Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )"

Transkrypt

1 Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O

2 2. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w 10 kolorach, jest równa: A. 100 B. 99 C. 90 D. 19 Mamy do dyspozycji 10 tkanin, zatem na zewnętrzne pasy możemy użyć 10 różnych tkanin. Kiedy wybraliśmy już kolor na pasy zewnętrzne, do dyspozycji zostało nam 9 tkanin (zgodnie z treścią zadania środkowy pas musi być innego koloru). Z reguły mnożenia liczmy liczbę wszystkich możliwości: = 10 9 = 90 Odpowiedź: C. 3. Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30 Sposób I Wypisujemy liczby dwucyfrowe podzielne przez 3 to: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99. = 30 Sposób II Dwucyfrowe liczby podzielne przez 3 tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy, w którym i. Mamy zatem: 2

3 Odpowiedź: D. 4. Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane? A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 Sposób I Skoro liczby mają być większe od 3000, to pierwsza cyfra każdej z takich liczb musi być równa 3. Każdą z pozostałych 3 cyfr możemy wybrać dowolnie spośród liczb: 1, 2, 3. Jest więc takich liczb: = = 27 Sposób II Wypisujemy wszystkie liczby spełniające warunki zadania. Odpowiedź: D. 5. Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9? A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 Dwucyfrowe liczby podzielne przez 6 to: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96. Wśród tych liczb jest 5 liczb podzielnych przez 9: 18, 36, 54, 72, 90 W sumie jest więc takich liczb. 3

4 6. Ile jest naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Skoro suma cyfr ma być równa 2: to liczba ta może mieć jedną cyfrę równą 2 jest jedna taka liczba: 2000, może mieć dwie cyfry równe 1 są trzy takie liczby: 1001, 1010, Odpowiedź: D. 7. Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5? A. 90 B. 100 C. 180 D. 200 Jeżeli liczba ma się dzielić przez 5, to ostatnią jej cyfrą musi być 0 lub 5. Pierwszą cyfrę takiej liczby możemy wybrać na 9 sposobów (nie może być 0), a drugą na 10 sposobów, więc w sumie takich liczb jest: = = 180 Odpowiedź: C. 8. Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 4? A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 Skoro iloczyn cyfr ma być równy 4, to cyframi liczby muszą być dwie jedynki i czwórka, lub jedynka i dwie dwójki. Łatwo wypisać wszystkie takie liczby: 114, 141, 411, 122, 212, 221. Odpowiedź: C. 9. Jeżeli jest zdarzeniem losowym, a - zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia oraz zachodzi równość to jest równe: Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego spełnia warunek, co prowadzi do równości: ( ) : 3 4

5 Odpowiedź: A. 10. Jeżeli jest zdarzeniem losowym takim, że, oraz jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia, to prawdopodobieństwo zdarzenia równe jest Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego spełnia warunek, co prowadzi do równości: ( ) : 7 Odpowiedź: D. 11. Każdy uczestnik spotkania dwunastoosobowej grupy przyjaciół uścisnął dłoń każdemu z pozostałych członków tej grupy. Liczba wszystkich uścisków dłoni była równa A. 66 B. 72 C. 132 D. 144 Pierwszego uczestnika spotkania możemy wybrać na 12 sposobów, a drugiego na 11 sposobów, co razem daje: par przyjaciół. Ten rachunek wymaga jednak poprawy, bo w ten sposób każdą parę przyjaciół policzyliśmy dwa razy: jako i. Musimy więc powyższą liczbę podzielić przez 2. Zatem powitań było: 132 : 2 =66 Odpowiedź: A. 12. Liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach i o parzystej cyfrze tysięcy, setek i dziesiątek jest 5

6 Cyfry parzyste to: {0, 2, 4, 6, 8} Cyfra tysięcy należy do zbioru {2,4,6,8}, cyfra setek należy też do zbioru czteroelementowego, bo odejmujemy jedną cyfrę, ale dodajemy zero, a cyfra jedności należy do zbioru siedmioelementowego, gdyż odejmujemy trzy cyfry. Odpowiedź: A. 13. Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników? A. 100 B. 90 C. 45 D. 20 Pierwszego gracza możemy wybrać na 10 sposobów, a drugiego na 9 sposobów, co razem daje z reguły mnożenia: możliwości. Ten rachunek wymaga jednak poprawy, bo w ten sposób każdą parę zawodników policzyliśmy dwa razy: jako i. Musimy więc tę liczbę podzielić przez 2: 90 : 2 = 45 i mamy ostatecznie 45 możliwości. Odpowiedź: C. 14. Na loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano A. 4 losy B. 20 losów C. 50 losów D. 25 losów Na początku szansa na wygraną wynosiła: Po wyciągnięciu losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną jest równa. Mamy więc równanie Odpowiedź: D. 15. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy 6

