Analiza Matematyczna 2 Szeregi liczbowe i funkcyjne

Transkrypt

1 Aliz Mtemtycz 2 Szeregi liczbowe i fukcyje Wydził Mtemtyki wykłdowc T. Dowrowicz 5 kwieti 2017 Wykłdy III i IV SZEREGI LICZBOWE Obrzowo mówiąc, szeregiem, zywmy ciąg, w którym zmist przeików stwimy zki dodwi (plusy). Czyli zmist 1, 2, 3,... rozwżmy coś tkiego: , lbo iczej, =1. Chciłoby się powiedzieć, że szereg, to sum ieskończeie wielu skłdików, lbo sum wszystkich wyrzów ciągu. Jedk ie jest to tkie proste. Służy do tego kilk defiicji pośredich: Defiicj 0.1. Mjąc ciąg ( ) 1 tworzymy ciąg sum częściowych (s ) 1 wzorem s = i. i=1 1. Jeśli ciąg (s ) jest zbieży do gricy włściwej s = lim s, to powiemy, że szereg utworzoy z ciągu ( ) jest zbieży (lub że ciąg ( ) jest sumowly) orz że jego sumą jest liczb s. Zpisujemy to tk: = s. =1 2. Jeśli ciąg (s ) m gricę iewłściwą (p. + ) to powiemy, że szereg utworzoy z ciągu ( ) jest rozbieży do ieskończoości lub że m sumę ieskończoą ( =1 = ). 3. Jeśli zś ciąg (s ) ie m gricy w żdym sesie, to powiemy, że szereg utworzoy z ciągu ( ) jest rozbieży ( =1 ie istieje). Potoczie mówi się, że szereg ( ) jest zbieży (rozbieży) i że s jest sumą szeregu ( ). Jest to jedk ieścisłe, gdyż ( ) jest ciągiem, więc tk prwdę mow jest o szeregu utworzoym z ciągu. Jedk w prktyce tych słów utworzoy z jczęściej się ie wymwi. 1

2 Trzeb uwżć myśleie o sumie szeregu jko o sumie wszystkich wyrzów ciągu. Jesteśmy przyzwyczjei, że sum wyrzów ie zleży od kolejości (przemieość dodwi). Jedk w przypdku szeregów (wyrzów o mieszych zkch) może być iczej (przykłdy bądą późiej). Przydte będzie też pojęcie ogo szeregu. Defiicj 0.2. Rozwżmy szereg =1 (zbieży lub ie). Przez -ty ogo tego szeregu rozumieć będziemy szereg o = k=+1 k, czyli szereg utworzoy przez ciąg strtujący od umeru + 1. Twierdzeie 0.3. Jeśli szereg =1 jest zbieży, to ciąg ogoów (o ) 1 jest zbieży do zer. Dowód. Ozczjąc =1 = s możemy, dl kżdego 1, pisć s = s + o, czyli o = s s. Nkłdjąc gricę obie stroy dostjemy zbieżość ogoów do zer. PRZYKŁADY Szereg geometryczy = 0 q (często umerowy ie od 1 tylko do 0). Wiemy, że o ile q 1, to s wyrż się wzorem 1 s = 0 q i 1 q = 0 1 q. i=0 Ztem sum szeregu geometryczego (utworzo z powyższego ciągu) wyosi s = lim 0 1 q 1 q, co rów się 0 1 q o ile q < 1, + jeśli q > 1, dl q = 1 szereg też jest rozbieży do ieskończoości, tomist dl q 1 szereg też jest rozbieży. Szereg potęgowy (specjly) = x! (x jest tu prmetrem). Te, jk i wiele iych szeregów pojwi się w teorii rozwiięć fukcji w szereg Tylor. Rozwżmy fukcję f(x) = e x. Wiemy, że jej -ty wielomi Mcluri (Tylor w zerze), to W (x) = 1 k=0 x k k!, 2

