KOMBINATORYKA ZADANIA
|
|
- Martyna Olejniczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 KOMBINATORYKA ZADANIA Magdalea Rudź 25 marca Zadaie 1. a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 1.1 a 1,2...,9 0,1...,9 0,1...,9 0,1...,9 0,1...,9 0,1...,9 Pierwszą cyfrę wybieramy a 9 sposóbów, poieważ ie może być to 0. Natomiast każdą koleją cyfrę a 10 sposobów. Zatem otrzymujemy: 1.2 b = = ,2...,9 0,1...,9 0,1...,9 6 0,1...,9 0,1...,9 Pierwszą cyfrę wybieramy a 9 sposóbów, cyfrę setek a 1 sposób, a pozostałe a 10 sposobów, otrzymujemy więc: 2 Zadaie = = a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych o iepowtarzających się cyfrach? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych o iepowtarzających się cyfrach takich, w których cyfra setek to sześć? 2.1 a Pierwszą cyfrę wybieramy a 9 sposobów, drugą a 10 1 = 9 sposobów, poieważ ie możemy wybrać cyfry, która już została wybraa a pierwszym miejscu. Trzecią cyfrę wybieramy więc a 9 1 = 8 sposobów, itd. : =
2 2.2 b Pierwszą cyfrę wybieramy a 8 sposobów (ie może być to 0 ai 6, drugą rówież a 8 sposobów a każdą koleją a o jede sposób miej. Natomiast cyfrę setek tylko a 1 sposób. Otrzymujemy: 3 Zadaie = Ile liczb trzycyfrowych zawiera 3 lub 7? Rozważmy trzy przypadki: 1 3 lub 7 zajdują się a pierwszym miejscu. Na pozostałych miejscach wybieramy dowole cyfry = lub 7 zajdują się a drugim miejscu. Na pierwszym miejscu mamy 7 możliwości (bez trójki, siódemki oraz zera, a a trzecim miejcu wybieramy dowolą cyfrę = lub 7 zajdują się a trzecim miejscu. Na pierwszym miejscu mamy 7 możliwości (bez trójki, siódemki oraz zera, a a drugim 8 (bez trójki i siódemki = 112 Na koiec sumujemy: = Zadaie 4. Ile liczb czterocyfrowych zawiera 0, 3 lub 7? Rozważmy cztery przypadki: 1 3 lub 7 zajdują się a pierwszym miejscu. Na pozostałych miejscach wybieramy dowole cyfry = , 3 lub 7 zajdują się a drugim miejscu. Na pierwszym miejscu mamy 7 możliwości (bez trójki, siódemki oraz zera, a a trzecim i czwartym miejcu wybieramy dowolą cyfrę. 2
3 = ,3 lub 7 zajdują się a trzecim miejscu. Na pierwszym i drugim miejscu mamy 7 możliwości (bez trójki, siódemki oraz zera, a a czwartym wybieramy dowolą cyfrę = ,3 lub 7 zajdują się a czwartym miejscu. Na pozostałych miejscach mamy 7 możliwości (bez trójki, siódemki oraz zera = 1029 Na koiec sumujemy: = Zadaie 5. Grupa zajomych poszła do ciastkari, w której było osiem rodzajów ciastek. Każdy kupił jedo ciastko. Z ilu osób składała się grupa, jeśi wiadomo, że mogło być 512 różych możliwości wyboru? Pierwsza osoba mogła wybrać ciastko a 8 sposobów, druga i każda koleja tak samo. Zatem przyjmijmy że było k osób, wtedy otrzymujemy: 6 Zadaie 6. 8 k = } 8 {{... 8 } = 512 k k = 3 W kawiari, do której przyszło siedem osób było dziesięć gatuków ciastek. Każdy kupił jedo ciastko, przy czym każdy kupił ciastko iego rodzaju. Na ile sposobów moża było kupić ciastka? Pierwsza osoba mogła wybrać ciastko a 10 sposobów, koleja a 9 itd. 7 Zadaie } 9 8 {{ } = Na ile różych sposobów moża ustawić 24 osoby w szereg tak, by a dae trzy osoby stały obok siebie b dae dwie osoby ie stały obok siebie c między daymi dwiema osobami stały dokładie 4 ie osoby? 3
