. Wtedy E V U jest równa

Transkrypt

1 Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa

2 Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Załóżmy że jest cągem ezależych zmeych losowych o jedakowym rozkładze jedostajym a przedzale (0). Zmea losowa N jest ezależa od ma rozkład Possoa o wartośc oczekwaej 0. Nech m M ma. mn N N N Oblcz EM m t gdy t (0 ). t e t e t e N N t t t

3 Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Nech ozacza zmeą losową rówą lczbe sukcesów w ( ) ezależych próbach Beroullego przy czym prawdopodobeństwo sukcesu ( (0 )) jest ezae. Rozważamy estymator parametru postac ˆ a b o wartoścach eujemych którego błąd średokwadratowy jest stały ezależy od wartośc parametru. Waracja tego estymatora jest rówa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Rzucoo ezależe razy symetryczą moetą. Oblczyć prawdopodobeństwo że uzyskao e węcej ż 5 ser jeśl wadomo że uzyskao 0 orłów reszek Uwaga. Serą azywamy cąg elemetów jedego typu przed za którym występuje elemet drugego typu a przykład w cągu : aaabbbbaabbbbba jest 5 ser ( sere elemetów typu a sere elemetów typu b).

5 Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae 5 Nech Y a b gdze a b są ezaym parametram są ezależym zmeym są zaym lczbam losowym o tym samym rozkładze ormalym z wartoścą oczekwaą 0 waracją. Na podstawe zmeych losowych Y Y Y weryfkujemy hpotezę H : a b przy alteratywe H : a 0 b testem ajmocejszym a 0 pozome stotośc 0 05 F z ozacza dystrybuatę stadardowego rozkładu ormalego w pukce z. Wtedy moc tego testu jest rówa. Nech F 5 F5 F 5 ( ( ( ) ) ) F 5 F 5 ( ( ) ) 5

6 Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu Pareto o gęstośc gdy p ( ) 0 gdy gdze 0 jest ezaym parametrem. Nech ˆ będze estymatorem parametru otrzymaym metodą ajwększej warogodośc w oparcu o próbę elemetową. Dobrao stałą t tak aby estymator T tˆ był estymatorem eobcążoym parametru. Błąd średokwadratowy otrzymaego estymatora T jest rówy ( ) ( ) ( )

7 Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae 7 Rzucamy symetryczą kostką do gry tak długo aż co ajmej jede raz uzyskamy oczka. Oblcz prawdopodobeństwo zdarzea że czyość powtórzymy 5 razy

8 Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. 8 Zadae 8 Zmee losowe spełają waruek a gdze 0 a jest ezaym parametrem rzeczywstym są ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze ormalym o wartośc oczekwaej 0 waracj. O parametrze a zakładamy że jest realzacją zmeej losowej o rozkładze ormalym o wartośc oczekwaej 0 waracj. Wyzaczoo estymator bayesowsk parametru a przy kwadratowej fukcj straty wektorze obserwacj a astępe ajkrótszy przedzał ] ˆ ˆ [ a a tak że prawdopodobeństwo a posteror zdarzea że ] ˆ ˆ [ a a a jest rówe 095. Przedzał te jest postac

9 Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae 9 Nech będze zmeą losową o rozkładze jedostajym a przedzale (0) zmeą losową o rozkładze jedostajym a przedzale 0 zmeą losową o rozkładze jedostajym a przedzale 0. Var jest rówa Wtedy

10 Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae 0 W ure zajduje sę 0 kul: a kul bałych 0-a kul czarych gdze a 9 jest ezaym parametrem. Trzy razy ezależe powtarzamy dośwadczee: losujemy ze zwracaem po jedej kul tak długo aż wylosujemy kulę bałą za każdym razem zlczamy le razy wycągęlśmy kulę czarą. Na podstawe tego eksperymetu weryfkujemy hpotezę H : a 5 przy alteratywe H : a 5 testem 0 5 jedostaje ajmocejszym a pozome stotośc. 5 Błąd drugego rodzaju tego testu przy alteratywe a 0 jest rówy

11 Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Egzam dla Aktuaruszy z 7 marca 0 r. Prawdopodobeństwo Statystyka Arkusz odpowedz * Imę azwsko :... Pesel... Zadae r Odpowedź Puktacja D B C B 5 D B 7 C 8 A 9 E 0 C * Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.