RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
|
|
- Jadwiga Zielińska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Lisa zadań 26/27 Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. dr Zbigniew Skoczlas
2 Lisa pierwsza. a)zpewnejsubsancjiradioakwnejpoupłwie4lazosało2gram,apoupłwiedalszch4la lko 4 gram. Wznaczć masę subsancji w chwili począkowej. b) Polon-2 ma okres połowicznego zaniku równ 4 dni. Znaleźć masę ego pierwiaska po dniach, jeżeli jego masa począkowa wnosiła 2 g. c) Okres połowicznego zaniku pewnego pierwiaska promieniowórczego jes równ la. Ile procen mas począkowej ego pierwiaska pozosanie po i), ii) 5, iii) 2 laach?.2 Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch na zadanch przedziałach: a))= sin, +=cos,, ); b))= 2, +=3 2, R; c))= + 2, +2 2 =, R; d))= 4 2, =, 2,2)..3 Sprawdzić, że dla każdego C R podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch, a nasępnie znaleźć rozwiązania spełniające zadane warunki począkowe: a))=+c, =, )=; b))=ce, =, )= ; c))=ce e, +2=e, )=; d))=+c 2 +, = + 2 +, )=..4 Scałkować podane równania różniczkowe o zmiennch rozdzielonch: a) +4=; b)d=2 2 d; c) 2 ) d+ 2 ) d=; d)2 ) = 2 ; e) =+++; f) +4= e Dokonaćanalizrozwiązańrównaniaróżniczkowego =kwzależnościodrzeczwisegoparameru k. Naszkicować krzwe całkowe ego równania. Lisa druga + 2) =+ 2 zzadanmiwarunkamipoczą-.6 Wznaczć rozwiązanie równania różniczkowego kowmi: a))= ; b))=. Podać przedział, na kórch są one określone..7 Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch o rozdzielonch zmiennch: π a) sin=ln, =e; b) 2) 2 d+ 2 d=, )=; c)+) =, e)=; d)cosd + 2) d=, )=; e) = 2 + 2), )= 2; f)e ) =, )=. 2
3 .8 Scałkować podane równania różniczkowe jednorodne: a) = 2 2 +; b) )d+d=; c) =ln ln); d) =g ; e) 2 2) d+d=; f) 2 = Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań rózniczkowch jednorodnch oraz wznaczć przedział, na kórch są one określone: a) 2 + 2) d 2d=,)= 2; b) =+ 2,)=; c) = 42 2,)=; d) 3 3) d 2 d=,)=3. 2. Znaleźć krzwe, dla kórch rójką OSYrsunek) uworzon przez oś O, sczną i wekor wodząc punku sczności jes równoramienno podsawie OY). Y S =) O Lisa rzecia. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: a) +=sin; b) +2=e 2 ; c) 2= 3 cos; d) 2=4 4 ; e)+e =; f)2+) = a)załóżm,żeψ)jesrozwiązaniemrównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnegoln) + p)=q),afunkcjaϕ) rozwiązaniemczęścijednorodnejegorównanialj) +p)=, gdzie funkcje p), q) są ciągłe na przedzialea, b). Pokazać, że każde rozwiązanie ) równania niejednorodnego można przedsawić w posaci ) = Cϕ) + ψ), gdzie C jes odpowiednio dobraną sałą. rzeczwisą. b) Załóżm, że funkcje η), ψ) są różnmiη) ψ)) rozwiązaniami równania różniczkowego liniowego niejednorodnegoln). Pokazać, że każde rozwiązanie ) równania niejednorodnego ma posać)=cη) ψ))+η),gdziecjesodpowiedniodobranąsałą..3 Wznaczć rozwiązania podanch zagadnień począkowch dla równań liniowch niejednorodnch oraz podać przedział, na kórch są one określone: a) =,3)=3; b) =+)sin, )= ; π c) +=+,)=; d) sincos=+sin 3, =. 4) 3
4 .4 Dlarównanialiniowegoniejednorodnego +p=q),gdziep Rwznaczćrozwiązanieϕ)w podanej posaci, jeżeli: a)p=4, q)= 2, ϕ)=a 2 +B+C; b)p=, q)= 4, ϕ)=a 4 +B 3 +C 2 +D+E; c)p= 3, q)=4 2 e, ϕ)= A 2 +B+C ) e ; d)p=, q)=e, ϕ)=a+b)e ; e)p=2, q)=cos3, ϕ)=asin3+bcos3; f)p= 2, q)=2sin 2 cos 2, ϕ)=asin 2 +Bcos 2..5 ) 2 + e spełnia- Znaleźćrozwiązanierównaniaróżniczkowegoliniowegoniejednorodnego 2 += jące warunek lim )=. *.6 Znaleźć równanie krzwej przechodzącej przez punk,), dla kórej pole rójkąa OSTrsunek) uworzonego przez oś O, sczną i wekor wodząc punku sczności jes sałe i równa się. S O T =).7 Rozwiązać podane równania różniczkowe Bernoulliego: c) a) +2=2 2 ; b) = 3 ; + 2) =; d) 2= sin; e) + ) =,>; f) = 2 e..8 Rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch Bernoulliego oraz wznaczć przedział, na kórch są one określone: a) 2 +2= 3,>)= ; b) += 2 ln,)=; c) 2=2 e ln,)=; d)2 ln+ =,e)= e. Lisa czwara *.23 Wznaczć równania różniczkowe rodzin krzwch określonch podanmi równaniami: a)=c 3 ; b) =C; c) C=C ; d) 2 =2C 2 2. *.24 Znaleźć równania rodzin krzwch orogonalnch do podanch rodzin krzwch: 4