4 7.1 a Trzy osoby stojące obok siebie potraktujemy jako całość. Mamy więc 24 3 = 21 osób, czyli z trójką 22. Te osoby moża ustawić w szereg a 22! sposobów, atomiast trzy osoby stojące obok siebie moża ustawić a 3! sposobów. 7.2 b 22! 3! Sprawdzimy a ile sposobów moża ustawić 24 osoby tak, aby dae dwie osoby stały obok siebie. Mamy 2! sposobów ustawieia tej dwójki oraz 23! sposobów ustawieia pozostałych osób. Odejmijmy to od wszystkich możliwych ustawień: 7.3 c 24! 23! 2! Pomiędzy dwiema osobami muszą stać dokładie cztery ie osoby, taką szóstkę możemy ustawić a 19 sposobów: }{{} 24 Dwie osoby moża ustawić a 2! sposobów, a pozostałe osoby a (24 2! = 22! sposobów. Ostateczie: 19 2! 22! 8 Zadaie 8. W grupie liczącej 6 chłopców i 4 dziewczęta rozlosowai 5 biletów do teatru. Na ile sposobów moża rozlosować bilety? Na ile sposobów moża je rozlosować tak, aby co ajmiej dwa przypadły dziewczętom? Losujemy 5 biletów spośród 6 4 = 10 osób: ( 10 = Co ajmiej 2 bilety muszą przypaść dziewczętom. Mamy więc trzy przypadki: 1. Dziewczętom przypadą 2 bilety ( ( 4 2 a chłopakom pozostałe Dziewczętom przypadą 3 bilety ( ( 4 3 a chłopakom pozostałe Dziewczętom przypadą 4 bilety ( ( 4 2 a chłopakom jede 6 1 Ostateczie: ( ( ( ( ( ( =
5 9 Zadaie 9. Zaa jest zabawka dla dzieci składająca się z dwuastu sześcieych klocków z aklejoymi a ściakach fragmetami obrazków. Na ile sposobów moża ułożyć te klocki w prostokąt (trzy rzędy po cztery klocki w rzędzie? Klocki moża ustawić a 12! sposobów. Każdy klocek moża postawić a jedej z szeciu ścia i obrócić a4 sposoby. Zatem otrzymujemy: 10 Zadaie ! (6 4 ( (6 4 }{{} 12 12! W turieju szachowym bierze udział 26 zawodików. W pierwszym etapie każdy zawodik gra z każdym. Ile di trzeba przezaczyć a te etap, jeżeli każdego dia może zostać rozegraych 25 partii? Pierwszego uczestika wybieramy a 26 sposobów, a drugiego do pary a 25 sposobów, dzielimy przez 2! (ie jest waża kolejość oraz przez 25: 11 Zadaie (2! 25 = 13 Zebrało się 20 szachistów z kraju A i 15 z kraju B. Mają do dyspozycji 9 szachowic. Na ile różych sposobów moża dobrać szachistów do rozegraia pierwszej partii, jeśli przeciwicy muszą pochodzić z różych krajów? Wybieramy 9 osób z 15, 9 osób z 20 i rozdzielamy a 9 szachowic: 12 Zadaie 12. ( 15 9 ( ! Trzeba wytypować delegację złożoą z trzech dziewcząt i dwóch chłopców. Ile takich delegacji moża utworzyć jeśli w klasie jest 18 dziewcząt i 12 chłopców? Wybieramy 3 dziewczyy z 18 i dwóch chłopców z 12: ( 18 3 (
6 13 Zadaie 13. Ile jest fukcji ze zbioru {1,2,3} w zbiór {1,2,3,4}, które a są różowartościowe b ie są różowartościowe 13.1 a Dla pierwszego argumetu mamy 4 możliwości, dla drugiego 3, a dla trzeciego dwie: = b Od wszystkich fukcji odejmujemy te, które są różowartościowe: 14 Zadaie = 40 Ile jest fukcji f ze zbioru {x,y,z} w zbiór {1... }? Ile spośród ich spełia waruek f(2 f(4? Ile spełia waruek f(2 = f(4 = 3? Dla każdego argumetu mamy możliwości: = 3 f(2 wybieramy dowolie a, dlla x = 4 mamy o jedą miej możliwość: ( 1 = 2 ( 1 Dla x = 2 oraz x = 4 mamy ustaloą wartość: 15 Zadaie = Ile jest fukcji f ze zbioru {1,2,3,4,5} w zbiór {1,2,3,4,5,6,7}? Ile spośród ich spełia waruek f(2 f(4? Ile spełia waruek f(2 = f(4 = 3? Dla każdego argumetu mamy 7 możliwości: = 7 5 f(2 wybieramy dowolie a, dlla x = 4 mamy o jedą miej możliwość: = Dla x = 2 oraz x = 4 mamy ustaloą wartość: = 7 3 6
