G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Nieciagly.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC

Transkrypt

1 Fle w ośrodu o struturze periodycznej: N ogół roziry nieciągłości ośrod << λ, z puntu widzeni ruchu flowego do zniedbni; le np. dl ruchu fl elstycznych o dużej częstości w rysztle - nieciągłości nie ożn zniedbć. Złdy: strun idelnie elstyczn z rozłożonyi regulrnie ciężri o sie żdy. W równowdze strun jest rozciągnięt t, że npięcie wynosi T, odległość iędzy si wynosi.

2 Równnie ruchu sy r : T ( ) T( ) r r + r + T ( + ) r r r+ r Złdy sinusoidlny sztłt struny. Odległość sy Dl wychyleń y: r r r + + cos od sy ( z ) r 0 0 jest z r. cos[ ω t ( r ) ] [ cos( ω t r) cos sin( ω t r) sin ] ( ω t r) cos[ ω t ( r + ) ] [ cos( ω t r) cos + sin( ω t r) sin ]

3 Dl sy r : r ω r ω ω sin c ω c T Fle biegnące: Krzyw dyspersji -powtrz się wzdłuż osi Częstości ω odpowid niesończony zbiór różnych wetorów flowych,... Do opisu ruchu struny wystrczy jedn znjoość części zresownej. Pierwsze siu dl Wtedy: r cos( ω t rπ ) r cos[ ω t ( r ) π ] r r + cos[ ω t ( r + ) π ] r T odpowid - sąsiednie sy drgją w przeciwfzie. λ. 3

4 Dl π > λ < λ >. dobrze przez flę o ruch oże być opisny równie Do opisu fli wystrczy znjoość rzywej dyspersji dl π (pierwsz stref Brillouin) Dl łych częstości sin λ >> << T ω T µ ω - j dl elstycznej struny µ jednorodnej. 4

5 Fle stojące: - dwie sy zocowne, bdy ruch s poiędzy nii. Funcje włsne j dl obustronnie zocownej struny. ω ω n f sin Msyln wrtość π. Dl rysztłów typow wrtość ν ω π x 3 0 Hz Częstości włsne struny z pięcio si tylo pięć! Liczb odów równ liczbie współrzędnych norlnych. 5

6 Strun z N si zocown n ońcch długość ( N + ) nπ n ( N + ) n,, 3... Funcj włsn opisując flę stojącą: n N + (w nszy przyłdzie N5) u N + ( z) sin + z N π z sin - znczenie fizyczne w położenich s: ( r) sin r 0 u N + π - fl stojąc w postci bru ruchu (rysune n nstępnej stronie n6). n N + ( N + ) N n N + sin rπ u N + (*) Nrπ Nrπ sin N + N + Nrπ N + ( r) sin u ( r) Fl stojąc ( N + ) t j ( ) Z (*) dl r N + ω ω N N 6 N (p.rys. n5 i n7). Istnieje tylo N fizycznie rozróżnilnych odów (w przestrzeni 3 N ).

7 Wszystie ody dją się opisć przez fle stojące o długości i dłuższe. itd. Strun z dwo rodzji s: M w położenich r,r

8 w położenich r, r +... T ( + ) r r + r r M r T ( + ) r+ r+ r r + r + ω ω M M e i M ( ω t r) e i T [ ω t ( r + ) ] M T i i ( e + e ) i i ( e + e ) T T T T 4sin ω + ± + M M M Niech ( + ) i > M : T ω + dl 0 M T M ω dl λ 4 ) Niech ( ): π M (iniln długość fli M 8

9 ( M + ) T ω dl łych T ω dl π Górn rzyw głąź optyczn, doln głąź ustyczn. Dl głęzi optycznej, przy dużych λ (łych ) M M - toy drgją w przeciwfzie, środe sy nie porusz się. Dl głęzi ustycznej, przy dużych λ, - ruch M w jedną stronę. 9

10 Fl znijąc: Z rzywej dyspersji () wyni, że nie wetorów flowych dl ω > ωc. Dl innych systeów oże nie być rozwiązń dl ω > ω c (odcięcie nisich częstości). Odcięcie nisich częstości: Sprężyny dją dodtową siłę zwrotną. N odcine struny ( σ z ) ( z, t) z dził dodtow sił - (σ - sztywność n jednostę długości). Równnie ruchu: t T µ z 0 σ µ

11 Równnie Klein-Gordon: t c z ω c σ ω c µ Stąd związe dyspersyjny: ω ω c + c Dl ω ωc - odcięcie nisich energii. σ strun elstyczn. ω c Dl 0, 0 Dl ω >> ωc ~ strun elstyczn. by związe dyspersyjny był spełniony dl ω < ωc usi być: ( ω ω ) c c - urojone. Podstwijąc 0 do funcji flowej fli znijącej: exp ( z) Re{ D [ i( ω t z) ]} exp

12 dostjey: ( z) Re[ D exp( iω t) ] exp () Fz nie zleży od z - wszystie punty sprężyny drgją w fzie j dl fli stojącej. () Ksztłt sprężyny jest dl oreślonego oentu czsu wyłdniczy ( nie sinusoidlny) - fl znijąc punty leżące dużo dlej niż nie będą się poruszć. Dził j filtr górnoprzepustowy. Odbicie i tunelownie: Fl znijąc, t j fl stojąc nie przenosi energii od obszru w tóry występuje będzie odbijć się fl biegnąc o częstości ω niejszej od częstości odcięci.

13 G:\_Wyld 000\FIN\DOC\Niecigly.doc Przez punt z z 0 nie trnsportu energii, nie też tłuieni Þ fl uleg cłowiteu odbiciu Þ wruni do powstni fli stojącej dl Położenie węzł (strzłi) zleży od z < z0. σ, µ w obszrze z > z0. Jeśli obszr obcinjący od dołu jest wąsi, fl oże się rozchodzić po obu jego stronch, w obszrze z > - fl biegnąc. (L ~ ) - zjwiso tunelowni (przechodzenie przez obszr wzbroniony). 3

14 Odcięcie wysoich częstości: Dl ω > ωc związe dyspersyjny dje sin > - zespolone. ω ω i c sin cos Czynni ω c i sini i sin cosi + sin - urojony, pozostłe rzeczywiste. ω - rzeczywiste cos 0 π,3π,5π... Dl le było, że π π π dl ωc J rozchodzi się fl? Wstwy, z ω π i r π do równni fli tłuionej: ( r ) exp( r) Re{ D exp[ i( ω t rπ )]}, 4

15 - różnic w stosunu do ułdu odcinjącego nisie częstości sąsiednie sy drgją w przeciwfzie (czynni exp ( irπ )). Drgni j dl fli biegnącej o długości znijące wyłdniczo (rzy e n dystnsie ). Ułd dził j filtr dolnoprzepustowy. 5