OPRACOWANIE I PREZENTACJA WYNIKÓW POMIARÓW

Transkrypt

1 OPRACOWANIE I PREZENTACJA WYNIKÓW POMIARÓW Opracowanie danch pomiarowch ma na celu wsępne przgoowanie danch do analiz i prezenacji. Mogą o bć prose działania, akie jak: zaokrąglanie liczb, sorowanie danch, normalizacja, odrzucanie anomalnch wników, łączenie dwóch lub większej liczb niezależnch pomiarów pojednczej wielkości fizcznej. Bardziej zaawansowana obróbka może polegać na wznaczaniu zależności funkcjnej pomiędz mierzonmi wielkościami, uśrednianiu danch pomiarowch, kompresji danch. Zobrazowanie danch pomiarowch w formie graficznej uławia ich percepcję przez człowieka. Zobrazowanie przbiera posać różnorodnch wkresów dwu- i rójwmiarowch, wkonanch częso z użciem kolorów. W rakcie prezenacji publicznch sosowana jes eż animacja, polegająca na dnamicznm generowaniu wkresów na ekranie. Obróbka i zobrazowanie danch pomiarowch mogą bć obecnie realizowane za pomocą wgodnch narzędzi kompuerowch o bardzo dużch możliwościach obliczeniowch i graficznch. Złożone algorm numerczne sają się dosępne i ławe w użciu, nawe bez dogłębnej znajomości aparau maemacznego. W niniejszm rozdziale zawaro przkład zasosowania do obróbki danch pomiarowch, popularnego w wielu środowiskach akademickich na świecie, programu Malab firm The MahWorks.. Podsawowe zasad przedsawiania wników pomiarów Jako regułę podawania wników pomiarów zaleca się sosowanie konwencji usalającej związek pomiędz niedokładnością pomiaru a formą zapisu jego wniku, uwzględniającą liczbę cfr znaczącch. Cframi znaczącmi przjęo nazwać wszskie cfr liczb, pocznając od pierwszej cfr niezerowej znajdującej się na pozcji najwższego rzędu dziesięnego. Liczba.7 ma rz cfr znaczące:, i 7; liczba.7 ma czer cfr znaczące:,, 7 i. Zaleca się zapiswać liczb w posaci wkładniczej, w kórej mansa zawiera lko cfr znaczące. Tak więc liczbę.7 należ zapisać jako 7., liczbę.7 zaś jako. 7. Osania cfra znacząca w każdm wniku powinna bć ego samego rzędu (sać na m samm miejscu dziesięnm) co błąd pomiaru. Na przkład wnik pomiaru 8.5 V z czerema cframi znaczącmi wskazuje, że dokładność pomiaru jes rzędu mv. Jeżeli pomiar bł wkonwan z dokładnością mv, wnik powinien bć podan w posaci 8. V, o znacz powinien mieć lko rz cfr znaczące. Należ prz m sosować obowiązujące reguł zaokrąglania liczb: Jeżeli pierwsza z odrzuconch cfr jes mniejsza niż 5, o liczba zaokrąglona pozosaje bez zmian. Jeżeli pierwsza z odrzuconch cfr jes większa niż 5, o do osaniej cfr liczb zaokrąglonej dodaje się.