5 a)=c 2 ; b) =2C; c)= C ; d)2 =+C..25 a)basenopojemnościlirówzawieralirówczsejwod.dobasenuwlewasięwodao skażeniu 5% z prędkością 2 lirów na minuę. Przez owór spusow ciecz wlewa się z prędkością lirów na minuę. Wznaczć skażenie wod w chwili napełnienia zbiornika. b)whalioobjęości2m 3 powierzezawiera.5%dwulenkuwęgla.wenlaorpodajewciągu minu2m 3 powierzazawierającego.4%co 2.Pojakimczasiesężeniedwulenkuwęglawhali zmniejsz się dwukronie? c) Zbiornik o pojemności 25 lirów napełnion jes 4% wodnm rozworem alkoholu. Po włączeniu pomp=)dozbiornikawlewasię2%wodnrozwóralkoholuzprędkością5l/min,apowsała mieszanina wlewa się dwa raz szbciej. Po ilu minuach ilość alkoholu w zbiorniku będzie największa?.26 a) Kulura licząca 5 bakerii rozwija się według wkładniczego prawa wzrosu ak, że po rzech godzinach osiąga san 8 bakerii. Po jakim czasie populacja będzie liczła milion bakerii? b) Populacja pewnego gaunku rb rozwijająca się według wkładniczego prawa wzrosu podwoiła liczbęswoichosobnikówwciągula.poilulaachliczbarbporoisię? c) Populacja pewnego gaunku biologicznego, kórej rozwój opisan jes równaniem logiscznm liczłanapocząku5s.osobników.podniachichliczbawzrosłado8s.osobników,bpo dosaecznie długim czasie usabilizować się na poziomie 5 s. osobników. Wznaczć czas, po kórm populacja podwoiła liczbę swoich osobników..27 a)termomerzpokoju,wkórmwskazwał2 C,wsawiononazewnąrz,gdziepanował5 C chłód.pojednejminucienaermomerzebłojuż2 C.Pojakimczasieermomerbędziewskazwał emperaurę lko o % wższą niż fakczna? b)ciało,kóregoemperaurawnosi22 Cumieszczonowpomieszczeniuoemperaurze6 C.Po minuachjegoemperauraobniżłasiędo4 C.Wmmomenciewłączonoklimazaor,kóre obniżająemperauręooczeniazszbkością Cnaminuę.JakabędzieemperauraTciałapo minuach od chwili uruchomienia klimazaorów?.28 a) W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo opornik o oporności R = Ω, cewkę o indukcjnościl=2horazźródłonapięciasałegoe)=2v.wznaczćgranicznenaężenieprąduw obwodzie,gd.naszkicowaćfunkcjęi)a,jeżelii)=.2a. b) W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo opornik o oporze R = 5Ω, cewkę o indukcjności L = 2.5H oraz zewnęrzną siłę elekromoorczną E) = sin V. Wznaczć naężenie prądu I)Awobwodzie,jeżeliI)=. 5
6 .29 Krzwa = ) przechodzi przez począek układu współrzędnch i leż w górnej półpłaszczźnie. Każd prosoką ograniczon osiami układu współrzędnch i prosmi poprowadzonmi z dowolnego punku, )) krzwej prosopadłmi do nich krzwa ) dzieli na dwie części. Pole zaware pod krzwą ) jes dwa raz mniejsze niż pole nad krzwą. Wznaczć równanie ej krzwej. =) ) O Lisa piąa.3 Wznaczć rozwiązania podanch równanań rzędu drugiego: a) 2 ) 2 =; b) = 2 e ; c)2 = ) 2 ; d) = Rozwiązaćscałkować) podane równania różniczkowe: a) 3 +=; b)2 3 ) 2 =4 2 ; c) ) =2 ) 2 ; d*) + ) 2 =e ) Rozwiązać podane równania różniczkowe z zadanmi warunkami począkowmi: a) = +2,2)=, 2)=4; b) ) 2 = 2 ln,)=, )=; c)2 =3 2, 2)=, 2)=; d) =2 + ),)=, )=..33 Znaleźćkrzwą=),kóraprzechodziprzezpunk,)ijeswnimscznadoprosej+= orazspełniarównanieróżniczkowe + ) 2 =..34 a) Wznaczć równanie ruchu spadającego swobodnie ciała o masie m z uwzględnieniem oporu powierza, kór jes wpros proporcjonaln do kwadrau prędkości spadania, ze współcznnikiem proporcjonalnościk>.przjąć,żeciałospadazwsokościs przzerowejprędkościpocząkowej. b) Cząseczka o masie m porusza się po linii prosej. Niech x) oznacza odległość ej cząseczki w chwili od usalonego cenrum na prosej. W punkcie x cząseczka jes przciągana przez cenrum zsiłąkx 3,gdziek>.Wznaczćrównanieruchucząseczkiorazznaleźćjegorozwiązanie,jeżeli rozpoczęłaonaruchwodległościx odcenrumzzerowąprędkościąpocząkową.obliczćczas,po kórm cząseczka osiągnie cenrum. Lisa szósa 2. Korzsając z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowch liniowch wznaczć 6
