ZSTA LMO Zadania na ćwiczenia

Transkrypt

1 ZSTA LMO Zadaia a ćwiczeia Efektywość estymatorów ieobciążoych Zadaie 1. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X będzie próbą prostą z tej populacji. a Wyzacz ilość iformacji Fishera o parametrze λ z próby X. b Pokaż, że statystyka ĝx = X jest estymatorem efektywym fukcji parametryczej gλ = λ. Zadaie. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład wykładiczy Exλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X, > będzie próbą prostą z tej populacji. a Wyzacz ilość iformacji Fishera o parametrze λ z próby X. b Pokaż, że statystyka ĝx = mi{x 1, X,..., X } ie jest estymatorem efektywym fukcji parametryczej gλ = 1 λ. Wskazówka: Zmiea losowa Y = mi{x 1, X,..., X } ma rozkład wykładiczy Exλ. c Oblicz effĝx. d Korzystając z waruku a rówość w ierówości Cramera-Rao wyzacz estymator efektywy fukcji parametryczej gλ. Estymatory zgode Zadaie 3. Niech X = X 1, X,..., X będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie zerojedykowym bp, gdzie p 0, 1 jest parametrem. Pokaż zgodość estymatora fukcji parametryczej gp = p postaci ĝx = X. Zadaie 4. Niech X = X 1, X,..., X będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie Rayleigha Rλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Pokaż zgodość estymatora fukcji parametryczej gλ = λ l postaci: ĝx = l π X. Zadaie 5. Niech X = X 1, X,..., X będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie wykładiczym Exλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Pokaż zgodość estymatora fukcji parametryczej gλ = λ postaci: ĝx = 1 X. Wskazówka: Estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji parametru λ jest statystyka 1 X. Przedziały ufości w dużych próbach Zadaie 6. W celu oszacowaia siły kiełkowaia pewej owej odmiay grochu procetu ziare które wykiełkują, wykoao doświadczeie polegające a wysadzeiu losowo wybraych 800 ziare grochu tej owej odmiay i badaiu ilości ziare które wykiełkują. Na 800 wysadzoych ziare wykiełkowało 78. Jako rozkład teoretyczy badaej cechy przyjęto rozkład zero-jedykowy bp, gdzie p 0, 1 jest parametrem. Wyzacz 95% przybliżoy przedział ufości siły kiełkowaia, tz. dla parametru p. Porówaj otrzymay wyik z przedziałem ufości uzyskaym w klasyczy sposób postaci x x1 x z 1 α, x + gdzie zp ozacza kwatyl rzędu p z rozkładu N0, 1. 1 x1 x z 1 α,

2 Zadaie 7. Niech X = X 1, X,..., X będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Za pomocą metody delta i Cetralego twierdzeia graiczego wyzacz 1001 α% przybliżoy przedział ufości dla parametru λ. Wskazówka: Z Cetralego twierdzeia graiczego otrzymuje, że X AN λ, λ. Zadaie 8. Iwestorzy i projektaci turbi w pewej owopowstającej elektrowi wiatrowej potrzebują iformacji o szybkości wiatru, aby oszacować dochody z produkcji eergii elektryczej i zmiimalizować koszty jej wytwarzaia. W tym celu wykoao 5 pomiarów średiej szybkości wiatru w 15 miutowych odstępach czasu. Uzyskao astępujące wyiki w m/s: 0,9 6,,1 4,1 7,3 1,0 4,6 6,4 3,8 5,0,7 9, 5,9 7,4 3,0 4,9 8, 5,0 1, 10,1 1,,8 5,9 8, 0,5 Jako rozkład teoretyczy badaej cechy przyjęto rozkład Rayleigha Rλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Wyzacz 95% przybliżoy przedział ufości dla parametru λ. Wskazówka: Na podstawie powyższych daych obliczoo, że x i = 885,5. Zadaie 9. Niech X = X 1, X,..., X będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie wykładiczym Exλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Stosując kostrukcję opartą a asymptotyczej ormalości ENW, wyzacz 1001 α% przybliżoy przedział ufości dla parametru λ. Wskazówka: ENWλ = 1/ X. Zadaie 10. W celu zbadaia czasu bezawaryjej pracy urządzeń po wykoaiu kapitalego remotu, wybrao 50 urządzeń i obserwowao czas bezawaryjej pracy. Wyiki w h. są astępujące: Jako rozkład teoretyczy badaej cechy przyjęto rozkład wykładiczy Exλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Wyzacz 95% przybliżoy przedział ufości dla parametru λ. Porówaj otrzymay wyik z dokładym przedziałem ufości otrzymaym przy użyciu rozkładu chi-kwadrat postaci χ α, X, χ 1 α, X, gdzie χ p, m jest kwatylem rzędu p z rozkładu chi-kwadrat z m stopiami swobody. Wskazówka: Na podstawie powyższych daych obliczoo, że x i = Testy ilorazu wiarogodości dla dwóch prób prostych Zadaie 11. Zebrao iformacje dotyczące ilości czasu w godziach poświecoego a wykoywaie zadań domowych przez amerykańskich ucziów prywatych oraz publiczych szkół średich. Na podstawie tych iformacji po piętastu ucziów wylosowaych z obu aalizowaych grup obliczoo, że: dla ucziów szkół prywatych: 15 x 1i = 79, 15 x 1i = 545, dla ucziów szkół publiczych: 15 x i = 4, 15 x i = Czy rzeczywiście ucziowie szkół prywatych poświęcają istotie więcej czasu a wykoywaie zadań domowych iż ucziowie szkół publiczych? Przyjmij założeie ormalości rozkładu badaej cechy oraz poziom istotości procedury testowej α = 0, 05.

