MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI
|
|
- Bronisław Pietrzyk
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI
2 . Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A. Kżdy ziór jest wyzczoy przez swoje elemety. Ziór skończoy ziór o skończoej liczie elemetów. Ziór pusty ( symol ) ziór, do którego ie leży żde elemet. Ziór ieskończoy ziór, który ie jest i skończoy, i pusty. Rówość ziorów: A = B (dl kżdego x : x A x B ) Zwierie się ziorów, podziory: A B ( dl kżdego x: x A x B ) Ziory rozłącze - ziory ie mjące żdego elemetu wspólego. Sum ziorów A B: Iloczy ziorów A B: Różic ziorów A \ B: x A B ( x A lu x B ) x A B ( x A i x B ) x A \ B ( x A i x B ) Dopełieie zioru A ( symol A ): Jeśli wszystkie rozptrywe przez s ziory są podziormi ustloego zioru X, to ziór X zywmy przestrzeią. Jeśli X jest przestrzeią i A X, to A = X \ A Iloczy krtezjński ( produkt ) ziorów A B: Prę elemetów (x,y), w której wyróżioo elemet x jko pierwszy zywmy prą uporządkową. ( x, y ) A B ( x A i y B ) Zestwieie iektórych prw rchuku ziorów: zw prw treść prw przemieość dodwi A B = B A przemieość iloczyu A B = B A łączość dodwi (A B) C = A (B C) łączość iloczyu (A B) C = A (B C) rozdzielość możei względem dodwi (A B) C =(A C) (B C) rozdzielość dodwi względem możei (A B) C =(A C) (B C) prw de Morg (A B) = A B (A B) = A B
3 . Ukłdy rówń i ierówości. Wrtość ezwzględ liczy rzeczywistej = gdy 0 gdy < 0 Nierówości z wrtością ezwzględą x <, to x ( -, ) x >, to x ( -, - ) (, ) x, to x [ -, ] x, to x ( -, - ] [, ) Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych Rozwiąziem ukłdu rówń liiowych ( stopi pierwszego ) z dwiem iewidomymi zywmy kżdą uporządkową prę licz spełijących o rówi ukłdu. Dy jest ukłd rówń Wyzczikmi ukłdu zywmy liczy: W = W x = W y = c c x + x + c c y = c y = c = - ; = c - c ; = c - c ; Ukłd rówń (*) zywmy ukłdem rówń: ) iezleżych W 0, to ukłd m dokłdie jedo rozwiązie de wzormi: x = W W x, y = W W y, geometryczą iterpretcją ukłdu są dwie proste przecijące się, ) zleżych W = 0 i W x = 0 i W y = 0, to ukłd m ieskończeie wiele rozwiązń ( x, y ) tkich, że x R, y = x + c ; geometryczą iterpretcją ukłdu są dwie proste pokrywjące się; c) sprzeczych W = 0 i W x 0 lu W y 0, ziór rozwiązń ukłdu jest ziorem pustym, geometryczą iterpretcją ukłdu są dwie róże proste rówoległe. (*) 3
4 3. Fukcj kwdrtow. Fukcją kwdrtową ( trójmiem kwdrtowym ) zywmy fukcję f określoą wzorem postci f(x) =x +x+c, gdzie,, c R i 0. Koiczą postcią trójmiu kwdrtowego zywmy postć f (x) = x +, 4 gdzie = -4c. Liczę zywmy wyróżikiem trójmiu. Miejsc zerowe fukcji kwdrtowej: fukcj kwdrtow m dw róże miejsc zerowe x, x wtedy i tylko wtedy, gdy >0, wtedy + x =, x =, fukcj kwdrtow m dokłdie jedo miejsce zerowe x wtedy i tylko wtedy, gdy =0, x =, fukcj kwdrtow ie m miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy <0. Iloczyow postć fukcji kwdrtowej: jeżeli >0, to trójmi kwdrtowy y = x +x+c ( 0) moż przedstwić w postci iloczyu y = (x-x )(x-x ), gdzie x, x ozczją miejsc zerowe trójmiu; jeżeli =0, to trójmi kwdrtowy y= x +x+c ( 0) moż przedstwić w postci iloczyu y = (x-x ), gdzie x jest miejscem zerowym trójmiu. Wzory Viete Jeżeli trójmi kwdrtowy y= x +x+c ( 0) m miejsce zerowe (dw lu jedo) x, x, to x + x =, c x x =. Wykres fukcji kwdrtowej y= x +x+c, gdzie 0, jest krzywą zwą prolą. Wierzchołek proli m współrzęde: W =,. 4 Dl < 0 wierzchołek proli jest mksimum fukcji kwdrtowej, tomist dl > 0 wierzchołek proli jest miimum fukcji kwdrtowej. > 0 >0 > 0 < 0 < 0 < 0 < 0 = 0 > 0 < 0 = 0 > 0 4
5 4. Wielomiy Wielomiem stopi jedej zmieej zywmy fukcję W:R R określoą wzorem postci: gdzie 0,,,..., R i 0, N. W(x)= 0 + x+ x x, Liczy 0,,,..., zywmy współczyikmi wielomiu W. Dw wielomiy są rówe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego smego stopi i mją rówe współczyiki przy odpowiedich potęgch zmieej. Wielomi W jest podziely przez wielomi W jeśli istieje wielomi Q tki, że W(x) = W (x) Q(x) dl kżdego x R. Dl kżdej pry wielomiów W i W tkich, że stopień wielomiu W jest dodti, istieje dokłdie jede ukłd wielomiów Q i R, dl których W(x)=W (x) Q(x)+R(x) ( dl kżdego x R ) i stopień wielomiu R jest miejszy od stopi wielomiu W lu wielomi R jest zerowy. Wielomi R zyw się resztą z dzielei wielomiu W przez wielomi W. W(r). Reszt z dzielei wielomiu W przez dwumi postci ( x r ), gdzie r R, jest rów liczie Twierdzeie Bézout. Licz jest pierwistkiem wielomiu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomi W jest podziely przez dwumi ( x ). Jeżeli licz wymier q p jest miejscem zerowym wielomiu W(x)=0 + x+ x x, gdzie 0, to q jest dzielikiem współczyik, zś p jest dzielikiem współczyik 0. 5