7 przedział, na kórch podane zagadnienia począkowe mają jednoznaczne rozwiązania: ) a) ) +=ln, ) =, )=; b) 3) + +ln )=, )=, )=. 2.2 Sprawdzić,żefunkcjeϕ)=e,ψ)=e 3 orazichdowolnakombinacjaliniowasąrozwiązaniami równania 2 3=. 2.3 Danjesukładfundamenaln ), 2 ))równanialiniowegojednorodnegoposaci +p) + q)=.dlajakichparamerówα,β R,parafunkcjiu ),u 2 ))określonchwzorami u )=α )+ 2 ) u 2 )= )+β 2 ) jes również układem fundamenalnm ego równania? 2.4 Sprawdzić, że podane funkcje worzą na zadanch przedziałach układ fundamenalne wskazanch równań różniczkowch. Znaleźć rozwiązania ch równań z zadanmi warunkami począkowmi: a) )=e, 2 )=e 2,, ), 2=, )=, )= 5; b) )=ln, 2 )=,,e), 2 ln) + =, )=2, )=; c) )=, 2 )=e,,), ) +=, )=, )=; d) )=, 2 )= 2,, ), =, )=3, )=. 2.5 Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneposaci +p) +q)=,kórchukład fundamenalne składają się z podanch funkcji: a) )=sh, 2 =ch,gdzie R; b) )=, 2 )= 2,gdzie, ); c) )= 7, 2 )=,gdzie, ). 2.6 Do każdego z podanch równań różniczkowch wskazano jedno jego rozwiązanie. Wkorzsując meodę obniżania rzędu równania znaleźć rozwiązania ogólne ch równań różniczkowch: a) 5 +6=, ϕ)=e 3 ; b) +4=, ϕ)=cos2; c) 2 3=, ϕ)= ; d) ) +) +2=, ϕ)=e ; e) 2 +2 )=, ϕ)=e ; f) =, ϕ)=. 2.7 Wznaczć e warości parameru m R, dla kórch wskazana funkcja będzie rozwiązaniem podanego równania, a nasepnie scałkować e równania: a)ϕ)=e m,2+) +22 ) 8=; b)ϕ)= m, =. 7
8 * 2.8 Do każdego z podanch równań wskazano jedno jego rozwiązanie. Korzsając ze wzoru Liouville a wznaczć układ fundamenalne ch równań: a) 3 + =, )=; b) +2 +=, )= sin. Lisa siódma 2.9 Napisać równania charakersczne podanch równań różniczkowch: a) 2 +=; b) 3=; c)4 + =; d)2 3 +4=. 2. Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneosałchwspółcznnikachposaci +p +q=, jeżeli podane są pierwiaski ich wielomianów charakerscznch: a)λ =+ 3i; b)λ =λ 2 = 2; c)λ =2,λ 2 =3; d)λ =i. 2. Wznaczćrównaniaróżniczkoweliniowejednorodneosałchwspółcznnikachposaci +p +q=, jeżeli podane funkcje wchodzą w skład ich układów fundamenalnch: a)cos2; b)e ; c)e 2,e α,gdzieα 2; d)e sin; e); f),e. 2.2 Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe o sałch współcznnikach: a)6 5 +=; b) 2=; c)4 4+=; d) =; e) 4 +5=; f) 2 +5=; g) +6 +8=; h)7 +4 3=; i) 6 +9=. 2.3 Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: a) + 6=, ) ) ) π π =, )=; b) +9=, =, =; 3 3 c) 2 +=, ) =2, )=3; d) 7 +2=, ) =3, )= Punkmaerialnomasiemporuszasiępoprosejłaczącejdwacenraijesprzciąganprzezniez siłą wpros proporcjonalną do jego odległości od każdego z nich. Współcznnik proporcjonalności jes równ k >, a odległość międz cenrami wnosi 2b. Znaleźć równanie ruchu i rozwiązać je wiedząc, żewchwilipocząkowej =)punkznajdowałsięwodległościx odśrodkaliniiłączącejoba cenra i miał zerową prędkość. 2.5 W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo cewkę o indukcjności LH oraz kondensaor o pojemności CF. Wznaczć naężenie prądu IA w m obwodzie jako funkcję czasu. 8
