Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Transkrypt

1 Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O

2 2. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w 10 kolorach, jest równa: A. 100 B. 99 C. 90 D. 19 Mamy do dyspozycji 10 tkanin, zatem na zewnętrzne pasy możemy użyć 10 różnych tkanin. Kiedy wybraliśmy już kolor na pasy zewnętrzne, do dyspozycji zostało nam 9 tkanin (zgodnie z treścią zadania środkowy pas musi być innego koloru). Z reguły mnożenia liczmy liczbę wszystkich możliwości: = 10 9 = 90 Odpowiedź: C. 3. Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30 Sposób I Wypisujemy liczby dwucyfrowe podzielne przez 3 to: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99. = 30 Sposób II Dwucyfrowe liczby podzielne przez 3 tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy, w którym i. Mamy zatem: 2

3 Odpowiedź: D. 4. Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od 3000, utworzonych wyłącznie z cyfr 1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane? A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 Sposób I Skoro liczby mają być większe od 3000, to pierwsza cyfra każdej z takich liczb musi być równa 3. Każdą z pozostałych 3 cyfr możemy wybrać dowolnie spośród liczb: 1, 2, 3. Jest więc takich liczb: = = 27 Sposób II Wypisujemy wszystkie liczby spełniające warunki zadania. Odpowiedź: D. 5. Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9? A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 Dwucyfrowe liczby podzielne przez 6 to: 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96. Wśród tych liczb jest 5 liczb podzielnych przez 9: 18, 36, 54, 72, 90 W sumie jest więc takich liczb. 3

4 6. Ile jest naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Skoro suma cyfr ma być równa 2: to liczba ta może mieć jedną cyfrę równą 2 jest jedna taka liczba: 2000, może mieć dwie cyfry równe 1 są trzy takie liczby: 1001, 1010, Odpowiedź: D. 7. Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 5? A. 90 B. 100 C. 180 D. 200 Jeżeli liczba ma się dzielić przez 5, to ostatnią jej cyfrą musi być 0 lub 5. Pierwszą cyfrę takiej liczby możemy wybrać na 9 sposobów (nie może być 0), a drugą na 10 sposobów, więc w sumie takich liczb jest: = = 180 Odpowiedź: C. 8. Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 4? A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 Skoro iloczyn cyfr ma być równy 4, to cyframi liczby muszą być dwie jedynki i czwórka, lub jedynka i dwie dwójki. Łatwo wypisać wszystkie takie liczby: 114, 141, 411, 122, 212, 221. Odpowiedź: C. 9. Jeżeli jest zdarzeniem losowym, a - zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia oraz zachodzi równość to jest równe: Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego spełnia warunek, co prowadzi do równości: ( ) : 3 4

5 Odpowiedź: A. 10. Jeżeli jest zdarzeniem losowym takim, że, oraz jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia, to prawdopodobieństwo zdarzenia równe jest Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego spełnia warunek, co prowadzi do równości: ( ) : 7 Odpowiedź: D. 11. Każdy uczestnik spotkania dwunastoosobowej grupy przyjaciół uścisnął dłoń każdemu z pozostałych członków tej grupy. Liczba wszystkich uścisków dłoni była równa A. 66 B. 72 C. 132 D. 144 Pierwszego uczestnika spotkania możemy wybrać na 12 sposobów, a drugiego na 11 sposobów, co razem daje: par przyjaciół. Ten rachunek wymaga jednak poprawy, bo w ten sposób każdą parę przyjaciół policzyliśmy dwa razy: jako i. Musimy więc powyższą liczbę podzielić przez 2. Zatem powitań było: 132 : 2 =66 Odpowiedź: A. 12. Liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach i o parzystej cyfrze tysięcy, setek i dziesiątek jest 5

6 Cyfry parzyste to: {0, 2, 4, 6, 8} Cyfra tysięcy należy do zbioru {2,4,6,8}, cyfra setek należy też do zbioru czteroelementowego, bo odejmujemy jedną cyfrę, ale dodajemy zero, a cyfra jedności należy do zbioru siedmioelementowego, gdyż odejmujemy trzy cyfry. Odpowiedź: A. 13. Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 10 zawodników? A. 100 B. 90 C. 45 D. 20 Pierwszego gracza możemy wybrać na 10 sposobów, a drugiego na 9 sposobów, co razem daje z reguły mnożenia: możliwości. Ten rachunek wymaga jednak poprawy, bo w ten sposób każdą parę zawodników policzyliśmy dwa razy: jako i. Musimy więc tę liczbę podzielić przez 2: 90 : 2 = 45 i mamy ostatecznie 45 możliwości. Odpowiedź: C. 14. Na loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano A. 4 losy B. 20 losów C. 50 losów D. 25 losów Na początku szansa na wygraną wynosiła: Po wyciągnięciu losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną jest równa. Mamy więc równanie Odpowiedź: D. 15. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy 6