3 Zadaie 1. Zebrao iformacje dotyczące czasu w latach bezawaryjej pracy urządzeń starego i owego typu. Na podstawie tych iformacji po dwadzieścia urządzeń daego typu obliczoo, że: dla urządzeń starego typu: 0 x 1i = 78, dla urządzeń owego typu: 0 x i = 86. Czy wartość oczekiwaa bezawaryjego czasu pracy owych urządzeń jest istotie dłuższa iż urządzeń starego typu? Przyjmij założeie wykładiczości rozkładu czasu bezawaryjej pracy urządzeń oraz poziom istotości procedury testowej α = 0, 05. Wskazówka: Niech X 1 = X 11, X 1,..., X 1, X = X 1, X,..., X m będą iezależymi próbami prostymi z populacji o rozkładach wykładiczych Exλ 1 i Exλ, odpowiedio, gdzie λ 1 i λ są parametrami. Obszar krytyczy testu ilorazu wiarogodości hipotezy zerowej 3 przeciwko hipotezie alteratywej H 0 : λ 1 = λ a poziomie istotości α ma postać { B = x 1, x : H 1 : λ 1 > λ } X 1 F α,, m, X gdzie F p, r, s jest kwatylem rzędu p z rozkładu F r, s. Zadaie 13. Niech X 1 = X 11, X 1,..., X 1, X = X 1, X,..., X m, m > 1 będą iezależymi próbami prostymi z populacji o rozkładach ormalych Nµ 1, σ 1 i Nµ, σ, odpowiedio, gdzie µ 1, µ, σ 1 i σ są parametrami. Wyzacz obszar krytyczy testu ilorazu wiarogodości a poziomie istotości α hipotezy zerowej przeciwko hipotezie alteratywej H 0 : σ 1 = σ Wskazówki: a Moża pokazać, że gdzie H 1 : σ 1 > σ. sup L = π +m S 1 S m exp Θ sup L = π +m ˆσ +m exp Θ 0 S 1 = 1 1i X X 1, S = 1 m b Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka testowa F X 1, X = S 1 S ma rozkład F 1, m 1, gdzie S 1 = m + m,, m X i X, ˆσ = 1 S 1 + m S. + m X 1i X 1, S = 1 m X i m 1 X.

