Belki zespolone 1. z E 1, A 1

Transkrypt

1 Belki espolone. DEFINIC Belki espolone to belki, którch prekrój poprecn składa się co najmniej dwóch materiałów o różnch własnościach ficnch (różne moduł Younga i współcnniki Poissona), pr cm apewnione jest trwałe połącenie poscególnch cęści.. ZŁOŻENI.. Onacenia Załóżm tmcasowo (włącnie dla uproscenia dalsej anali), że prekrój belki składa się jednie dwóch materiałów i prjmijm następujące onacenia wielkości wstępującch na rsunku :, - osie główne centralne prekroju traktowanego jak prekrój jednorodn (osie geometrcne be uwględniania różnch własności materiału) C, C - środki ciężkości odpowiednio: całego prekroju, cęści i cęści wrażone w układie (, ), - pola powierchni odpowiednio: cęści i cęści E, E - moduł Younga odpowiednio: materiału cęści i cęści Rs. E, C M C c x N C E, c.. Założenia prekrój posiada pionową oś smetrii, a obciążenie leż w płascźnie utworonej pre tę oś i oś podłużną belki obowiąuje hipotea płaskich prekrojów (odkstałcenia mieniają się liniowo po wsokości prekroju) ε x ε o + κ () jednm nieerowm naprężeniem normalnm jest naprężenie σ x. Z równań Hooke a wnika atem, że w poscególnch cęściach materiału musą achodić relacje: σ E ( ε + κ ) σ E ( ε + κ )) () x.. Warunki równoważności sił ewnętrnch i wewnętrnch o x Pr wnacaniu funkcji naprężenia normalnego skorstam twierdenia o równoważności układu sił ewnętrnch i wewnętrnch. Wnikają niego następujące równania równowagi x x x N σ d σ d+ σ d κ N ε E + E + E S + E S o () x x x M σ d σ d + σ d κ M ε E S + E S + E + E o (4) o

2 Belki espolone gdie S, S,, to odpowiednio moment statcne i moment bewładności cęści i oblicone wględem geometrcnch osi ciężkości (, ). Z równań () i (4) widać, że wstępuje sprężenie tw. stanu tarcowego (objawiającego się mianą długości osi pręta) i giętnego (objawiającego się ugięciem osi pręta). W scególności rów. () widać, że np. siła osiowa N wwołuje nie tlko odkstałcenie osi, ale także jej ugięcie, co jest naturalną konsekwencją różnch własności ficnch prekroju. Zauważm, że gdb materiał bł jednorodn, tn. E E E to : ( ) N ε E+ κ E S + S ε E o o (moment statcn prekroju wg. osi ciężkości 0) i stan giętn wwołan siłą podłużną N nie wstępuje. Z rów. (4) widać kolei, że moment ginając powoduje nie tlko ugięcie osi, ale także jej odkstałcenie liniowe (tn. wdłużenie bądź skrócenie). Dla materiału jednorodnego otrmalibśm: ( ) ( ) M ε E S + S + κ E + κ E o a atem równanie jak w klascnm prostm ginaniu belek o prekroju jednorodnm. Stan tarcow wwołan momentem ginającm w takim wpadku nie wstępuje. Biorąc pod uwagę powżse uwagi, można postawić ptanie c i w prpadku belek o prekrojach niejednorodnch materiałowo nie dałob się prjąć takiej fikcjnej osi ciężkości ( fikcjnej, gdż ależnej nie tlko od wmiarów geometrcnch poscególnch cęści prekroju, ale i ich własności ficnch), która umożliwiłab rodielenie stanu tarcowego i giętnego (co onaca, że siła osiowa wwołuje tlko mianę długości osi, a moment ginając powoduje tlko ugięcie osi belki), a tm samm powalałab podejść do agadnienia mimośrodowego rociągania belki o prekroju niejednorodnm, analogicnie jak w prpadku prekroju jednorodnego. Odpowiedź jest potwna - należ w tm celu spełnić, wnikając jasno równań () i (4), warunek : E S + E S 0 (5) gdie S, S to moment statcne cęści i oblicone wględem nowej osi ciężkości. Ropisując rów. (5) i korstając rs. otrmujem E ( ) + E ( ) c c 0 a po elementarnch prekstałceniach otrmujem położenie posukiwanej poiomej osi : ES E + E S + E S E + E S E + E S + ns + n (6) W dalsej analiie oś będiem nawać sprowadoną lub ważoną osią ciężkości. Rs. E, C c C C c E,