7 Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 6 = 36 A iloczyn wyrzuconych oczek wynosi 5, Mamy 2 wyniki sprzyjające A: (1, 5) i (5, 1). = Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe Jeżeli za zdarzenia elementarne przyjmiemy pary otrzymanych liczb oczek to Jest jedno zdarzenie sprzyjające: (5, 5). Zatem Odpowiedź: D. 17. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 6 = 36 A suma wyrzuconych oczek wynosi 3, Mamy 2 wyniki sprzyjające A: (1, 2) i (2, 1). = 2 7

8 Odpowiedź: D. 18. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego cztery jest równe Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 6 = 36 A iloczyn wyrzuconych oczek wynosi 4. Mamy 3 wyniki sprzyjające A: (1, 4), (2, 2) i. = 3 Odpowiedź: A. 19. Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez Wtedy Liczymy kolejno oznacza wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 1, oznacza wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 2, oznacza wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 3, itd. Zatem: ; każda liczba wyrzuconych oczek dzieli się przez 1, ; (są trzy liczby podzielne przez 2: 2, 4, 6), ; (są dwie liczby podzielne przez 3: 3, 6), ; (tylko jedna liczba dzieli się przez 4: 4), ; (tylko jedna liczba dzieli się przez 5: 5), ; (tylko jedna liczba dzieli się przez 6: 6), Teraz sprawdzamy propozycje odpowiedzi: A. : to 8

9 B. : to 20. Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostka do gry. Niech oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia oczek w tym rzucie. Wtedy Prawdopodobieństwo wyrzucenia oczek (dla ) jest w każdym rzucie rzucie takie samo i wynosi. 21. Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 2 = 8 Są cztery zdarzenia sprzyjające: (O, O, O), (O, R, O), (R, O, O), (R, R, O). Stąd prawdopodobieństwo wynosi: Odpowiedź: C. 22. Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy A. 0 B. 0, C. D. Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych wyników jest: 2 = 8. Są 3 zdarzenia sprzyjające: (O, R, R), (R, O, R), (R, R, O). Prawdopodobieństwo jest więc równe 9

10 23. Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy A. 0 B. 0, C. D. Obliczmy, ile jest zdarzeń elementarnych: 2 = 8. Są 3 zdarzenia sprzyjające: (O, O, R), (O, R, O), (R, O, O). Prawdopodobieństwo jest więc równe Odpowiedź: C. 24. Rzucamy trzy razy symetryczna monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe Obliczmy, ile jest zdarzeń elementarnych: = 36 Sposób I: Jest 7 zdarzeń sprzyjających: Prawdopodobieństwo jest więc równe. Sposób II Jeżeli przez oznaczymy interesujące nas zdarzenie polegające na otrzymaniu co najmniej jednej reszki, to zdarzenie przeciwne polega na otrzymaniu samych orłów. Zatem Odpowiedź: A. 25. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe 10

11 Obliczmy, ile jest zdarzeń elementarnych: = Jest 15 zdarzeń sprzyjających: wylosowano kobietę: Prawdopodobieństwo wybrania kobiety jest równe: Odpowiedź: C. 26. W karcie dań jest 5 zup i 4 drugie dania. Na ile sposobów można zamówić obiad składający się z jednej zupy i jednego drugiego dania? A. 25 B. 20 C. 16 D. 9 Zupę możemy wybrać na 5 sposobów, a drugie danie na 4 sposoby, co daje łącznie sposobów (zasada mnożenia). 27. W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na ty, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy Kulę z każdego z pojemników możemy wybrać na dwa sposoby, więc trzy kule możemy wybrać na sposobów. Zdarzenia sprzyjające są trzy: (c, c, n), (c, n, c), (n, c, c). Prawdopodobieństwo jest więc równe: 28. W pewnej klasie stosunek liczby dziewcząt do liczy chłopców jest równy 4 : 5. Losujemy jedną osobę z tej klasy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to dziewczyna, jest równe: 11

