ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

Transkrypt

1 METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków Gospodarczych Szkoła Główna Gospodarswa Wiejskiego w Warszawie adam_waszkowski@sggw.pl Sreszczenie: W arykule podjęy zosał problem esymacji krzywej dochodowości dla Polski. Przedsawiono w nim dwie meody najczęściej sosowane przez banki cenralne, kóre publikują akiego ypu dane- meodę Nelsona- Siegela oraz Svenssona. Rozważono również możliwość sosowania ych meod w polskich warunkach a w dalszej konsekwencji przedsawiono wyniki esymacji srukury erminowej sóp procenowych. Porównano również oszacowania długookresowej oraz krókookresowej sopy procenowej obiema meodami w laach w Polsce. Słowa kluczowe: krzywa dochodowości, model Nelsona- Siegela, model Svenssona WSTĘP W arykule podjęo próbę oszacowania srukury erminowej (krzywej dochodowości, ang. yield curve) sóp procenowych dla Polski. W krajach o dojrzałym rynku kapiałowym srukura erminowa szacowana jes przez banki cenralne. Jak doąd jednak Narodowy Bank Polski nie publikuje akich projekcji. Arykuł ma być próbą sprawdzenia, czy esymacja krzywej dochodowości jes również możliwa w polskich warunkach. Arykuł składa się z pięciu części. Część druga zawiera definicję krzywej dochodowości oraz zarys wybranych pozycji lieraury doyczących esymacji srukury sóp procenowych. W części rzeciej omówiono najpopularniejsze modele esymacji krzywej: model Nelsona- Siegla oraz meodę Svenssona. Część czwara przedsawia wyniki esymacji dla Polski dla wybranych okresów oraz oszacowania króko- i długookresowej sopy procenowej. W części osaniej zawaro podsumowanie oraz wnioski płynące z przeprowadzonych badań.

2 254 Adam Waszkowski STRUKTURA TERMINOWA STÓP PROCENTOWYCH Krzywa dochodowości przedsawia [Kliber, 2009] zależność między erminem wykupu określonego insrumenu wolnego od ryzyka (np. bonów skarbowych czy obligacji rządowych) a sopą procenową. Opisuje ona sopy zwrou wolne od ryzyka dla różnych erminów inwesycji. Rozważmy bieżącą cenę obligacji zerokuponowej w erminie wykupu z wykorzysaniem dyskona ciągłego. Jes ona równa: P gdzie: C- kwoa do wypłay posiadaczowi obligacji w chwili, r()- sopa procenowa za okres od chwili obecnej do chwili, liczona przy r() = Ce, () kapializacji ciągłej ( r ( ) = ln( + i( )). Wynika z ego, że: lnc ln P r( ) =. (2) Sopy orzymane z powyższego wzoru o sopy rynku spo, zaś funkcja r() określa ich srukurę erminową. Z kolei sopę forward można wyznaczyć korzysając z konraków FRA (ang. Forward Rae Agreemen). Niech f(s,) oznacza sopę forward na okres 0 < s <. Sopa forward jako sopa procenowa w konrakcie FRA na pożyczkę od s do wynosi zaem: r( ) sr( s) f ( ) =. (3) s Chwilowa sopa forward określana jako sopa forward dla nieskończenie krókiego okresu w przyszłości zaczynającego się w okresie wynosi zaem: f ( ) = lim f ( s, ) = r( ) + r'( ). (4) s Powyższa funkcja f() nazywana jes srukura erminową sóp forward. Z powyższego wzoru (4) wynika zależność między srukurą erminową cen spo i forward: r( ) = f ( u) du. (5) 0 Znajomość srukury erminowej sóp procenowych jes przydana, ponieważ obserwowane ceny obligacji najczęściej różnią się od cen fundamenalnych ( prawdziwych ) z powodu obecności szumu rynkowego, gdzie obs obserwowaną cenę obligacji P można przedsawić jako: P obs = P + ζ (6)