3 Belki espolone.4. Sprowadone (ważone) charakterstki materiałowo-geometrcne Wprowadźm następujące nowe charakterstki materiałowo-geometrcne : gdie n E E waga (7) + n ważone pole (8) Ss S + ns ważon moment statcn (9) + n ważon moment bewładności (0), onacają moment bewładności cęści i oblicone wględem osi ważonej. Położenie osi ważonej określa standardowe równanie :.5. Równania równoważności w układie ważonm Ss () Zredukujm sił prekrojowe M i N do środka układu współrędnch utworonego pre oś i oś ważoną. Układ sił będie się wówcas składał sił N i momentu M, którego wartość, godnie rs. i wniesie: Zapism równania równoważności w układie osi (, ). M M+ N () N σ d σ d+ σ d E ε + E κs + E ε + E κs x o o N ε E + n ε E () o o M σ d σ d+ σ d E ε S + E κ + E ε S + E κ x o o M κ E + E κ E ( + n ) κ E (4).6. Prekrój łożon dowolnej ilości cęści różnch materiałów Predstawione dotchcas oblicenia dotcł belek o prekrojach składającch dwóch materiałów. Można je be żadnch trudności uogólnić na belki, którch prekrój składa się dowolnej licb różnch materiałów - powiedm, że licba ta wnosi k. Poostawiając scegółowe rachunki ctelnikowi - ogranicm się do podania ich wników. Prjmując materiał jako materiał odniesienia (określa się go także jako materiał porównawc ), możem napisać następujące relacje : ni Ei E i... k waga (5) k i n i i ważone pole (6) S s k i n S i i ważon moment statcn (7) k ni i i ważon moment bewładności (8) Położenie osi ważonej wraża się także tera standardowm równaniem : Ss (9)

4 Belki espolone 4 Równania równoważności sił ewnętrnch i wewnętrnch są identcne jak () i (4), tn.: pr cm i opisane są odpowiednio równaniami (6) i (8). Nεo E M κe (0).7. Wnacenie odkstałcenia liniowego i krwin osi belki Z równań (), () i (4) lub w ogólnm prpadku równań () i (0) otrmujem krwinę i odkstałcenie osi belki w postaci: κ M E ε o N E ().8. Odkstałcenia i naprężenia w prekroju espolonm Całkowite odkstałcenie liniowe ε x (godnie prjętą na wstępie hipoteą Bernouli ego) wnosi : Zmienna oblicana jest od osi ważonej. ε x N M + E () Naprężenia w poscególnch cęściach prekroju poprecnego określone są atem równaniami: σ xi N M n i + (). LGORYTM OBLICZEŃ DL DWUMTERIŁOWEGO PRZEKROU ZESPOLONEGO Dla ułatwienia obliceń dla cęsto stosowanch belek espolonch składającch się dwóch materiałów estawm wor i podajm kolejność ich stosowania. lgortm oblicania naprężeń normalnch jest następując :. Wnacć położenie głównch, centralnch osi bewładności prekroju (osi csto geometrcnch). Oblicć wagę, ważon moment statcn prekroju wględem osi głównch centralnch i ważone pole prekroju n E E S S + ns s + n. Oblicć położenie osi ważonej wględem układu głównego centralnego S 4. Oblicć ważon moment bewładności wględem osi s + n 5. Dokonać redukcji sił prekrojowch do środka układu ważonego - oblicć M. 6. Oblicć naprężenia normalne w cęściach składowch prekroju poprecnego σ x N M + σ x n σ x Współrędna odmierana jest od osi ważonej. Znaki naprężeń należ dobrać tak jak w prpadku wkłego mimośrodowego rociągania ( naprężenie rociągające - dodatnie, ściskające - ujemne).