7 Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 6 = 36 A iloczyn wyrzuconych oczek wynosi 5, Mamy 2 wyniki sprzyjające A: (1, 5) i (5, 1). = Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe Jeżeli za zdarzenia elementarne przyjmiemy pary otrzymanych liczb oczek to Jest jedno zdarzenie sprzyjające: (5, 5). Zatem Odpowiedź: D. 17. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 6 = 36 A suma wyrzuconych oczek wynosi 3, Mamy 2 wyniki sprzyjające A: (1, 2) i (2, 1). = 2 7

8 Odpowiedź: D. 18. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego cztery jest równe Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 6 = 36 A iloczyn wyrzuconych oczek wynosi 4. Mamy 3 wyniki sprzyjające A: (1, 4), (2, 2) i. = 3 Odpowiedź: A. 19. Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez Wtedy Liczymy kolejno oznacza wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 1, oznacza wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 2, oznacza wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 3, itd. Zatem: ; każda liczba wyrzuconych oczek dzieli się przez 1, ; (są trzy liczby podzielne przez 2: 2, 4, 6), ; (są dwie liczby podzielne przez 3: 3, 6), ; (tylko jedna liczba dzieli się przez 4: 4), ; (tylko jedna liczba dzieli się przez 5: 5), ; (tylko jedna liczba dzieli się przez 6: 6), Teraz sprawdzamy propozycje odpowiedzi: A. : to 8

9 B. : to 20. Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostka do gry. Niech oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia oczek w tym rzucie. Wtedy Prawdopodobieństwo wyrzucenia oczek (dla ) jest w każdym rzucie rzucie takie samo i wynosi. 21. Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 2 = 8 Są cztery zdarzenia sprzyjające: (O, O, O), (O, R, O), (R, O, O), (R, R, O). Stąd prawdopodobieństwo wynosi: Odpowiedź: C. 22. Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy A. 0 B. 0, C. D. Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 2 = 8. Są 3 zdarzenia sprzyjające: (O, R, R), (R, O, R), (R, R, O). Prawdopodobieństwo jest więc równe 9

10 23. Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy A. 0 B. 0, C. D. Obliczmy, ile jest zdarzeń elementarnych: 2 = 8. Są 3 zdarzenia sprzyjające: (O, O, R), (O, R, O), (R, O, O). Prawdopodobieństwo jest więc równe Odpowiedź: C. 24. Rzucamy trzy razy symetryczna monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe Obliczmy, ile jest zdarzeń elementarnych: = 36 Sposób I: Jest 7 zdarzeń sprzyjających: Prawdopodobieństwo jest więc równe. Sposób II Jeżeli przez oznaczymy interesujące nas zdarzenie polegające na otrzymaniu co najmniej jednej reszki, to zdarzenie przeciwne polega na otrzymaniu samych orłów. Zatem Odpowiedź: A. 25. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe 10

11 Obliczmy, ile jest zdarzeń elementarnych: = Jest 15 zdarzeń sprzyjających: wylosowano kobietę: Prawdopodobieństwo wybrania kobiety jest równe: Odpowiedź: C. 26. W karcie dań jest 5 zup i 4 drugie dania. Na ile sposobów można zamówić obiad składający się z jednej zupy i jednego drugiego dania? A. 25 B. 20 C. 16 D. 9 Zupę możemy wybrać na 5 sposobów, a drugie danie na 4 sposoby, co daje łącznie sposobów (zasada mnożenia). 27. W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na ty, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy Kulę z każdego z pojemników możemy wybrać na dwa sposoby, więc trzy kule możemy wybrać na sposobów. Zdarzenia sprzyjające są trzy: (c, c, n), (c, n, c), (n, c, c). Prawdopodobieństwo jest więc równe: 28. W pewnej klasie stosunek liczby dziewcząt do liczy chłopców jest równy 4 : 5. Losujemy jedną osobę z tej klasy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to dziewczyna, jest równe: 11