3 Esymacja krzywej dochodowości sóp procenowych 255 gdzie: P - cena fundamenalna, ζ - zakłócenie losowe (szum). Szacując sopy procenowe dla różnych okresów próbie poddaje się eliminacje wpływu szumu. Ponado w wielu modelach dla rynku kapiałowego zakładana jes znajomość funkcji srukury erminowej. Jes ona niezbędna m.in. do wyceny insrumenów pochodnych, prognozowania zmienności cen obligacji czy w modelach dynamiki sóp procenowych 2. Problemayka szacowania krzywej dochodowości była podejmowana w kilku pracach. Meodologia jej esymacji zosała szeroko przedsawiona w opracowaniu Marciniaka [2006]. W badaniach empirycznych wykorzysane zosały funkcje sklejane oraz meoda Svenssona. Temayka a zawara jes również w arykule Gurazdowskiego [2003]. Samirowski [2003] przedsawił empiryczne wyniki szacowania krzywej dochodowości dla Polski, USA oraz srefy euro. Wykorzysał również w ym celu model Vasicka oraz Coxa-Ingersolla-Rossa. MODELE KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI Krzywa dochodowości powinna posiadać pewne właściwości [Nelson i Siegel 987]. Przede wszyskim funkcja f powinna być na yle elasyczna, aby odzwierciedlać wysępujące w rzeczywisości różne kszały krzywych dochodowości. Warunkiem koniecznym aby orzymać srukurę erminową sóp forward jes różniczkowalność srukury sóp spo. Dodakowo funkcja f powinna mieć granice w nieskończoności a jej warości powinny być dodanie i ograniczone z góry. Isnieje wiele meod esymacji srukury sóp procenowej. W niniejszym arykule uwaga jednak zosanie zwrócona ylko na dwie, sosowane powszechnie przez banki cenralne. 3 Obie e meody mają swoje wady jak i zaley. Modele e bazują na podsawach eoreycznych, co powoduje nauralna inerpreację oszacowań paramerów w kaegoriach ekonomicznych. Dużym problemem jes jednak sama esymacja modeli. Najczęściej sosuje się nieliniową meodę najmniejszych kwadraów. W prakyce sprowadza się o do rozwiązania nieliniowego zadania minimalizacji. Używa się do ego meod numerycznych, ale ze względu na złożoność posaci funkcyjnej nie ma gwarancji znalezienia minimum globalnego. Meoda Nelsona- Siegla W modelu Nelsona- Siegela [987] punkem wyjścia jes określenie równania sóp procenowych forward posaci: Przykładowo wycena insrumenów floor lub cap. 2 Model Heaha- Jarrowa- Morona (HJM). 3 W prakyce banków cenralnych wykorzysywana jes dodakowo meoda funkcji sklejanych (ang. splines), ale nie jes o meoda esymacji lecz inerpolacji.

4 256 Adam Waszkowski f ( ) = β + β2 exp + β3 exp( ), (7) λ λ λ gdzie: β, β 2, β 3, λ o paramery. Zgodnie zaem ze wzorem (5) srukura erminową sóp spo przedsawia relacja: exp( ) ( ) ( 2 3) λ r = β + β + β λ β3 exp( ). (8) λ Każdy z elemenów równania znajdujący się po prawej sronie ma swoją inerpreacje. Sała β odzwierciedla długookresowy poziom sopy procenowej 4 : limr( ) = β. Paramer β2 opisuje wpływ krókookresowych czynników na sopę erminową: limr( ) = β + β2. Osani, rzeci składnik, odpowiedzialny jes za 0 średniookresową zmienność sóp erminowych i pozwala uzyskać zgarbioną posać krzywej dochodowości- dla warości dodaniej β3 - jes o maksimum, dla ujemnej- minimum. Paramery modelu można uzyskać szacując je np. nieliniową MNK 5. Meoda Svenssona Svensson [994] zaproponował rozbudowę modelu Nelsona- Siegla poprzez dodanie kolejnego składnika opisującego zmienność sopy erminowej. W en sposób zwiększył elasyczność i poprawił dopasowanie funkcji srukury erminowej sóp forward, uzyskując w en sposób równanie: f ( ) = β + β2 exp + β3 exp + β4 exp. (9) λ λ λ λ2 λ2 Podsawiając do równania (5) uzyskujemy srukurę erminową sóp spo: exp( ) ( exp( )) λ λ λ r ( ) = β + β 2λ + β3( exp( )) + λ ( exp( ) λ λ 2 2 β4( exp( )). (0) β 2 4 Oprocenowanie obligacji konsolowej. 5 Wadą akiego podejścia jes fak, że funkcja celu (minimalizacja sumy kwadraów różnic między cenami eoreycznymi obligacji a cenami rynkowymi) jes funkcją silnie nieliniową i do rozwiązania zadania należy zasosować meody numeryczne poszukiwania minimum.