9 Lisa ósma * 2.6 Wznaczć e warości parameru α R, dla kórch zagadnienie brzegowe ma niezerowe rozwiązanie. +α=,)=2π), )= 2π) 2.7 Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań różniczkowch liniowch niejednorodnch. Wznaczć rozwiązania ogólne ch równań lub zagadnień począkowch: a) + +25=4e 5, ϕ)=2 2 e 5 ; b) +4=sin2, ϕ)= 4 cos2; c) 2=4 2e, ϕ ) = 2+e, )=, )=; d) + 2= 2 e 4, ϕ)= ) e 4, )= , )= Sprawdzić,żefunkcjaϕ)=2+ 5 e sin+cos)jesrozwiązaniemrównaniaróżniczkowego +3 +2=4+2e cos. Znaleźć rozwiązanie, kóre spełnia warunek lim )= Zakładając,żepodanefunkcjesąrozwiązaniamirównanialiniowegoniejednorodnego +p) + q) = h), wznaczć rozwiązanie ogólne ego równania lub rozwiązać zagadnienie począkowe: a)ϕ)=5e 2 sin, ψ)=cos+5sin)e 2, η)=+5)e 2 sin; b)ϕ)=cos+ 2 sin, ψ)=+)cos+ 2 sin, η)=cos+ + 2) sin, )=, )=. 2.2 Podane funkcje są rozwiązaniami wskazanch równań liniowch niejednorodnch. Wznaczć rozwiązania ogólne ch równań: a)ϕ)= sin +, ψ)=, + 2 += ; b)ϕ)=, ψ)=sine +, +e 2 =e 2. Lisa dziewiąa 2.2 Wznaczć rozwiązania ogólne podanch równań liniowch niejednorodnch, jeżeli znane są układ fundamenalne odpowiadając im równań jednorodnch: a) 7 +=e 3, )=e 2, 2 )=e 5 ; b) 3+2 2) 6+) +6=6, )= 3, 2 )=+; c) ) += ) 2 e, )=, 2 )=e ; d)+) 2+) =e, )=, 2 )=e. 9
10 2.22 Korzsając z meod uzmienniania sałch rozwiązać podane równania różniczkowe: a) +4 +4=e 2 ; b) +4= cos2 ; c) = 42 + ; d) 2 g=; e) +3 +2= +e ; f) +3 +2=cos e ) Korzsając z meod przewidwania podać posacie rozwiązań podanch równań różniczkowch: a)4 4= 3 24; b) 7 = ) 2 ; c) 8 +6= )e 4 ; d) +3 =3; e) +25=cos5; f) +=sin cos Korzsając z meod współcznników nieoznaczonchmeoda przewidwania) rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne: a) +2 += 2; b) 4 +4= 2 ; c) +4 +4=8e 2 ; d) +3 =3e 3 ; e) +5 +6= )e 2 ; f) +4 4=8sin Korzsając z wierdzenia o składaniu rozwiązań i meod współcznników nieoznaczonchmeoda przewidwania) rozwiązać podane równania różniczkowe: a) 2=e +e 2 ; b) =+sin; c) 4 =2cos 2 4; d) 2=4 2e Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: a) +=2 ), )=2, )= 2; b) 6 +9= , )=, )=3; c) +6 +9=sin, )=, )=; d) + =e, ) =, )= W obwodzie elekrcznm połączono szeregowo opornik o oporności R = Ω, cewkę o indukcjności L=2.5HikondensaoropojemnościC=.8ForazzewnęrznąsiłęelekromoorcznąE)= cos5v.wznaczćnaężenieprądui)a,jeżelii)=iq)=,gdzieq)oznaczailość ładunku na kondensaorze C w chwili. Lisa dziesiąa 3. a)dwasulirowezbiornikiz iz 2,zkórchpierwszzawiera%wodnrozwórsoli,adrugi czsą wodę, połączono dwiema rurkami umożliwiającmi przepłw ciecz międz nimi. Prz czm pierwszą rurą rozwór przepłwa w jedną sronę, a drugą odwronie. Przepłw e odbwają się z prędkością2lirównaminuę.określićilościsoliz )iz 2 )odpowiedniowzbiornikachz iz 2. Przjąć, że proces rozpuszczania soli w obu zbiornikach jes nachmiasow. b)trzpełnezbiornikiz,z 2 iz 3 opojemnościachodpowiednio2,4i5lirówpołączonodwiema rurkami.rurkieumożliwiająprzepłwcieczzezbiornikaz doz 2 orazzezbiornikaz 2 doz 3 z prędkościąl/min.zbiornikz zawiera75%wodnrozwórsoli,adwapozosałeczsąwodę.
11 Wznaczćilościsoliz ),z 2 ),z 3 )odpowiedniowzbiornikachz,z 2,Z 3.Przjąć,żepierwsz zbiornik zasilan jes czsą wodą z prędkością l/min, a z ą samą prędkością z osaniego wpłwa rozwór. Przjąć również, że proces rozpuszczania soli w zbiornikach jes nachmiasow. 3.2 Sprawdzić, że dla podanch układów równań różniczkowch wskazane ciągi funkcji są ich rozwiązaniami na zadanch przedziałach: =, a) 2 2 =, ), 2 ))= e 2 ) 2,2e, R;, = 2 b), 2 = + 2 ) + 2, c) = + 2, 2 = , ), 2 ))= ), 2 ))= ) ,2e ,, ); C +C 2,2C 2 + C ),, ). 3.3 Rozwiązać podane zagadnienia począkowe: x =xln, x)=e 2, x = 5 a) =, )=e 2 b) 2 x 2, x)=2, ; = 2 x+5 2, )= ; x = 3 c) 2 x+ 2, x)=2, x =x 3, = d) 2 x+3 2, )=; = x)=, 2 x 2, )= Podane układ równań różniczkowch liniowch zapisać w posaci wekorowej: liniowch: = ln, a) 2 = + b) = e, = 2+3 3, 2; 2 = +e c) 2 ; = +2 3,. 3 = Korzsając z wierdzenia o isnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla układów równań różniczkowch liniowch wznaczć przedział, na kórch podane zagadnienia począkowe mają jednoznaczne rozwiązania: = a) + 2, 2 = 2 +,, b) sin= 2 +sin, 2 cos= + 2 +cos,, ) ) =, 2 =2; 2 2 ) 3π = 4 2, 2 ) 3π = 4 3.