6 5. Fukcj wykłdicz i logrytmicz Fukcją wykłdiczą jedej zmieej zywmy fukcję f: ( R ) R + określoą wzorem postci: Włsości fukcji wymierej: f ( x ) = x, gdzie R +. Fukcj f ( x ) = x przyjmuje tylko wrtości dodtie; Fukcj f ( x ) = x jest rosąc gdy > ; Fukcj f ( x ) = x jest stł gdy = ; Fukcj f ( x ) = x jest mlejąc gdy 0 < <. Rówi i ierówości wymiere: Jeżeli > 0 i orz x = y to x = y; Jeżeli > orz x > y ( x < y ) to x > y ( x < y ); Jeżeli > orz x y ( x y ) to x y ( x y ); Jeżeli 0 < < orz x > y ( x < y ) to x < y ( x > y ); Jeżeli 0 < < orz x y ( x y ) to x y ( x y ). Logrytm dodtiej liczy przy podstwie ( > 0 i ) jest to wykłdik potęgi, do której leży podieść, żey otrzymć : log = z z =. Z określei logrytmu wyik, że log = 0, log =. Fukcją logrytmiczą jedej zmieej zywmy fukcję f: ( R + ) R określoą wzorem postci: f ( x ) = log x, gdzie R + \{}. Włsości fukcji wymierej: Fukcj f ( x ) = log x jest rosąc gdy > ; Fukcj f ( x ) = log x jest mlejąc gdy 0 < <. Twierdzei o logrytmch: Jeśli,, c R + i, to log ( c) = log + log c orz log = log - log c; c Jeśli, R +, i r R, to log r = r log ; Jeśli,, x R +, i, to log = logx logx ( zmi podstwy logrytmu ). 6
7 6. Fukcje trygoometrycze Jeśli α jest mirą kąt skierowego XOP = α, P jest dowolym puktem końcowego rmiei tego kąt ( P O, x i y są współrzędymi P, PO = r, to y si α =, cos α = x y, tg α = ( gdy x 0 ), ctg α = x ( gdy y 0 ). r r x y Związki między fukcjmi tego smego kąt x: si x + cos x =, dl x R, tg x = ctg x = si x, dl x (k+) Π, k C, cos x cos x, dl x kπ, k C, si x tg x ctg x =, dl x k Π, k C. Fukcje trygoometrycze kąt podwójego: si x = si x cos x, cos x = cos x - si x = - si x = cos x, tg x tg x =, dl x (k+) Π i x (k+) Π, k C, tg x 4 ctg x = ctg x, dl x k Π, k C. ctg x Fukcje trygoometrycze są okresowe. Okresem zsdiczym fukcji sius i cosius jest Π, okresem zsdiczym fukcji tges i cotges jest Π. Rówi trygoometrycze są to rówi, w których iewidome występują pod zkmi fukcji trygoometryczych. Tel zwier rozwiązi jprostszych rówń trygoometryczych: Rówie Rozwiązie x 0 jedye rozwiązie rówi leżące do przedziłu si x =, < x = kπ+(-) k x 0, k C ( Π ), Π cos x =, < x = kπ ± x 0, k C ( 0, Π ) tg x =, R x = kπ + x 0, k C ( Π ), Π ctg x =, R x = kπ + x 0, k C ( Π,0) ( 0, Π ) 7
8 7. Fukcje wymiere. Rówi i ierówości wymiere. Fukcją wymierą jedej zmieej zywmy fukcję F: ( R \ A ) R określoą wzorem postci: W(x) F( x) =, W (x) gdzie W i W są wielomimi, zś A jest ziorem wszystkich miejsc zerowych wielomiu W. Rówiem wymierym zywmy rówie postci: W(x) = 0, W (x) gdzie W i W są wielomimi. W(x) Rozwiąziem rówi = 0 zywmy kżdą liczę r, dl której W (r) 0 i W(r)=0. W (x) Nierówością wymierą zywmy ierówość postci W(x) W (x) gdzie W i W są wielomimi. Nierówości W(x) W(x) W(x) > 0, lu < 0, lu 0, lu 0, W (x) W (x) W (x) W(x) W (x) W(x) > 0, < 0 W (x) są rówowże odpowiedio ierówościom w postci iloczyu: W(x) W (x)>0, W(x) W (x)<0. Ntomist ierówości W(x) W (x) są rówowże odpowiedio ukłdom: W(x) W (x) 0 W (x) 0 W(x) 0, 0 W (x), W(x) W (x) 0 W (x) 0. 8
9 8. Ciągi Zsd idukcji mtemtyczej ( zupełej ) Jeżeli twierdzeie, które dotyczy licz turlych, jest () prwdziwe dl ustloej liczy turlej 0, () jeżeli dl kżdej liczy turlej k 0 z złożei prwdziwości twierdzei dl k wyik, że jest oo prwdziwe dl liczy stępej k +, to twierdzeie jest prwdziwe dl kżdej liczy turlej 0. Ciągiem ieskończoym zywmy fukcję określoą ziorze licz turlych dodtich ( N \ { 0 } ). Wrtości tej fukcji zywmy wyrzmi ciągu i ozczmy f ( ) =. Jeżeli wyrzy ciągu są liczmi rzeczywistymi, to ciąg zywmy ciągiem liczowym. Ciąg o wyrzch,,...,,... ozczmy ( ). Ciąg liczowy ( ) zywmy: ciągiem rosącym wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego N\{0} zchodzi < + ; ciągiem mlejącym wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego N\{0} zchodzi > + ; ciągiem iemlejącym wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego N\{0} zchodzi + ; ciągiem ierosącym wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego N\{0} zchodzi +. Ciągi rosące lu mlejące zywmy mootoiczymi. Grice ciągu Licz g jest gricą ciągu liczowego ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy do kżdego otoczei liczy g leżą wszystkie wyrzy tego ciągu z wyjątkiem skończoej ich ilości. lim = g g < ε. ε> 0 M > M Ciąg liczowy ( ) jest rozieży do + wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej liczy A wszystkie wyrzy tego ciągu oprócz skończoej ich ilości są większe od A.. lim = + > A. A M > M Ciąg liczowy ( ) jest rozieży do - wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej liczy B wszystkie wyrzy tego ciągu oprócz skończoej ich ilości są miejsze od B.. lim = + < B. Prwdziwe są stępujące twierdzei:. Jeżeli lim = i lim =, to: lim ( + B M > M ) ) = +, ) lim ( ) =, c) lim ( ) =, d) jeżeli lim 0, to =. Jeżeli dl kżdego N\{0} > 0 i lim = 0, to lim = Jeżeli dl kżdego N\{0} < 0 i lim = 0, to lim =. 4. Jeżeli lim =, to lim = Jeżeli lim = 0 i ciąg ( ) jest ciągiem ogriczoym, to lim ( ) = 0.. 9
10 9. Ciągi rytmetyczy i geometryczy Ciąg rytmetyczy Ciąg ( ) zywmy rytmetyczym wtedy i tylko wtedy, gdy różic między dowolym wyrzem ciągu wyrzem ezpośredio go poprzedzjącym, jest stł dl dego ciągu. + - = r Dl dowolego ciągu ( ) przez S ozczmy sumę pierwszych wyrzów tego ciągu, tz. S = Jeżeli ciąg ( ) jest ciągiem rytmetyczym o różicy r, to prwdziwe są wzory: dl kżdego N\{0} = + ( ) r, dl kżdego N\{0} = + +, dl kżdego N\{0} S = + = + ( )r. Ciąg geometryczy Ciąg ( ) zywmy geometryczym wtedy i tylko wtedy, gdy 0 i ilorz dowolego wyrzu tego ciągu i wyrzu ezpośredio go poprzedzjącego, jest dl dego ciągu stły. + = q Jeżeli ciąg ( ) jest ciągiem geometryczym o ilorzie q 0, to prwdziwe są wzory: dl kżdego N\{0} = q -, dl kżdego N\{0} = - +, q jeżeli q, to S = q jeżeli q =, to S =. Dl ciągu geometryczego ( ) spełijącego wruek q < zchodzi: lim = 0, lim S = lim q = q q., 0
11 0. Gric fukcji. Fukcje ciągłe.. Gric fukcji w pukcie Licz g jest gricą fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) tkiego, że x D f, x x 0 i lim x = x 0 jest lim f (x ) = g.. Grice jedostroe fukcji w pukcie ) Liczę zywmy gricą lewostroą fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) spełijącego wruki x D f, x < x 0 i lim x = x 0 jest lim f (x ) =. ) Liczę zywmy gricą prwostroą fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) spełijącego wruki x D f, x > x 0 i lim x = x 0 jest lim f (x ) =. c) Istieie gric jedostroych fukcji w pukcie x 0 i ich rówość jest rówowż istieiu gricy fukcji w pukcie x Gric iewłściw fukcji w pukcie ) Fukcj f m w pukcie x 0 gricę iewłściwą + wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) tkiego, że lim x = x 0, x D f i x x 0 jest lim f (x ) = +. ) Fukcj f m w pukcie x 0 gricę iewłściwą - wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) tkiego, że lim x = x 0, x D f i x x 0 jest lim f (x ) =. 4. Twierdzei o gricy fukcji w pukcie Jeżeli lim f (x) = i x x 0 x x 0 lim g(x) =, to: x x 0 ) lim (f (x) + g(x)) = +, ) lim (f (x) g(x)) =, x x 0 x x 0 c) lim (f (x) g(x)) =, d) jeżeli 0, to lim 5. Gric fukcji w + orz w - x x 0 f (x) g(x) ) Mówimy, że gricą fukcji y = f(x) w + jest licz g wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) spełijącego wruki x D f i lim x = + jest lim f (x ) = g. ) Mówimy, że gricą fukcji y = f(x) w - jest licz g wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) spełijącego wruki x D f i lim x = jest lim f (x ) = g. 6. Ciągłość fukcji Fukcj f jest ciągł w pukcie x 0 D f wtedy i tylko wtedy, gdy istieje gric fukcji w pukcie x 0 i lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Fukcj f jest ciągł w ziorze Z D f wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągł w kżdym pukcie zioru Z. Jeżeli fukcje f i g są ciągłe w pukcie x 0, to fukcje f + g, f - g, f g też są ciągłe w tym pukcie, i jeżeli g(x 0 ) 0, to fukcj g f też jest ciągł w x 0. =.
12 . Pochod fukcji i jej zstosowi Ilorzem różicowym fukcji f odpowidjącym przyrostowi rgumetu x = x x 0, gdzie f (x 0 + x) f (x 0 ) x 0, x D f i x 0 x, zywmy liczę. x f (x 0 + x) f (x 0 ) Jeżeli przy powyższym istieje gric lim i jest licz skończoą, to tę x 0 x liczę zywmy pochodą fukcji w pukcie x 0 i ozczmy f (x 0 ). Jeżeli fukcj m pochodą w pukcie x 0, to mówimy, że jest w tym pukcie różiczkowl. Jeżeli fukcj y = f(x) jest określo w pewym otoczeiu puktu x 0 i m w tym pukcie pochodą, to prost o rówiu: y = f (x) ( x x 0 ) + f(x 0 ) jest prostą styczą do wykresu fukcji f w pukcie P ( x 0, f(x 0 ) ). f (x 0 ) jest tgesem kąt chylei tej styczej do osi 0X. Jeżeli przez X ozczymy ziór tych rgumetów, dl których istieje pochod fukcji f, wówczs fukcję, któr kżdemu x X przyporządkowuje liczę f (x) zywmy pochodą fukcji f. Dziedzią fukcji f jest ziór X. Jeżeli fukcje f i g są różiczkowle w ziorze X, to: ) ( k f ) = k f, dl k R ) ( f + g ) = f + g c) ( f - g ) = f - g d) ( f g ) = f g + g f ' f f ' g g' f e) = g g Pochode iektórych fukcji: ) ( c ) = 0 ) ( x m ) = m x m-, dl m W \{0} c) ( si x ) = cos x d) ( cos x ) = - si x e) ( tg x ) = cos x f) ( ctg x ) = - si x Jeśli fukcj f jest różiczkowl w kżdym pukcie pewego zioru X R, fukcj g w kżdym pukcie y 0 = f(x) zioru wrtości fukcji f, to dl x X pochod fukcji złożoej h = g f rów się iloczyowi pochodej fukcji zewętrzej g i pochodej fukcji wewętrzej f: ( g f ) (x) = g (f(x)) f (x). Jeżeli fukcj f jest różiczkowl w ziorze Z D f i pochod fukcji f jest różiczkowl, to pochodą fukcji f zywmy drugą pochodą fukcji f i ozczmy f.
13 . Bdie fukcji. Twierdzei o mootoiczości fukcji Niech fukcj f ędzie różiczkowl w przedzile (, ), wtedy dl kżdego x (, ) - jeżeli f (x) > 0, to fukcj f jest rosąc w przedzile (, ); - jeśli f jest rosąc w przedzile (, ), to f (x) 0; - jeżeli f (x) < 0, to fukcj f jest mlejąc w przedzile (, ); - jeśli f jest mlejąc w przedzile (, ), to f (x) 0.. Ekstremum fukcji Mówimy, że fukcj m w pukcie x 0 D f miimum ( mksimum ), jeśli dl kżdego x leżącego do pewego otoczei puktu x 0 zwrtego w dziedziie fukcji zchodzi f(x) > f(x 0 ) ( f(x) < f(x 0 ) ). Mksimum i miimum zywmy ekstremum fukcji. Wruek koieczy ekstremum. Jeżeli fukcj f m ekstremum w pukcie x 0 (, ) i jest w tym pukcie różiczkowl, to f (x 0 ) = 0. Wruek wystrczjący ekstremum. Jeżeli fukcj f m pochodą w pewym otoczeiu puktu x 0, przy czym f (x) > 0 gdy x < x 0 i f (x) < 0 gdy x > x 0 to w pukcie x 0 fukcj f m mksimum; jeżeli tomist f (x) < 0 gdy x < x 0 i f (x) > 0 gdy x > x 0 to w pukcie x 0 fukcj f m miimum. 3. Njmiejsz i jwiększ wrtość fukcji w przedzile Mówimy, że fukcj f określo w przedzile <, > osiąg w tym przedzile wrtość jwiększą ( jmiejszą ), jeśli istieje pukt x 0 <, > tki, że dl kżdego x <, > i x x 0 spełioy jest wruek f(x) f(x 0 ) ( f(x) f(x 0 ) ). Ay wyzczyć jwiększą ( jmiejszą ) wrtość fukcji w przedzile <, >, leży zleźć wszystkie mksim ( miim ) lokle w tym przedzile orz oliczyć f() i f(); jwiększ ( jmiejsz ) z tych licz jest liczą poszukiwą. 4. Asymptoty wykresu fukcji Prostą, której odległość od wykresu dej fukcji f zmierz do zer w ieskończoości zywmy symptotą wykresu fukcji f. Prostą o rówiu x = zywmy symptotą pioową wykresu fukcji f, jeżeli fukcj f jest określo przyjmiej z jedej stroy puktu orz lim f (x) = ± lo lim f (x) = ±. f (x) Jeżeli istieją skończoe grice lim = m orz lim [f (x) mx] = x ± x x ± y = mx+ zywmy symptotą ukośą ( lo poziomą przy m = 0 ) wykresu fukcji f. x + x, to prostą o rówiu 3
14 . Bdie fukcji cd. 5. Schemt di fukcji 5. Wyzczmy dziedzię fukcji 5. Oliczmy grice końcch dziedziy 5.3 Wyzczmy symptoty wykresu fukcji 5.4 Wyzczmy pierwszą pochodą i jej dziedzię 5.5 Oliczmy miejsc zerowe pierwszej pochodej 5.6 Określmy zk pierwszej pochodej, wyzczmy przedziły mootoiczości i ekstrem fukcji 5.7 Wyzczmy pukty przecięci wykresu fukcji z osimi ukłdu współrzędych i wrtości fukcji w puktch wyzczoych w 5.5, Ziermy wyiki z poprzedich puktów w teli 5.9 Szkicujemy wykres fukcji 4
15 3. Fukcj homogrficz Fukcją homogrficzą zywmy fukcję postci x+ f(x) = cx+ d gdzie c 0 i d - c 0. d Dziedzią fukcji homogrficzej jest ziór D = R \. c Wykresem fukcji homogrficzej jest hiperol. d Proste o rówich x = orz y = są symptotmi tej hiperoli. c c hiperol o rówiu y = x hiperol o rówiu y = - x x+ Ay rysowć fukcję homogrficzą musimy jej postć f(x) = przeksztłcić do postci cx+ d u u f(x) = t+, wtedy wykres fukcji y = przesuwmy o wektor [ -w, t ]. x+ w x d c Pochod fukcji homogrficzej jest rów f (x) =, poiewż z złożei liczik (cx + d) jest róży od zer, więc pochod fukcji ie przyjmuje wrtości rówej zero, czyli fukcj homogrficz ie posid ekstremum. Zk pochodej zleży od zku liczik ( czyli wyrżei d - c ). Wyik z tego, że: d d fukcj homogrficz jest w przedziłch ( -, ) orz (, + ) rosąc, gdy d - c > 0, c c d d fukcj homogrficz jest w przedziłch ( -, ) orz (, + ) mlejąc, gdy d - c < 0. c c 5
16 4. Geometri litycz wektory, proste Współrzędymi wektor u r w prostokątym ukłdzie współrzędych XOY zywmy miry jego skłdowych. Jeżeli pukt A( x A, y A ) jest początkiem, pukt B( x B, y B ) jest końcem wektor u r, to współrzędymi wektor u r są liczy: = x B - x A, = y B - y A. Zpisujemy to symoliczie: u r [, ] lu u r = [, ]. Jeżeli wektor u r = [, ], to długość wektor u r wyrż się wzorem: r u = + Jeżeli pukt A( x A, y A ) i pukt B( x B, y B ), to środek S odcik AB m współrzęde: x x x S = + B A y, y S = + B y A. Jeśli α jest mirą kąt skierowego uporządkowej pry iezerowych wektorów ( u r, v r ) współrzędych u r = [, ], v r = [, ], to: + cos α = r r, si α = r r. u v u v Jeżeli wektory u r i v r mją współrzęde u r = [, ], v r = [, ], to ich iloczy sklry wyrż się wzorem u r v r = +. Wyzczikiem iezerowej pry wektorów u r i v r o współrzędych u r = [, ], v r = [, ] zywmy liczę d( u r, v r ) = = -. Jeżeli pukty A( x A, y A ), B( x B, y B ) i C( x C, y C ) są wierzchołkmi trójkąt, to pole trójkąt ABC wyrż się wzormi: P = d(ab, AC) = d(ba, BC ) = d(ca, CB ), P = x y x y ) + (x y x y ) + (x y x y ). ( A B B A B C C B C A A C Współczyikiem kierukowym prostej ieprostopdłej do osi OX zywmy tges kąt chylei tej prostej do osi OX. Rówiem kierukowym prostej l ieprostopdłej do osi OX zywmy rówie postci y = x+, gdzie ozcz współczyik kierukowy prostej l, zś rzędą puktu, w którym l przeci oś OY. Jeżeli pukty A( x A, y A ) i B( x B, y B ) leżą do prostej l, to rówie prostej l m postć: y A y B y - y A = ( x x A ), gdy x A x B, lu x x A B ( y - y A ) ( x A x B ) ( y A y B ) ( x x A ) = 0. Kżde rówie postci Ax+By+C = 0, gdzie A +B 0 jest rówiem ogólym prostej. Wektor u r = [ A, B ] jest wektorem prostopdłym do tej prostej. Odległość puktu P ( x 0, y 0 ) od prostej o rówiu Ax+By+C = 0 wyrż się wzorem: Ax 0+ By 0+ C d =. A + B Wruki rówoległości prostych Dwie proste o rówich y = x + i y = x + są rówoległe wtedy i tylko wtedy, gdy =. Dwie proste o rówich Ax+By+C = 0 i A x+b y+c = 0 są rówoległe wtedy i tylko wtedy, gdy AB BA = 0. Wruki prostopdłości prostych Dwie proste o rówich y = x + i y = x + są prostopdłe wtedy i tylko wtedy, gdy = -. Dwie proste o rówich Ax+By+C = 0 i A x+b y+c = 0 są prostopdłe wtedy i tylko wtedy, gdy AA + BB = 0.. 6
17 5. Geometri litycz krzywe stopi drugiego Okrąg Rówie okręgu o środku (, ) i promieiu r m postć ( x ) + ( y ) = r. Rówie postci x + y -x y + c = 0 przedstwi okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy + c > 0, promieiem okręgu jest r = + c, zś środkiem pukt (, ). Rówie styczej do okręgu o środku (, ) i promieiu r w pukcie ( x 0, y 0 ) leżącym do okręgu, m postć ( x 0 )( x )+( y 0 )( y ) = r. Elips Niech de ędą dw pukty F, F orz licz dodti tk, że > F F. Elipsą zywmy ziór tych wszystkich puktów P płszczyzy, dl których PF + PF =. Jeśli pukty F, F leżą do osi OX, zś początek ukłdu współrzędych jest środkiem odcik F F, to x y rówie elipsy m postć + =, gdzie = c i c = OF. Elips t m środek symetrii w pukcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY. x0 x y0 y Rówie styczej do elipsy w pukcie ( x 0, y 0 ) leżącym do elipsy, m postć: + =. Pukty F, F zywmy ogiskmi elipsy. Cięciwą elipsy zywmy kżdy odciek, którego końce leżą do elipsy. Średicą elipsy zywmy kżdą cięciwę, do której leży środek symetrii elipsy. Osią wielką zywmy jdłuższą z jej średic. Osią młą zywmy jkrótszą z jej średic. Wierzchołkmi elipsy zywmy pukty wspóle elipsy i jej osi symetrii. Mimośrodem elipsy zywmy liczę e = c, zś kierowicmi elipsy proste o rówich: x = i x = -. c c Hiperol Niech de ędą dw pukty F, F orz licz dodti tk, że < F F. Hiperolą zywmy ziór tych wszystkich puktów P płszczyzy, dl których PF - PF =. Jeśli pukty F, F leżą do osi OX, zś początek ukłdu współrzędych jest środkiem odcik F F, to x y rówie hiperoli m postć =, gdzie = c i c = OF. Hiperol t m środek symetrii w pukcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY. x0 x y0 y Rówie styczej do hiperoli w pukcie ( x 0, y 0 ) leżącym do hiperoli, m postć: =. Pukty F, F zywmy ogiskmi hiperoli. Asymptotmi hiperoli są elipsy proste o rówich: y = x i y = - x. Prol Jest to krzyw, któr w pewym ukłdzie XOY m rówie y = px, gdzie p 0, p jest prmetrem p proli. Pukt F =,0 jest ogiskiem proli. Prost o rówiu x = - jest kierowicą proli. Pukt ( 0, 0 ) jest wierzchołkiem proli. Prol jest ziorem wszystkich puktów płszczyzy rówo odległych od jej ogisk i od jej kierowicy. Jedyą osią symetrii proli jest prost OX. Rówie styczej do proli y = px w pukcie ( x 0, y 0 ) leżącym do proli, m postć: y y 0 = p ( x + x 0 ). 7
18 6. Plimetri - włsości podstwowych figur plimetryczych Odległość puktu od prostej. Odległość puktu od figury iepustej długość promiei jwiększego otoczei kołowego tego puktu wewątrz którego ie m puktów tej figury. Gdy otoczeie tkie ie istieje, odległość jest zerem. Odległość puktu od prostej rów się odległości tego puktu od jego rzutu prostokątego tę prostą. Położeie prostej m względem okręgu o(a,r). m jest styczą do o(a,r) odl. A od m = r, m jest sieczą o(a,r) odl. A od m < r, m jest zewętrzą dl o(a,r) odl. A od m > r. Stycz do okręgu (tz. prost mjąc z im dokłdie jede pukt wspóly) jest prostopdł do promiei łączącego pukt styczości ze środkiem okręgu. Dw okręgi. Jeśli okręgi o(a,) i o(b,) są róże i, to o(a,) i o(b,) są wzjemie zewętrze AB > +, o(a,) i o(b,) są zewętrzie stycze AB = +, o(a,) i o(b,) przeciją się - < AB < +, o(a,) i o(b,) są wewętrzie stycze - = AB, o(b,) k(a,) - > AB. Związki mirowe w trójkącie prostokątym. Jeśli AC CB i CD AB, to = c DB, siα=, cosα=, tgα=, ctgα=, = c AD, c c = c si α = tg α, h = AD DB, = c cos α = ctg α, c = + (tw. Pitgors), c= Związki mirowe w dowolym trójkącie. Wzór siusów: c = = = r, gdzie r długość promiei okręgu opisego ABC. si α si β si γ Wzór cosiusów: = + c - c cosα. Symetrle wszystkich oków trójkąt przeciją się w jedym pukcie O, który jest środkiem okręgu przechodzącego przez pukty A, B, C, czyli okręgu opisego tym trójkącie. c Długość promiei opisego trójkącie r =, gdzie S jest polem trójkąt; 4S Dwusiecze wszystkich kątów wewętrzych trójkąt przeciją się w jedym pukcie, który jest środkiem okręgu styczego do wszystkich oków trójkąt, czyli okręgu wpisego w trójkąt. S Długość promiei okręgu wpisego w trójkąt ρ =, gdzie S pole, p połow owodu trójkąt. p Odciek łączący środki dwu oków trójkąt jest rówoległy do trzeciego oku i rówy jego połowie. siα = cosα. 8
19 6. Plimetri - włsości podstwowych figur plimetryczych cd. Njwżiejsze widomości o wielokątch. Czworokąt wielokąt o czterech okch. Sum mir kątów wewętrzych dowolego czworokąt jest rów 360 O. Trpez czworokąt mjący przyjmiej dw oki rówoległe. Trpez rówormiey trpez mjący dw oki przeciwległe ierówoległe i rówe. Jeżeli w trpezie dw przeciwległe oki ie są rówoległe, to. sum kątów wewętrzych leżących przy kżdym z tych oków jest kątem półpełym,. odciek łączący środki tych oków jest rówoległy do podstw (tz. oków rówoległych), jego długość rów się połowie sumy długości ou podstw. W trpezie rówormieym kąty przy kżdej podstwie są przystjące. Trpez rówormiey m jedą oś symetrii. Czworokąt wpisy w okrąg i czworokąt opisy w kręgu. Czworokąt wypukły moż wpisć w krąg sumy mir kątów przeciwległych w tym czworokącie są rówe(kżd z ich jest rów 80 o ). Czworokąt wypukły moż opisć kręgu sumy długości oków przeciwległych w tym czworokącie są rówe. Odciki, proste i kąty w związku z okręgiem Kąt między cięciwą i styczą Kąt ostry między cięciwą i styczą przechodzą przez koiec cięciwy jest rówy połowie kąt środkowego opowidjącego cięciwie. Kąt środkowy i kąty wpise oprte tym smym łuku Wszystkie kąty wpise okrąg i oprte tym smym łuku są rówe kżdy z ich jest rówy połowie kąt środkowego oprtego tym łuku Kąt wpisy w półokrąg (oprty średicy) jest prosty. 9
20 7. Rchuek prwdopodoieństw Komitoryk Permutcje kżdy - wyrzowy ciąg utworzoy ze wszystkich elemetów elemetowego zioru. P =!! Komicje kżdy k - elemetowy podziór - elemetowego zioru. C k = = k k!( k)! Wricje ez powtórzeń kżdy k - wyrzowy ciąg utworzoy z różych elemetów -! elemetowego zioru. V k = ( k)! Wricje z powtórzeimi kżdy k - wyrzowy ciąg utworzoy z elemetów - elemetowego k k zioru. W = Włsości prwdopodoieństw P(A) 0, P( ) = 0, P(Ω) =, jeżeli A B to P(A) P(B), dl kżdego A Ω jest P(A), P(A ) = - P(A), P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Klsycz defiicj prwdopodoieństw Jeżeli wszystkie zdrzei elemetre są jedkowo prwdopodoe to prwdopodoieństwo kżdego zdrzei A jest ilorzem liczy zdrzeń sprzyjjących temu zdrzeiu przez liczę wszystkich zdrzeń elemetrych. P(A) = gdzie A - licz zdrzeń sprzyjjących zdrzeiu A, Ω - licz wszystkich zdrzeń elemetrych. A, Ω Prwdopodoieństwo wrukowe Prwdopodoieństwo zdrzei A pod wrukiem zjści zdrzei B jest to licz P(A B) P(A / B) = P(B) Prwdopodoieństwo cłkowite ( zupełe ) Jeśli B, B,...,B są zdrzeimi wyłączjącymi się prmi orz ich sum jest zdrzeiem pewym, to dl dowolego zdrzei A zchodzi wzór: P(A) = P(A / B ) P(B ) + P(A / B ) P(B ) P(A / B ) P(B ) Niezleżość zdrzeń Zdrzei A i B zywmy iezleżymi, jeżeli P(A B) = P(A) P(B). W przeciwym przypdku mówimy, że zdrzei A i B są zleże. Schemt Beroulliego ciąg powtórzeń tego smego doświdczei Prwdopodoieństwo otrzymi dokłdie k sukcesów w próch Beroulliego wyosi: P (k) = p k q -k, k gdzie p prwdopodoieństwo sukcesu, q = - p - prwdopodoieństwo porżki, k = 0,,...,. 0
21
22 S P I S T R E Ś C I. ZBIORY. DZIAŁANIA NA ZBIORACH.. UKŁADY RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI FUNKCJA KWADRATOWA WIELOMIANY 5 5. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA 6 6. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE 7 7. FUNKCJE WYMIERNE. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYMIERNE CIĄGI 9 9. CIĄGI ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY 0 0. GRANICA FUNKCJI. FUNKCJE CIĄGŁE.. POCHODNA FUNKCJI I JEJ ZASTOSOWANIA. BADANIE FUNKCJI 3. BADANIE FUNKCJI CD FUNKCJA HOMOGRAFICZNA 5 4. GEOMETRIA ANALITYCZNA WEKTORY, PROSTE 6 5. GEOMETRIA ANALITYCZNA KRZYWE STOPNIA DRUGIEGO 7 6. PLANIMETRIA - WŁASNOŚCI PODSTAWOWYCH FIGUR PLANIMETRYCZNYCH 8 6. PLANIMETRIA - WŁASNOŚCI PODSTAWOWYCH FIGUR PLANIMETRYCZNYCH CD RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 0
WZORY Z MATEMATYKI. Równość zbiorów: A = B (dla każdego x : x A x B ) Zawieranie się zbiorów, podzbiory: A B ( dla każdego x: x A x B )
. Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A. Kżdy ziór jest wyzczoy przez swoje elemety.
Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.
Główk prcuje - zdi wymgjące myślei czyli TOP TRENDY owej mtury W tej pordzie 0 trudiejszych zdń Wiele z ich to zdi, których temt zczy się od wykż, udowodij, czyli iezbyt lubiych przez mturzystów Zdie Widomo,
1.1 Pochodna funkcji w punkcie
Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod
Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile Kl. II poziom rozszerzony
Wymgi poszczególe ocey z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile Kl. II poziom rozszerzoy 1. WIELOMIANY podje przykłdy wielomiów, określ ich stopień i podje wrtości ich współczyików zpisuje wielomi
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej. Zakres podstawowy i rozszerzony
Dorot oczek, roli Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy i rozszerzoy Ozczei: wymgi koiecze; wymgi podstwowe; R wymgi rozszerzjące; D wymgi dopełijące; W
7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,
1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY
. Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM klasa 2F 1. FUNKCJA LINIOWA
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM kls 2F 1. FUNKCJA LINIOWA Uczeń otrzymuje oceę dopuszczjącą, jeśli: rozpozje fukcję liiową podstwie wzoru lub wykresu rysuje
CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB
pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:
3, leŝącym poniŝej punktu P. Wartości funkcji f są
Odpowiedzi i schemty oceii Arkusz Zdi zmkięte Numer zdi Poprw odpowiedź Wskzówki do rozwiązi D ( 0 x )( x + b) x 0 + b 0 x xb x + ( 0 b) x + b 0 x + ( 0 b) x + b 0 0x + 0 0 WyrŜei po obu stroch rówości
Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n
CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły
MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań
MATEMATYKA Przed próbą mturą Sprwdzi (poziom rozszerzoy) Rozwiązi zdń Zdie ( pkt) P Uczeń oblicz potęgi o wykłdikc wymieryc i stosuje prw dziłń potęgc o wykłdikc wymieryc 5 ( ) 7 5 Odpowiedź: C Zdie (
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A i III B Liceum Plastycznego 2019/2020
Wymgi edukcyje z mtemtyki w klsie III A i III B Liceum Plstyczego 019/00 Zkres rozszerzoy Kryteri Zjomość pojęć, defiicji, włsości orz wzorów objętych progrmem uczi. Umiejętość zstosowi wiedzy teoretyczej
CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
Macierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.
Zdi i rozwiązi prc domowych z Alizy Mtemtyczej. z grupy p Ryszrd Kopieckiego, semestr leti / Ntli Skowsk . seri UWAGA: wykresów oczywiście rysowć ie trzeb. Co więcej, wykres ie jest dowodem żdego stwierdzei.
Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Ciąg rytmetyczy i geometryczy Zd. : Ciąg ( ) jest opisy wzorem = 5 + ( )(k k ), gdzie k jest prmetrem. ) WykŜ, Ŝe ( ) jest ciągiem rytmetyczym. Dl jkich wrtości prmetru k ciąg te jest mlejący? b) Dl k
Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.
ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE ZBIORY LICZB { 3 } { ± ± } N ziór licz turlych Z ziór licz cłkowitych p Q : p Z q N ziór licz wymierych q R ziór licz rzeczywistych ZBIORY OGRANICZONE Def ziór ogriczoy z dołu
Collegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Ciągi i szeregi funkcyjne
Mteriły do ćwiczeń Aliz Mtemtycz II 7/8 Mri Frotczk, Ludwik Kczmrek, Ktrzy Klimczk, Mri Michlsk, Bet Osińsk-Ulrych, Tomsz Rodk, Adm Różycki, Grzegorz Sklski, Stisłw Spodziej Teori pod przed ćwiczeimi pochodzi
ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).
ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 4 3 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
Analiza matematyczna ISIM I
Aliz mtemtycz ISIM I Ryszrd Szwrc Spis treści Ciągi liczbowe. Zbieżość ciągów......................... 3. Liczb e.............................. 0 Szeregi liczbowe 3. Łączość i przemieość w sumie ieskończoej.........
Powtórka dotychczasowego materiału.
Powtórk dotychczsowego mteriłu. Zdi do smodzielego rozwiązi. N ćwiczeich w środę 7.6.7 grupy 4 leży wskzć zdi, które sprwiły jwięcej problemów. 43. W kżdym z zdń 43.-43.5 podj wzór fukcję różiczkowlą f
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
EAIiIB- Informatyka - Wykład 1- dr Adam Ćmiel zbiór liczb wymiernych
EAIiIB- Iortyk - Wykłd - dr Ad Ćiel ciel@.gh.edu.pl dr Ad Ćiel (A3-A4 p.3, tel. 3-7, ciel@gh.edu.pl ; http://hoe.gh.edu.pl/~ciel/) Podręcziki Gewert M, Skoczyls Z. Aliz tetycz i. Deiicje twierdzei i wzory,
Wykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
MATEMATYKA KLASA II K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH
Zespół Szkół im Jrosłw Iwszkiewicz w Sochczewie MATEMATYKA KLASA II K i rozszerzoym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowe podstwie
Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4
Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest
FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Ciągi i szeregi liczbowe
Ciągi i szeregi liczbowe Defiicj. Jeżeli kżdej liczbie turlej przyporządkow zostł jkś liczb rzeczywist, to mówimy, że zostł określoy ciąg liczbowy (ieskończoy). Formlie ozcz to, że ciąg liczbowy jest fukcją
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Sumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Repetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona
Poprwi lem 9 czerwc 206 r, godz 20:0 Twierdzeie 5 kryterium Abel Dirichlet Niech be dzie ieros cym ci giem liczb dodtich D Jeśli 0 i ci g sum cze ściowych szeregu b jest ogriczoy, to szereg b jest zbieży
Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu
Rozdził. Ciągi liczbowe, gric ciągu. Rodzje i włsości ciągów liczbowych W życiu codzieym często moż spotkć się z ciągmi: ciąg smochodów ulicy (pierwszy, drugi, trzeci ), ciąg ludzi w kolejce (zerowy chwilę
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) szkicuje wykres funkcji f ( x)
l. 3iA WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Ozczei: wymgi koiecze (dopuszczjący); P wymgi podstwowe (dostteczy); R wymgi rozszerzjące (dobry); D wymgi dopełijące (brdzo
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Nr zdi Nr czyoci Przykdowy zestw zd r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etpy rozwizi zdi I metod rozwizi ( PITAGORAS
Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. średnica podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P
Cł ozczo. De.. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De. sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Całka oznaczona. długość k-tego odcinka podziału P. punkt pośredni k-tego odcinka podziału P. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale
Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 sum cłow Niech ucj ędzie ogriczo przedzile
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:
Sumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
MATERIAŁY POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI MATEMATYKI
MATEMATKA MATERIAŁ POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI MATEMATKI KATOLICKI UNIWERSTET LUBELSKI JANA PAWAŁA II Wydził Zmiejscowy Prw i Nuk o Społeczeństwie w Stlowej Woli Mri Borowsk MATEMATKA MATERIAŁ POMOCNICZE
Analiza Matematyczna
Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził
zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Jan Nawrocki. MATEMATYKA cz. 2. Analiza matematyczna I
J Nwrocki MATEMATYKA cz Aliz mtemtycz I Politechik Wrszwsk Politechik Wrszwsk Wydził Smochodów i Mszy Roboczych Kieruek "Edukcj techiczo iformtycz" -54 Wrszw, ul Nrbutt 84, tel () 849 4 7, () 4 8 48 ipbmvrsimrpwedupl/spi/,
Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II. Wykłady
Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Mteriły dydktycze Mtemtyk Semestr II Wykłdy Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Literatura do ćwiczeń: Program zajęć: dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; rok I, I o.inż. 17 listopada 2015
dr Krzysztof Żyjewski Iformtyk; rok I, I o.iż. 17 listopd 015 Kotkt: e-mil: krzysztof.zyjewski@uwm.edu.pl kosultcje: po 18 listopd 7.55-8.55, pok. A0/19 (ie termiy możliwe po uprzedim kotkcie milowym)
MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące
Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.
Wybre zgdiei bdń opercyjych Wykłd Metod simpleks rozwiązywi zdń progrmowi liiowego Prowdzący: dr iiż.. Zbiigiiew TARAPATA De kotktowe: e-mil: WWW: Zbigiew.Trpt@wt.edu.pl http://trpt.stref.pl tel. : 83-94-3,
MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
MATeMAtyka zakres rozszerzony
MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Techikum Nr 2 im. ge. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekoomiczych w Kaliszu Wymagaia edukacyje iezbęde do uzyskaia poszczególych śródroczych i roczych oce klasyfikacyjych z obowiązkowych zajęć
1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Wymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
f(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw.
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził - Lp Lp temt z.p. z.r. Zkres treści Wykres f() = 1 1 wykres i włsności f() =, gdzie 0 Przesunięcie wykresu f() = wzdłuż osi OX i OY /o wektor/ Postć knoniczn i postć ogóln