak, by któryś wierzchołek opustoszał wyosi 3. Zatem ozaczając przez E 4 1 czas oczekiwaia a opustoszeie jedego wierzchołka E 1 = (E ), z czego dostajemy E 1 = 4. Teraz obliczmy E 3 czas czekaia a to, aż wszyscy się spotkają, jeśli zaczyamy z sytuacji, gdy dwie osoby są w jedym wierzchołku, trzecia zaś w iym. Z dotychczasowych rachuków wiemy, że E = 4 + E 3. Otóż prawdopodobieństwo, że się spotkają po jedym ruchu to 1. Prawdopodobieństwo, że 8 po jedym ruchu w każdym wierzchołku będzie jeda osoba to 1. Prawdopodobieństwo, że w 4 pewym wierzchołku będą dwie osoby 5. Zatem E 8 = (1 + E) + 5(1 + E ), co po podstawieiu E = 4 + E 3 i pewej dozie rachuków daje E = 3, czyli E = 1. 3 Rozbijaie a sumy Wartość oczekiwaa ma bardzo wygodą własość jeżeli mamy dwa losowaia, i iteresuje as średi wyik ich sumy, to jest o sumą średich wyików poszczególych losowań (ujęte we wzór przedstawia się to jako E(X + Y ) = E(X) + E(Y )). Nie jest to zaskakująca własość, lecz jest bardzo pożytecza. Dla przykładu jeżeli iteresuje as średia liczba oczek wyrzucoych a 10 kostkach sześciościeych, to zamiast wypisywać wszystkie możliwe kombiacje i sumować je z odpowiedimi prawdopodobieństwami (a kombiacji tych jest zastraszająco dużo) wystarczy zauważyć, że a pojedyczej kostce wypadało średio 3.5, zatem a dziesięciu wypadie średio = 35. I tyle. Trochę bardziej zaskakujący może wydać się fakt, że wzór te zachodzi rówież, gdy między dwoma zdarzeiami zachodzi jakiś związek. Dla przykłądu jeśli średi wzrost człowieka to 170 cm, zaś średi obwód w pasie to 90 cm, to jeżeli wybierzemy losowego człowieka, to średio suma jego wzrostu i obwodu w pasie wyiesie 60 cm. I ie będzie miało a to żadego zaczeia to, czy ludzie wysocy są zazwyczaj grubsi, czy chudsi. Rozwiążmy dla przykładu astępujące zadaie z 36. Olimpiady Matematyczej: W urie jest 1985 kartek, a których apisae są liczby 1,, 3,..., 1985, każda liczba a jedej kartce. Losujemy bez zwracaia 100 kartek. Zaleźć wartość oczekiwaą sumy liczb apisaych a wylosowaych kartkach. Moża oczywiście w te czy iy sposób postarać się rozważyć wszystkie możliwe wyiki tego losowaia, zauważyć parę faktów, poupraszczać (co ie jest zupełie baale) i otrzymać rezultat. Jest jedak szybsza droga. Wylosujmy jedą kartkę. Wartość oczekiwaa zapisaej a iej liczby to 1 ( ) = 993. Trzeba jeszcze zauważyć, że ie zależy 1985

3 to od tego, jako którą losujemy tę kartkę zatem dla każdej z aszych stu kartek wartość oczekiwaa to 993. Zatem wartość oczekiwaa sumy to Tu może mała dygresja zdziwić kogoś może fakt, że wartość oczekiwaa jest taka sama w drugim, trzecim, czy dowolym iym losowaiu (jeśli dla kogoś jest to jase, to zapewe może ie czytać tego akapitu). Przeprowadźmy zatem astępujący eksperymet myślowy: weźmy asze 1985 kartek, i wylosujmy jedą z ich, lecz ie patrzmy a ią. Następie (bez zwracaia) wylosujmy koleją. Czy a prawdopodobieństwa jakkolwiek wpływa fakt, że przedtem coś wylosowaliśmy? Otóż ie jeśli ktoś ie wierzy, to iech wrzuci wylosowaą jako pierwszą kartkę spowrotem do worka z którego losuje (wciąż a ią ie patrząc) i jest w takiej sytuacji, jakby trzymaą w ręku kartkę wylosował jako pierwszą (jeśli kogoś i to ie przekouje, to trudo musi po prostu wykoać rachuki i zobaczyć, że faktyczie tak jest). Oczywiście, wyiki poszczególych losowań