7 16 Zadaie 16. Ile jest fukcji różowartościowych f ze zbioru {1,2,3,4,5} w zbiór {1,2,3,4,5,6,7}? Ile spośród ich spełia waruek f(2 2 Ile spełia waruek f(2 = 2? Dla pierwszego argumetu mamy 7 możliwości, dla drugiego 6, itd.: = 2520 Rozważmy przypadek, gdzie f(2 = 2. Wtedy a drugim miejscu jest tylko jeda możliwość: = 360 Fukcji różowartościowych, dla których f(2 2 jest: 17 Zadaie = 2160 Na ile sposobów moża rozsadzić a 3 osoby a 3-osobowej karuzeli; b 4 osoby a 4-osobowej karuzeli; c osób a -osobowej karuzeli; UWAGA: dwa rozsadzeia uważamy za róże, jeżeli co ajmiej jeda osoba ma co ajmiej z jedej stroy iego sąsiada a Ustalamy miejce dla jedej osoby a pozostałe dwie moża rozsadzić a 2! = 2 sposobów b Ustalamy miejce dla jedej osoby a pozostałe trzy moża rozsadzić a 3! = 6 sposobów c Ustalamy miejce dla jedej osoby a pozostałe 1 moża rozsadzić a ( 1! sposobów. 18 Zadaie 18. Na ile sposobów moża podzielić grupę 8-osobową a dwie grupy: 5- osobową i 3-osobową? Na ile moża podzielić tę grupę a dwie grupy 4-osobowe? (kolejość grup i uporządkowaie osób w grupach ie ma 7
8 zaczeia Wybieramy 5 osób z 8 i 3 osoby z pozostałych 3: ( ( 8 3 = Wybieramy 4 osób z 8 i koleje 4 osoby z pozostałych 4 i dzielimy przez 2!, poieważ kolejość grup ie ma zaczeia: ( 8 ( = 35 2! 19 Zadaie 19. Na ile sposobów moża utworzyć 5 par spośród 10 osób? Wybieramy 2 osoby z 10, astępie 2 osoby z 10 2 = 8, itd. I dzielimy przez 5! ( kolejość grup ie ma zaczeia: ( 10 ( 2 8 ( 2 6 ( 2 4 ( = 945 5! 20 Zadaie 20. Komedat policji ma do dyspozycji 15 policjatów. Na ile sposobów może spośród tych policjatów utworzyć cztery partrole dwuosobowe? Na ile sposobów może utworzyć dwa patrole dwuosobowe i trzy trzyosobowe? Wybieramy 2 osoby z 15, astępie 2 osoby z 15 2 = 13, itd. I dzielimy przez 4! ( kolejość patroli ie ma zaczeia: ( 15 ( 2 13 ( 2 11 ( = ! Wybieramy 2 osoby z 15, 2 osoby z 13,. A astępie 3 osoby z 11, itd. I dzielimy przez 2! 3! ( kolejość patroli ie ma zaczeia: ( 15 ( 2 13 ( 2 11 ( 3 8 ( = ! 3! 21 Zadaie 21. Na ile sposobów moża podzielić grupę 30-osobową a 7 grup: trzy 4-osobowe, dwie 3-osobowe, jedą 7-osobową oraz jedą 5-osobową? Krótko uzasadić. Wybieramy ile będzie wszystkich takich grup, a astępie dzielimy przez silię liczby powtórzeń daej grupy: ( 30 ( 4 26 ( 4 22 ( 4 18 ( 3 15 ( 3 12 ( ! 2! 8
9 22 Zadaie 22. Dzieci bawią się klockami, a których wyrzeźbioe są litery. Układają klocki jede obok drugiego. Ile różych słów mogą utworzyć (wykorzystując wszystkie klocki, gdy układaka składa się z liter słowa: a MARCHEW b ANALFABETA c MATEMATYKA d KONSTANTYNOPOLITAŃCZYKIEWICZÓWNA? 22.1 a Słowo MARCHEW ma 7 liter.żada z ich się ie powtarza więc moża ułożyć = 7! = 5040 słów b Słowo ANALFABETA ma 10 liter. Litera A powtarza się 4 razy więc moża ułożyć 10! 4! = słów c Słowo MATEMATYKA ma 10 liter. Litery M oraz T powtarzają się 2 razy, a litera A 3 razy więc moża ułożyć 10! 2! 2! 4!=37800 słów d Słowo KONSTANTYNOPOLITAŃCZYKIEWICZÓWNA ma 32 litery. Litery K, Y, C, Z, W powtarzają się 2 razy, litery O, T, A, I 3 razy, a litera N 4 razy więc moża ułożyć 32! 2! 2! 2! 2! 2! 3! 3! 3! 3! 4! słów. 23 Zadaie 23. Wykazać, że wśród dowolych 12 liczb zajdą się dwie, których różica jest podziela przez liczb umieszczamy w szufladkach w zależości od tego jaka jest ich reszta z dzieleia przez 11: [0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][10] }{{} 11 Mamy 12 liczb i 11 szufladek, stąd z zasady szufladkowej Dirichleta przyajmiej w jedej szufladce zajdują się 2 liczby. Są oe postaci x = 11k s, y = 11l s, gdzie s = 0,..., 10 (umer szufladki. Wówczas: x y = 11k s 11l s = 11(k l = 11t, t Z 9
