W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

Transkrypt

1 Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach, azywaa graczem r., otrzymuje 9 losów, Osoba, która zajęła trzece mejsce w elmacjach, azywaa graczem r. 3, otrzymuje 8 losów,... Osoba, która zajęła dzesąte mejsce w elmacjach, azywaa graczem r. 0, otrzymuje los. Jede spośród 55 losów przyos wygraą. Oblcz wartość oczekwaą umeru gracza, który posada wygrywający los. (A) 4 (B) 3 (C) 0 3 (D) 5 (E) 6

2 Zadae Nech zmea losowa S będze lczbą sukcesów w próbach Beroullego z prawdopodobeństwem sukcesu p. O zdarzeu losowym A wemy, że k Pr( A S k) a dla k 0,,...,, gdze a jest zaą lczbą, 0 < a. Oblcz E( S A). (A) p + p (B) ap ( +) (C) p( +) (D) p + (E) ap +

3 Zadae 3 Rozważmy próbkę X,..., z rozkładu jedostajego a odcku [ 0, θ (z X ] ezaym prawym końcem θ ). Nech M max( X,..., X ). Należy zbudować przedzał ufośc dla θ a pozome 90%. Chcemy, żeby te przedzał był postac [ am,bm ], gdze lczby a b są tak dobrae, żeby Pr( θ < am ) Pr( θ > bm ) Podaj długość tego przedzału. (A) ( ) M (B) 0 M (C) M (D) ( 9 ) M (E) θ 3

4 Zadae 4 Rozważmy sumę losowej lczby zmeych losowych: N S S N X. Przyjmjmy typowe dla kolektywego modelu ryzyka założea: składk mają jedakowy rozkład prawdopodobeństwa, są ezależe od sebe awzajem od zmeej losowej N. Przyjmjmy ozaczea: ) µ, Var( X ) σ, E( N) m, Var( N). E( X d X Podaj współczyk a,b fukcj lowej a S + b, która ajlepej przyblża zmeą losową N w sese średokwadratowym: E {( a S + b N) } m E{ ( as + b N } ) a, b (A) a, 0 µ b (B) a µ d m σ b (C) a µ d mσ b md (D) a µ σ b (E) a md m d + µσ µ σ b m d + µσ Wskazówka: Oblcz Cov ( N, S) Var (S). 4

5 Zadae 5 Nech X,..., X 6 będze próbką z rozkładu jedostajego o gęstośc daej wzorem: f θ / θ ( x) 0 w dla przecwym 0 x θ; przypadku. Zmee losowe X,..., X 6 e są w peł obserwowale. Obserwujemy zmee losowe Y m(x,0). Oblcz estymator ajwększej warogodośc θˆ parametru θ a podstawe astępującej próbk: ( 6 Y,..., Y ) ( 4, 8, 0, 5, 0, 9, 7, 5, 8, 0, 6, 0, 3, 0, 6, 0) (A) θˆ (B) θˆ 6 (C) θˆ 0 (D) θˆ 0 (E) e moża zastosować metody ajwększej warogodośc do tych daych Wskazówka: Zauważ, że w próbce jest 0 obserwacj mejszych od 0 oraz 6 obserwacj o wartośc rówej 0. 5

6 Zadae 6 Rozważmy astępujące zagadee testowaa hpotez statystyczych. Dyspoujemy próbką X,..., X z rozkładu ormalego o ezaej średej µ zaej waracj rówej. Przeprowadzamy ajmocejszy test hpotezy H : 0 przecwko alteratywe H : µ a pozome stotośc α /. Oczywśce, moc tego testu zależy od rozmaru próbk. Nech β ozacza prawdopodobeństwo błędu drugego rodzaju, dla rozmaru próbk. Wyberz poprawe stwerdzee: 0 µ β (A) lm (wraz ze wzrostem / podobą szybkoścą, jak cąg / ). β (B) lm / (wraz ze wzrostem podobą szybkoścą, jak cąg / )., prawdopodobeństwo β maleje do zera z, prawdopodobeństwo β maleje do zera z β (C) lm / e (wraz ze wzrostem podobą szybkoścą, jak cąg e ). β (D) lm / e / π zera z podobą szybkoścą, jak cąg /, prawdopodobeństwo β maleje do zera z (wraz ze wzrostem, prawdopodobeństwo β maleje do / e / π ). (E) żade z powyższych stwerdzeń e jest prawdzwe 6

7 Zadae 7 Wyberamy losowo 5 kart spośród 5. Rozważmy astępujące zdarzea losowe: A { wśród wybraych kart jest przyajmej as }; A { wśród wybraych kart są przyajmej asy }; A { wśród wybraych kart jest as pkowy }. pk Oblcz prawdopodobeństwa warukowe Pr( A A ) Pr( A A pk ). Wyberz prawdłową odpowedź: (A) Pr( A A ) Pr( A A pk ) 0. (B) Pr( A A ) 0.4 Pr( A ) 0. A pk (C) Pr( A A ) 0. Pr( A ) 0.4 A pk (D) Pr( A A ) Pr( A A pk ) 0.4 (E) Pr( A A ) 0.34 Pr( A A pk )

8 Zadae 8 Nech X Y będą ezależym zmeym losowym o rozkładach ormalych, przy tym E[ X ] E[ Y ] 0, Var [ X ] Var [ Y ] 3. Oblcz Pr[ X < Y ]. (A) Pr[ X < Y ] (B) Pr[ X < Y ] (C) Pr[ X < Y ] (D) Pr[ X < Y ] (E) Pr[ X < Y ]

9 Zadae 9 Nech X,..., X będze próbką z rozkładu o gęstośc daej wzorem: / θ x θ fθ ( x) 0 w przecwym dla 0 < x < ; przypadku. Zajdź estymator ajwększej warogodośc średokwadratowy (ryzyko) tego estymatora, θˆ parametru θ oblcz błąd ˆ R ( θ ) Eθ [( θ θ ) ]. (A) (B) (C) R ( θ ) θ R( θ ) R( θ ) θ θ + θ (D ) R ( θ ) θ + θ (E) R ( θ ) θ 9

10 Zadae 0 Rozpatrzmy astępujący model regresj lowej bez wyrazu wolego: Y β + ε (,..., ), x gdze x są zaym lczbam, β jest ezaym parametrem, zaś ε są błędam losowym. Zakładamy, że E[ ε ] 0 Var [ ε ] x σ (,..., ). Skostruuj estymator βˆ parametru β o astępujących własoścach: βˆ jest lową fukcją obserwacj, tz. jest postac ˆβ c Y, βˆ jest eobcążoy, tz. E ˆ β β, βˆ ma ajmejszą warację spośród estymatorów lowych eobcążoych. (A) (B) (C) (D) (E) ˆ β x Y x ˆ ( x x) Y β, gdze x x ( x x) βˆ ˆβ βˆ Y x Y x x Y x Wskazówka: Moża wyprowadzć poprawy wzór rozwązując zadae mmalzacj, albo skorzystać z Twerdzea Gaussa-Markowa. 0

11 Egzam dla Aktuaruszy z paźdzerka 003 r. Prawdopodobeństwo Statystyka Arkusz odpowedz Imę azwsko... K L U C Z O D P O W I E D Z I... PESEL... Zadae r Odpowedź Puktacja A A 3 C 4 B 5 B 6 D 7 C 8 D 9 B 0 D Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.