5 Esymacja krzywej dochodowości sóp procenowych 257 Wprowadzone przez Svenssona rozszerzenie powoduje, że w modelu ym jes możliwe do orzymania dwóch garbów. Paramery λ i λ 2 odpowiedzialne są z kolei za ich rozmieszczenie. WYNIKI ESTYMACJI W ym punkcie przedsawione zosaną wyniki esymacji powyższych modeli krzywej dochodowości sóp procenowych dla polskiej gospodarki. W ym celu oszacowane zosały paramery modeli posaci (8) oraz (0) oraz szeregi dla sóp długookresowych oraz krókookresowych. W analizie 6 wykorzysano dane ygodniowe doyczące walorów WIBOR M, 3M, oraz 6M z okresu do 22.VI.202 zaczerpnięe z poralu sooq.pl. Łącznie w obliczeniach wykorzysane zosały szeregi czasowe składające się z 599 obserwacji. Wykres pokazujący szeregi czasowe sopy WIBOR wskazuje, że w badanym okresie nasąpił isony spadek oprocenowania w Polsce, z poziomu blisko 20% w roku 200 do prawie 5% w roku bieżącym. Rysunek. Sopy WIBOR WIBOR_M WIBOR_3M WIBOR_6M Aby przedsawić różnicę między meodami esymacji srukury erminowej oszacowano paramery modeli dla pierwszego oraz osaniego momenu analizowanego szeregu czasowego. Uzyskano nasępujące oszacowania: day 6 Analizę przeprowadzono korzysając z programu R.

6 258 Adam Waszkowski Model Nelsona- Siegela daa bea_ bea_2 bea_3 lambda Model Svenssona Daa bea_ bea_2 bea_3 bea_4 lambda_ lambda_ Wyniki esymacji wskazują, że oszacowania paramerów β oraz β 2 dla ych samych momenów są różne mimo jednakowej ich ekonomicznej inerpreacji w przypadku obu modeli. Współczynniki e jednak nie prowadzą do innych kszałów krzywej dochodowości. Rysunki 2 i 3 wskazuje, że w obu przypadkach dopasowanie do danych jes poprawne. Rysunek 2. Krzywe dochodowości dla Krzywa dochodowosci z 5 I 200 r. Nelson-Siegel Svensson sopa procenowa czas do wykupu Rysunek 3. Krzywe dochodowości dla Krzywa dochodowosci z 22 VI 202 r. sopa procenowa Nelson-Siegel Svensson czas do wykupu