2 Jeżeli pierwsza z odrzuconch cfr równa się 5 i międz pozosałmi odrzuconmi cframi znajdują się cfr niezerowe, o do osaniej cfr liczb zaokrąglonej dodaje się. Jeżeli pierwsza z odrzuconch cfr równa się 5 i wszskie pozosałe odrzucone cfr są zerami, o osania cfra liczb zaokrąglonej: - pozosaje bez zmian, gd jes parzsa; - zosaje zwiększona o, gd jes nieparzsa.. Zasad posępowania maemacznego prz opracowwaniu wników pomiarów Prz opracowwaniu wników pomiarów obowiązują nasępujące zasad posępowania: a) Obliczenia powinn bć przeprowadzane na danch (wnikach pomiarów) podawanch z ich największą dokładnością. b) Wszskie obliczenia przeprowadzane na danch: mnożenie, dzielenie, poęgowanie id. należ wkonwać do co najmniej dwóch cfr znaczącch więcej niż zawierał pierwone dane. Nie należ wkonwać zaokrągleń, dopóki nie uzska się osaecznego wniku obliczeń. c) Prz mnożeniu i dzieleniu wnik należ podawać z aką samą liczbą cfr znaczącch, jaką zawiera wnik pomiaru o najmniejszej liczbie cfr znaczącch wzię do obliczeń. Można zaobserwować endencję do łamania zasad (c) prz sosowaniu do obliczeń kalkulaora. Rozważm przkład niewłaściwego użcia kalkulaora do określenia rezsancji na podsawie cfrowch pomiarów napięcia i prądu: R = U I = 8. V =. 95 kω.. ma W przkładzie m podano wnik obliczenia rezsancji zawierając cfr znaczącch (o znacz z dokładnością do µω!), podczas gd wielkości pośrednie mają lko rz cfr znaczące. Jednm rozsądnm sposobem jes użcie w odpowiedzi ej samej liczb cfr znaczącch jaka wsępuje w wnikach pomiarów pośrednich. Zaem obliczenia należ przedsawić nasępująco R = U I = 8. V = 9. kω. ma Rezsancja zosała podana z aką samą preczją, z jaką zmierzono napięcie i prąd.. Wznaczanie zależności funkcjnej pomiędz mierzonmi wielkościami meodą najmniejszch kwadraów W prakce inżnierskiej częso wsępuje p ekspermenu polegając na pomiarze wielu warości dwóch różnch wielkości fizcznch w celu zbadania maemacznej formuł opisującej związek pomiędz mi wielkościami. Jednm z

3 częsch przpadków jes en, w kórm oczekiwana relacja jes liniowa i punk pomiarowe powinn układać się na prosej. Sajem wed przed zagadnieniem znalezienia linii prosej = A + Bx, kóra jes najlepiej dopasowana do wników pomiarów. Jes o równoważne znalezieniu najlepszego przbliżenia sałch A i B oparego na danch: ( x, ),...,( xn, N ), gdzie N - liczba punków pomiarowch. Zesawiając razem wniki pomiarów możem skonsruować nadokreślon układ N równań o dwóch niewiadomch A i B, kór w zapisie macierzowm ma posać Xa (.) x gdzie: = X = x,, a = A M M M B N x N Równania (.) sanowią układ sprzeczn. Sprzeczność ch równań może bć spowodowana albo niedoskonałością eorii zakładającej liniową zależność, albo błędami pomiarów, albo łącznie jednm i drugim. Możem jednak przpuszczać, że ilościowe poprawki do eorii i do wników pomiarów są niewielkie, i spróbować - jeżeli nie dokładnie, o prznajmniej w przbliżeniu - opisać wnik ekspermenu za pomocą zależności liniowej. Do znalezienia ej zależności przdana jes meoda najmniejszch kwadraów. W dalszm ciągu zajmiem się lko rachunkową sroną eorii meod najmniejszch kwadraów, pomijając całkowicie jej sronę probabilisczną. Zasosujem prz m wgodn i króki rachunek macierzow. Meoda najmniejszch kwadraów w rozparwanm przpadku polega na znalezieniu akich warości paramerów A i B, dla kórch norma wekora residualnego jes możliwie mała Warunek (.) jes równoważn warunkowi r = Xa (.) r = Xa minimum. (.) N T ε = r = r r = (( Xa) ) minimum, (.) i= kór wraża sumę kwadraów błędów poszczególnch równań układu (sąd nazwa meod). Wielkość ε jes skalarem i jes funkcją wekora paramerów a ε( a) = ( Xa) ( Xa) = + a X Xa Xa i T T T T T (.5)