12 3.6 Korzsając z meod eliminacji rozwiązać podane układ równań różniczkowch liniowch ze wskazanmi warunkami począkowmi: x 3 x x) 3 x 3 2 x x) a) =, = ; b) 5 ) =, = ; 4 7 ) x c) = x, x) ) = x ; d*) = 2 3 x, x) ) = Sprawdzić, cz podane funkcje wekorowe worzą na zadanch przedziałach układ fundamenalne wskazanch układów równań różniczkowch liniowch: e 2e a) )= 2e, 2 )= 4e, =, R; 4 b) )= 2, 2 )=, =,, ); c) )=, 2 )=, = 2 2 2,,); 3e 2 e e d) )= 2e 2, 2 )= e, 3 )= e 3, = 6 9 2, R e 2 Lisa jedenasa e 3.8 Korzsając z poprzedniego zadania rozwiązać podane zagadnienia począkowe: a) =, )= ; b) 4 =, )= ; c) = 2 2, )= 8 2 ; d) = 6 9 2, )= Subsancja chemiczna A rozpada się na dwa składniki P i Q. Prędkość powsawania każdego z ch składników jes proporcjonalna do ilości subsancji nierozłożonej. Znaleźć funkcje p) i q) określające odpowiednio ilości subsancji P i Q w chwili. Prz czm wiadomo, że w momencie rozpoczęcia procesu rozpadu bło a jednosek subsancji A, a po godzinie bło.375a jednosek składnika P i.25a jednosek składnika Q. 3. Prz pomoc meod Eulera wznaczć układ fundamenalne podanch układów równań różniczkowch =A,jeżeli: a)a= 3 4 ; b)a= ; c)a= ; d)a= 3..
13 3. Korzsając z meod Eulera dla różnch rzeczwisch warości własnch rozwiązać układ równań =A lubzagadnieniepocząkowe =A, )=,jeżeli: a)a= 2 ; b)a= ; c)a= 2 2 ; d)a= 2, 24 =. 3.2 Korzsając z meod Eulera dla różnch zespolonch warości własnch rozwiązać układ równań =A lubzagadnieniepocząkowe =A, )=,jeżeli: a)a= c)a= 2 2 ; b)a=, 2 2 = ; d)a= ; 6 2, 3 5 = Korzsając z meod Eulera dla różnch rzeczwisch i zespolonch warości własnch rozwiązać układrównań =A lubzagadnieniepocząkowe =A, )=,jeżeli: 2 2 a)a= ; b)a=, = 5 ; c)a=. 3.4 Meodą eliminacji wznaczć rozwiązania ogólne podanch niejednorodnch układów równań różniczkowch lub zagadnień począkowch: x =x 2+ e, a) =x+4+e 2 ; x =x+2, b) =x 5sin; c) x =4x 5+4, = x 2+, x)=, )=. Lisa dwunasa 3.5 WobwodzieelekrcznmpołączonoszeregowocewkęoindukcjnościL =H,opornikooporności R=2ΩorazźródłonapięciasałegoE=5VirównolegledooporuRdrugącewkęoindukcjnościL 2 =.5H.WznaczćnaężeniaprądówI R )AiI L )A,przzałożeniu,żeI R )=i I L )=. 3.6 Dla każdego podanego układu niejednorodnego wskazano jedno jego rozwiązanie. Znaleźć rozwiązanie ogólne ego układu: 3
14 a) = b) = g 2 g 3e 2 e 2, ϕ)=, ϕ)= g 2 4 e2 4 e2 3.7 Sprawdzić, że podane funkcje wekorowe worzą na wskazanm przedziale układ fundamenaln układu jednorodnego =A).Nasępnierozwiązaćukładniejednorodn =A) + h)zzadanmwarunkiem począkowm jeżeli: a) )= 3 A)= 2, 2 )= 4,, ),, )= 2 2, h)= 5 ;. 3 2 b) )= e 2 2, 3 2 )= e 5, R, 4 2 A)=, 5 h)= e 2, )= c) )= e, 2 )= e, 3 )= 23 A)= 2, h)= 6 e, )= ; 7 3 ; e, R, 3.8 Korzsając z meod uzmienniania sałch znaleźć rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego równańróżniczkowchliniowch =A + h),jeżeli: a)a= 2, h)= cos sin+cos ; b)a= 5, 3 e h)= e Rozwiązaćzagadnieniepocząkowe =A + h), )=,jeżeli: a)a=, cos h)=, = ; 2 5 b)a=, 4 h)=, 2 = 2 2e 2 c)a=, h)= 2 e d)a= 2, h)= e 2 e 3 2 ;, =, = ;. 4
15 3.2 Rozwiązać podane układ równań różniczkowch oraz naszkicować ich porre fazowe: x =2x, x = x, x a) b) = ; = =x, x = x 2, 2 ; c) d) =2; = 2. Lisa rznasa 3.2 Wznaczć punk równowagi podanch równań i układów auonomicznch: a) +=2; b) = ; c) =ln; x =x x 3 x 2, x =x 2 + 2, x =2+x) x), d) =2 5 x 4 e) ; f) =2x; =4 x)+x) Wznaczć punk równowagi podanch równań i układów. Korzsając z definicji zbadać ich sabilność. Dla punków sabilnch zbadać ich asmpoczną sabilność: a) ++=; b) =2 ; c) x =, =x; d*) x =, = 2x 3; e*) x =, = 2x Zbadać sabilność punku równowagi, ) układu równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach =A,jeżeli: a)a= ; b)a= Zbadać sabilność punku równowagi,, ) układu równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach =A,jeżeli: a) ; b) ; c) ; d) x x Określić p punków równowagi układu liniowego =A,jeżeli: a)a= ; b)a= ; c)a= ; d)a= ; e)a= ; f)a= ; g)a= ; h)a= ; i)a=