12 Jeżeli dziewcząt jest, a chłopców, to prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny jest równe: 29. Wybieramy liczbę ze zbioru A={2,3,4,5} oraz liczbę ze zbioru B={1,4}. Ile jest takich par, że ich iloczyn jest liczbą nieparzystą? A. 2 B. 3 C. 5 D. 20 Jeżeli iloczyn ma być liczbą nieparzystą, to z każdego ze zborów musimy wybrać liczbę nieparzystą. Zatem z drugiego zbioru musimy wybrać 1, a z pierwszego 3 lub 5. Są więc tylko dwie możliwości; dwie takie pary: (3,1) i (5,1) x x 4 Odpowiedź: A. 30. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech oznacza prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas W podanym zbiorze są 3 wielokrotności liczby 3: 3, 6 i 9. A wylosowano wielokrotność liczby 3 Zatem mamy: I prawdopodobieństwo wynosi: Odpowiedź: A. 12

13 31. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas W podanym zbiorze są trzy liczby podzielne przez 4: 4, 8, 12. A wylosowano liczbę podzielną przez 4. Zatem mamy: I prawdopodobieństwo wynosi: 32. Ze zbioru {0,1,2, 15} losujemy jedna liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby pierwszej jest równe W podanym zbiorze mamy następujące liczby pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11, 13. A wylosowano liczbę pierwszą. Zatem mamy: I prawdopodobieństwo wynosi: 33. Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {1,2,3,4,,30} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej jest równe W podanym zbiorze jest 5 kwadratów liczb całkowitych: 1, 4, 9, 16, 25. A wylosowano liczbę, która jest kwadratem liczby całkowitej. Zatem mamy: I prawdopodobieństwo wynosi: 34. Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe 13

14 Liczb dwucyfrowych jest, a liczb podzielnych przez 30 jest 3 : 30, 60, 90. Prawdopodobieństwo jest więc równe: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi (0 2 pkt) 1. Dane są dwa podzbiory liczb całkowitych: * + i * + Odpowiedź: C. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni. Każdą z liczb możemy wybrać na 5 sposobów, więc W zdarzeniach sprzyjających obie liczby muszą być tego samego znaku, tzn. albo obie są ujemne, albo obie są dodatnie. Dwie liczby ujemne możemy wybrać na sposoby (każdą z liczb na dwa sposoby), a dwie dodatnie na sposobów. Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe: Odpowiedź:. 2. Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka. Wszystkich zdarzeń elementarnych jest Policzmy ile jest zdarzeń sprzyjających. Jeżeli z niebieskiego pudełka wyciągniemy 10, to z czerwonego możemy wyjąć dowolną liczbę mniejszą od 10; jeżeli z niebieskiego wyciągniemy 9, to z czerwonego możemy wyjąć dowolną liczbę mniejszą od 9 itd. Zdarzeń sprzyjających jest więc: 14

15 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo jest równe. 3. Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim 8 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrowa w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego - cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 11. Pierwszą cyfrę można wylosować na 6 sposobów. Drugą cyfrę można wylosować na 8 sposobów. Zatem w ten sposób można ułożyć (reguła mnożenia): liczb dwucyfrowych. Liczby dwucyfrowe podzielne przez 11, złożone z cyfr, które są na kulach to: 11, 22, 33, 44, 55, 66. Jest ich 6. Zatem: Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania liczby dwucyfrowej podzielnej przez 11 wynosi 3. Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim 7 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 2 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrowa w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego - cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 9. Pierwszą cyfrę można wylosować na 6 sposobów. Drugą cyfrę można wylosować na 7 sposobów. Zatem w ten sposób można ułożyć (reguła mnożenia): liczb dwucyfrowych. Liczby dwucyfrowe podzielne przez 9, złożone z cyfr, które są na kulach to: 18, 27, 36, 45, 54, 63. Jest ich 6. Zatem: 15