4 W celu znalezienia wekora $a minimalizującego ε(a) różniczkujem (.5) względem a i przrównujem pochodną do zera. Zgodnie z regułami różniczkowania, dla form kwadraowej oraz dla ilocznu skalarnego wekorów, mam czli δε δa ( a$) = X T Xa$ X T = (.) T T X Xa = X (.7) Jes o zw. równanie normalne. Jego rozwiązanie daje najlepsze przbliżenie sałch A i B. Zauważm, że macierz ego równania X T X jes kwadraowa; jeżeli więc T de( X X), o poszukiwan wekor paramerów $a wraża się wzorem $ T T a = ( X X) X (.8) Szukana prosa o = A + Bx. Przedsawiona analiczna meoda znajdwania linii prosej, kóra najlepiej pasuje do szeregu punków doświadczalnch, nazwana jes eż meodą regresji liniowej. O znalezionej prosej mówi się, że jes dopasowana meodą najmniejszch kwadraów lub że jes prosą regresji zmiennch i x (rs..). a) b) i A+ Bxi ( ){ ( x, i i) x x Rs.. Ilusracja meod najmniejszch kwadraów: a) Jeżeli dwie zmienne są związane relacją liniową i nie błob błędów pomiarów, o wszskie punk doświadczalne ( xi, i ) leżałb dokładnie na prosej = A + Bx ; b) Błęd pomiarów powodują, że punk są rozrzucone. Szukam linii prosej, kóra najlepiej pasuje do szeregu punków doświadczalnch. Przkład Za pomocą meod najmniejszch kwadraów znajdź prosą = A + Bx, kóra najlepiej pasuje do czerech punków pomiarowch: (,), (,), (,8), (,9). Rozwiązanie Konsruujem wekor oraz macierz X

5 5 = 8 9 X = Korzsając ze wzoru (.8) dosajem rozwiązanie układu równań (.) w sensie najmniejszch kwadraów A 9 a = =. B. Szukana prosa o = 9 +.x. Obliczenia według wzoru (.8) najwgodniej przeprowadzić za pomocą programu Malab. Rozwiązanie zadania polega na wpisaniu do okna poleceń Malaba lko rzech linijek kodu: X=[ ; ; ; ] = [ 8 9] a=x\ W osanim wierszu użo operaora lewosronnego dzielenia macierz, kór jes zalecanm w Malabie sposobem rozwiązwania układów równań liniowch. Program bada wsępnie srukurę macierz współcznników układu, a nasępnie wbiera i realizuje najlepsz dla analizowanego przpadku algorm rozwiązania.. Dopasowanie wielomianu Omówion w poprzednim punkcie przkład należ do najbardziej podsawowej, a zarazem najprosszej meod aproksmacji zależności pomiędz seriami danch x i. Jeżeli poszukiwana zależność nie jes liniowa, o można ją częso do akiej posaci sprowadzić poprzez odpowiednią zamianę zmiennch. Na przkład: jeśli punk układają się w przbliżeniu wzdłuż paraboli = A + Bz, o podsawienie z = x pozwala przedsawić zależność w posaci liniowej = A + Bx ; gd oczekiwana zależność ma posać z = Aexp( B/ T), (z >,A >,T ), podsawienia ln z = i / T = x dają = C Bx, gdzie ln A = C. W pewnch suacjach korzsne jes użcie funkcji innch rodzajów, na przkład wielomianów. Rozparzm zadanie dopasowania do wników pomiarów wielomianu posaci: r r r r x ax a. (.9) W (x) = a x + a + Mając dane wekor wników serii pomiarów x i wznaczam macierz X. Poszukujem wekora współcznników wielomianu a