mają wpływ a siebie awzajem lecz, jak było powiedziae, to ie zmieia wartości oczekiwaej. Obliczymy tą techiką jeszcze jede przykład, w którym wykorzystaa zostaie oa w sposób trochę sztuczy, ale za to dość efektowy. Rozważmy astępującą sytuację: w pewym pomieszczeiu stoi mężczyz, którzy a day sygał podrzucają swoje kapelusze do góry, po czym każdy z ich łapie losowy ze spadających kapeluszy. Ilu z ich średio trafi a swój kapelusz? Próby zrobieia tego zadaia siłowo, tj. przez obliczeie prawdopodobieństw wszystkich możliwych wyików, są żmude i iełatwe wymagają sporo wprawy oraz czasu. Spójrzmy jedak a pewego ustaloego mężczyzę. Złapie o losowy kapelusz, zatem własy złapie z prawdopodobieństwem 1. Zatem gdyby iteresował as tylko te mężczyza, to wartość oczekiwaa wyosiłaby 1 jest to wartość oczekiwaa liczby własych kapeluszy złapaych przez tego kokretego mężczyzę (jakkolwiek iezręczie to brzmi). Nas zaś iteresuje wartość oczekiwaa liczby własych kapeluszy złapaych przez wszystkich mężczyz. Mamy mężczyz, każdy średio łapie 1 własego kapelusza, zatem łączie liczba mężczyz, którzy złapią własy kapelusz średio wyiesie 1. Ta techika polegająca a rozbiciu pewej wartości oczekiwaej a sumę iych dość sztuczie a pierwszy rzut oka wyglądających reprezetujących poszczególe elemety tej sumy jest jedą bardziej efektowych. I zdecydowaie warto ją zapamiętać. Istieie wartości oczekiwaej Zgodie z zapowiedzią a koiec dorzucę parę słów o istieiu wartości oczekiwaej. Wartość oczekiwaa jest sumą pewych liczb (przyajmiej w wypadkach, które rozważaliśmy). Jeżeli ta suma jest skończoa, to ie może się stać ic złego - wartość oczekiwaa będzie istiała. Problemy mogą zaistieć dopiero przy sumach ieskończoych (bo jak widzieliśmy - ieskończoe sumy liczb ie zawsze są dobrze określoe). O ile wszystkie sumowae liczby są dodatie, to w ajgorszym wypadku dostaiemy +. Jeśli trafiają się też ujeme, trzeba formalie badać zbieżość sumy. Jest a to wiele sposobów, których ie będę tu opisywał. Najprostszym jest tzw. kryterium d Alamberta jeśli chcemy policzyć a 1 + a + a , to wystarczy zbadać graicę a a +1. Jeśli ta jest miejsza iż 1, to suma będzie istiała. W szczególości wyika z iego, że sumy W (1) + W () + W (3) W (), gdzie W jest wielomiaem, zaś c > 1 istieją c 1 c c 3 c (wystarcza to, by sprawdzić, że wszystkie rozważae przez as dotychczas wartości oczekiwae istieją). Zastaówmy się jeszcze, jaki to ma wpływ a stosowae przez as techiki. Oczywiście, jeśli wartość oczekiwaa ie istieje, to techika a palcach oczywiście to wykaże. Problemy mogą występować przy rekurecyjym liczeiu wartości oczekiwaej, gdy ta ie istieje bądź rówa jest ±. Dla przykładu spróbujmy rekurecyjie policzyć wartości oczekiwae wygraej

4 w grach, które służyły am za przykłady tego, że wartość oczekiwaa ie musi istieć. Przypomijmy rzucaliśmy tam moetą aż do wypadięcia orła, i w zalężości od tego, w którym rzucie wypadł zyskiwaliśmy pewą sumę pieiędzy. Gdy suma ta była rówa (czyli wartość oczekiwaa to + ) techika rekurecyja daje E = E, czyli E = E + 1. Otrzymaliśmy sprzeczość, co iformuje as, że coś jest zdecydowaie ie w porządku. Gdyby zmieić ciut zasady tak, by wygraa była rówa 4, to otrzymalibyśmy E = E, czyli E = 1. Tu co prawda otrzymaliśmy jakiś wyik, choć ewidetie bezsesowy. Ogólie - jeżeli wartość