16 3.26 Wznaczć wszskie punk równowagi podanch auonomicznch układów równań różniczkowch i na podsawie pierwszego przbliżenialinearzacji) zbadać ich sabilność: x =2x+3, x =x+2 2, x =x 2 x+6, a) b) = x 2+; c) = 3x 4; =+; x = x, d) = x 2 ; x =xx +), g) =2x++); Lisa czernasa x =4 2 3x+2, e) =4x 2 4; x =xx ), h) =x ; x =x +x 2, f) =+ 2 ; x =x 2, i) =9x 4). 4. Korzsając z definicji obliczć ransforma Laplace a podanch funkcji: a)2 ; b)sin2; c) 2 ; d)e ; e)e 2 cos2; f)sh; g) =f) h) =g) O O i) =h) 2 O 4.2 Wznaczć funkcje ciągłe, kórch ransforma Laplace a mają posać: a) s+2 ; b) s s 2 +4s+5 ; c) s 2 4s+3 ; s+2 d) s+)s 2)s 2 +4) ; e) s 2 + s 2 s 2 ) 2; f) s+9 s 2 +6s+3 ; g) 2s+3 s 3 +4s 2 +5s ; h) 3s 2 s 3 ) 2; i) e s s Meodą operaorową rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach: a) =, )=; c) + =, )=, )=; b) 2=sin, )=; d) +3 =e 3, )=, )= ; e) 2 +2=sin, )=, )=; f) 2 +=+, )=, )=; g) +4 +4= 2, )=, )=; h) +4 +3=e, )=, )= Meodą operaorową rozwiązać podane zagadnienia począkowe dla układów równań różniczkowch liniowch o sałch współcznnikach: x =, x =, a) x)=, )= ; b) = x, x)=, )=; =2x+2, 6
17 x = 2+3, c) x)=2, )=3; =2x+4, x = sin, d) x + x)= = cos, 2, )= 2 ; x = 2x 2 4z, e) = 2x+ 2z, x)=, )=, z)=; z = 5x+2+7z, x = x++z+ e, f) = x +z+e 3, x)=, )=, z)=. z = x++z+ 4, 4.5 Wznaczć funkcje ciągłe, kórch ransforma Laplace a mają posać: a) s+2 ; b) s s 2 +4s+5 ; c) s 2 4s+3 ; s+2 d) s+)s 2)s 2 +4) ; e) s 2 + s 2 s 2 ) 2; f) s+9 s 2 +6s+3 ; g) 2s+3 s 3 +4s 2 +5s ; h) 3s 2 s 3 ) 2; i) e s s Korzsając z podsawowch własności przekszałcenia Laplace a obliczć ransforma podanch funkcji: a)sin 4 ; c) 2 cos; b)cos4cos2; d)sh3; e)e cos; f)e 3 sin 2 ; g) 2)sin 2); h) )e ; i) 2 3); dla <, dla <2, dla 2 <3, j)f)= dla 3 <4, dla 4 <5, dla 5 <. * 4.7 Obliczć splo podanch par funkcji a)f)=e, g)=e 2 ; b)f)=cos3, g)=cos. * 4.8 Korzsając ze wzoru Borela wznaczć funkcje, kórch ransforma dane są wzorami: a) s 2 s 2 +) ; b) s s 2 +) 2; c) s ) 2 s+2). 7
18 * 4.9 Niechϕ)będzierozwiązaniemrównaniajednorodnego +p +q=,q )zwarunkami począkowmi)=, )=.Pokazać,żejeżelifunkcjah)jesorginałem,orozwiązanie) zagadnienia począkowego +p +q=h),)=, )=,q ) wrażasięwzorem)= ϕ ) h) ).Przedsawićrozwiązaniapodanchzagadnieńpocząkowch w posaci sploów: q a) + 2=cos,)=, )=; b) 2 +=e,)=, )=. 8
Równania różniczkowe zwyczajne A
Lisa pierwsza Równania różniczkowe zwczajne A Lis zadań..zpewnejsubsancjiradioakwnejpoupłwie4lazosało20gram,apoupłwiedalszch4lalko 4 gram. Wznaczć masę subsancji w chwili począkowej. b) Polon-20 ma okres
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062
Równania różniczkowe zwczajne MAP 34, 36 Opracowanie: dr Marian Gewer, dr Zbigniew Skoczlas Lisazadań.Zpewnejsubsancjiradioakwnejpoupłwie4lazosałogram,apoupłwiedalszch4lalko 4 gram. Wznaczć masę subsancji
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne MAP 3014, 3062 Lista zadań
Równania różniczkowe zwyczajne MAP 304, 306 Lisa zadań.zpewnejsubsancjiradioakywnejpoupływie4lazosało0gram,apoupływiedalszych4laylko 4 gramy. Wyznaczyć masę subsancji w chwili począkowej. (b) Polon-0 ma
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE - LISTA I
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE - LISTA I RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. ROZWIĄZAĆ RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LUB ZAGADNIENIE POCZĄTKOWE.......6. ln ln...7..8..9. d d.... co.... in.... in co in.6..7..8.