4 Nieparametrycze testy zgodości i jedorodości Zadaie 14. Pokaż, że statystykę testową w teście zgodości χ -Pearsoa dla jedej próby moża zapisać w postaci k χ Oi =. E i Zadaie 15. W klasyczych doświadczeiach dotyczących selekcji grochu, Medel obserwował liczebości występowaia różych rodzajów asio otrzymaych przy krzyżowaiu rośli z okrągłymi i żółtymi asioami oraz rośli z pomarszczoymi i zieloymi asioami. Poiższa tabela zawiera otrzymae wyiki. Rodzaj Liczebość pomarszczoe i zieloe 3 okrągłe i zieloe 108 pomarszczoe i żółte 101 okrągłe i żółte 315 Według teoretyczych rozważań prawdopodobieństwa występowaia wymieioych rodzajów asio wiy być w stosuku 1:3:3:9. Czy wyiki doświadczeia są zgode z rozważaiami teoretyczymi? Zweryfikuj odpowiedią hipotezę a poziomie istotości 0,05. Zadaie 16. Losowo wybraym grupom ucziów szkół gimazjalych, zadao pytaie: Jak oceiasz sytuację materialą swojej rodziy? Do wyboru były astępujące odpowiedzi: dobra, przecięta, zła. Pierwszą grupę staowili chłopcy, drugą grupę dziewczęta. Wyiki przedstawia poiższa tabela. Dziewczęta Chłopcy dobra 0 39 przecięta zła 5 6 Czy a podstawie uzyskaych odpowiedzi moża stwierdzić istote różice w rozkładzie opiii dotyczącej sytuacji materialej rodzi wśród chłopców i dziewcząt. Zweryfikuj odpowiedią hipotezę a poziomie istotości 0,05. Zadaie 17. W celu weryfikacji geeratora liczb pseudolosowych z rozkładu jedostajego U0, 1 wygeerowao 50 liczb. Wyiki eksperymetu w postaci szeregu rozdzielczego zawiera poiższa tabela. Na poziomie istotości 0,05, zweryfikuj hipotezę o poprawości działaia geeratora. Wartość Liczebość 0,0-0, 7 0, - 0,4 6 0,4-0,6 16 0,6-0,8 14 0,8-1,0 7 Zadaie 18. Przeprowadzoo eksperymet a dwóch próbach świek morskich. Zaobserwoway ciężar świek w g w pierwszej próbie wyosił: 80, 35, 70, 385, 75, 90, 400, 330, 300, 345, a w drugiej próbie wyosił: 60, 380, 30, 350, 85, 395, 370, 340, 310, 390, 355. Na poziomie istotości 0,05 zweryfikuj hipotezę, że rozważae próby pochodzą z tej samej populacji. 4

5 5 Testy ieparametrycze - zakowaie i ragowaie Zadaie 19. Niech X = X 1, X,..., X 10 będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie ze ściśle rosącą dystrybuatą F. Na poziomie istotości α = 0,05, weryfikujemy hipotezę zerową H 0 : Me = 0, przeciwko hipotezie alteratywej H 1 : Me 0. a Wyzacz obszar krytyczy testu zaków. b Czy odrzucimy hipotezę zerową, gdy x = 1,, 5, 3, 1, 5, 4,, 0, 4, 3? Wskazówka: Niech X b10; 0,5. x PX = x 0 0, ,0098 0, , , , , , , , ,0010 Zadaie 0. W grupie 14 studetów drugiego roku, 54 miało średią oce z drugiego roku studiów lepszą, trzech taką samą, a pozostali gorszą iż z pierwszego roku. Czy a podstawie tych daych moża stwierdzić, że istieje istota różica w rezultatach uzyskiwaych a pierwszym i a drugim roku studiów? Przyjmij poziom istotości procedury testowej rówy 0,05. Zadaie 1. Niech X = X 1, X, X 3, Y = Y 1, Y, Y 3 będą dwiema iezależymi próbami prostymi z populacji o ciągłych dystrybuatach F µ1 i F µ odpowiedio, gdzie µ 1, µ R są iezaymi parametrami oraz dystrybuata F µ spełia waruek F µ x = F x µ dla pewej ciągłej dystrybuaty F. Za pomocą testu W Wilcoxoa, weryfikujemy hipotezę H 0 : µ 1 = µ przy alteratywie H 1 : µ 1 < µ. a Wyzacz obszar krytyczy testu W Wilcoxoa przy α = 0,1. b Czy a poziomie istotości 0,1 możemy odrzucić hipotezę zerową, jeżeli x = 9, 3, 8 oraz y = 11, 5, 1? Zadaie. Wylosowao po 15 kobiet i mężczyz zatrudioych w pewym dużym zakładzie pracy i otrzymao astępujące dae o ich płacy. Kobiety: 4500, 4400, 700, 5100, 5150, 4500, 4550, 4400, 500, 3900, 400, 4300, 3950, 3950, Mężczyźi: 4400, 4700, 300, 4800, 5000, 5000, 4800, 300, 300, 4700, 4700, 4800, 4700, 5000, 300. Czy a podstawie zebraych daych moża stwierdzić, że poziom płac wśród zatrudioych w tym zakładzie kobiet jest istotie iższy od poziomu płac mężczyz? Dokoaj wioskowaia a poziomie istotości 0,05.