Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

Transkrypt

1 lger WYKŁD 5 LGEBR

2 Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do mcierzy kwdrtowej zywmy mcierz ozczoą przez -, spełijącą wruek - = - =. Twierdzeie Mcierz odwrcl (tz. tk, do której istieje mcierz odwrot) jest mcierzą ieosoliwą. Mcierz odwrot - do mcierzy ieosoliwej jest ieosoliw. Wyzczik mcierzy odwrotej - jest rówy odwrotości wyzczik mcierzy det det LGEBR

3 Mcierz odwrot Defiicj Mcierzą dołączoą D mcierzy kwdrtowej zywmy trspozycję mcierzy utworzoej z dopełień lgericzych elemetów mcierzy, tz.: D = [ ij ] T. Twierdzeie Mcierz odwrot jest wyrżo wzorem: D det LGEBR

4 LGEBR 4 Przykłd Oliczyć mcierz odwrotą do mcierzy 4 Oliczmy wyzczik mcierzy 0 4 det Oliczmy dopełiei lgericze elemetów mcierzy. 0 itp, Mcierz odwrot

5 LGEBR 5 Przykłd (c. d.) Tworzymy mcierz dopełień lgericzych i mcierz dołączoą D ij Oliczmy mcierz odwrotą 0 0 D Mcierz odwrot

6 LGEBR 6 Rozptrzmy ogólą postć ukłdu rówń liiowych z iewidomymi i, i =,,, ozczją iewidome, ik R, i, k =,,,, i R. Rozwiąziem powyższego ukłdu zywmy ciąg licz,,,, które wstwioe do ukłdu miejsce iewidomych spełiją te ukłd, tz. zmieiją go w tożsmość. Ukłdy rówń liiowych

7 Ukłdy rówń liiowych Defiicj Mcierz współczyików ukłdu rówń zywmy mcierzą (główą) ukłdu rówń. LGEBR 7

8 LGEBR 8 Ukłd rówń liiowych moż zpisć z pomocą rówi mcierzowego m, w skrócie B X gdzie Kolum wyrzów wolych Kolum iewidomych ukłdu rówń B X Ukłdy rówń liiowych

9 Ukłd Crmer Defiicj Wyzczikiem ukłdu rówń zywmy wyzczik mcierzy. Defiicj Ukłdem Crmer zywmy ukłd rówń, którego wyzczik jest róży od 0 (tz. mcierz ukłdu jest ieosoliw). Wyik stąd, że dl ukłdu Crmer mcierz odwrot - zwsze istieje! Możąc lewostroie przez - oie stroy rówi mcierzowego otrzymujemy wektor rozwiązń X - (X) = - B ( - )X = - B I X = - B X = - B czyli X = - B LGEBR 9

10 Ukłd Crmer Rozwiązywie ukłdu Crmer - metod mcierzow Krok. Oliczmy mcierz - odwrotą do. Krok. Możymy lewostroie wektor wyrzów wolych B przez mcierz - otrzymując wektor iewidomych X X = - B LGEBR 0

11 Ukłd Crmer Rozwiązywie ukłdu Crmer - metod wyzczikow (wzory Crmer) Wykoując stosukowo proste przeksztłcei otrzymego wzoru moż wykzć, że rozwiązie ukłdu rówń dje się zpisć w postci det det,, det det j det det j, det det gdzie j jest mcierzą utworzoą przez zstąpieie w mcierzy kolumy o umerze j, kolumą wyrzów wolych, j =,,,. Powyższ postć rozwiązi ukłdu rówń osi zwę wzorów Crmer. LGEBR

12 LGEBR Przykłd Rozwiązć ukłd rówń: 8 9 Oliczmy kolejo wyzcziki: 5, det det 50, 8 9 det 5, 8 9 det Stąd: =, =, =. Ukłdy rówń liiowych

13 Ukłdy rówń liiowych Defiicj Ukłd rówń liiowych zywmy ukłdem jedorodym, gdy wszystkie jego wyrzy wole są rówe zeru, w przeciwym przypdku ukłd rówń zywmy ukłdem iejedorodym. Ukłd jedorody m zwsze rozwiązie zerowe = 0, = 0,, = 0. Z fktu, że ukłd Crmer m dokłdie jedo rozwiązie, wyik że: Rozwiązie zerowe jest jedyym rozwiąziem ukłdu jedorodego, gdy jest o ukłdem Crmer. Wrukiem koieczym to, y ukłd jedorody mił rozwiązie iezerowe jest, y ie ył o ukłdem Crmer, więc y det = 0. LGEBR

