Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Transkrypt

1 Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0, 6 (B) mediana rozkładu zmiennej losowej Z jest równa 0,6 (C) mediana rozkładu zmiennej losowej Z jest równa 0,4 (D) EZ 0, 4 (E) mediana rozkładu zmiennej losowej Z jest równa 0,5

2 Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie Bolek i Lolek dostaną próbkę prostą X, K X z rozkładu normalnego ( μ, σ ). Obaj nie, znają wartości oczekiwanej μ, ale Bolek zna wariancję σ, a Lolek jej nie zna. Obaj budują w standardowy sposób przedziały ufności dla μ na poziomie ufności Lolek się chwali: mam szansę 0%, że mój przedział ufności będzie przynajmniej x razy krótszy, niż Twój. Znajdź x. (A) x. 7 (B) x (C) x. 47 (D) x. 7 (E) x. 05 0

3 Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie 3 Wylosowano niezależnie 5 liczb z rozkładu symetrycznego ciągłego i ustawiono je w ciąg według kolejności losowania. Otrzymano 8 liczb dodatnich (każdą z nich oznaczmy symbolem a) i 7 ujemnych (każdą z nich oznaczmy symbolem b). Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymano 6 serii, gdzie serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciągu: aaabbbbaabbbbba jest 5 serii (3 serie elementów typu a i serie elementów typu b). (A) (B) (C) (D) (E)

4 Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie 4 Załóżmy, że zmienne losowe X,Y mają łączny rozkład normalny taki, że EX, EY 0, Var ( X ), Var( Y ) 9 i Cov ( X, Y ) 3. Oblicz Cov( X, Y ). (A) -9 (B) 0 (C) -8 (D) 8 (E) 9 4

5 Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie 5 Niech X będzie pojedynczą obserwacją z rozkładu o gęstości θ θ ( θ x ) gdy x, θ p θ ( x) 0 θ θ gdy x,, gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Weryfikujemy hipotezę H : θ przy alternatywie 0 H : θ za pomocą testu opartego na ilorazie wiarogodności na poziomie istotności 0.. Moc tego testu przy alternatywie θ 6 jest równa (A) 0.8 (B) 0.76 (C) 0.36 (D) 0.9 (E)

6 Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie 6 Niech N oraz X, X,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną λ, zaś rozkład każdej ze zmiennych X n podaje następująca tabelka: x 3 Pr ( X n x) / /4 /4 N X i i Niech S dla N > 0 i S 0 dla N 0. Oblicz warunkową wartość oczekiwaną ( N S 3) E. (A) (B) (C) (D) (E) 9 6

7 Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie 7 Zmienna losowa N ma rozkład geometryczny n P( N n) p ( p) dla n 0,,, K, gdzie p (0,) jest nieznanym parametrem. Rozważamy losową liczbę zmiennych losowych X, X,..., X N, przy czym zmienne losowe X, X,..., X N są niezależne wzajemnie i niezależne od zmiennej losowej N. Każda ze zmiennych X i ma rozkład jednostajny o gęstości danej wzorem: / θ dla 0 x θ; fθ ( x) 0 w przeciwnym przypadku, gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Obserwujemy tylko te spośród zmiennych X, X,..., X N, które są większe od 5. Nie wiemy ile jest pozostałych zmiennych ani jakie są ich wartości. Przypuśćmy, że zaobserwowaliśmy następujące wartości 8.5 0, 6, 7.4, 9, 5.. Na podstawie tych danych wyznacz wartości estymatorów największej wiarogodności parametrów θ i p. (A) (B) (C) (D) (E) ˆ θ 0 i pˆ ˆ θ i pˆ ˆ θ 0 i pˆ ˆ θ 0 i pˆ ˆ θ i pˆ

8 Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie 8 Niech X, X, K, X 5 będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0, θ ), gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Dla parametru θ zakładamy rozkład a priori o gęstości 4 3θ gdy θ > π ( θ ) 0 w przeciwnym przypadku. Estymujemy parametr θ przy funkcji straty postaci L( θ, a) θ a. Wyznacz estymator bayesowski a parametru θ, jeżeli zaobserwowano próbkę 0.5, 0.50,,.3,. (A) 8 (B) (C) (D) 4 (E)

9 Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie 9 Niech X, X,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu Pareto o gęstości θ θλ gdy x > 0 p ( ) +, x θ θ λ ( λ + x) 0 gdy x 0 gdzie λ, θ > 0 są nieznanymi parametrami. Niech ˆ θn, ˆ λ n będą estymatorami tych parametrów otrzymanymi metodą największej wiarogodności w oparciu o próbę n elementową. Przypuśćmy, że θ 4 i λ. Wtedy lim P ˆ λ n > jest równa (A) (B) 0.83 (C) 0.03 (D) (E) 0.74 n + ( n ) 9

10 Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadanie 0 Niech X oznacza zmienną losową równą liczbie sukcesów w n ( n ) niezależnych próbach Bernoulliego. Prawdopodobieństwo sukcesu θ ( θ (0,)) jest nieznane. Rozważamy estymator parametru θ postaci θˆ ax + b, o wartościach nieujemnych, którego błąd średniokwadratowy jest stały niezależny od wartości parametru θ. Błąd średniokwadratowy tego estymatora jest równy (A) 4n (B) ( n ) (C) 4( n ) (D) 4( n + ) (E) ( n + ) 0

11 Prawdopodobieństwo i statystyka r. Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 00 r. Prawdopodobieństwo i Statystyka Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko :...K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja B D 3 C 4 D 5 B 6 A 7 C 8 B 9 E 0 D * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.