oczekiwaa wyosi +, to techika rekurecyja może dać jakiś wyik, ale prawie zawsze będzie o absurdaly. Spójrzmy jeszcze, co się dzieje, gdy wartość oczekiwaa ie istieje. W aszej grze miało to miejsce, gdy wygraą było ( 1). Wtedy techika rekurecyja daje E = ( E), czyli E = 1, w co już dałoby się uwierzyć. Stąd płyą dwa wioski po pierwsze, przed użyciem techiki rekurecyjej trzeba wiedzieć, że wartość oczekiwaa istieje, po drugie zaś, jeśli w wyiku jej użycia wychodzi wyik dalece sprzeczy z ituicją, ależy zastaowić się, czy ie zapomieliśmy o wiosku pierwszym. Sytuacja jest o wiele prostsza, gdy liczymy wartość oczekiwaą rozbijając a sumę. O ile uda am się w te sposób dojść do wyiku, to będzie o poprawy. Czemu? Załóżmy, że tak ie jest, tj. zmiea losowa X rozbija się a sumę X X a wartość oczekiwaa X ie istieje lub też jest ieskończoa. Wtedy któraś z X i musi mieć ieokreśloą lub ieskończoą wartość oczekiwaą. Założyliśmy jedak, że wszystkie te wartości oczekiwae udało am się policzyć, zatem i X musi mieć skończoą wartość oczekiwaą. Na samym końcu dla przykładu udowodijmy, że wartość oczekiwaa w zadaiu z chodzeiem po trójkącie istieje i jest skończoa. Próba bezpośrediego wypisaia szeregu jest skazaa a iepowodzeie (gdyby się to udało, to całe rekurecyje machiacje byłyby zbęde). Ale zauważmy, że z każdej pozycji prawdopodobieństwo dojścia w dwóch ruchach do spotkaia jest większe iż 1. Zatem czas oczekiwaia a spotkaie w parzystej liczbie ruchów (czyli a 3 zdarzeie miej prawdopodobe) to miej iż ( 31 3 ), która to suma jest skończoa. Na zdarzeie, które wystąpi w tym samym momecie lub wcześiej będziemy czekać ie dłużej, a w każdym razie skończoą ilość czasu. Zadaia 1. (wspomiae już w tekście): Ile czasu będziemy średio czekać a zdarzeie, które w każdej miucie zachodzi z prawdopodobieństwem p?. (37. OM, pierwszy etap): Rzucamy kostką ajpierw raz, a astępie tyle razy, ile oczek wypadło przy pierwszym rzucie. Obliczyć wartość oczekiwaą sumy wyrzucoych oczek (łączie z pierwszym rzutem). 3. (40. OM, fiał): Niech, k będą dodatimi liczbami całkowitymi. Tworzymy ciąg zbiorów A 0, A 1,..., A k przyjmując, że A 0 = {1,,..., }, a dla i = 1,,..., k zbiór A k jest losowo wybraym podzbiorem A i 1, przy czym wybór każdego podzbioru jest jedakowo prawdopodoby. Rozpatrujemy zmieą losową rówą liczbie elemetów zbioru A k. Dowieść, że jej wartość oczekiwaa jest rówa k. 4. Karty z apisaymi a ich liczbami od 1 do tasujemy, a astępie rozkładamy je a stosy. Pierwsza karta staowi początek pierwszego stosu. Dla i jeśli liczba a i-tej karcie jest większa iż liczba a i 1-wszej, to i-tą kartę kładziemy a te sam stos, co i 1- wszą, w przeciwym zaś wypadku i-ta karta staowi początek kolejego stosu. Obliczyć wartość oczekiwaą liczby stosów. 5. (zmodyfikowae zadaie z OM): Wypisujemy kolejo wyrazy ciągu ( 1,,..., k ), gdzie 1 = 1000, zaś j dla j > 1 jest liczbą całkowitą wybraą losowo z przedziału [0, j 1 1] (wybór każdej liczby z tego przedziału jest jedakowo prawdopodoby). Kończymy wypisywaie, gdy

5 wybraa liczba jest zerem, tz. k 1 0, k = 0. Długość k ciągu ( 1,,..., k ) jest zmieą losową. Udowodić, że jej wartość oczekiwaa jest rówa Ze zbioru {1,,..., } wybieramy losowo bez zwracaia k liczb (k ). Oblicz wartość oczekiwaą różicy między ajwiększą a ajmiejszą z wylosowaych liczb.