5 Belki espolone 5 4. Prkład Prkład. Wnacć rokład naprężeń normalnch w prekroju espolonm pokaanm na rsunku. Moment ginając M.5 knm rociąga włókna dolne. Moduł sprężstości wnosą E 7 GPa, E 40 GPa M.5 knm. 0 Rowiąanie: Położenie osi głównch centralnch jest nane be obliceń. Korstając podanego algortmu otrmujem : n Ss 0 5 ( ) [ ( )] cm cm cm ( ) ( ) cm Rokład naprężeń predstawia następując rsunek M M 5. knm σ x 5. 0 [ MPa] 8. [ MPa] σ x 0 ( 8. ) MPa σ x [MPa]

6 Belki espolone 6 Prkład. Wnacć rokład naprężeń normalnch w prekroju espolonm pokaanm na rsunku. Moment ginając M490.5 knm rociąga włókna dolne, rociągająca siła podłużna N500 kn. Cęść prekroju to dwuteownik 550 wkonan e stali StS, materiał to beton B0. E 0 GPa, E GPa M490.5 knm N500 kn 0 Rowiąanie: Z tablic kstałtowników odctujem dane dla dwuteownika 550 : cm, 9980 cm 4. W celu wnacenia położenia osi głównch centralnch bewładności należ najpierw określić położenie środka ciężkości prekroju. Wkorstam dowolnie prjętą ( np. wdłuż dolnej krawędi dwuteownika) prostą. S cm cm c cm Korstając podanego wceśniej algortmu otrmujem : n / 0 0. Ss [ ( )] ( 65 5) 4647 cm cm cm. [ ] ( ) ( 65. 9) 598 cm M knm N500 kn N500 kn σ 500 x [ MPa] Rokład naprężeń predstawiono na rsunku : σ x nσx [ MPa] σ x [MPa] 08.8

7 Belki espolone 7 Prkład. Sprawdić c belka wolnopodparta o długości L4 m wkonana położonej na płask deski o prekroju prostokątnm o wmiarach cm jest w stanie prenieść siłę P00 N, umiesconą w połowie ropiętości belki. W prpadku odpowiedi negatwnej sprawdić c belka po podbiciu jej od spodu blachą aluminiową o grubości 0. cm jest w stanie prenieść siłę P. Stałe materiałowe wnosą: dla drewna (materiał ) : E 0 GPa, R r 7 MPa, R s 0 MPa dla aluminium (materiał ) : E 70 GPa, R r R s R 50 MPa Rowiąanie:. Belka drewniana Moment maksmaln wnosi Mmax PL/ / 4 00 Nm 0. knm Wskaźnik wtrmałości prekroju W bh / / cm m 6 Naprężenie maksmalne rociągające σ max r M max W 8. 5 MPa > R Naprężenie maksmalne ściskające σ max s M max W 8. 5 MPa > R Tak więc belka drewniana nie jest w stanie prenieść sił P., gdż arówno maksmalne naprężenia rociągające, jak i ściskające prekracają odpowiednio wtrmałość na rociąganie i na ściskanie. B. Belka espolona r s.8 0. M Korstając podanego wceśniej algortmu otrmujem : Waga n 70 / 0 7 Ważon moment statcn Ss ( 0. 9) 0. 8 cm Ważon pole prekroju cm Położenie osi ważonej cm Ważon moment bewładności (.. ) (. +.). cm. m Naprężenia w warstwie drewnianej σ 0 [ MPa] [ MPa ] maksmalne rociągające σ max r ( ). 6 MPa < R r maksmalne ściskające σ max s MPa > R Naprężenia w warstwie aluminiowej σ 7σ [ MPa ] minimalne rociągające σ min xr ( ) 5. MPa < R maksmalne rociągające σ min xr ( ) 6. MPa < R Także belka espolona nie preniesie sił P, gdż prekrocona jest o 5% wtrmałość warstw drewnianej na ściskanie. s

8 Belki espolone 8 5. NPRĘŻENI STYCZNE 5.. Założenia materiał ułożone są tak, że wkonując prekrój prostą const. precinam tlko jeden materiał, prjmujem ałożenia identcne jak w prpadku ginania poprecnego prętów jednorodnch amiast recwistego rokładu naprężenia τ x prjmuje się uśrednion rokład o stałej wartości τ x τ x τ τ x τ x 5.. Uśrednione naprężenie stcne τ x prekrój pre materiał σ x () τ x σ x + dσ x b() warunek równowagi sił ( σx σx) σx τx + d d d+ b 0 (4) dσx d τ x b (5) - ałożenie : siła podłużna N jest prediałami co najwżej stała; stąd : dm x dm x d σ x (6) d τ x b (7) dm x dτ x b S () (8)