10 24 Zadaie 24. Niech A będzie ustaloym dziesięcioelemetowym podzbiorem zbioru {1,2,3,...,50}. Wykazać, że w zbiorze A występują dwa róże pięcioelemetowe podzbiory takie, że sumy elemetów każdego z ich są rówe. Obliczmy ajpierw ile jest wszystkich możliwych podziałów zbioru dziesięcioelemetowego a dwa zbiory pięcioelemetowe: ( 10 5 ( 5 5 = 252 Rozważmy wszystkie możliwe sumy: - ajmiejsza suma będzie dla zbioru {1,2,3,4,5} = ajwiększa suma będzie dla zbioru {46,47,48,49,50} = 240. Więc wszystkich możliwych sum będzie = 226. Czyli mamy 226 szufladek i 252 podziałów, zatem w zbiorze A występują co ajmiej dwa róże pięcioelemetowe podzbiory takie, że sumy elemetów każdego z ich są rówe. 25 Zadaie 25. Ile liczb całkowitych ze zbioru {1,2,3,...,1000} dzieli się przez siedem lub trzyaście? Sprawdzamy ile ilczb jest podzielych przez 7: D 7 = = 142 Sprawdzamy ile ilczb jest podzielych przez 13: D 13 = = 76 Sprawdzamy ile ilczb jest podzielych przez 7 i 13, czyli przez ajmiejszą wspólą wielokrotość tych liczb: Ostateczie: 26 Zadaie 26. D 7 13 = D 91 = = = 208 Ile liczb całkowitych z przedziału od 0 do 349 ie jest podzielych ai przez 4 ai przez 7? Wszystkich liczb w przedziale jest 350. Sprawdzimy ile liczb JEST podzielych przez 4 lub przez 7. Podzielimy przedział 10
11 {0, 1, 2,..., 349} a sumę przedziałów: {0} {1, 2,..., 349}. Weźmy pod uwagę przedział {1, 2,..., 349}: Sprawdzamy ile ilczb jest podzielych przez 4: D 4 = = 87 Sprawdzamy ile ilczb jest podzielych przez 7: D 7 = = 49 Sprawdzamy ile ilczb jest podzielych przez 4 i 7, czyli przez ajmiejszą wspólą wielokrotość tych liczb: D 4 7 = D 28 = = 12 Ale do każdego z wyików musimy dodać 1 (0 jest podziele przez każdą liczbę całkowitą. Otrzymujemy: (12 1 = 125 Odejmujemy ilość liczb podzielych przez 4 lub 7 w przedziale {0, 1,..., 349} od liczby wszystkich liczb w tym przedziale: 27 Zadaie = 225 Ile liczb całkowitych z przedziału od 0 do 538 jest podzielych i przez 5 lub 7 lub 9? Podzielimy przedział {0, 1, 2,..., 538} a sumę przedziałów: {0} {1, 2,..., 538}. Weźmy pod uwagę te drugi: Liczymy dla 5, 7 i 9: D 5 = = 107 D 7 = = 76 D 9 = = 59 Następie dla poszczególych części wspólych: D 5 7 = D 35 = = 15 D 5 9 = D 45 = = 11 D 7 9 = D 63 = = 8 I dla części wspólej 5, 7 i 9: D = D 315 = = 1 Do każdego z wyików musimy dodać 1 (0 jest podziele przez każdą liczbę całkowitą. Otrzymujemy: (15 1 (11 1 ( =
12 28 Zadaie 28. Ile liczb całkowitych ze zbioru {21,22,23,...,2000} jest podzielych przez 9, 11, 13 lub 15? Rozważmy przedział A={1, 2, 3,..., 2000} = {21, 22, 23,..., 2000} {1, 2, 3,..., 20}. D 9 = = 222 D 1 1 = = 181 D 1 3 = = 153 D 1 5 = = 133 D 9 11 = D 99 = = 20 D 9 13 = D 117 = = 17 D 9 15 = D 45 = = 44 D = D 143 = = 13 D = D 165 = = 12 D = D 195 = = 10 D = D 1287 = = 1 D = D 495 = = 4 D = D 585 = = 3 D = D 2145 = = 0 D = D 6435 = = 0 Sumując: = 581 Rozważmy przedział B={1, 2, 3,..., 20}. D 9 = 20 9 = 2 D 1 1 = = 1 D 1 3 = = 1 D 1 5 = = 1 D 9 11 = D 99 = = 0 D 9 13 = D 117 = = 0 Sumując: = 5 Wystarczy odjąć ilość rozwiązań w przedziale B od ilości rozwiązań w przedziale A: =