16 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania liczby dwucyfrowej podzielnej przez 9 wynosi 4. Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek? Cyfrę tysięcy utworzonej liczby możemy wybrać na 9 sposobów (nie może być 0), a cyfrę dziesiątek na 10 sposobów. Cyfrę setek musimy wybrać ze zbioru {0,1,2,3,4,5,6} (żeby cyfra jedności mogła być o 3 większa), czyli na 7 sposobów. Jeżeli chodzi o cyfrę jedności, to nie mamy już żadnego wyboru, bo jest ona wyznaczona jednoznacznie przez cyfrę setek. Jest więc (zasada mnożenia): Odpowiedź: Takich liczb jest 630. takich liczb. 5. Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe nieparzyste. Pierwszą cyfrę liczby, o której mowa w treści zadania musimy wybrać ze zbioru {2,4,6,8}, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby. Każdą kolejną cyfrę wybieramy ze zbioru {1,3,5,7,9}, czyli możemy to zrobić na 5 sposobów. Razem daje to nam (zasada mnożenia) Odpowiedź: Takich liczb jest 500. takich liczb. 6. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba oczek w pierwszym rzucie jest o 1 mniejsza od liczby oczek w drugim rzucie. * + Odpowiedź: Prawdopodobieństwo jest równe. 16

17 7. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek będzie podzielny przez 3. A iloczyn wyrzuconych oczek jest podzielny przez 3. Odpowiedź: Prawdopodobieństwo jest równe. 8. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez Obliczamy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, czyli wyników: 2 0 Rysujemy tabelę, w której zaznaczamy zdarzenia sprzyjające, czyli dwie liczby, których iloczyn jest podzielny przez 6: 3 0 Zliczamy zdarzenia sprzyjające:. 4 0 Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: 17

18 Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 9. Ze zbioru cyfr {1,2,3,4,5,6,7,8} losujemy kolejno dwie cyfry (losowanie bez zwracania) i tworzymy liczby dwucyfrowe tak, że pierwsza wylosowana cyfra jest cyfrą dziesiątek, a druga cyfrą jedności. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby podzielnej przez 4. Dwie cyfry z podanego zbioru można wybrać na sposobów. Wypiszmy liczby podzielne przez 4, jakie możemy otrzymać w ten sposób: 12, 16, 24, 28, 32, 36, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76, 84. Takich liczb jest 14. Prawdopodobieństwo jest więc równe: Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 10. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6. Dwie liczby z podanego zbioru można wybrać na sposobów. Wypiszmy wszystkie możliwe zdarzenia sprzyjające: (5,1), (6,2), (7,1), (7,3), (8,2), (8,4). Tych zdarzeń jest 6. Prawdopodobieństwo jest więc równe: Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi x x 2 x x 3 x 4 x Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez 12. Liczb dwucyfrowych jest: 18

19 Liczby dwucyfrowe podzielne przez 8 to: 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96. Jest ich 11. Liczby dwucyfrowe podzielne przez 12 to: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 Jest ich 8, ale tylko 4 z nich nie występują na poprzedniej liście. A ={12, 16, 24, 32, 36, 40, 48, 56, 60, 64, 72, 80, 84, 88, 96}, Prawdopodobieństwo jest więc równe: Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 12. Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 9 lub podzielną przez 12. Liczb dwucyfrowych jest: Liczby dwucyfrowe podzielne przez 9 to: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99. Jest ich 10. Liczby dwucyfrowe podzielne przez 12 to: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 Jest ich 8, ale tylko 2 z nich występują na poprzedniej liście. A ={12, 18, 24, 27, 36, 45, 48, 54, 60, 63, 72, 81, 84, 90, 96, 99}, Prawdopodobieństwo jest więc równe: Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 13. Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba 5. Liczba możliwych wyników: Jest 8 zdarzeń sprzyjających: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4). 19

20 Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe: Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 14. Ze zbioru siedmiu liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3. Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary liczb z podanego zbioru. Liczba możliwych wyników: Zdarzenia sprzyjające oznaczono krzyżykami. Jest ich 16. Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi: Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi (0 4 pkt) 1. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Liczba naturalnych dwucyfrowych 10, 11,, 99 jest 90. Pierwszą liczbę można wylosować na 90 sposobów, a drugą na 89 sposobów, ponieważ losujemy bez zwracania. Dwie liczby można w takim losowaniu wybrać na sposobów. Niepowtarzające się liczby, których suma jest równa 30 to: (10,20), (11,19), (12,18), (13,17), (14,16), (20,10), (19,11), (18,12), (17,13), (16,14). Takich par jest 10. Prawdopodobieństwo wylosowania takiej pary liczb wynosi: 20

21 Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 2. Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6 i iloczyn tych liczb jest nieparzysty. Mamy zatem 3 zdarzenia sprzyjające: (3,5), (5,3), (5,5) Zatem prawdopodobieństwo wynosi Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 3. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Mamy zatem 6 zdarzeń sprzyjających: (2,6), (4,3), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6). Zatem prawdopodobieństwo wynosi Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 21

= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.

= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka 1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA

KOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA KOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA ZADANIE 1 (1 PKT) Pan Jakub ma marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,

Bardziej szczegółowo

liczb naturalnych czterocyfrowych. Mamy do dyspozycji następujące cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. g) Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych?

liczb naturalnych czterocyfrowych. Mamy do dyspozycji następujące cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. g) Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych? KOMBINATORYKA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI 1. Udziel odpowiedzi na poniższe pytania: a) Ile jest możliwych wyników w rzucie jedną kostką? W rzucie jedną kostką możemy otrzymać jeden spośród następujących wyników:

Bardziej szczegółowo

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B; Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.

Bardziej szczegółowo

Zdarzenie losowe (zdarzenie)

Zdarzenie losowe (zdarzenie) Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest

Bardziej szczegółowo

PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA

PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie)

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie) Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie) (1) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć używając jedynie cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8? (2) Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć

Bardziej szczegółowo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zadanie PP RP 1. Z pojemnika, w którym znajdują się cztery losy z numerami 112, 121, 211, 212 losujemy trzy razy po jednym losie, po każdym losowaniu zwracając wylosowany los do pojemnika. Oblicz prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Statystyka podstawowe wzory i definicje

Statystyka podstawowe wzory i definicje 1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią

Bardziej szczegółowo

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.

R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych

Bardziej szczegółowo

12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania

12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania 2. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania Zad.2.. Oblicz ile moŝna utworzyć z cyfr 0,, 2, liczb: a) dwucyfrowych, których cyfry mogą się powtarzać; b) trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach;

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12. IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Rzucamy sześcienna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadna co najmniej dwa oczka. ZADANIE 2 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad. 1. (1 pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118

Bardziej szczegółowo

15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda

15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda 1. Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr(cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Zadania należy samodzielnie rozwiązać, a następnie sprawdzić poprawność wyniku!

Zadania należy samodzielnie rozwiązać, a następnie sprawdzić poprawność wyniku! Zadania testowe kombinatoryka (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) Zadania należy samodzielnie rozwiązać, a następnie sprawdzić poprawność wyniku! 1. Ze zbioru cyfr * + losujemy

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do kombinatoryki

Wprowadzenie do kombinatoryki Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym

Bardziej szczegółowo

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR) .. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT) NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI

PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT)   NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI IMIE I NAZWISKO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 100 ZADANIE 1 (5 PKT) Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia A na każdej kostce wypadła

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

MATURA Przygotowanie do matury z matematyki MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część X: Statystyka, kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy

Bardziej szczegółowo

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI SEMESTR I ZESTAW. Podaj liczbę przeciwną i odwrotną do liczby 2 2. Jak zmieniła się cena wyrobu po podwyżce o 20%, a następnie po obniżeniu otrzymanej ceny o

Bardziej szczegółowo

Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów.

Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów. PERMUTACJE Z1. Oblicz: Z2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: Z3. Sprawdź czy prawdziwa jest równość: Dana równość jest prawdziwa. Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

Bardziej szczegółowo

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat

Bardziej szczegółowo

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp. Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA

SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA 12 GRUDNIA 2011 CZAS PRACY: 45 MIN. ZADANIE 1 Spośród liczb {1, 2, 3,..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które

Bardziej szczegółowo

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa 01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Co powinienem umieć Umiejętności znam pojęcie zdarzenia elementarnego znam pojęcie doświadczenia losowego i potrafię

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa 01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA ( ) PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B ( ) WIĘC CO OZNACZA, ŻE ZDARZENIE B NIE MA WPŁYWU

Bardziej szczegółowo

Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki

Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Pochodne funkcji i jej zastosowania 1. Oblicz pochodną funkcji f, gdy: a) f(x) = 3x 8 + 2 x + 3 7, b) f(x) = x 11 6x 5 + 2 x + 3 x, c)

Bardziej szczegółowo

Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.

Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum. Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa 01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne

Bardziej szczegółowo

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6 Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna

Bardziej szczegółowo

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.); 03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ). KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.