Bardziej szczegółowoLista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B Lisa nr 1 1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u() na okładkach kondensaora w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C,
Bardziej szczegółowoMAP1149 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.3 A MAP1150 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.3 B Listy zadań
MAP49 ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A MAP5 ANALIZA MATEMATYCZNA.3 B Lis zadań Lisa.. Wznaczć i narsować dziedzin nauralne funkcji: f,)= 3 5 ; b)f,)=sin + ) + ; c)f,)= + 5 ; f,)=ln + 4 9 ; e)f,,z)= + + z ; f)f,,z)=arcsin
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowoKrzywe na płaszczyźnie.
Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marian Gewer Zbigniew Skoczlas RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Teoria, przkład, zadania Wdanie pięnase zmienione GiS Oficna Wdawnicza GiS Wrocław 2016 Marian Gewer Wdział
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 9 ALGEBRA
Algebra WYKŁAD 9 Krzwe sożkowe Definicja Prosa sczna do krzwej K w punkcie P jes o prosa, będąca granicznm położeniem siecznch s k przechodzącch przez punk P i P k gd punk P k dąż zbliża się do punku P
Bardziej szczegółowoZwiązek między ruchem harmonicznym a ruchem jednostajnym po okręgu
Związek międz ruchem harmonicznm a ruchem jednosajnm po okręgu Rozważm rzu Q i R punku P na osie i : Q cos v r R sin R Q P δ Q cos ( δ ) R sin ( δ ) Jeżeli punk P porusza się ruchem jednosajnm po okręgu,
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 4 Metoda Klasyczna część III
Teoria Obwodów Wykład 4 Meoda Klasyczna część III Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 5/8 el: (7) 3 6 fax: (7)
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 3 liniowe 3 Bernoulliego
Bardziej szczegółowowięc powyższy warunek będzie zapisany jako dy dt
Meo maemaczne w echnologii maeriałów Krzszof Szszkiewicz Wprowadzenie DEFINICJA. Równaniem różniczkowm zwczajnm rzędu pierwszego nazwam równanie posaci gdzie f : f (, ), () U jes daną funkcją. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoMAP1146 ANALIZA MATEMATYCZNA 2.4 A Listy zadań
MAP46 ANALIZA MATEMATYCZNA.4 A List zadań Lista.. Przjmując w definicji całki oznaczonej podział równomiern obliczć podane całki oznaczone i podać ich interpretację geometrczną: ); b) ; c) e. Wskazówka.Ad.b).Zastosowaćwzor++...+n=
Bardziej szczegółowooznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim
WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoZestaw 0. 1 sin 2 x ; k) (arctg x) 0 = 1 ; l) (arcctg x) x 2 m) (arcsin x) 0 = p 1
Podstawowe wzor rachunku ró zniczkowego Zestaw. Rachunek ró zniczkow i ca kow a) (f () g ()) = f () g () + f () g () b) f (g ()) = f (g ()) g () f() c) g() = f ()g() f()g () d) ( n ) = n n g () e) (log
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoRZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego
NIELINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego ma postać:
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych I
Zestaw zadań z Równań różniczkowych I Zadanie 1. Rozwiąż równanie Metoda rozdzielania zmiennych 1 6d 6ydy = 3 ydy y d y4 + e dy e d = 0 3 4 + y d + y 1 + dy = 0 4 6d ydy = y dy 3y d 5 1 + e yy = e 6 y
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,
Bardziej szczegółowoMAP 1148 ANALIZA MATEMATYCZNA 1.2
MAP 48 ANALIZA MATEMATYCZNA. Lista List zadań na semestr zimow 9/.. Korzstając z definicji granic właściwej ciągu uzasadnić podane równości: n+ n+ lim n n =; b) lim =; n n+ lim n n =; e*) lim +5 n 3 n
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 Lista zadań
Analiza maemayczna Lisa zadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: d) + ; b) arccg; e) +) ; c) 4+3
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrotechniki
Wydział Mechaniczno-Energeyczny Podsawy elekroechniki Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. zw. PWr Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław Bud. A4 Sara kołownia, pokój 359 Tel.: 7 320 320
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoPodstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.
