będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

Transkrypt

1 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc ˆ θ = ˆ( θ K ). Wyzaczyć w przyblżeu rozmar próbk tak żeby ˆ Pr θ θ θ Posłużyć sę aproksymacją rozkładem ormalym. (A) 000 (B) 4979 (C) 6896 (D) (E) 846 x

2 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae Załóżmy że ezależe zmee losowe K wartoścach oczekwaych rówych E = = K. Wtedy prawdopodobeństwo P ( = m{ K }) jest rówe mają rozkłady wykładcze o (A) (B) (C) (D) (E)

3 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae Nech K 0 będą ezależym zmeym losowym z rozkładu Pareto o gęstośc θ gdy x > 0 θ + pθ ( x) = ( + x) 0 gdy x 0 a Y Y K Y będą ezależym zmeym losowym z rozkładu Pareto o gęstośc θ gdy x > 0 θ + fθ ( x) = ( + x). 0 gdy x 0 Wszystke zmee są ezależe. Parametr θ > 0 jest ezay. Weryfkujemy hpotezę H : θ przy alteratywe H : θ za pomocą testu jedostaje ajmocejszego a 0 = pozome stotośc 00. Hpotezę 0 (A) l( + ) + = = 0 (B) l( + ) + 0 > H 0 l( + Y ) > 477 l( + Y ) < 8 = = 0 (C) l( + ) + = = 0 (D) l( + ) + l( + Y ) < 9 l( + Y ) < 76 = = 0 (E) l( + ) + = = l( + Y ) > 0 odrzucamy gdy spełoa jest erówość

4 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae 4 Zmea losowa N ma rozkład geometryczy postac k P( N = k) = dla k = 0 K. 4 4 Rozważamy losową lczbę zmeych losowych przy czym zmee losowe K N zmeych losowych Nech K są ezależe wzajeme ezależe od zmeej losowej N. Każda ze Współczyk skośośc (A) 6 (B) 8 (C) -68 (D) 69 (E) -049 ma te sam rozkład o parametrach N ( ) = E( ) =. E = E E S N = = 0 gdy gdy N > 0 N. ( SN ESN ) ( VarS ) / N jest rówy N = 0 4

5 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae Przeprowadzamy wśród wylosowaych osób aketę a delkaty temat. Aketowaa osoba rzuca kostką do gry w zależośc od wyku rzutu kostką (wyku tego e za aketer) podaje odpowedo zakodowaą odpowedź a pytae: Czy zdarzyło sę Pau/Pa w roku 009 dać łapówkę w klasyczej forme peężej przekraczającą kwotę 00 zł? Przyjmjmy ż teresująca as cecha przyjmuje wartośc: = jeśl odpowedź brzm TAK = 0 jeśl odpowedź brzm NIE Perwszych 00 osób udzela odpowedz Z K Z zgode z regułą: Jeśl wyk rzutu kostką to lczba oczek rówa lub 4 to: Z = jeśl wyk rzutu kostką to lczba oczek rówa lub 6 to: Z = Następych 00 osób udzela odpowedz Z 0 K 00 Z 400 zgode z regułą: jeśl wyk rzutu kostką to lczba oczek rówa lub to: Z = jeśl wyk rzutu kostką to lczba oczek rówa 4 lub 6 to: Z = Dla uproszczea zakładamy że 400 aketowaych osób to próba prosta z (hpotetyczej) populacj o eskończoej lczebośc a podzał a podpróby jest także całkowce losowy. Iteresujący as parametr tej populacj to oczywśce q = P( = ) Nech Z = Z Z = Z. 00 = 00 = 0 Estymator parametru q uzyskay metodą ajwększej warogodośc jest rówy (A) Z + Z (B) Z Z (C) Z + Z (D) + Z Z (E) + Z Z

6 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae 6 O zmeych losowych samej waracj rówej COV ( j) K o tej samej wartośc oczekwaej rówej μ oraz tej zakładamy ż: σ = ρσ dla j. Zmee losowe ε ε K ε są awzajem ezależe oraz ezależe od zmeych losowych K mają rozkłady prawdopodobeństwa postac: P( ε = ) = P ε = = P( ε = 0) =. Waracja zmeej losowej S = ε = (A) ( σ + μ + ( ) ρσ ) (B) ( σ + ( ) ρσ ) jest rówa (C) σ + μ + ( ) ρσ (D) ( σ + μ + 6( ) ρσ ) (E) ( σ + ( ) ρσ ) 6

7 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae 7 Mamy dwe ury: I II. Na początku dośwadczea w każdej z ur zajdują sę kule bałe czare. Losujemy po jedej kul z każdej ury - po czym kulę wylosowaą z ury I wrzucamy do ury II a tę wylosowaą z ury II wrzucamy do ury I. Czyość tę powtarzamy welokrote. Graca (przy ) prawdopodobeństwa ż obe kule wylosowae w -tym kroku są jedakowego koloru wyos: (A) (B) (C) (D) (E)

8 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae 8 Nech K będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze o gęstośc b( x a) be gdy x a pa b( x) = 0 gdy x < a gdze a R b > 0 są ezaym parametram. Rozważamy estymator ajwększej warogodośc T ) wektora parametrów ( a b). ( a Tb Wartośc oczekwae są rówe a b (A) a = a b = b b (B) a = a + b = b (C) a = a + b b = b (D) a = a + b b = b (E) a = a + b = b b 8

9 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae 9 Zmee losowe Y są ezależe zmea ma rozkład logarytmczo-ormaly LN ( μσ ) gdze μ = σ = a zmea Y ma rozkład wykładczy o wartośc oczekwaej. Nech S + Y. Wtedy E S > e jest rówa (A) 407 (B) 9 (C) 6 (D) 644 (E) 46 = ( ) 9

10 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae 0 Nech 4 będą ezależym zmeym losowym z rozkładu wykładczego o gęstośc λx λe gdy x 0 pλ ( x) = 0 gdy x < 0 gdze λ > 0 jest ezaym parametrem. Nestety e obserwujemy zmeych 4 ale zmee Y = [ ] = 4 gdze symbol [x] ozacza część całkowta lczby x (ajwększą lczbę całkowtą x ). Dyspoując próbką Y Y Y Y Y weryfkujemy hpotezę H : λ przy 4 : λ = 0 = alteratywe H za pomocą testu o obszarze krytyczym K = { ˆ λ > 79} gdze λˆ ozacza estymator ajwększej warogodośc parametru λ otrzymay a podstawe próby losowej Y Y Y Y4 Y. Rozmar tego testu jest rówy (wyberz ajlepsze przyblżee) (A) 000 (B) 06 (C) 086 (D) 086 (E) 000 0

11 Prawdopodobeństwo statystyka r. Egzam dla Aktuaruszy z 4 paźdzerka 00 r. Prawdopodobeństwo Statystyka Arkusz odpowedz * Imę azwsko :...K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadae r Odpowedź Puktacja E D C 4 B D 6 A 7 C 8 D 9 E 0 C * Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.