3 czyli włśie -t sum częściow szego ciągu. Wiemy też, że różic między wrtością fukcji wrtością wielomiu, to -t reszt Lgrge, któr w tym przypdku wyosi x cx R (x) = e!, gdzie c x [0, x] lub c x [x, 0] (gdy x jest ujeme). Iczej, e x = W (x) + R (x), czyli W (x) = e x R (x). x Reszt Lgrge ie przekrcz, co do wrtości bezwzględej, liczby C x!, gdzie C x jest stłą (ie zleży od ) i to jest lbo e x lbo e 0 = 1. Łtwo sprwdzić, że wyrzy x! zbiegją do zer (iezleżie od wrtości x). Ztem otrzymliśmy tką oto zbieżość Iymi słowy udowodiliśmy, że lim s = lim W (x) = e x lim R (x) = e x. =0 iezleżie od wrtości prmetru x. x! = ex, WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI Do tego, by szereg utworzoy z ciągu ( ) był zbieży (do sumy skończoej) KONIECZNE (le dlece iewystrczjące) jest, by lim = 0. Dowód. Mmy = s s 1. Jeśli zchodzi sumowlość, to kłdjąc gricę obie strioy dostjemy lim = lim s lim s 1 = 0. PRZYKŁAD Wruek lim = 0 ie wystrcz do zbieżości, wet dl szeregów o wyrzch ieujemych. Klsyczy przykłd, to szereg hrmoiczy = 1. Dowód wyikie z kryterium cłkowego (z chwilę). KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI (pozwlją zbdć sumowlość, le ie pozwlją obliczyć sumy szeregu) Zcziemy od ciągów o wyrzch ieujemych, więc tkich, że 0 dl wszystkich. Zuwżmy, że tki szereg może być lbo zbieży lbo rozbieży do plus ieskończoości. Kryterium porówwcze. Jeśli ciąg (b ) o wyrzch ieujemych jest sumowly orz istieje 0, tkie że dl kżdego 0 zchodzi ierówość 0 b, to ciąg ( ) też jest sumowly. Jeśli (b ) tworzy szereg rozbieży i od pewego miejsc mmy b, to szereg tez jest rozbieży. 3

4 Dowód. Wyik to wprost z twierdzei o ciągu mootoiczym i ogriczoym zstosowego do sum częściowych. Kryteri d Alembert i Cuchy ego. Jeśli ciąg ( ) o wyrzch ieujemych spełi lim sup +1 < 1 (d Alembert), lub lim sup < 1 (Cuchy), to tworzy o szereg zbieży. Jeśli lim if +1 > 1 (lub lim if > 1), to szereg jest rozbieży do ieskończoości. W pozostłych przypdkch kryteri ie rozstrzygją. Dowód. Wyik to łtwo z kryterium porówwczego z szeregiem geometryczym (szczegółowy dowód ćwiczei). Kryterium cłkowe. Ciąg zdy jest poprzez ieujemą fukcję ierosącą zdą (0, ) wzorem = f(). Wtedy szereg =1 jest zbieży (do gricy włściwej) wtedy i tylko wtedy gdy zbież (do gricy włściwej) jest cłk 1 f(x) dx. Dowód. Cłkę od 1 do moż oszcowć z góry przez sumę cłkową s 1 z dołu przez s 1. Dlej skorzystć w przypdku zbieżości z twierdzei o ciągu mootoiczym i ogriczoym, w przypdku rozbieżości z twierdzei o dwóch ciągch. PRZYKŁAD Ciąg postci = 1 α jest sumowly dl α > 1, iesumowly dl 0 < α 1 (mimo że wyrzy zwsze dążą do zer!). Kryterium Rbego. Jeżeli kryterium d Alembert ie rozstrzyg, może pomóc kryterium Rbego: lim lim lim ( ) 1 > 1 szereg jest zbieży, +1 ( ) 1 < 1 szereg jest rozbieży, +1 ( ) 1 = 1 kryterium ie rozstrzyg. +1 Dowód. Udowodimy tylko przypdek pierwszy. Obliczmy jpierw tką gricę, gdzie t jest ( rzie) dowolą liczb rzeczywistą: (1 + 1 lim )t

5 Ozczjąc x = 1 otrzymmy gricę, ktorą moż policzyć z tw. de L Hospitl. (1 + x) t 1 lim = t. x 0 x Czyli jeśli terz T > t, to od pewego miesjc mmy (1 + 1 )t 1 < T, lbo ( ) t < 1 + T. Uzbrojei w tą ierówość, dobierzmy ( terz stłe ) t i T, tk by zchodziły ierówości 1 < t < T < lim Wtedy od pewego miejsc mmy > 1 + T ( +1 > ) t = b, b +1 gdzie b = 1 jest wyrzem szeregu sumowlego. Z osttiej ierówości brdzo łtwo wyik, że od pewego miejsc 0 zchodzi t ierówość < 0 b 0 b. Terz sprwę złtwi kryterium porówwcze. Kryterium kodescyje Cuchy ego. Złóżmy, że ciąg ( ) jest ierosący, p jest liczbą turlą większą od 1. Jeżeli zbieży jest szereg =1 p p, to zbieży jest też szereg =1. Dowód. Sumy częściowe tworzą ciąg iemlejący, więc wystrczy ich ogriczoość, lbo ogriczoość podciągu. Oszcujmy s p. Wyrzy o umerch w przedzile [p k, p k+1 ] są ie większe od pk, jest ich p k+1 p k < p p k. Ztem sum tych wyrzów ie przekrcz p p k p k. Sum s p ie przekrcz ztem -tej sumy szeregu złożoego z wyrzów p k p k (który jest zbieży) pomożoej przez stłą p. PRZYKŁAD Rozwżmy ciąg = 1 (log 2 ) 2. Wyrzy oczywiście mleją. Mmy 2 2 = = 1 2, to tworzy szereg zbieży. Ztem =1 <. SZEREGI Z WYRAZAMI O RÓŻNYCH ZNAKACH PRZYKŁAD Rozwżmy stępujący ciąg: 1, 1, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4,... (pry 1 2, 1 2 są przepise 2 rzy). Ciąg sum częściowych wygląd tk: 1, 0, 1 2, 0, 1 2, 0, 1 4, 0, 1 4, 0, 1 4, 0, 1 4, 0,... 5