Tema. Opracował: esław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Insyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akusyki Poliechnika Wrocławska Prawa auorskie zasrzeżone Podsawowe wyidealizowane elemeny obwodu elekrycznego
Bardziej szczegółowo( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =
ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoWygładzanie metodą średnich ruchomych w procesach stałych
Wgładzanie meodą średnich ruchomch w procesach sałch Cel ćwiczenia. Przgoowanie procedur Średniej Ruchomej (dla ruchomego okna danch); 2. apisanie procedur do obliczenia sandardowego błędu esmacji;. Wizualizacja
Bardziej szczegółowoZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR
ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR ZADANIA w semestrze zimowm Teoria zbiorów funkcje. Podać interpretację geometrczną zbiorów: A B jeżeli A = i B = A B X = X X X gdzie X = gdzie A= { : } B = d) { }
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach. π 4. (a) sin(x + y) dxdy, R = π 4, π ] [ dy = sin(x + y)dy = dx =
achunek prawdopodobieństwa MAP6 Wdział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wkładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przkład do list : Całki podwójne Przkład do zadania. : Obliczć dane całki podwójne po wskazanch
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione
YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym
ĆWIZENIE 4 Badanie sanów nieusalonych w obwodach, i przy wymuszeniu sałym. el ćwiczenia Zapoznanie się z rozpływem prądów, rozkładem w sanach nieusalonych w obwodach szeregowych, i Zapoznanie się ze sposobami
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoPojęcia podstawowe 1
Tomasz Lubera Pojęcia podsawowe aa + bb + dd + pp + rr + ss + Kineyka chemiczna dział chemii fizycznej zajmujący się przebiegiem reakcji chemicznych w czasie, ich mechanizmami oraz wpływem różnych czynników
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ( ) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.
Ćwiczenia 3 (22.04.2013) Współczynnik przyrosu nauralnego. Koncepcja ludności zasojowej i usabilizowanej. Prawo Loki. Współczynnik przyrosu nauralnego r = U Z L gdzie: U - urodzenia w roku Z - zgony w
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoE5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO
E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO Marek Pękała i Jadwiga Szydłowska Procesy rozładowania kondensaora i drgania relaksacyjne w obwodach RC należą do szerokiej klasy procesów relaksacyjnych. Procesy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH
POLIECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGEYKI INSYU MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH IDENYFIKACJA PARAMERÓW RANSMIANCJI Laboraorium auomayki (A ) Opracował: Sprawdził: Zawierdził:
Bardziej szczegółowo26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU
6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją
Bardziej szczegółowoZastosowania całki oznaczonej
Przkłd 9 Nie kd funkcj okrelon i ogrniczon n [, b] jes cłkowln n [, b], np funkcj Dirichle nie jes cłkowln n przedzile [, ], gd f ( ), gd liczb wmiern odcink [,] liczb niewmiern odcink [,] Gdbm dl kdego
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut
Wojewódzki Konkurs Maemayczny dla uczniów gimnazjów. Eap szkolny 5 lisopada 2013 Czas 90 minu ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punk) Liczby A = 0, 99, B = 0, 99 2, C = 0, 99 3, D = 0, 99, E=0, 99 1 usawiono
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoZajęcia 2. Estymacja i weryfikacja modelu ekonometrycznego
Zajęcia. Esmacja i werfikacja modelu ekonomercznego Celem zadania jes oszacowanie liniowego modelu opisującego wpłw z urski zagranicznej w danm kraju w zależności od wdaków na urskę zagraniczną i liczb
Bardziej szczegółowoRównania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1
Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 Listazadań
Analiza maemayczna Lisazadań Opracowanie: dr Marian Gewer, doc. Zbigniew Skoczylas Lisa. Korzysając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: 3 +) ; b) 4 ; e) 3 3+5 ; c) π )
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Bardziej szczegółowoDrgania elektromagnetyczne obwodu LCR
Ćwiczenie 61 Drgania elekromagneyczne obwodu LCR Cel ćwiczenia Obserwacja drgań łumionych i przebiegów aperiodycznych w obwodzie LCR. Pomiar i inerpreacja paramerów opisujących obserwowane przebiegi napięcia
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4
ZADANIA - ZESTAW 4 Zadanie 4. 0-0,4 c 0 0, 0, Wznacz c. Wznacz rozkład brzegowe. Cz, są niezależne? (odp. c = 0,3 Zadanie 4.- 0-0,4 0,3 0 0, 0, Wznaczć macierz kowariancji i korelacji. Cz, są skorelowane?
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoWykład 4: Transformata Laplace a
Rachunek prawdopodobieńwa MAP164 Wydział Elekroniki, rok akad. 28/9, em. leni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 4: Tranformaa Laplace a Definicja. Niech f() będzie funkcją określoną na R, przy czym
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne spektrum
Fale elekroagneyczne spekru w próżni wszyskie fale e- rozchodzą się z prędkością c 3. 8 /s Jaes Clerk Mawell (w połowie XIX w.) wykazał, że świało jes falą elekroagneyczną rozprzesrzeniającą się falą ziennego
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t
Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoO pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego
O pewnym twierdzeniu S. Łojasiewicza, J. Wloki, Z. Zieleżnego Jan Ligęza Instytut Matematyki Wisła Letnia Szkoła Instytutu Matematyki wrzesień 2010 r. [1] S. Łojasiewicz, J. Wloka, Z. Zieleżny; Über eine
Bardziej szczegółowo