KOLOKWIUM Z ALGEBRY I R

Transkrypt

1 Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane wype lnione wed lug schematu: nr zadania, imiȩ i nazwiso, nazwiso prowadz acego ćwiczenia. Ćwiczenie 1. Ustal wszystie liczby a, b i c R taie, że wielomian o wspó lczynniach rzeczywistych X 5 + ax 4 + bx 3 + cx + 1 jest podzielny przez X 3 X 5X + 6. Dowód: Soro suma wspó lczynniów wielomianu Q(X = X 3 X 5X + 6 równa siȩ zeru, to Q(X ma pierwiaste 1. Widać, że X 3 X 5X + 6 = (X 1(X X 6 = (X 1(X 3(X +. Wtedy, P (X = X 5 + ax 4 + bx 3 + cx + 1 jest podzielny przez Q(X wtedy i tylo wtedy gdy P (X jest podzielny przez X 1, X 3 i X +. Z twierdzenia Bezouta, to siȩ zdarza wtedy i tylo wtedy gdy P (X ma pierwiasti 1, 3 i. Wiȩc, P (X jest podzielny przez Q(X wtedy i tylo wtedy gdy W postaci macierzowej P (1 = + a + b + c = 0, P ( = a 8b + 4c = 0, P (3 = a + 7b + 9c = Zatem b = 46/9, c = 179/36, a = 67/36. Ćwiczenie. Udowodnij, że ( ϕ cos(ϕ + α = n cos n cos (n ϕ + α

2 Dowód: Mamy, że cos(ϕ + α = Re(e i(ϕ+α. Wiȩc, A = cos(ϕ + α = Re(e i(ϕ+α = Re ( Korzystaj ac ze wzoru Newtona wynia, że ( ( n A = Re e iα e iϕ = Re ( e iα (1 + e iϕ n. e i(ϕ+α Wówczas, A = Re [ e i(α+nϕ/ (e iϕ/ + e iϕ/ n] ( e = n Re [e i(α+nϕ/ iϕ/ + e iϕ/ n ] i A = n cos n ( ϕ Re [ e i(α+nϕ/] ( ϕ = n cos n cos (n ϕ + α. Ćwiczenie 3. Sprawdzić, że W = {(x 1, x, x 3, x 4, x 5 R 5 : x + x 3 + x 4 = 0, x 1 x 5 = 0} jest podprzestrzeni a przestrzeni R 5. Podaj bazȩ i wymiar tej podprzestrzeni. Napisz wspó lrzȩdne wetora (1,, 3, 5, 1 w tej bazie. Oblicz przeciȩcie W V, gdzie V = (1, 0, 0, 0, 0, (0, 0, 0, 0, 1. Rozwi azanie: Podzbiór (niepusty przestrzeni wetorowej jest podprzestrzeni a wtedy i tylo wtedy gdy dowolna liniowa ombinacja elementów tego podzbioru należy do tego podzbioru. Soro W jest niepusty, wystarczy sprawdzić, że dla dowolnych λ, µ R i wetory e 1, e W mamy, że λe 1 + µe W. W laśnie, jeżeli e 1 = (x 1,..., x 5 i e = (y 1,..., y n należ a do W, to λe 1 + µe = (λx 1 + µy 1,..., λx 5 + µy 5. Soro x 1 = x 5, x + x 3 + x 4 = 0, y 1 = y 5 i y + y 3 + y 4 = 0, to λx 1 + µy 1 = λx 5 + µy 5, λx + µy + λx 3 + µy 3 + λx 4 + µy 4 = λ(x + x 3 + x 4 + µ(y 1 + y + y 5 = 0.

3 Wiȩc, λe 1 + µe W i W jest podprzestrzeni a przestrzeni R 5. Teraz obliczymy bazȩ podprzestrzeni W. Musimy znaleźć u lad wetorów generuj acych i liniowo niezależnych tej podprzestrzeni. Widać, że ażdy element e = (x 1,..., x 5 podprzestrzeni W ma x 1 = x 5 i x = x 3 x 4. Wówczas, możemy zapisać W = {(x 5, x 3 x 4, x 3, x 4, x 5 } x 3, x 4, x 5 R}. Z tego wynia, że dla ażdego e W możemy zapisać (x 5, x 3 x 4, x 3, x 4, x 5 = x 5 (1, 0, 0, 0, 1 + x 3 (0, 1, 1, 0, 0 + x 4 (0, 1, 0, 1, 0. Wiȩc, wetory e 1 = (1, 0, 0, 0, 1, e = (0, 1, 1, 0, 0, e 3 = (0, 1, 0, 1, 0 generuj a podprzestrzeń W. Ponadto, s a liniowo niezależne ponieważ λ 1 e 1 + λ e + λ 3 e 3 = 0 λ 1 = λ = λ 3 = 0. Z tego wynia, że W ma wymiar trzy i wetory e 1, e, e 3 tworz a bazȩ. Obliczymy wspó lrzȩdne wetora (1,, 3, 5, 1 w tej bazie, czyli musimy znaleźć liczby µ 1, µ, µ 3 taie, że µ 1 e 1 + µ e + µ 3 e 3 = (1,, 3, 5, 1. Zapiszmy tai u lad równań macierzowo Wiȩc, µ 1 = 1, µ = 3, µ 3 = 5. Podprzestrzeń V ma bazȩ Element e W V jest tai, że v 1 = (1, 0, 0, 0, 0, v = (0, 0, 0, 0, 1. e = µ 1 e 1 + µ e + µ 3 e 3 = λ 1 v 1 + λ v

