Z funkcji zdaniowej x + 3 = 7 można otrzymać zdania w dwojaki sposób:

Transkrypt

1 Z funkcji zdaniowej + 3 = 7 można otrzmać zdania w dwojaki sposób: podstawiając w tej funkcji zdaniowej za stałe będące nazwami liczb np. 4 2 itp. poprzedzając tę funkcję zdaniową zwrotami: dla każdego istnieje taki że. Zdanie Dla każdego + 3 = 7 jest zdaniem fałszwm. Zdanie Istnieje taki że + 3 = 7 jest zdaniem prawdziwm. Wrażenie dla każdego wstępujące w kontekstach tego rodzaju nazwa się kwantfikatorem ogólnm. Wrażenie istnieje taki... że wstępujące w kontekstach tego rodzaju nazwa się kwantfikatorem szczegółowm. Zmienna wstępująca prz kwantfikatorze służ do zaznaczenia do której zmiennej wstępującej w zasięgu kwantfikatora odnosi się ten kwantfikator. Np. w zdaniu Dla każdego istnieje taki że > kwantfikator ogóln odnosi się do zmiennej wstępującej w funkcji zdaniowej > a kwantfikator szczegółow do zmiennej. Każd jest studentem. Istnieje ktoś kto jest studentem. Dowolna liczba naturalna jest większa lub równa 0. Istnieje liczba rzeczwista większa lub równa 0. Barbara Głut 1

2 Smbole kwantfikatorów: kwantfikator ogóln duż też: kwantfikator szczegółow mał egzstencjaln też: Wrażenia zdaniowe zawierające kwantfikator składają się z trzech części: smbolu kwantfikatora zmiennej wskaźnika do której odnosi się kwantfikator którą kwantfikuje którą wiąże wraz z podaniem zakresu zmienności tej zmiennej wrażenia zdaniowego stanowiącego zasięg kwantfikatora. z Całe wrażenie zbudowane w ten sposób - wrażenie zdaniowe. Barbara Głut 2

3 Zasięg kwantfikatora ujmujem w nawias. Np. zasięgiem kwantfikatora w wrażeniach [ > 1 < 3] są odpowiednio wrażenia >1 <3 >1 > 1 < 3 Zasięgiem kwantfikatora wstępującego w danm wrażeniu jest część tego wrażenia będąca również wrażeniem zdaniowm ujęta w parę jednakowch nawiasów z którch pierwsz wstępuje bezpośrednio po danm kwantfikatorze. Umowa: Ab uniknąć nagromadzenia nawiasów przjmuje się umowę że kwantfikator wiążą mocniej niż funktor zdaniotwórcze co pozwala opuszczać nawias wszędzie tam gdzie nie spowoduje to niejasności prz odcztwaniu wrażeń. Zgodnie z umową wrażenie oznacza to samo co: Barbara Głut 3

4 Kwantfikator wiąże odpowiednie zmienne tlko wted gd znajdują się w jego zasięgu. Zmienna jest zmienną wolną wrażenia wted i tlko wted gd nie wstępuje w zasięgu żadnego kwantfikatora którego wskaźnikiem jest. Zmienna jest związana przez dan kwantfikator którego jest wskaźnikiem wted i tlko wted gd wstępuje w jego zasięgu i w zasięgu tm jest zmienną wolną. Np.: zmienna wstępująca w wrażeniu jest wolna zmienna wstępująca w wrażeniu jest związana przez kwantfikator ogóln W wrażeniu 1 = 3 2 = 4 + zmienna związana przez kwantfikator ogóln bo wstępuje w jego zasięgu i jest w tm zasięgu zmienną wolną nie jest związana przez kwantfikator ogóln chociaż wstępuje w jego zasięgu ale nie jest w tm zasięgu zmienną wolną. Zmienną danego wrażenia nazwam związaną wted i tlko wted gd jest w tm wrażeniu związana przez pewien kwantfikator. Barbara Głut 4

5 Funkcja zdaniowa jednoargumentowa: > 0 - opisuje pewną własność: jest dodatnie. Wrażenie to poprzedzone kwantfikatorem: staje się zdaniem. Wrażenie funkcja zdaniowa dwuargumentowa: z < z - opisuje pewną relację. oprzedzone kwantfikatorem: < z definiuje pewną własność liczb : jest najmniejszą z rozważanch liczb. Wrażenie staje się funkcją zdaniową jednoargumentową: z z z > 0 odobnie Qz + = z z + = z z + = z + = z relacja trójargumentowa. opisuje już relację dwuargumentową opisuje własność liczb jest zdaniem. Dane wrażenie jest zdaniem jeśli nie wstępują w nim zmienne wolne. Barbara Głut 5

6 rawa rachunku kwantfikatorów Schemat funkcji zdaniowch i zdań prawdziwch zbudowane z funkcji zdaniowch wjściowch za pomocą funktorów zdaniotwórczch i kwantfikatorów o tej własności że prawdziwość ich wnika jednie ze sposobu w jaki są zbudowane a nie z treści wstępującch w nich pojęć pozalogicznch. Założenie: zakresami wszstkich zmiennch są dowolne lecz ustalone niepuste zbior. rawa de Morgana Nie istnieją przedmiot o danej własności wted i tlko wted gd żaden przedmiot nie ma tej własności. Nie każd przedmiot ma daną własność wted i tlko wted gd istnieją przedmiot nie mające tej własności. Barbara Głut 6

7 Barbara Głut 7 rawa rozkładu kwantfikatorów rawa rozkładu kwantfikatorów Kwantfikator ogóln jest rozdzieln względem koniunkcji. Kwantfikator szczegółow jest rozdzieln względem alternatw.

8 Barbara Głut 8 rawa przestawiania kwantfikatorów rawa przestawiania kwantfikatorów rawa negowania rawa negowania

9 Barbara Głut 9 Kwantfikator o zakresie ograniczonm przez funkcję Kwantfikator o zakresie ograniczonm przez funkcję zdaniową zdaniową Dla każdego spełniającego jest. Istnieje spełniające takie że jest. rawa negowania rawa negowania

10 ostać normalna prefiksowa prefiksowa Definicja: Formuła α jest w postaci normalnej wted i tlko wted gd jest ona postaci: Q Q n n μ gdzie: Q k k to lub 1 k n k μ - formuła bez kwantfikatorów. Układ ewentualnie pust kwantfikatorów Q Q n n nazwam przedrostkiem prefiksem a formułę μ nazwam matrcą formuł α. Twierdzenie: Dla każdej formuł α istnieje równoważna formuła o postaci normalnej posiadająca dokładnie te same zmienne wolne co α. k Metoda sprowadzania formuł do postaci normalnej 1 weliminować spójniki korzstając z: αβ αβ βα αβ αβ 2 wprowadzić znak negacji bezpośrednio przed smbole atomowe: α α αβ α β αβ αβ α[] α[] α[] α[] α[] - formuła w której wstępuje zmienna. Barbara Głut 10

11 3 przesunąć kwantfikator do przedrostka na podstawie reguł: Q α[] β Q α[] β Q α[] β Q α[] β α[ ] β[ ] α[ ] β[ ] α[ ] β[ ] α[ ] β[ ] Q 1 α[] Q 2 β[] Q 1 Q 2 z α[] β[z] Q 1 α[] Q 2 β[] Q 1 Q 2 z α[] β[z] z nie może wstępować w formule α. Metoda pokazuje że każd kwantfikator ukrt pod którmś ze spójników logicznch może bć jakoś wniesion przed całe wrażenie. rzkład: z Q z z Q z z Q z z Q z przedrostek matrca Barbara Głut 11