12 Jeżeli dziewcząt jest, a chłopców, to prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny jest równe: 29. Wybieramy liczbę ze zbioru A={2,3,4,5} oraz liczbę ze zbioru B={1,4}. Ile jest takich par, że ich iloczyn jest liczbą nieparzystą? A. 2 B. 3 C. 5 D. 20 Jeżeli iloczyn ma być liczbą nieparzystą, to z każdego ze zborów musimy wybrać liczbę nieparzystą. Zatem z drugiego zbioru musimy wybrać 1, a z pierwszego 3 lub 5. Są więc tylko dwie możliwości; dwie takie pary: (3,1) i (5,1) x x 4 Odpowiedź: A. 30. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech oznacza prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas W podanym zbiorze są 3 wielokrotności liczby 3: 3, 6 i 9. A wylosowano wielokrotność liczby 3 Zatem mamy: I prawdopodobieństwo wynosi: Odpowiedź: A. 12

13 31. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas W podanym zbiorze są trzy liczby podzielne przez 4: 4, 8, 12. A wylosowano liczbę podzielną przez 4. Zatem mamy: I prawdopodobieństwo wynosi: 32. Ze zbioru {0,1,2, 15} losujemy jedna liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby pierwszej jest równe W podanym zbiorze mamy następujące liczby pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11, 13. A wylosowano liczbę pierwszą. Zatem mamy: I prawdopodobieństwo wynosi: 33. Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych {1,2,3,4,,30} losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej jest równe W podanym zbiorze jest 5 kwadratów liczb całkowitych: 1, 4, 9, 16, 25. A wylosowano liczbę, która jest kwadratem liczby całkowitej. Zatem mamy: I prawdopodobieństwo wynosi: 34. Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe 13

14 Liczb dwucyfrowych jest, a liczb podzielnych przez 30 jest 3 : 30, 60, 90. Prawdopodobieństwo jest więc równe: Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi (0 2 pkt) 1. Dane są dwa podzbiory liczb całkowitych: * + i * + Odpowiedź: C. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni. Każdą z liczb możemy wybrać na 5 sposobów, więc W zdarzeniach sprzyjających obie liczby muszą być tego samego znaku, tzn. albo obie są ujemne, albo obie są dodatnie. Dwie liczby ujemne możemy wybrać na sposoby (każdą z liczb na dwa sposoby), a dwie dodatnie na sposobów. Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe: Odpowiedź:. 2. Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka. Wszystkich zdarzeń elementarnych jest Policzmy ile jest zdarzeń sprzyjających. Jeżeli z niebieskiego pudełka wyciągniemy 10, to z czerwonego możemy wyjąć dowolną liczbę mniejszą od 10; jeżeli z niebieskiego wyciągniemy 9, to z czerwonego możemy wyjąć dowolną liczbę mniejszą od 9 itd. Zdarzeń sprzyjających jest więc: 14

15 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo jest równe. 3. Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim 8 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrowa w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego - cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 11. Pierwszą cyfrę można wylosować na 6 sposobów. Drugą cyfrę można wylosować na 8 sposobów. Zatem w ten sposób można ułożyć (reguła mnożenia): liczb dwucyfrowych. Liczby dwucyfrowe podzielne przez 11, złożone z cyfr, które są na kulach to: 11, 22, 33, 44, 55, 66. Jest ich 6. Zatem: Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania liczby dwucyfrowej podzielnej przez 11 wynosi 3. Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 6, a w drugim 7 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 2 do 8. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrowa w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego - cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez 9. Pierwszą cyfrę można wylosować na 6 sposobów. Drugą cyfrę można wylosować na 7 sposobów. Zatem w ten sposób można ułożyć (reguła mnożenia): liczb dwucyfrowych. Liczby dwucyfrowe podzielne przez 9, złożone z cyfr, które są na kulach to: 18, 27, 36, 45, 54, 63. Jest ich 6. Zatem: 15

16 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania liczby dwucyfrowej podzielnej przez 9 wynosi 4. Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek? Cyfrę tysięcy utworzonej liczby możemy wybrać na 9 sposobów (nie może być 0), a cyfrę dziesiątek na 10 sposobów. Cyfrę setek musimy wybrać ze zbioru {0,1,2,3,4,5,6} (żeby cyfra jedności mogła być o 3 większa), czyli na 7 sposobów. Jeżeli chodzi o cyfrę jedności, to nie mamy już żadnego wyboru, bo jest ona wyznaczona jednoznacznie przez cyfrę setek. Jest więc (zasada mnożenia): Odpowiedź: Takich liczb jest 630. takich liczb. 5. Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe nieparzyste. Pierwszą cyfrę liczby, o której mowa w treści zadania musimy wybrać ze zbioru {2,4,6,8}, czyli możemy to zrobić na 4 sposoby. Każdą kolejną cyfrę wybieramy ze zbioru {1,3,5,7,9}, czyli możemy to zrobić na 5 sposobów. Razem daje to nam (zasada mnożenia) Odpowiedź: Takich liczb jest 500. takich liczb. 6. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba oczek w pierwszym rzucie jest o 1 mniejsza od liczby oczek w drugim rzucie. * + Odpowiedź: Prawdopodobieństwo jest równe. 16