6 i oczywiście zbiegją do zer. Zgodie z defiicją szereg utworzoy przez sz ciąg jest zbieży i m sumę zero. A terz poprzestwimy wyrzy stępująco: 1, 1, 1 2, 1 2, 1 2, 1 2, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4,... Terz ciąg sum częściowych wygląd tk: 1, 0, 1 2, 1, 1 2, 0, 1 4, 1 2, 3 4, 1, 3 4, 1 2, 1 4, 0,... i kżdą z wrtości 0 i 1 osiąg ieskończeie wiele rzy. Czyli ie jest zbieży! Problem te częściowo reguluje stępujące pojęcie: Defiicj 0.4. Szereg =1 jest zbieży bezwzględie jeśli zbieży jest szereg =1. Mmy stępujące fkty: Twierdzeie 0.5. Złóżmy, że szereg =1 jest bezwzględie zbieży. Wtedy: 1. szereg =1 jest zbieży, 2. jeśli m() jest bijekcją z N do N, to szereg z poprzestwiymi wyrzmi =1 m() też jest zbieży, 3. sumy powyższych szeregów są rówe (sum ie zleży od kolejości wyrzów). Dowód. (1) Pokzujemy, że ciąg sum częściowych jest podstwowy. Różic między summi częściowymi jest ogriczo co do modułu z logiczej różicy dl szeregu modułów, ztem wruek Cuchy ego jest spełioy. (2) i (3) Ustlmy i szcujemy różicę między dleką N-tą sumą częściową szeregu i N-tą sumą szeregu poprzestwiego. Jeśli N jest dostteczie duże, to w sumie szeregu poprzestwiego wystąpią już wszystkie wyrzów ciągu iepoprzestwiego, ztem szcow różic będzie sumą pewych wyrzów ciągu o umerch większych od (iektóre z plusem, iektóre z miusem). Będzie to co do modułu ie większe iż -ty ogo szeregu wrości bezwzględych, co zbieg do zer. Ztem ob rozwże szeregi zbiegją do tej smej gricy. Defiicj 0.6. Szereg zbieży, le ie bezwzględie zbieży zyw się wrukowo zbieży. Szereg z osttiego przykłdu jest wrukowo zbieży (bo zbieżość ie jest odpor przestwiie wyrzów). Twierdzeie 0.7 (Twierdzeie Riem). Jeśli szereg utworzoy z ciągu ( ) jest wrukowo zbieży, to dl kżdej liczby rzeczywistej lub ieskoczoej r [, ] istieje permutcj umerów m(), tk że m() = r. =1 6

7 Bez dowodu. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI (ciąg dlszy dl szeregów o różych zkch) Kryterium Leibitz. Jeśli ciąg ( ) zbieg ierosąco do zer, to szereg utworzoy z ciągu przemieego b = ( 1) jest zbieży. To prwie tk, jkby wruek koieczy (zbieżość wyrzów do zer, z tym że tu jest o mooticz) był w tym wypdku wystrczjąc. Jedk potrzeby jest sily wruek dodtkowy: zki szych wyrzów muszą być przemieie plusmi i miusmi. Dowód. Zów pokzuje się wruek Cuchy ego dl sum częściowych. Różic -tej i m-tej sumy (powiedzmy, że < m) pozwl się sprytie oszcowć przez. A to zbieg do zer. PRZYKŁAD Szereg ( 1) =1 z szeregu Tylor.) jest zbieży. (Gricę obliczymy kiedy idziej, korzystjąc Lemt 0.8. Jeśli ciąg ( ) jest bezwzględie sumowly, (b ) jest ogriczoy, to ciąg ( b ) jest też bezwzględie sumowly. Dowód ćwiczeich. Kryterium Dirichlet. Jeśli ciąg sum częściowych (s ) (szeregu utworzoego z ciągu ( )) jest ogriczoy, ciąg (b ) dąży mootoiczie do zer, to szereg =1 b jest zbieży. Dowód. Jk wiemy, wystrczy pokzywć wruek Cuchy ego dl ciągu sum częściowych k=1 kb k. Różic między -tą m-tą ( < m) tką sumą częściową jest rów m k=+1 k b k = m k=+1 s k (b k b k+1 ) s b +1 + s m b m+1 (tzw. wzór Abel, który się łtwo sprwdz). Poiewż ciąg (s k ) jest ogriczoy, (b k ) zbieży do zer, to zbieży do zer (więc też podstwowy) jest ciąg (s b +1 ), z czego wyik, że osttie dw wyrzy są sobie bliskie (dl dużego ) i moż je skrócić wstwijąc tm ɛ. Pozostje oszcowć środkową sumę. Zuwżmy, że wyrzy c k = b k+1 b k tworzą szereg bezwzględie zbieży (o sumie rówej b 1 ). Ztem szereg utworzoy z ciągu s k c k jest rówież bezwzględie zbieży (ptrz Lemt), co z tym idzie jego sumy częściowe spełiją wruek Cuchy ego. A o to m chodzi. PRZYKŁADY 1. Terz widć, że kryterium Leibitz jest szczególym przypdkiem kryterium Dirichlet. Z ( ) bierzemy przemieie ±1 (te szereg m sumy częściowe 7