14 Rząd mcierzy Defiicj Podmcierz mcierzy jest to mcierz powstł przez skreśleie w mcierzy pewej liczy wierszy i kolum. Defiicj Wyzczik kwdrtowej podmcierzy zywmy miorem. Defiicj Rzędem mcierzy zywmy jwyższy ze stopi jej różych od zer miorów. Rząd mcierzy ozczmy symolem rz, lu rk. Mcierz zerow m rząd rówy 0. Uwg Dl dowolej mcierzy o wymirze m rz mi(m, ). LGEBR 4

15 LGEBR 5 Przykłd Oliczyć rząd mcierzy Poiewż det = 0 jej rząd jest <. Wyiermy wiec podmcierze mcierzy wymiru i oliczmy ich wyzcziki, p Zleźliśmy mior stopi róży od 0, ztem rząd mcierzy jest rówy. Rząd mcierzy

16 Rząd mcierzy Włsości rzędu mcierzy Poiższe opercje ie zmieiją rzędu mcierzy (czkolwiek zmieiją smą mcierz):. trspozycj. odrzuceie wiersz (kolumy) złożoego z smych zer. pomożeie lu podzieleie wszystkich elemetów pewego wiersz (kolumy) przez tę smą liczę różą od zer 4. dodie do elemetów pewego wiersz (kolumy) odpowiedich elemetów iego wiersz (kolumy) pomożoych przez tę smą liczę 5. dodie do elemetów pewego wiersz (kolumy) komicji liiowej odpowiedich elemetów pozostłych wierszy (kolum) 6. odrzuceie jedego z dwóch wierszy (kolum) o odpowiedich elemetch proporcjolych 7. odrzuceie wiersz (kolumy) ędącego komicją liiową pozostłych wierszy (kolum). LGEBR 6

17 LGEBR 7 Rozwżmy ukłd m rówń liiowych z iewidomymi m m m m o współczyikch ik orz i. Mcierz ukłdu rówń wymiru m m postć m m m, Ogól postć ukłdu rówń liiowych

18 Ogól postć ukłdu rówń liiowych Defiicj Mcierz rozszerzo jest to mcierz powstł przez dopisie do mcierzy główej ukłdu rówń wektor wyrzów wolych C m m m m (ie ozczeie mcierzy rozszerzoej B). LGEBR 8

19 Ogól postć ukłdu rówń liiowych Twierdzeie (Kroecker Cpellego) Jeżeli rzędy mcierzy ukłdu rówń orz mcierzy rozszerzoej są soie rówe orz są rówe liczie iewidomych rz = rz C =, to ukłd rówń m dokłdie jedo rozwiązie (ukłd ozczoy). Jeżeli rzędy mcierzy ukłdu rówń orz mcierzy rozszerzoej są soie rówe, le są miejsze od liczy iewidomych rz = rz C <, to ukłd rówń m ieskończeie wiele rozwiązń (ukłd ieozczoy). Jeżeli rząd mcierzy główej jest miejszy iż rząd mcierzy rozszerzoej rz < rz C, to ukłd rówń ie m rozwiązń (ukłd sprzeczy). LGEBR 9

20 Ogól postć ukłdu rówń liiowych lgorytm rozwiązywi ukłdu rówń liiowych X = B Krok. Wyzczmy rząd mcierzy ukłdu. Krok. Wyzczmy rząd mcierzy rozszerzoej B. Jeżeli rz < rz B, to koiec procedury - ukłd rówń jest sprzeczy. Jeżeli rz = rz B, to krok. Krok. Rozwiązujemy ukłd rówń. ) Jeżeli rz = rz B = licz iewidomych, to ukłd rówń jest ozczoy (moż go rozwiązć p. stosując wzory Crmer), ) Jeżeli rz = rz B = r < licz iewidomych, ukłd rówń jest ieozczoy. y go rozwiązć wyiermy z ukłdu r rówń odpowidjących ieosoliwej podmcierzy rzędu r. Pozostwimy po lewej stroie iewidome związe z podmcierzą, zś pozostłe przeosimy drugą stroę rówi i trktujemy jko prmetry rozwiązi. Odrzucoe rówi ędą spełioe przez zlezioe rozwiązie. LGEBR 0

21 Dziękuję z uwgę