13 29 Zadaie 29. Ile liczb całkowitych ze zbioru {99,100,101,...,3456} ie jest podzielych ai przez 6, ai przez 7, ai przez 9? Wszystkich liczb w przedziale jest = Sprawdzimy ile liczb JEST podzielych przez 6 lub przez 7, lub przez 9. Rozważmy przedział A={1, 2, 3,..., 3456} = {99, 100, 101,..., 3456} {1, 2, 3,..., 98}. D 6 = = 576 D 7 = = 493 D 9 = = 384 D 6 7 = D 42 = = 82 D 6 9 = D 18 = = 192 D 7 9 = D 63 = = 54 D = D 126 = = 27 Sumując: = 1152 Rozważmy przedział B={1, 2, 3,..., 98}. D 6 = 98 6 = 16 D 7 = 98 7 = 14 D 9 = 98 9 = 10 D 6 7 = D 42 = = 2 D 6 9 = D 18 = = 5 D 7 9 = D 63 = = 1 D = D 126 = = 0 Sumując: = 32 Wystarczy odjąć ilość rozwiązań w przedziale B od ilości rozwiązań w przedziale A: = 1120 Odejmujemy ilość liczb podzielych przez 6, 7 lub 9 w przedziale {99, 100, , 3456} od liczby wszystkich liczb w tym przedziale: 30 Zadaie = 2238 Ile liczb całkowitych ze zbioru {444,...,4444} ie jest podzielych ai przez 6, ai przez 8, ai przez 9? 13
14 Wszystkich liczb w przedziale jest = Sprawdzimy ile liczb JEST podzielych przez 6 lub przez 8, lub przez 9. Rozważmy przedział A={1, 2, 3,..., 4444} = {444,..., 4444} {1, 2, 3,..., 443}. D 6 = = 740 D 8 = = 555 D 9 = = 493 D 6 8 = D 24 = = 185 D 6 9 = D 18 = = 246 D 8 9 = D 72 = = 61 D = D 72 = = 61 Sumując: = 1357 Rozważmy przedział B={1, 2, 3,..., 443}. D 6 = = 73 D 8 = = 55 D 9 = = 49 D 6 8 = D 24 = = 18 D 6 9 = D 18 = = 24 D 8 9 = D 72 = = 6 D = D 72 = = 6 Sumując: = 135 Wystarczy odjąć ilość rozwiązań w przedziale B od ilości rozwiązań w przedziale A: = 1222 Odejmujemy ilość liczb podzielych przez 6, 8 lub 9 w przedziale {444,..., 4444} od liczby wszystkich liczb w tym przedziale: 31 Zadaie = 2779 W kolejce do kia stoi osób (kolejość się ie zmieia. Osoby te wpuszczae są do kia w k grupach, z których każda składa się z jedej lub więcej osób. Na ile sposobów moża utworzyć tych k grup? 14
15 Barierki możemy ustawić po pierwszej osobie, po drugiej,... aż do 1-ej. Więc mamy 1 możliwych ustawień barierek. Spośród tych ustawień musimy wybrać k 1, poieważ żeby utworzyć k grup potrzebujemy k 1 barierek (ostatia grupa wyzaczoa jedozaczie. Otrzymujemy więc: ( 1 k 1 32 Zadaie 32. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 9, gdzie x i jest dodatią liczbą całkowitą? Wyikiem rówaia jest 9, załóżmy że mamy 9 kulek: }{{} 9 Musimy je podzielić a 6 grup (każda grupa musi zawierać co ajmiej 1 kulkę:. Więc spośród 9 1 = 8 możliwych miejsc pomiędzy kulkami musimy wybrać 6 1 = 5 dla barierek, które je oddzielają. Stosujemy wzór z poprzediego zadaia: ( ( = = Zadaie 33. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 9, gdzie x i jest ieujemą liczbą całkowitą? x i są ieujeme, czyli x i 0. Aby móc zastosować wzór ( 1 k 1 musimy do każdego argumetu dodać 1: (x 1 1 (x 2 1 (x 3 1 (x 4 1 (x 5 1 (x 6 1 = 9 6 }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 Ilość rozwiązań rówaia y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 = 15 jest rówa ilości rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 9 i wyosi: ( ( = =
16 34 Zadaie 34. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 31, gdzie x 1 1, x 2 2, x 3 3, x 4 4, x to liczby całkowite? Od każdego argumetu musimy odjąć odpowiedią liczbę całkowitą tak żeby x i x i 1, i = 1, 2,..., 6 (x 1 (x 2 1 (x 3 2 (x 4 3 (x 5 4 (x 6 5 = }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 = 16 Ilość rozwiązań rówaia y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 = 16 jest rówa ilości rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 31 i wyosi: ( ( = = Zadaie 35. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 31, gdzie x 1 > 7, x 2 3, x 3 > 4, x 4 to liczby całkowite? Te waruki rówoważe są warukom: x 1 6, x 2 3, x 3 5, x 4 3, x 5 0, x 6 7 Zamieiamy argumety, tak aby x i x i 1, i = 1, 2,..., 6 (x 1 7 (x 2 2 (x 3 4 (x 4 4 (x 5 1 (x 6 6 = }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 = 31 Ilość rozwiązań rówaia y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 = 31 jest rówa ilości rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 31 i wyosi: ( ( = = Zadaie 36. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 31, gdzie x 1 3, x 2 = 2, x 3 3, x 4 > 4 to liczby całkowite? Te waruki rówoważe są warukom: x 1 3, x 2 = 2, x 3 3, x 4 5, x 5 4, x 6 = 6 Możemy uprościć rówaie podstawiając liczby za x 2 i x 6 : x 1 2 x 3 x 4 x 5 6 = 31 x 1 x 3 x 4 x 5 = 23 Zamieiamy argumety, tak aby x i x i 1, i = 1, 3, 4, 5 (x 1 2 (x 3 4 (x 4 4 (x 5 5 = }{{}}{{}}{{}}{{} y 1 y 3 y 4 y 5 16
17 y 1 y 3 y 4 y 5 = 26 Ilość rozwiązań rówaia y 1 y 3 y 4 y 5 = 26 jest rówa ilości rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 31 i wyosi: ( ( = = Zadaie 37. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 17, gdzie x 1 4, x 2 = 3, x 3 > 2, x 4 = 1, x 5 5, x 6 > 1, x 7 2 to liczby całkowite? Te waruki rówoważe są warukom: x 1 4, x 2 = 3, x 3 3, x 4 = 1, x 5 5, x 6 0, x 7 1 Możemy uprościć rówaie podstawiając liczby za x 2 i x 4 : x 1 3 x 3 1 x 5 x 6 x 7 = 17 x 1 x 3 x 5 x 6 x 7 = 13 Zamieiamy argumety, tak aby x i x i 1, i = 1, 3, 5, 6, 7 (x 1 3 (x 3 2 (x 5 4 (x 6 1 (x 7 2 = }{{}}{{}}{{}}{{}}{{} y 1 y 3 y 5 y 6 y 7 y 1 y 3 y 5 y 6 y 7 = 7 Ilość rozwiązań rówaia y 1 y 3 y 5 y 6 y 7 = 7 jest rówa ilości rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 y 7 = 17 i wyosi: ( ( = = Zadaie 38. Ile jest rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 99, gdzie x 1 2, x 2 > 5, x 3 3, x 4 = 4, x 5 > 5, x 6 1, x 7 = 1 to liczby całkowite? Te waruki rówoważe są warukom: x 1 2, x 2 4, x 3 3, x 4 = 4, x 5 6, x 6 1, x 7 = 1 Możemy uprościć rówaie podstawiając liczby za x 4 i x 7 : x 1 x 2 x 3 4 x 5 x 6 1 = 99 x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 = 96 Zamieiamy argumety, tak aby x i x i 1, i = 1, 2, 3, 5, 6 (x 1 1 (x 2 5 (x 3 2 (x 5 5 (x 6 2 = }{{}}{{}}{{}}{{}}{{} y 1 y 2 y 3 y 5 y 6 y 1 y 2 y 3 y 5 y 6 = 95 Ilość rozwiązań rówaia y 1 y 2 y 3 y 5 y 6 = 95 jest rówa ilości rozwiązań rówaia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 y 7 = 99 i wyosi: ( ( = =
18 39 Zadaie 39. Stosując każdą z podaych metod pokazać, że ( 2 ( 2 ( 2 ( 2 ( 2... = a Zastosować rowzwiięcie wyrażeia (1 x 2. b Rozważyć wybór osób ze zbioru 2 osób, który składa się z mężczyz i kobiet. c Zliczyć ajkrótsze drogi w odpowiediej kracie b Treść: Spośród 2 osób ( kobiet i mężczyz wybieramy osób. Na ile sposobów możemy to zrobić? Sposób 1. Wybieramy osób z 2 ( 2 = P. Sposób 2. Możemy wybrać: - 0 kobiet ( ( 0 musimy wybrać mężczyz - 1 kobietę ( ( 1 musimy wybrać 1 mężczyz 1. - kobiet ( ( musimy wybrać 0 mężczyz 0 Więc mamy : ( ( ( ( ale ze wzoru ( ( k = k otrzymujemy: ( ( ( ( 0 0 ( Ostateczie L = P, czyli : ( 2 ( Zadaie ( = ( ( 2 0 Pokazać, że: a ( ( = ; k k b ( 1 = k ( ( 2 = ( ( ; k k 1 18 ( 0 ( ( 2 ( 2 = L.
19 c ( ( 1 k = ; k k 1 d ( k 1 = k 1 ( k 0 ( 1 k 1 ( k 1 ( 1 k 2 ( k 2 ( 1 k 3 ( k... k 1 ( 1 0 ; e ( ( f ( ( 0 k ( 1 ( 1 k 1 ( ( 3... = 2 1 ; 3 ( 2 ( 2... k 2 ( k ( ( k = 2 k ; 0 k 40.1 a Treść: Na ile sposobów moża wybrać k osób z? Sposób 1. ( k = L. Sposób 2. Wybieramy osoby, które ie zostaą wybrae: ( k = P. Stąd L = P, czyli ( ( = k k 40.2 b Treść: Na ile sposobów moża wybrać z grupy 1 osób, z której jeda to starosta, k osób? Sposób 1. ( 1 k = L. Sposób 2. Rozważmy dwa przypadki: - Starosta ależy do grupy ( k 1 - Starosta ie ależy do grypy ( k Zdarzeia są rozłącze, więc ( ( k 1 k = P. Stąd L = P, czyli: ( ( ( 1 = k k k 1 19
20 40.3 c Treść: W pewej szkole jest osób. Na ile sposobów moża wybrać spośród ich k osób, które otrzymają stypedium oraz jedą spośród agrodzoych, która dostaie ideks? Sposób 1. Wybieramy k osób z i dodatkowo jedą z k osób: ( k( l 1 = ( k k = L. Sposób 2. Wybieramy osobę która otrzyma ideks, a z pozostałych wybieramy resztę agrodzoych: ( 1 k 1 = P. Ostateczie L = P, czyli : 40.4 d ( ( 1 k = k k 1 Treść: W jedym z wagoów pociągu jest k miejsc siedzących, w tym jedo dla iwalidy. Na stacji wsiada do iego k kobiet oraz mężczyz, w tym jede iwalida (który zajmuje swoje miejsce. Na ile sposobów moża posadzić resztę osób? Sposób 1. Ze wszstkich osób wybieramy osoby, które usiądą: ( k 1 = L. Sposób 2. Możemy wybrać: - 0 kobiet ( ( k 1 0 k 1-1 kobietę ( k 1 ( 1 k 2 = P. Osta-. - k 1 kobiet ( ( k 1 k 1 0 Zdarzeia są rozłącze, więc ( ( k 1 ( 0 k 1 k 1 teczie L = P, czyli : ( ( ( ( ( k 1 k 1 k 1 = k 1 0 k 1 1 k e ( 1 k 2... ( k k 1 ( 1 k 1 0 ( ( ( ( k 1 k k 3 k 1 0 Treść: Na loterii jest losów, w tym część wygrywających (jede z ich upraia do poowego losowaia. Na ile sposobów moża wyciągąć te jede los? Ozaczmy przez k liczbę wygrywających losów. ( ( 1 Sposób }{{} k=1 ( ( }{{} k=2 ( (... 1 }{{} k= = ( 1 2 ( 2... ( = L. Sposób 2. Ze wszystkich losów wybierzmy los uprawiający do astępego losowaia, o każdym astępym decydujemy czy jest wygrywający, czy ie: ( }{{} 1 = 2 1 = P. 20
21 Ostateczie L = P, czyli : ( ( ( ( = f Treść: W meu jest potraw, a ile sposobów możemy zamówić k z ich i o każdej z zamówioych potraw zdecydować czy ją zjemy czy ie? Sposób 1. Wybieramy k potraw z i o każdej decydujemy czy zostaie zjedzoa czy ie: ( k }{{} Sposób 2. Możemy zjeść: - 0 potraw ( 0( k - 1 potrawę ( ( 1 1 k 1 k = ( k 2 k = P.. - k potraw ( ( k k 0 Zdarzeia są rozłącze, więc ( ( 0( k ( 1 ( 1 k 1... ( k k 0 = L. Ostateczie L = P, czyli : ( ( ( ( ( ( ( ( ( 1 2 k... = 2 k 0 k 1 k 1 2 k 2 k 0 k 21
Kombinatoryka. Karolina Lewalska 23 marca 2017
Kombiatoryka Karolia Lewalska 23 marca 2017 Zadaie 1 Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? Ile istieje liczb sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 9 10 10 10 10 10 Pierwszą cyfrę
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości
Sceariusz lekcji: Kombiatoryka utrwaleie wiadomości 1 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: za pojęcia: permutacja, wariacja i kombiacja, zdarzeie losowe, prawdopodobieństwo, za iezbęde wzory. b) Umiejętości
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz:
Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C A B C Zadanie 1
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoTypy zadań kombinatorycznych:
Typy zadań kombinatorycznych: I. Ustawianie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności Przestawieniem nazywamy ustawienie elementów danego zbioru w pewnej kolejności. Liczba przestawień określa na
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoPodstawowe cechy podzielności liczb.
Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoZADANIA - ZESTAW 2. Zadanie 2.1. Wyznaczyć m (n)
ZADANIA - ZESTAW Zadaie.. Wyzaczyć m (), D ( ) dla procesu symetryczego (p = q =,) błądzeia przypadkowego. Zadaie.. Narysuj graf łańcucha Markowa symetrycze (p = q =,) błądzeie przypadkowe z odbiciem.
Bardziej szczegółowo1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767
Egzami maturaly z iformatyki Zadaie. (0 pkt) Każdy z puktów tego zadaia zawiera stwierdzeie lub pytaie. Zazacz (otaczając odpowiedią literę kółkiem) właściwą kotyuację zdaia lub poprawą odpowiedź. W każdym
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie)
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie) (1) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć używając jedynie cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8? (2) Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoCiąg geometryczny i jego własności
Ciąg geometryczy Def: Ciągiem geometryczym (a) azywamy ciąg liczbowy co ajmiej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje z pomożeia wyrazu poprzediego przez stałą liczbę q, zwaą
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 1. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń
Kombiowaie o ieskończoości.. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch marzec 208 Szybkie przypomieie z wykładu Prezetacja multimediala do wykładu. Permutacje,
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna zestaw II ( )
Matematyka dyskretna zestaw II (17-18.10.2016) Uwaga: Część z zadań z tego zestawu opiera się na zasadzie szufladkowej Dirichleta. Zadanie 1. Na ile sposobów można umieścić w 7 szufladach 3 koszule tak,
Bardziej szczegółowo1. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru
. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru Bernadeta Tomasz Zadania dodatkowe Zadanie.. Mamy do wyboru mieszkania i auta. Na ile sposobów można dokonać wyboru, jeśli. mamy wybrać mieszkanie i samochód,.
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN KOMBINATORYKA
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA 12 GRUDNIA 2011 CZAS PRACY: 45 MIN. ZADANIE 1 Spośród liczb {1, 2, 3,..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoKlasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013
/7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoTematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa
Tematy zadań razy przykładowe zadaia maturale Matura podstawowa Porówaj liczby: 54 + 5 oraz 4 W klasie jest 9 ucziów o średiej wieku 6 lat Średia wieku wzrośie o rok, jeżeli doliczy się wiek wychowawcy
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie
Bardziej szczegółowoTytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała
Szkoła Odkrywców Taletów Tytuł zajęć: Fukcja liiowa zajęcia dodatkowe dla gimazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Opis zajęć: Ucziowie w gimazjum dobrze pozają własości fukcji Ucziowie przygotowujący
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zadanie PP RP 1. Z pojemnika, w którym znajdują się cztery losy z numerami 112, 121, 211, 212 losujemy trzy razy po jednym losie, po każdym losowaniu zwracając wylosowany los do pojemnika. Oblicz prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoliczb naturalnych czterocyfrowych. Mamy do dyspozycji następujące cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. g) Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych?
KOMBINATORYKA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI 1. Udziel odpowiedzi na poniższe pytania: a) Ile jest możliwych wyników w rzucie jedną kostką? W rzucie jedną kostką możemy otrzymać jeden spośród następujących wyników:
Bardziej szczegółowoMateriał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi
Materiał powtarzay w II etapie II. Ciągi 3 1, dla parzystych 1. Wyzacz sześć początkowych wyrazów ciągu a = { +1, dla ieparzystych. Które wyrazy ciągu a = są rówe 1? 3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9/14 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoIV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce
IV Uiwersyteca Sobota Matematycza 4 wietia 208 Fucje tworzące w ombiatoryce Dla ciągu a 0 a a 2... defiiujemy fucję tworzącą: G(x) = a x = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + =0. Zajdź fucje tworzące dla poiższych
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera
Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoCiągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska
Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA
KOMBINATORYKA I P-WO CZ.1 PODSTAWA ZADANIE 1 (1 PKT) Pan Jakub ma marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy I Struktury Danych Prowadząca: dr Hab. inż. Małgorzata Sterna. Sprawozdanie do Ćwiczenia 3 Algorytmy grafowe ( )
Poiedziałki 11.45 Grupa I3 Iformatyka a wydziale Iformatyki Politechika Pozańska Algorytmy I Struktury Daych Prowadząca: dr Hab. iż. Małgorzata Stera Sprawozdaie do Ćwiczeia 3 Algorytmy grafowe (26.03.12)
Bardziej szczegółowo