8 ogriczoe), z b bierzemy moduły z wyrzów ciągu, do którego chcemy stosowc kryterium Leibitz (terz jest to ciąg mootoiczie mlejący do zer). 2. Kryterium Abel. Jeśli szereg mootoiczie zbieży, to szereg =1 jest zbieży, zś ciąg (b ) 1 jest =1 b jest zbieży. To wyik wprost z kryterium Dirichlet, trzeb tylko zpisć ciąg (b ) jko (b b) + b, gdzie b ozcz gricę ciągu (b ). 3. Zbdć zbieżość szeregu =1 si x, gdzie x jest dowolym prmetrem rzeczywistym. Oczywiście b = 1 jest ciągiem mootoiczie zbieżym do zer. Wystrczy pokzć, że szereg utworzoy z ciągu (si x) m ogriczoe sumy częściowe. Do tego celu zstosujemy liczby zespoloe. Wiemy, że e it = cos t + i si t W szczególości, si x = Im(e ix ). Zy wzór sumę skończoą postępu geometryczego i=1 q = q 1 q 1 q zchodzi rówież dl liczb zespoloych. Tk więc możemy pisć: ( ) ) si kx = Im(e ix ) = Im (e ix ) ix 1 eix = Im (e 1 e ix. k=1 k=1 k=1 Jeśli e ix = 1 (co zchodzi dl x będącego wielokrotością 2π), to wtedy si x = 0 i bdy szereg jest trywily. W kżdym iym przypdku powyższe sumy częściowe są ogriczoe (bo e ix zwsze leży okręgu liczb zespoloych o module 1), co z tym idzie kryetrium Dirichlet rozstrzyg korzyść zbieżości. 8

9 Wykłdy V i VI SZEREGI FUNKCYJNE Szeregi fukcyje w zsdzie już pozliśmy, jko szeregi liczbowe z prmetrem. Formlie defiicj jest stępując: Defiicj 0.9. Dy jest ciąg fukcji rzeczywistych (f ) określoych wspólej dziedziie D R. Szeregiem fukcyjym utworzoym z ciągu f jest wyrżeie S = f lbo S( ) = f ( ). =1 =1 Ciąg sum częściowych tkiego szeregu, to ciąg fukcji S = f k lbo S ( ) = k=1 f k ( ). (Kropk w wisie m z zdie przypomić, że f, S itp. ie są liczbmi tylko fukcjmi. Nie chcemy też pisć f (x), S (x) itp., gdyż to by ozczło wrtość fukcji f w jedym pukcie, więc liczbę.) Powiemy, że szereg jest zbieży w pukcie x D jeśli zbieży jest szereg liczbowy =1 f (x) (iczej, zbieży jest ciąg sum częściowych S (x)). Formlie, S( ) jest fukcją określoą podzbiorze D (byc może pustym), skłdjących się z tkich puktów x, dl których szereg liczbowy =1 f (x) jest zbieży. W tkim pukcie, S(x) przyjmuje wtrość rówą sumie tego szeregu. Powyższy podzbiór dziedziy D zywmy obszrem zbieżości szeregu fukcyjego. Szereg liczbowy może rozwżym podzbiorze E D (w szczególości cłej dziedziie D, lub swoim obszrze zbieżości) być zbieży puktowo, to zczy zbieży w kżdym pukcie x E (jest to rówowże z tym, że E jest zwrty w obszrze zbieżości), zbieży puktowo bezwzględie, to zczy być zbieżym bezwzględie w kżdym pukcie x E, k=1 zbieży jedostjie, to zczy spełić wruek ɛ>0 0 0 x E S(x) S (x) < ɛ, zbieży jedostjie bezwzględie, kiedy szereg =1 f jest zbieży jedostjie. 9