6 r r x a x L r r r x x a L r, X = a =. (.) L L L L r r x N x N L a Iloczn Xa daje wekor kolumnow, kórego elemen są warościami wielomianu dla poszczególnch danch x i. Szukam akiego wekora a, ab Xa bło jak najbliższe wekorowi wników pomiarów. Błąd ego przbliżenia wnosi: ε = Xa = ( Xa ) T ( Xa ). (.) N N Dla uzskania poszukiwanch współcznników wielomianu należ zminimalizować en błąd. Zadanie o jes idenczne z przedsawionm wcześniej zadaniem regresji liniowej, sąd może bć ławo rozwiązane w środowisku MATLAB za pomocą operaora lewosronnego dzielenia a = X \ (.) Omówioną meodę aproksmacji za pomocą wielomianów auomazuje funkcja polfi, kórej wwołanie ma posać: a=polfi(x,,r). Znajduje ona współcznniki wielomianu sopnia r przbliżającego najlepiej, w sensie najmniejszch kwadraów, zależność międz serią danch x oraz. Przkład Dane są wniki pomiarów wielkości wkonane w sześciu kolejnch momenach czasu : = [..8...], = [ ]. Zakładając, że zależność pomiędz wielkością mierzoną, a czasem może bć modelowana za pomocą wielomianu + a a = a + (.) wznaczć współcznniki a, a, a. Dsponujem sześcioma równaniami z rzema niewiadommi:

7 7 = a a a Wznaczam macierz X = X W wniku rozwiązania układu równań Xa = (.) orzmujem wekor współcznników wielomianu = a Wielomian modelując zależność pomiędz wielkością mierzoną i czasem ma posać =.

8 Rs.. Przebieg funkcji aproksmującej na le punków pomiarowch 5. Sporządzanie wkresów zależności funkcjnch pomiędz mierzonmi wielkościami Wkonując wkres ręcznie należ sosować papier milimerow. Nanosim najpierw układ współrzędnch wraz ze skalą liczbową na osiach. Sosunek długości obu osi nie powinien przekraczać warości :.5. Ab wkres spełniał wmagania sawiane inżnierskiej dokumenacji echnicznej, musi bć opisan smbolami użch wielkości i ich jednosek, powinien posiadać akże podpis. Do opisu wkresów, a akże rsunków wkonanch kompuerowo, zalecane jes pismo bezszerfowe, na przkład czcionka Ariel. Skala liczbowa na osiach wkresu (popularnie określana jako podziałka) powinna bć wkonwana ak, ab z wkresu można bło dokonać odczu z dokładnością zbliżoną do dokładności pomiarów. Skalę można wkonać jako równomierną, logarmiczną, kwadraową ip. lub skalę mieszaną, np. lin-log. Najczęssz przpadek sanowi skala równomierna. Skala logarmiczna jes przdana do linearzacji wkresów obrazującch zależności funkcjne pu = x (rs. a). Po zlogarmowaniu obu sron ego równania orzmujem zależność liniową log = log x. Naniesienie wników pomiarów na przgoowaną wcześniej skalę logarmiczną (pu log-log) zapewnia "auomaczną" linearzację wkresu bez konieczności logarmowania (rs. b).

9 9 a) b) x x Rs.. Funkcja = x : a) we współrzędnch o skali liniowej, b) we współrzędnch o skali logarmicznej (log-log) Do częso spokanch zależności funkcjnch pu = a x przdana jes skala logarmiczno-liniowa (log-lin) bowiem po zlogarmowaniu obu sron równania orzmujem log = xlog a. Wkres log względem x jes więc linią prosą o nachleniu log a. Skala log-lin jes nazwana częso skalą półlogarmiczną. Punk pomiarowe zaznacza się markerami o kszałcie rójkąa, prosokąa, koła, krzża lub lier x. Poszczególne punk pomiarowe łącz się możliwie zbliżoną do nich linią ciągłą. Łączenie punków linią łamaną sosowane jes wjąkowo, np. dla wkresu błędów miernika. Na jednm wkresie nie należ umieszczać charakersk o różnch rzędnch i odcięch. W przpadku wkreślenia rodzin krzwch, należ wprowadzić różne oznaczenia lub różne kolor dla każdej z krzwch. Oznaczenie granic błędu na wkresach konsruowanch na podsawie pomiarów może bć zrealizowane za pomocą pionowch kresek, krzżków lub prosokąów błędów.. Zasosowanie grafiki kompuerowej do wizualizacji danch pomiarowch Najwgodniejszm i dającm olbrzmie możliwości narzędziem do wizualizacji danch pomiarowch są specjalizowane program kompuerowe. Należ do nich wspomnian wcześniej program do obliczeń naukowo echnicznch Malab. Program en posiada rozbudowane funkcje graficzne przeznaczone do worzenia wkresów dwu-