17 7. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek będzie podzielny przez 3. A iloczyn wyrzuconych oczek jest podzielny przez 3. Odpowiedź: Prawdopodobieństwo jest równe. 8. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez Obliczamy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, czyli wyników: 2 0 Rysujemy tabelę, w której zaznaczamy zdarzenia sprzyjające, czyli dwie liczby, których iloczyn jest podzielny przez 6: 3 0 Zliczamy zdarzenia sprzyjające:. 4 0 Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: 17

18 Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 9. Ze zbioru cyfr {1,2,3,4,5,6,7,8} losujemy kolejno dwie cyfry (losowanie bez zwracania) i tworzymy liczby dwucyfrowe tak, że pierwsza wylosowana cyfra jest cyfrą dziesiątek, a druga cyfrą jedności. Oblicz prawdopodobieństwo utworzenia liczby podzielnej przez 4. Dwie cyfry z podanego zbioru można wybrać na sposobów. Wypiszmy liczby podzielne przez 4, jakie możemy otrzymać w ten sposób: 12, 16, 24, 28, 32, 36, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76, 84. Takich liczb jest 14. Prawdopodobieństwo jest więc równe: Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 10. Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6. Dwie liczby z podanego zbioru można wybrać na sposobów. Wypiszmy wszystkie możliwe zdarzenia sprzyjające: (5,1), (6,2), (7,1), (7,3), (8,2), (8,4). Tych zdarzeń jest 6. Prawdopodobieństwo jest więc równe: Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi x x 2 x x 3 x 4 x Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 8 lub liczbę podzielną przez 12. Liczb dwucyfrowych jest: 18

19 Liczby dwucyfrowe podzielne przez 8 to: 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96. Jest ich 11. Liczby dwucyfrowe podzielne przez 12 to: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 Jest ich 8, ale tylko 4 z nich nie występują na poprzedniej liście. A ={12, 16, 24, 32, 36, 40, 48, 56, 60, 64, 72, 80, 84, 88, 96}, Prawdopodobieństwo jest więc równe: Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 12. Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 9 lub podzielną przez 12. Liczb dwucyfrowych jest: Liczby dwucyfrowe podzielne przez 9 to: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99. Jest ich 10. Liczby dwucyfrowe podzielne przez 12 to: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 Jest ich 8, ale tylko 2 z nich występują na poprzedniej liście. A ={12, 18, 24, 27, 36, 45, 48, 54, 60, 63, 72, 81, 84, 90, 96, 99}, Prawdopodobieństwo jest więc równe: Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 13. Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych {1,2,3,4,5,6,7} losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba 5. Liczba możliwych wyników: Jest 8 zdarzeń sprzyjających: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4). 19

20 Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe: Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 14. Ze zbioru siedmiu liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3. Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary liczb z podanego zbioru. Liczba możliwych wyników: Zdarzenia sprzyjające oznaczono krzyżykami. Jest ich 16. Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi: Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi (0 4 pkt) 1. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Liczba naturalnych dwucyfrowych 10, 11,, 99 jest 90. Pierwszą liczbę można wylosować na 90 sposobów, a drugą na 89 sposobów, ponieważ losujemy bez zwracania. Dwie liczby można w takim losowaniu wybrać na sposobów. Niepowtarzające się liczby, których suma jest równa 30 to: (10,20), (11,19), (12,18), (13,17), (14,16), (20,10), (19,11), (18,12), (17,13), (16,14). Takich par jest 10. Prawdopodobieństwo wylosowania takiej pary liczb wynosi: 20

21 Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 2. Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6 i iloczyn tych liczb jest nieparzysty. Mamy zatem 3 zdarzenia sprzyjające: (3,5), (5,3), (5,5) Zatem prawdopodobieństwo wynosi Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 3. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Mamy zatem 6 zdarzeń sprzyjających: (2,6), (4,3), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6). Zatem prawdopodobieństwo wynosi Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi 21