10 Ns jbrdziej iteresowć będzie zbieżość jedostj i jej dotyczyć będą jwżiejsze kryteri. PRZYKŁAD Szereg geometryczy =0 x jest formlie określoy cłej prostej R. Obszrem zbieżości jest przedził ( 1, 1). Szereg jest w tym obszrze zbieży bezwzględie, le ie jedostjie. Fktyczie, ustlmy ɛ = 1 i przypuśćmy, że zleźliśmy 0 jk w defiicji jedostjej zbieżości. Wtedy S(x) S 0 (x) = = x 0 1 x. k= 0 x k Rozwiązując ierówość x 0 1 x < ɛ otrzymujemy łtwo, że x musi być miejsze od η = 0 ɛ, to jest liczb ostro miejsz od 1. Ztem wruek ie jest spełioy dl x ( 1, η) (η, 1). Jedk sz szereg geometryczy spełi w swoim obszrze zbieżości iy wży wruek, tzw. zbieżości ieml jedostjej: Defiicj Szereg fukcyjy jest rozwżym zbiorze E zbieży ieml jedostjie, jeśli dl dowolego włściwego przedziłu domkiętego I = [, b], I E jest o zbieży jedostjie I. Powyższy wruek m ses tylko przy rozwżiu zbiorów E, które ie są przedziłmi włściwymi domkiętymi (dl przedziłów włściwych domkiętych ieml jedostj zbieżość jest po prostu zbieżością jedostją). Sprwdzeie, że szereg geometryczy jest ieml jedostjie zbieży (0, 1) ćwiczei. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI JEDNOSTAJNEJ Njpierw dl szeregów o wyrzch ieujemych (de fcto, poprzez łożeie wrtości bezwzględej, testują oe bezwzględą zbieżość jedostją dl szeregów o wyrzch zkowych). Kryterium porówwcze Weierstrss. Jeśli szereg liczbowy utworzoy z ciągu ( ) o wyrzch ieujemych jest zbieży, orz dl kżdego x E zchodzi ierówość f (x) <, to szereg fukcyjy =1 f ( ) jest bezwzględie jedostjie zbieży E. Dowód ćwiczei. Terz przejdziemy do zbieżości jedostjej, ie koieczie bezwzględej: Kryterium Dirichlet. Jeśli ciąg sum częściowych S ( ) utworzoy z ciągu fukcyjego (f ) jest wspólie ogriczoy, to zczy jeśli istieje stł M tk, 10

11 że dl kżdego i kżdego x E mmy S (x) < M, orz jeśli ciąg fukcyjy (g ) zbieg do zer mootoiczie i jedostjie E, to szereg jest zbieży jedostjie E. f ( )g ( ) =1 Dowód. Trzeb powtórzyć dowód kryterium Dirichlet dl szergów liczbowych, zwrcjąc uwgę jedostjość oszcowń. SZEREGI POTĘGOWE Szeregiem potęgowym zywmy szereg fukcyjy postci S(x) = gdzie ( ) jest ciągiem liczbowym. (x ), =0 Przykłd już mieliśmy: =0 x!. Jest to szereg zbieży bezwzględie ieml jedostjie R do fukcji e x. N ćwiczeich pokżemy ieml jedostją zbieżość i brk zbieżości jedostjej. Iy przykłd to szereg geometryczy. Okzuje się, że szeregi potęgowe zwsze są zbieże ieml jedostjie w symetryczym przedzile postci ( r, + r), gdzie r zywmy promieiem zbieżości i pozwl się o wyliczyć z ciągu współczyików ( ). Zcziemy od wzorów promień zbieżości. Defiicj Wrtość (liczbę ieujemą lub ) zdą wzorem 1 r = lim sup zywmy promieiem zbieżości szeregu potęgowego =0 (x ). Twierdzeie Jeśli istieje gric (włściw lub ie) lim +1, to jest o rów promieiowi zbieżości podemu powyżej. Dowód. Nłóżmy logrytm ob wyrżei i zmierzmy różicę: ( ) ( l 1 ) l +1 = 1 l l + l +1, co moż zpisć jko 1 l (l +1 l ). Tk więc jest to odległość pomiędzy jedą tą -tego wyrzu pewego ciągu (kokretie ciągu o wyrzch l ), jego -tym przyrostem. Dowód kończy zy fkt, że jeśli ciąg m przyrosty zbieże, to ciąg jedych tych zbieg do tej smej gricy. To z kolei 11