9 Belki espolone 9 τ τ x x τ Qx S () τx (9) b x gdie () onaca odciętą cęść prekroju należącą całkowicie do obsaru, S ()- moment statcn obsaru () wględem osi ważonej. prekrój pre materiał σ x σ x () σ x + dσ x σ x + dσ x b() τ x warunek równowagi sił ( σx σx) ( σx σx) σx σx τx + d d+ + d d d d+ b 0 (0) dσx d+ dσx d τ x b () - ałożenie : siła podłużna N jest prediałami co najwżej stała; stąd : dm d σ x dm x ( x) d n dm σ x x () d+ n d τ x b () Qx [ ] b S n S + () (4) τ x τ τ x x τ τ Qx [ ] x b S n S + () (5) x gdie () onaca tę cęść odciętej cęści prekroju, która należ do obsaru, S onaca moment statcn obsaru, aś S ()to moment statcn obsaru () wględem osi ważonej.

10 Belki espolone Prkład Prkład. W prekroju espolonm jak na rsunku oblicć naprężenie stcne w miejscu połącenia warstw ora we włóknach określonch współrędną - cm. Siła poprecna Q0 kn. Moduł sprężstości wnosą E 7 GPa, E 40 GPa Rowiąanie : Pr rowiąaniu tego adania posłużm się rowiąaniem prkładu pkt.4, więksając jednie dokładność wników. Potrebne wielkości geometrcne pokaano na rsunku. Prpomnijm ponadto, że: n0, 967 cm 4. połącenie warstw oblicając naprężenie od stron warstw wnacm najpierw moment statcn warstw : wg woru (9) S S 5 0 ( ) cm Qx S () τ x b MPa naprężenie w miejscu połącenia można także policć od stron warstw. Moment statcn tej warstw wnosi wg woru (5) warstwa - cm S S. 0 ( ) cm Qx b ns τ x () naprężenia w warstwie wnacm e woru (5) MPa Qx b S n S τ x + korstając górnej odciętej cęści prekroju oblicam jej moment statcn: S [ () ] cm S (. 7) cm. τ x (.. ) MPa naprężenie we włóknach - cm można również policć korstając dolnej odciętej cęści prekroju. Moment statcn tej warstw wnosi S (. 67 ) 0 ( / ) cm τ x MPa

11 Belki espolone 6. NPRĘŻENI STYCZNE - PRZEKRÓ NIEWRSTWOWY 6.. Założenia materiał ułożone są smetrcnie wględem osi, prjmujem ałożenia identcne jak w prpadku ginania poprecnego prętów jednorodnch amiast recwistego rokładu naprężenia τ x prjmuje się uśrednion rokład o stałej wartości τ x siła podłużna N jest prediałami co najwżej stała odkstałcenie kątowe γ x ( γ x ) we wsstkich punktach prostej const.( prekrój -) są takie same, tn. γ x γ x 6.. Uśrednione naprężenie stcne τ x σ x σ x () τ x τ x () τ x b σ x + dσ x b() σ x + dσ x warunek równowagi sił ( x x ) ( x x ) x σ + dσ d+ σ + dσ d σ d σ d+ x + τ b + τ b (6) x x 0 gdie b () b() + b () (7) dσ d+ dσ d τ b τ b (8) x x x x

12 Belki espolone dm d σ x x d n dm σ x x (9) dm ( x) d+ n d τ τ x b x b (40) Z prawa Hooke a ora na moc prjętego ałożenia o stałch odkstałceniach kątowch otrmujem relacje: gdie : τ G γ τ G γ (4) x x x [ + ] Q( x) S S [ ] x G b + G b γ x (4) [ + ] Q( x) S S γ x G b G b [ () + () ] (), () - odcięta cęść prekroju należąca do obsaru odpowiednio lub, S (), S ()- moment statcn obsaru odpowiednio () lub () wględem osi ważonej. Z równania (4) po wkorstaniu (4) otrmujem rokład naprężeń stcnch w poscególnch materiałach tworącch prekrój poprecn w postaci : (4) [ + ] τ x G Q ( x ) S S G b G b [ () + () ] [ + ] τ x G Q ( x ) S S (44) G b G b [ () + () ]