10 i rójwmiarowch. Podsawę w Malabie sanowi grafika wekorowa worzone obraz składają się z linii, punków i wielokąów o określonch współrzędnch. Do operacji na pojednczch punkach rasra program oferuje zesaw funkcji grafiki rasrowej. Użkownik sosuje przeważnie zw. funkcje wsokiego poziomu, kóre auomacznie usalają większość paramerów worzonch rsunków. Dowolne konrolowanie szczegółów worzonego rsunku umożliwiają funkcje niskiego poziomu, wkorzswane do obsługi obiekowego ssemu graficznego. Malab umożliwia wkreślanie danch przechowwanch w wekorach funkcja plo, realizację wkresów w skali logarmicznej funkcja loglog, półlogarmicznej funkcje semilogx, semilog, sporządzanie wkresów w biegunowm układzie współrzędnch funkcja polar (rs. ) Rs.. Wkres w biegunowm układzie współrzędnch Dane zawierające warości zespolone można przedsawiać graficznie, wkorzsując funkcje maemaczne wodrębniające ich części rzeczwise i urojone. Elemen macierz zespolonej można przedsawiać w posaci srzałek o wspólnm począku i groach w punkach opisanch przez współrzędne karezjańskie, podczas gd wkres jes rsowan w biegunowm układzie współrzędnch (rs. 5.a) a) 7 b) Rs. 5. Sposob przedsawiania elemenów macierz zespolonej

11 Na innm rodzaju wkresu (rs. 5.b) elemen macierz zespolonej są przedsawione w posaci srzałek o począkach rozmieszczonch równomiernie na osi x; długości srzałek są równe modułom elemenów macierz zespolonej, a ką nachlenia srzałek ich argumenom. Rsowanie wkresów rójwmiarowch umożliwia funkcja plo, będąca odpowiednikiem funkcji plo dla przesrzeni dwuwmiarowej. Wkres funkcji dwóch zmiennch worz powierzchnię (rs. ). Ponieważ wkreślając powierzchnię worzm wkres rójwmiarow na dwuwmiarowej płaszczźnie, na wsępie należ wgenerować specjalną siakę, w ch węzłach, w kórch szukane są warości funkcji w osi z. Służ do ego funkcja meshgrid. W Malabie mam do dspozcji szereg funkcji realizującch różne warian kolorowch wkresów rójwmiarowch, międz innmi z uwzględnieniem odbić świała, z mapą kolorów, łączeniem wkresów powierzchniowch i poziomicowch. Możliwa jes eż zmiana kierunku obserwacji wkresu Rs.. Wkres powierzchniow z siaką wgenerowaną za pomocą funkcji meshgrid Dane dskrene mogą bć prezenowane za pomocą wkresów słupkowch, kołowch, warswowch (rs. 7. a, b, c). Dskren charaker danch można eż zaznaczć sosując funkcję sem, kóra rsuje wkres odcinkow (ang. sem łodga). Dane są reprezenowane przez odcinki wrasające z osi odcięch i zakończone kółeczkami (rs. 7. d). Specjalnmi wkresami słupkowmi, wkorzswanmi do graficznego przedsawienia rozkładu liczebności elemenów wekora są hisogram (rs. 7 e, f).

12 a) b) % 9% 8% 7% 5 % c) 5 d) e) f) Rs. 7. Sposob prezenowania danch dskrench: a) wkres słupkow, b) wkres kołow, c) wkres warswow, d) wkres odcinkow, e) hisogram w karezjańskim układzie współrzędnch, f) hisogram w biegunowm układzie współrzędnch.