Bardziej szczegółowo

c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem; 05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 14 MARCA Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 14 MARCA Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut Kod ucznia Nazwisko i imię M A T E M A T Y K A 14 MARCA 2018 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1-34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 183264 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dziedzina funkcji

Bardziej szczegółowo

1. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru

1. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru . Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru Bernadeta Tomasz Zadania dodatkowe Zadanie.. Mamy do wyboru mieszkania i auta. Na ile sposobów można dokonać wyboru, jeśli. mamy wybrać mieszkanie i samochód,.

Bardziej szczegółowo

Wersja testu A 18 czerwca 2012 r. x 2 +x dx

Wersja testu A 18 czerwca 2012 r. x 2 +x dx 1. Funkcja f : R R jest różniczkowalna na całej prostej, a ponadto dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność f x

Bardziej szczegółowo

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem; 05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony

Bardziej szczegółowo

I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zad.1. Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie:

I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zad.1. Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie: Strona 1 z 9 I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie: 5 4 ( 27) ( ) a), podstawa : ( ) b) 6 ( 9) c), podstawa: (5) d) Oblicz: a) 1 6 4 2 1 1 1 2 (0,25)

Bardziej szczegółowo

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.); 03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara

Bardziej szczegółowo

Temat: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu.

Temat: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu. Dla nauczyciela Spotkanie 9 Temat: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu. Na zajęcia potrzebne będą pomoce tzn. kostki do gry, talia kart, monety lub inne. Przy omawianiu doświadczeń losowych

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1-1 Organizacja plików: Oddajemy tylko źródła programów (pliki o rozszerzeniach.cpp)!!!

Zestaw 1-1 Organizacja plików: Oddajemy tylko źródła programów (pliki o rozszerzeniach.cpp)!!! Zestaw 1-1 1. Napisz program pobierający od użytkownika liczbę całkowitą R (R>1) i liczbę rzeczywistą dodatnią S, a następnie informujący ile kolejnych liczb z ciągu 1, R-1, R 2-2, R 3-3, R 4-4, należy

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Zadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1.

Zadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1. Zestaw 1. Zadanie. 1. Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy A.Einstein Czy zdarzenia polegające na wyciągnięciu z talii liczącej 52 karty dowolnej karty pik (zdarzenie A) i wyciągnięciu asa (zdarzenie B)

Bardziej szczegółowo

PRAWDOPODOBIEOSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B

PRAWDOPODOBIEOSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA P A = A Ω PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE P(A B) P A B =, P B 0 PRAWDOPODOBIEOSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B P A B = P A B = P

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Projekt dofinansowała Fundacja mbanku PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Projekt dofinansowała Fundacja mbanku PRAWDOPODOBIEŃSTWO Projekt dofinansowała Fundacja mbanku PRAWDOPODOBIEŃSTWO 1 Na ile sposobów może ubrać się Pani Dyrektor, która ma 3 różne kapelusze, 6 sukni i 4 pary butów? 1. Każdy zestaw składa się z kapelusza, sukni

Bardziej szczegółowo

Temat 18: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu.

Temat 18: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu. Temat 8: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu. Jakie są miary statystyczne? Średnia arytmetyczna. Średnia arytmetyczna dwóch liczb a i b to połowa ich sumy Średnia arytmetyczna trzech liczb a,

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

Typy zadań kombinatorycznych:

Typy zadań kombinatorycznych: Typy zadań kombinatorycznych: I. Ustawianie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności Przestawieniem nazywamy ustawienie elementów danego zbioru w pewnej kolejności. Liczba przestawień określa na

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej

Bardziej szczegółowo

Dzień pierwszy- grupa młodsza

Dzień pierwszy- grupa młodsza Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 18 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 86 7 5 56 5 jest

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 2010 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:

Bardziej szczegółowo

DOŚWIADCZENIA WIELOETAPOWE

DOŚWIADCZENIA WIELOETAPOWE . 4. DOŚWIADCZENIA WIELOETAPOWE Drzewem stochastycznym nazywamy graf ilustrujący przebieg wieloetapowego doświadczenia losowego. Wierzchołkom drzewa stochastycznego przyporządkowane są wyniki poszczególnych

Bardziej szczegółowo

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA 1 Liczby rzeczywiste ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 10 2 2019 684 168 2 Dane

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo