PODSTAWOWE POJĘCIA OPTYMALIZACJI [M. Ostwald: Podstawy optymalizacji konstrukcji, Wyd. Politechniki Poznańskiej, 2005]

Transkrypt

1 PODSTAWOWE POJĘCIA OPTYMALIZACJI [M. Ostwald: Podstaw optmalizacji konstrukcji, Wd. Politechniki Poznańskiej, 2005] POW Problem optmalnego wboru PWOW Problem wielokrterialnego wboru OW Optmalizacja wielokrterialna (wektorowa, polioptmalizacja) OS Optmalizacja skalarna (jednokrterialna) Struktura problemów optmalizacji Informacje dodatkowe (uzupełniające) Wmagania projektowe Zbiór wariantów Nadrzędne krterium optmalizacjne PROCES WYROBU Wariant optmaln lub satsfakcjonując Deczja Nie Tak Schemat procesu wboru Problem projektow Sstem wartości Konfrontacja Analiza Informacja Definicja Nadrzędne krterium optmalizacji Zadaniowe krterium optmalizacji Kreacja Snteza Modelowanie Optmalizacja Eksperment Ocena Zbiór wariantów Wmagania projektowe I N N E Z A D A N I A Deczja Tak Dokumentacja konstrukcjna Werfikacja doświadczalna Nie ROZWIĄZANIE Uproszczona struktura optmalnego procesu projektowania 19. Podstawowe pojęcia optmalizacji 98

2 Krteria optmalizacjne, zmienne deczjne, ograniczenia Optmalizacja jest dziedziną wiedz zajmującą się metodami wboru optmalnch działań związanch z aktwnością człowieka w sferze techniki, gospodarki itp. Optmalizacja konstrukcji zajmuje się zagadnieniami związanmi z wborem parametrów kształtu i cech fizcznch szeroko rozumianch konstrukcji. W zagadnieniach technicznch konstrukcja to pojedncz element (pręt, wał, belka), zbiór elementów, części maszn i urządzeń, maszna, zbiór maszn i urządzeń itd. Kształt konstrukcji to nie tlko wmiar geometrczne, ale właściwości fizczne, wtrzmałościowe cz odkształceniowe konstrukcji. Stąd często snonimem optmalizacji jest określenie kształtowanie wtrzmałościowe. Kształt konstrukcji jest określon za pomocą parametrów konstrukcji. Do parametrów konstrukcji należą: topologia konstrukcji (liczba i tp elementów konstrukcji), kształt przekrojów poprzecznch, wmiar przekrojów, rodzaj materiału, ciężar, właściwości fizczne, chemiczne i mechaniczne materiału, drgania konstrukcji, moc, zużcie energii, sprawność, funkcjonalność, parametr eksploatacjne, kolor, parametr ergonomiczne i wiele innch. Parametrami konstrukcji są wszstkie atrbut charakterzujące jej kształt, wmiar, moc, obrot itp. są to parametr wmierne, dające się przedstawić za pomocą abstrakcjnch pojęć matematki. Oprócz tego konstrukcja jest opisana za pomocą parametrów niewmiernch, takich jak na przkład estetka, wgląd itp., opisanch za pomocą pojęć rozmtch. Parametr mogą bć ustalone przed rozpoczęciem procesu projektowania, mogą też bć określane za pomocą procedur optmalizacjnch i wted te parametr są nazwane zmiennmi deczjnmi (zmiennmi projektowmi). KRYTERIUM OPTYMALIZACYJNE jest podstawowm pojęciem optmalizacji, za pomocą którego dokonuje się porównania poszczególnch rozwiązań. Krterium wrażone w jęzku matematki jest nazwane funkcją celu. Krterium optmalizacjne jest wbierane w początkowej fazie projektowania, musi spełniać wmogi projektowania optmalnego, może bć wbrane spośród parametrów konstrukcji, może bć kombinacją wielu parametrów. Uniwersalnm miernikiem jakości rozwiązań konstrukcjnch jest koszt konstrukcji. Problemem deczjnm jest wrażenie kosztów za pomocą parametrów. MODEL MATEMATYCZNY KONSTRUKCJI Model matematczn konstrukcji składa się z: funkcji celu (lub zbioru funkcji celów), będącej matematcznm zapisem krterium optmalizacjnego, zbioru zmiennch deczjnch oraz pozostałch parametrów opisującch konstrukcję, zbioru ograniczeń (warunków ograniczającch). Klasfikacje modeli matematcznch Ze względu na parametr zadania: Model deterministczn, gd wszstkie parametr są zdeterminowane (tzn. znane i stałe). Każdej możliwej deczji odpowiada jedna i tlko jedna wartość funkcji celu. 19. Podstawowe pojęcia optmalizacji 99

3 Model probabilistczn, gd jeden lub kilka parametrów są zmiennmi losowmi o znanm rozkładzie prawdopodobieństwa. Model statstczn, gd jeden lub kilka parametrów są zmiennmi losowmi o nieznanm rozkładzie prawdopodobieństwa lub gd jest znan rozkład parametrów w funkcji czasu (proces stochastczn). Ze względu na charakter zbioru zmiennch deczjnch: Model optmalizacji dskretnej, gd zbiór zmiennch deczjnch jest skończonm zbiorem wartości dskretnch, np. zgodnch z normami. Model optmalizacji ciągłej, bez ograniczenia zakresu zmiennch. Ze względu na liczbę funkcji celów (krteriów optmalizacjnch): Model optmalizacji skalarnej, gd zadanie wkorzstuje tlko jedną funkcję celu. Model optmalizacji wielokrterialnej (wektorowej), z kilkoma funkcjami celów. Ze względu na rodzaj funkcji celu oraz ograniczeń: Model liniow, gd zarówno funkcja celu, jak i wszstkie ograniczenia są funkcjami liniowmi. Model nieliniow, gd funkcja celu lub chociaż jedno z ograniczeń ma charakter nieliniow. Budowa modelu matematcznego optmalizacji konstrukcji jest działaniem wpisanm w proces projektowania optmalnego, stąd tworząc model, należ wkorzstwać podejście sstemowe. Budowa modelu obejmuje: 1. określenie funkcji celu, 2. określenie zmiennch deczjnch, 3. określenie obszaru dopuszczalnego (obszaru rozwiązań dopuszczalnch). Wbór procedur optmalizacjnej Jednm z ważnch etapów optmalnego projektowania konstrukcji jest wbór właściwej procedur optmalizacjnej, jako narzędzia do rozwiązania problemu inżnierskiego. Wbór ten nie jest sprawą prostą, gdż, nie ma jednej uniwersalnej metod, jednakowo efektwnej dla wszstkich problemów inżnierskich. Można tu mówić nawet o pewnej barierze pschologicznej związanej z bogactwem procedur i utrudniającej dokonanie optmalnego wboru procedur do rozwiązania zadania optmalizacji. Jest to więc przkład optmalizacji w optmalnm projektowaniu. Aspekt związane z wborem procedur: 1. Rodzaj rozpatrwanego problemu (problem liniow cz nieliniow). 2. Wielkość problemu, liczbę zmiennch deczjnch, liczbę ograniczeń. 3. Liczba krteriów optmalizacjnch (problem skalarn cz wektorow (wielokrterialn)). 4. Rodzaj zmiennch deczjnch (zmienne ciągłe cz dskretne). 5. Rodzaj ograniczeń. 6. Konieczność obliczania pochodnch funkcji celu i ograniczeń. 19. Podstawowe pojęcia optmalizacji 100

4 7. Wmagana dokładność obliczeń. 8. Wmagana niezawodność wznaczania minimum globalnego. 9. Dostęp do gotowego oprogramowania. 10. Łatwość adaptacji gotowego oprogramowania do konkretnego zadania. 11. Informacja o efektwności danej procedur w podobnch problemach inżnierskich. 12. Łatwość wprowadzania i interpretowania wników (interfejs graficzn). OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA wielokrterialna, wektorowa, wielowmiarowa, wielowskaźnikowa, polioptmalizacja F. Y. Edgeworth (1881) Vilfredo Pareto (1896) optimum w sensie Pareto, rozwiązanie Pareto optmalne Projektowanie optmalne: 1) Projektant (decdent) ma możliwość wboru rozwiązania konstrukcjnego (wariantu, deczji) z pewnego zbioru rozwiązań (deczji) dopuszczalnch. 2) Projektant (decdent) dsponuje stworzonm przez siebie lub narzuconm z gór sstemem wartości pozwalającm na ocenę rozwiązań (deczji). 3) Projektant (decdent) potrafi orzec, prznajmniej w stosunku do niektórch par rozwiązań, które z tch par uznaje za lepsze które preferuje ze względu na przjęt sstem wartości. 4) Projektant (decdent) potrafi uzasadnić i obronić satsfakcjonując go wbór, w jego ocenie optmaln. Optmalizacja wielokrterialna: zbiór rozwiązań optmalnch o różnm stopniu kompromisu (relacji) pomiędz poszczególnmi krteriami. PREFERENCJE: (deczja) 1) wbrać jedno rozwiązanie i uznać je za najlepsze, 2) wbrać podzbiór rozwiązań ze zbioru rozwiązań optmalnch, 3) ustawić wszstkie rozwiązania w szereg od najlepszego do najgorszego, czli utworzć listę rankingową. K O M P R O M I S Kompromis niezgodn z przjętm sstemem wartości nie prowadzi do rozwiązań optmalnch. Zastosowania procedur optmalizacji wielokrterialnej w zarządzaniu 19. Podstawowe pojęcia optmalizacji 101

5 Teoria sstemów: S = (E, A, R) Optmalizacja wielokrterialna: OW = (X, F, R). X zbiór rozwiązań dopuszczalnch, F funkcja krteriów, R relacja dominowania. Optmalizacja skalarna: OW = (X, F, ). a) R n Przestrzeń zmiennch deczjnch x 6 X x 1 x 2 x 3 x 5 x 4 x 7 f : R n R 1 F 3 = min Y R 1 b) R n Przestrzeń zmiennch deczjnch Przestrzeń krterialna (funkcji celów) R q F 2 x x 1 2 x 5 x 4 x 6 f 2 max Punkt Nadira 7 Rozwiązanie antidealne x 8 x 3 x 7 f : R n R q (f :X Y) f 2 min f 1min f 1 max F 1 Modele optmalizacji: a) skalarnej, b) wielokrterialnej 19. Podstawowe pojęcia optmalizacji 102