7 Esymacja krzywej dochodowości sóp procenowych 259 Krzywa dochodowości ze sycznia 200 roku (rysunek 2) wskazuje na ujemną zależność między sopą procenową a erminem zapadalności. Określa się ją w lieraurze przedmiou jako krzywą odwróconą (ang. invered yield curve). Zgodnie z eorią oczekiwań 7 wskazuje ona na spadek w krókim okresie sóp procenowych. Jes o zgodne z szeregiem czasowym sóp procenowych zaprezenowanym na rysunku. Z kolei zależność między zmiennymi dla krzywej z czerwca 202 (rysunek 3) jes ujemna dla pierwszego okresu. Od drugiego okresu można mówić o normalnym kszałcie krzywej dochodowości. W akim przypadku krzywa dochodowości z punkem przegięcia określana jes jako S - kszałna (ang. S- shaped). W dalszej części analizie poddano kszałowanie się sóp procenowych w całym badanym okresie. Dla każdego momenu szeregu czasowego oszacowano paramery β oraz β 2 dla modeli posaci (8) i (0) oraz sworzono szeregi czasowe sóp krókookresowych (rysunek 4) oraz długookresowych (rysunek 5). Wykres dla krókookresowej sopy procenowej wskazuje na spadek z poziomu 8% w roku 200 do blisko 5% w roku 202. Dodakowo krzywa oszacowana meodą Svenssona wykazuje duże wahania wokół endencji spadkowej, kóra zarysowana jes równaniem krzywej Nelsona- Siegela. Od roku 2000 oszacowania meodą Svensona znajdują się regularnie powyżej warości uzyskanych meodą Nelsona- Siegela. Rysunek 4. Oszacowania warości krókookresowej sopy procenowej sopa procenowa Nelson-Siegel Svensson day 7 Teoria oczekiwań jes podsawową eorią opisującą kszał krzywej dochodowości. Wskazuje ona, że głównym deerminanem kszału krzywej są oczekiwania doyczące przyszłego poziomu sóp procenowych.

8 260 Adam Waszkowski W przypadku sopy długookresowej różnice w uzyskanych oszacowaniach obiema meodami nie są aż ak wyraźne jak w przypadku sopy krókookresowej. Meoda Svenssona charakeryzuje się większymi wahaniami i mimo podobnego rendu spadkowego obie e meody esymacji dają isonie różne oszacowania sopy długookresowej. Rysunek 5. Oszacowania warości długookresowej sopy procenowej sopa procenowa Nelson-Siegel Svensson day PODSUMOWANIE I WNIOSKI W pracy podjęo próbę esymacji krzywej dochodowości dla gospodarki Polski. W ym celu wykorzysano meody zaproponowano przez Nelsona- Siegela oraz Svenssona. Z przedsawionych badań wynika, że esymacja srukury erminowej sóp procenowych dla Polski nie jes zadaniem ławym. Co więcej, sosowane w prakyce banków cenralnych meody dają różne oszacowania paramerów, kóre podlegają akim samym inerpreacjom ekonomicznym. Mimo o kszały uzyskane obiema meodami są podobne. Problemaycznym jes fak, że oszacowania sóp długo- oraz krókookresowych daje różne wyniki- meoda Svenssona charakeryzuje się większymi wahnięciami względem wspólnej endencji. Urudnione zaem saje się wnioskowanie na ema przyszłego poziomu sopy procenowej. Zarówno wycena konraków na przyszłą warość sopy procenowej jak i konsrukcja przyszłej ścieżki sóp procenowych na podsawie orzymanych wyników może prowadzić do znacznych błędów.

9 Esymacja krzywej dochodowości sóp procenowych 26 BIBLIOGRAFIA Gurazdowski E. (2003) Wykorzysanie modelu zmiennej szywności krzywej sóp erminowych do przybliżania krzywej rynku pieniężnego, Bank i Kredy, nr 2, sr Kliber P. (2009) Esymacja srukury erminowej sóp procenowych w Polsce, Bank i Kredy, nr 40(), sr Marciniak M. (2006) Yield Curve Esimaion a he Naional Bank of Poland, Bank i Kredy, nr 0, sr Nelson C. R., Siegel A. E. (987) Pasimonious Modeling of Yield Curves, Jurnal of Business, Nr 60, sr Samirowski M. (2003) Jednoczynnikowe modele Vasicka oraz CIR- analiza empiryczna na podsawie danych z polskiego rynku obligacji skarbowych, Bank I Kredy, nr 7, sr Svensson L. E. (994) Esimaing and inerpreing forward ineres raes: Sweden , Working Paper, Nr 487 NBER, Cambridge, sr ESTIMATION OF THE YIELD CURVE OF INTEREST RATES IN POLAND Absrac: Tha aim of his aricle is he esimaion of he yield curve of ineres raes in Poland. Two mehods applied a cenral banks publishing his ype of daa have been presened- Nelson-Siegel mehod and Svensson mehod. The aricle repors he resuls of applying hese mehods for Poland subsequenly. Key words: yield curve, Nelson-Siegel model, Svensson