12 wyik z fktu, że dl ciągu zbieżiego, ciąg średich rytmetyczych zbieg do tej smej gricy (podobe zdie było I semestrze). To dotyczy przypdku gricy włściwej. Przypdek gricy ieskończoej: Ustlmy dowolie dużą liczbę dodtią M. Od pewego miejsc ilorzy +1 są większe od M. Terz zwiększmy współczyiki (oddlmy od zer), tk by te ilorzy stły się rówe M. Tk otrzymy szereg m promień zbieżości rówy M i jego wyrzy są co do modułu większe od orygilych (dl kżdego x). Ztem orygily szereg m promień ie miejszy od M, poiewż M było dowolie duże, promień te jest ieskończoy. Twierdzeie Jeśli 0 < r <, to szereg potęgowy =0 (x ) jest bezwzględie ieml jedostjie zbieży w przedzile ( r, + r). Ntomist w kżdym pukcie zbioru (, r) ( + r, ) jest o rozbieży. N końcch przedziłu (czyli dl x = r i x = + r) zbieżość może, le ie musi zchodzić (może też zchodzić w tylko jedym z końców). Jeśli r = to szereg jest ieml jedostjie zbieży cłym R. Jeśli zś r = 0 (co jest jk jbrdziej możliwe), to szereg jest rozbieży w kżdym pukcie zbioru (, ) (, ), tu jedk ie m wątpliwości co do brkującego puktu: kżdy szereg potęgowy jest oczywiście zbieży (i m sumę 0 ) w pukcie. Dowód. Po pierwsze, stosując podstwieie y = x moż złożyć, że = 0. Złóżmy jpierw, że r > 0 (w tym dopuszczmy r = ). Ustlmy przedził I ( r, r) i iech b ozcz większą z wrtości bezwzględych końców przedziłu I. Rzecz js b < r. Wtedy dl kżdego x I sz szereg, po łożeiu wrtości bezwzględych wszystkie wyrzy, szcuje się z góry przez szereg liczbowy =0 b. Zbieżość jedostj I wyikie z kryterium porówwczego Weierstrss, o ile pokżemy zbieżość powyższego szeregu liczbowego (o wyrzch ieujemych). Do tego zstosujemy kryterium Cuchy ego. Trzeb oszcowć gricę górą lim sup b = b lim sup < r lim sup = lim sup lim sup = 1 (jeśli r =, to b lim sup = 0). Skoro t gric gór jest miejsz od 1, kryterium Cuchy ego rozstrzyg o zbieżości. Terz złóżmy, że r < (w tym dopuszczmy r = 0) i rozwżmy pukt x spoz przedziłu [ r, + r]. Wtedy x > r, co ozcz, że istieją dowolie duże ideksy, dl których 1 < x, czyli x > 1, To zprzecz wrukowi koieczemu zbieżości szeregu =0 x (wyrzy tego szeregu ie zbiegją do zer). Zbieżość i sum dl x = są oczywiste, przykłdy możliwe zchowi końcch przedziłu są pode poiżej. 12

13 PRZYKŁADY Szereg geometryczy =0 x jest obu końcch przedziłu zbieżości (czyli w 1 i 1) rozbieży. To wiemy i jest to oczywiste. Rozwżmy szereg =0 x. Jk łtwo wyliczyć, r = lim = lim = 1. N jedym końcu, dl x = 1 mmy rozbieży szereg hrmoiczy, drugim (dl x = 1) mmy zbieży szereg przemiey. Wreszcie rozwżmy szereg =0 x. Promień zbieżości liczy się ieml idetyczie i wyosi o 1. Terz jedk obu końcch dostjemy szeregi bez- 2 względie zbieże. UWAGI O SZEREGACH ZESPOLONYCH Wszystko, co zostło powiedzie o szeregch liczbowych i fukcyjych stosuje się do szeregów zespoloych i fukcyjych zespoloych. Jedye różice są stępujące: Szeregi o wyrzch ieujemych są z defiicji rzeczywiste, więc tu ie m zmi (to dotyczy kretriów porówwczego, cłkowego, d Alembert, Cuchy ego, Rbego i kodescyjego. Symbol wrtości bezwzględej trzeb iterpretowć jko moduł liczby zespoloej. Zbieżość bezwzględ dotyczy szeregu z łożoymi kżdy wyrz modułmi ( to już jest szereg rzeczywisty o wyrzch ieujemych). Twierdzeie Riem odpd (ie zwsze moż dostć, jko sumę szeregu poprzestwiego, dowolą liczby zespoloą, czy choćby rzeczywistą). Zbiór możliwych sum dego szeregu wrukowo zbieżego jest ogół brdzo trudy do opisi. W kryterium Dirichlet ciąg ( ) dopuszczmy zespoloy, le ciąg (b ) pozostje rzeczywisty. W defiicji szeregu fukcyjego, f są fukcjmi określoymi D C (C to zbiór liczb zespoloych) o wrtościch zespoloych. W defiicji zbieżości jedostjej ozcz moduł. W kryterium Dirichlet dl szeregów fukcyjych jko (f ) dopuszczmy ciąg fukcji zespolych, le (g ) pozostje ciągiem fukcji rzeczywistych. Defiicj zbieżości ieml jedostjej zbiorze E C jest i: kżdym zwrtym podzbiorze (pojęcie z topologii; zwrte są przykłd koł domkięte) zbioru E mmy mieć zbieżość jedstją. W defiicji szeregu potęgowego, zmie x orz współczyiki i są zespoloe. Wzory promie zbieżości pozostją te sme (oczywiście terz występuje w ich moduł). 13

14 W twierdzeiu 0.13, szereg potęgowy jest zbieży ieml jedostjie kole otwrtym o środku w i promieiu r (czyli {x : x < r}), zywym kołem zbieżości. Szereg jest rozbieży poz kołem domkiętym, brzegu (czyli okręgu) może być różie (w iektorych puktch zbieżość, w iych rozbieżość). 14

15 Wykłd VII CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE SZEREGÓW FUNKCYJNYCH Te rozdził dotyczy w zsdzie ciągów fukcji ciągłych. Wioski temt szeregów fukcyjych otrzymujemy poprzez proste zstosowie do ciągu sum częściowych orz dzięki liiowości cłki i pochodej. Tk więc zjmiemy się przede wszystkim ciągmi fukcyjymi. Cłkowie ciągów i szeregów fukcyjych Twierdzeie Niech (f ) będzie ciągiem fukcji ciągłych określoych wspólej dziedziie D w postci przedziłu (włściwego lub ie), zbieżym jedostjie do fukcji griczej f. Wtedy 1. Fukcj f jest ciągł. 2. Niech G będzie fukcją pierwotą dl f. Wtedy istieją stłe C, tkie że ciąg (F ), gdzie F = G + C zbieg ieml jedostjie do fukcji F będącej pierwotą dl f. Dowód. Ad 1. Ustlmy ɛ > 0 i x D. Niech będzie tkie, że dl wszystkich y D (w tym dl x) mmy f(y) f (y) < ɛ 3. Niech δ > 0 będzie tk mł, że x y < δ implikuje f (x) f (y) < ɛ 3 (dl y D). Wtedy f(x) f(y) f(x) f (x) + f (x) f (y) + f (y) f(y) < ɛ, co kończy dowód ciągłości f w pukcie x. Ad 2. Ustlmy przedził domkięty [, b] D. Wtedy, dl kżdego, fukcj górej gricy cłkowi F (x) = x f (t) dt jest, jk widomo, pierwotą dl f ( [, b]), ztem jest o postci F = G + C. Wiemy też, że pierwot z fukcji ciągłej jest ciągł ( wet różiczkowl). Pokżemy, że ciąg (F ) zbieg jedostjie [, b] poprzez sprwdzeie jedostjego wruku Cuchy ego. Poiewż ciąg (f ) jest zbieży jedostjie, spełi o jedostjy wruek Cuchy ego. Ustlmy ɛ > 0 i iech 0 będzie tk duże, że dl dowlych, m 0 mmy, dl dowolego t [, b], f (t) f m (t) < ɛ b. Wtedy F (x) F m (x) = x f (t) f m (t) dt (b ) ɛ b = ɛ. Pokzliśmy, że ciąg (F ) zbieg jedostjie [, b]. Z poprzediego puktu twierdzei, gric F jest fukcją ciągłą [, b]. Pokżemy terz, że F (x) = x f(t) dt, co będzie ozczć, że F jest pierwotą dl f. W tym celu trzeb iezczie zmodyfikowć poprzedie oszcowie. Ustlmy ɛ > 0 i iech ɛ będzie tk duże, że po pierwsze f f < 2(b ), po drugie F F < ɛ 2 15

16 (ob wruki mją zchodzić w kżdym pukcie przedziłu [, b]). Wtedy F (x) x f(t) dt F (x) F (x) + F (x) x f (t) dt + x f (t) f(t) dt ɛ (b ) ɛ 2(b ) = ɛ. Skoro ɛ jest dowoly, musi zchodzić rówość F (x) = x f(t) dt. Wiosek Jeśli ciąg (f ) zbieg ieml jedostjie przedzile D (włściwym lub ie, o dowolych końcch), to gric f jest ciągł, fukcje pierwote F (z odpowiedio dobrymi stłymi) zbiegją ieml jedostjie do fukcji F pierwotej z f. Dowód. N kżdym przedzile domkiętym włściwym zwrtym z dziedziie stosujemy powyższe twierdzeie. PRZYKŁAD. Bez zbieżości ieml jedostjej twierdzeie zwodzi: gric ie musi być ciągł, gric fukcji pierwotych ie musi być pierwotą dl fukcji griczej. Niech f = x [0, 1]. Te fukcje zbiegją puktowo (le ie jedostjie) do fukcji { 0 dl x [0, 1) f(x) =. 1 dl x = 1 Jk widć, fukcj gricz ie jest ciągł. Fukcje pierwote F mją postć F (x) = x 1. Te zbiegją puktowo do zer, le tylko dl x [0, 1), w x = 1 gric jest iewłściw. Ntomist wzór F (x) = x f(t) dt produkuje 0 fukcję rówą zero cłym [0, 1]. Tk więc rówość ie dl fukcji pierwotych ie zchodzi w x = 1. Wiosek 0.16 (Cłkowie szeregu wyrz po wyrzie). Jeśli szereg fukcyjy =1 f zbieg ieml jedostjie przedzile D (włściwym lub ie, o dowolych końcch), to sum s jest ciągł, fukcje pierwote F (x) = x f(t) dt tworzą szereg ieml jedostjie zbieży do fukcji S(x) = x s(t) dt. Czyli moż pisć x x f (t) dt = f (t) dt. =1 Dowód. Stosujemy poprzedi wiosek do ciągu sum częściowych s ( ) orz korzystmy z liiowości cłki. =1 Różiczkowie ciągów i szeregów fukcyjych Tym rzem do przejści z pochodą pod gricę poterzeb jest (ieml) jedostj zbieżość pochodych. 16

17 Twierdzeie Niech (f ) będzie ciągiem fukcji ciągłych i różiczkowlych określoych wspólej dziedziie D w postci przedziłu (włściwego lub ie), tkim że 1. fukcje f zbiegją puktowo D (do jkiejś fukcji f), 2. fukcje pochode (f ) są ciągłe i zbiegją ieml jedostjie do fukcji griczej (ciągłej) g. Wtedy 1. ciąg (f ) zbieg do f ieml jedostjie ( ztem f jest ciągł), 2. fukcj gricz f jest różiczkowl D i f g. Dowód. To wyik tychmist z wiosku do twierdzei poprzediego i z twierdzei Leibitz-Newto. Dl kżdego fukcj f jest pierwotą dl f. Skoro pochode są ciągłe i zbiegją ieml jedostjie, to pierwote (odpowiedio przesuięte) zbiegją ieml jedostjie do pierwotej z fukcji griczej g. Ale z złożei te pierwote (czyli f ) zbiegją puktowo do f. To ozcz, że do uzyski zbieżości ieml jedostjej ie moż ich przesuąć iczej iż o wspólą stłą. Tk więc możemy ich ie przesuwć wcle, to ozcz, że zbieżość do f jest już ieml jedostj. Wiemy też, że pierwote zbiegją do pierwotej z gricy, czyli wioskujemy, że f jest pierwotą z lim f, którą ozczyliśmy przez g. A to ozcz, że g f. PRZYKŁAD. Bez zbieżości ieml jedostjej pochodych twierdzeie zwodzi: gric pochodych ie musi być pochodą dl fukcji griczej. Moż rysowć przykłd [0, 1], w którym fukcje pochode f zbiegją (iejedostjie) do fukcji Dirichlet, fukcje f zbiegją do zer i to jedostjie. Wiosek 0.18 (Różiczkowie szeregu wyrz po wyrzie). Jeśli szereg fukcyjy =1 f zbieg puktowo przedzile D (włściwym lub ie, o dowolych końcch) orz szereg utworzoy z ciągłych fukcji pochodych =1 f jest zbieży ieml jedostjie, to po pierwsze szereg =1 f zbieg ieml jedostjie, co z tym idzie jego sum s jest fukcją ciągłą, po drugie sum szeregu pochodych =1 f jest rów pochodej fukcji s. Czyli moż pisć ( ) f = f. =1 Wiosek Dy jest szereg potęgowy =0 (x x 0 ). Niech r ozcz jego promień zbieżości i iech r > 0. Wtedy w przedzile zbieżości (x 0 r, x 0 + r) moż te szereg zrówo cłkowć, jk i różiczkowć, wyrz po wyrzie. Dowód. Wiemy, że w tym przedzile szereg zbieg ieml jedostjie, ztem cłkowć wyrz po wyrzie wolo. Do różiczkowi potrzeb jeszcze ciągłości =1 17

18 pochodych (co oczywiście jest spełioe) i ich zbieżości ieml jedostjej. Ale pochode rówież tworzą szereg potęgowy =1 (x x 0 ) 1 lbo iczej =0 ( + 1) +1(x x 0 ). Tk więc jest o zbieży ieml jedostjie w swoim przedzile zbieżości. Pokżemy jedk, że to jest te sm przedził (x 0 r, x 0 + r). Wystrczy obliczyć promień zbieżości r szeregu pochodych: r = lim if 1 ( + 1)+1 = lim 1 lim if ( + 1) 1 +1 = 1 r. Ostti rówość (gricy dolej z r) wyik z prostej obserwcji, że t gric dol to promień zbieżości szeregu z przeumerowiem (-ty współczyik zstępujemy ( + 1)-szym). Ale tkie przeumerowie ie zmiei w żdym pukcie fktu zbieżości lub rozbieżości, jedyie wrtość sumy. To kończy dowód. 18