4 dla pewnych liczb µ 1, µ, µ 3, λ 1, λ. Wtedy µ 1 e 1 + µ e + µ 3 e 3 λ 1 v 1 λ v = 0. Zapiszemy tai u lad macierzowo Wiȩc, λ 1 = λ, µ 1 = λ, µ = 0, µ 3 = 0. Zatem, λ jest dowolna i λ 1, λ 3, µ 1, µ można ustalić za pomoc a jej wartości. wynia, że e = λ 1 (v 1 + v V W = (1, 0, 0, 0, 1. Z tego Ćwiczenie 4. Niech V bȩdzie przestrzeni a liniow a funcji f : T R R, gdzie T jest przedzia lem. Dowieść, że jeżeli liczby t 1,..., t n T s a parami różne, to funcje v 1,..., v n V oreślone wzorem v (t = t t s a liniowo niezależne. Rozwi azanie: Możemy dowolnie za ladać, że t 1 < t <... < t n. Funcje v 1,..., v n s a liniowo niezależne wtedy i tylo wtedy gdy λ 1 v λ n v n = 0 λ 1 =... = λ n = 0. Wyprowadzamy dowód nie wprost. Za lóżmy, że n =1 λ v = 0 i λ p 0 dla pewnej liczby λ p taiej, że t p należy do wewnȩtrznej I. Wiȩc, λ p t t nie jest różniczowalna w puncie t = t. Soro n =1 p λ v jest różniczowalna w puncie t p, to n =1 λ v = 0 nie jest różniczowalna w puncie t p. To sprzeczność, soro funcja zero jest różniczowalna w ażdym puncie. To, λ p = 0. Wiȩc, wszystie λ p należ ace do wewnȩtrznej przedzia lu I zeruj a siȩ. Jeżeli λ 1 I i λ n I lub odwrotnie (czyli jeżeli jeden punt należy do brzegu, mamy, że λ 1 t t 1 = 0 albo λ 5 t t 5 = 0 dla ażdego t I. Podstawiaj ac t = t 5 albo t = t 1, wynia, że 0 = λ 1 albo 0 = λ 5. Jeżeli λ 1, λ n I to λ 1 t t 1 + λ n t t n = 0 λ 1 t 1 t 1 + λ n t 1 t n = 0 λ 1 t n t 1 + λ n t n t n = 0. Z tego wynia, że λ 1 = λ n = 0.

5 Ćwiczenie 5. W zależności od p R, ustal czy nastȩpuj ace wetory przestrzeni wetorowej R 3 s a liniowo niezależne: 1 p e 1 := 1, e := p, e 3 := p. p 1 3 Rozwi azanie: Te wetory s a liniowo niezależne wtedy i tylo wtedy gdy λ 1 e 1 + λ e + λ 3 e 3 = 0 λ 1 = λ = λ 3 = 0. Wówczas, jeżeli te wetory s a liniowo niezależne, to u lad 1 p 0 1 p 0 1 p p 0 0 p 0 0 p p 3 p 0 ma tylo trywialne rozwi azanie λ 1 = λ = λ 3 = 0. Jeżeli p =, widać, że λ jest dowolna i λ 1, λ 3 można ustalić za pomoc a pierwszego i trzeciego równania. Wiȩc, e 1, e, e 3 s a liniowo zależne. Za ladamy, że p. Zatem, λ = 0. Jeżeli p 3 = 0, to λ 3 jest dowolna i λ 1 można ustalić z λ 3. Wiȩc, znowu u lad ma nietrywialne rozwi azania. Natomiast, jeżeli p 3, to λ 3 = 0 i, z pierwszego równania, λ 1 = 0. Wiȩc, u lad ma tylo trywialne rozwi azanie i u lad wetorów jest liniowo niezależny. Podsumuj ac, u lad jest liniowo niezależny wtedy i tylo wtedy gdy p / {, 3, 3}..