Wybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki

Transkrypt

1 Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych wyniów ze zbioru W X = {x 1, x 2,..., x n } (wyniiem jest tu liczba rzeczywista), z tórych ażdy wyni jest jednaowo prawdopodobny. Np. taim esperymentem może być losowanie jednej uli z urny zawierającej n ul oznaczonych różnymi liczbami x 1, x 2,..., x n. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę na wylosowanej uli. Wówczas P (X = x i ) = 1 n, (1.1) dla ażdego x i W X. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozład równomierny na zbiorze W X, jeżeli jest on oreślony wzorem (1.1). Wartość oczeiwana zmiennej losowej o rozładzie równomiernym wyraża się wzorem E(X) = n i=1 x i 1 n = 1 n n x i = x, i=1 Var(X) = 1 n x 2 i ( x) 2. n i=1 1

2 1.1.2 Rozład dwumianowy B(n, p) Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z dwóch możliwych wyniów, tóre to wynii można interpretować jao suces, oznaczany przez 1, i porażę, oznaczaną przez 0. Niech p oznacza prawdopodobieństwo sucesu. Tai esperyment nazywamy próbą Bernoulliego z prawdopodobieństwem sucesu p. Jeżeli esperyment ten powtarzamy n razy, ta, że wynii w poszczególnych roach są wzajemnie niezależne, to tai n-elementowy ciąg esperymentów nazywamy schematem Bernoulliego. Niech X oznacza liczbę sucesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodbieństwen sucesu p. Wówczas dla = 0, 1, 2,..., n. P (X = ) = ( ) n p (1 p) n, (1.2) Mówimy, że zmienna losowa X ma rozład dwumianowy z parametrami n i p, oznaczany przez B(n, p), jeżeli jest on oreślony wzorem (1.2). Wartość oczeiwana zmiennej losowej X o rozładzie dwumianowym B(n, p) jest postaci E(X) = np, Var(X) = np(1 p). Fat 1 Jeżeli zmienna losowa X ma rozład dwumianowy B(n, p) oraz (n + 1)p jest liczbą całowitą, to zmienna X ma dwie wartości modalne (n + 1)p oraz (n + 1)p 1; jeżeli natomiast (n + 1)p nie jest liczbą, to wartość modalna zmiennej losowej X wynosi [(n + 1)p], gdzie [a] oznacza najwięszą liczbę całowitą nie przeraczającą a Rozład ujemny dwumianowy (Pascala) N B(r, p) Zmienna losowa X ma rozład ujemny dwumianowy N B(r, p) (rozład Pascala) z parametrami r i p, r N, p (0, 1), jeżeli jej funcja prawdopodobieństwa jest postaci p = P (X = ) = dla = 0, 1,.... ( ) r + 1 p (1 p) r, r 1 Zmienną losową o rozładzie ujemnym dwumianowym z parametrami r i p można interpretować jao liczbę sucesów w próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sucesu 2

3 p, prowadzonych do momentu uzysania r-tej porażi. W przypadu, gdy r = 1, rozład ujemny dwumianowy nazywany jest rozładem geometrycznym z parametrem p. Wartość oczeiwana zmiennej losowej X o rozładzie ujemnym dwumianowym N B(r, p) jest postaci E(X) = Var(X) = rp 1 p, rp (1 p) Rozład hipergeometryczny H(N, M, n) Zmienna losowa X ma rozład hipergeometryczny H(N, M, n) z parametrami N, M, n, gdzie N, M, n są liczbami naturalnymi oraz M N i n N, jeżeli jej funcja prawdopodobieństwa jest postaci p = P (X = ) = ( )( ) M N M n ( ), N n dla = max{0, n + M N},..., min{n, M}. Zmienna losowa X o rozładzie hipergeometrycznym ma następującą interpretację: jest ona liczbą elementów mających wyróżnioną cechę A wśród n elementów wylosowanych bez zwracania ze zbioru N elementów, wśród tórych przed rozpoczęciem losowania znajdowało się M elementów mających cechę A. Fat 2 W przypadu, gdy N jest duże w stosunu do n, to rozład hipergeometryczny można przybliżać rozładem dwumianowym, tzn. gdzie p = M/N. ( M )( ) N M n ( ) N n ( ) n p (1 p) n, 3

4 1.1.5 Rozład Poissona P(λ) Zmienna losowa X ma rozład Poissona P(λ) z parametrem λ, λ > 0, jeżeli jej funcja prawdopodobieństwa jest postaci = 0, 1, 2,.... p = P (X = ) = λ! e λ, Wartość oczeiwana zmiennej losowej X o rozładzie Poissona P(λ) jest postaci E(X) = λ, Var(X) = λ. Rozład Poissona ma zastosowania opisane w poniższym facie. Fat 3 Dla dużych n rozład dwumianowy B(n, p) można przybliżać rozładem Poissona, tzn. gdzie λ = np. ( n )p (1 p) n λ! e λ, Przybliżenie to jest dla celów pratycznych wystarczająco doładne, gdy n 50, p 0.1, np Wybrane rozłady zmiennych losowych typu ciągłego Rozład jednostajny U(a, b) na odcinu [a, b] Zmienna losowa ma rozład jednostajny U(a, b) na odcinu [a, b], jeżeli jej funcja gęstości wyraża się wzorem 1 f(x) = b a, gdy x [a, b], 0, gdy x / [a, b]. 4

5 Dystrybuanta rozładu jednostajnego na odcinu [a, b] wyraża się wzorem 0, gdy x a F (x) = x a b a, gdy a < x b, 1, gdy x > b. Wartość oczeiwana zmiennej losowej X o rozładzie jednostajnym U(a, b) na odcinu [a, b] jest postaci E(X) = (a + b)/2, Var(X) = (b a) 2 / Rozład wyładniczy E(λ) Zmienna losowa ma rozład wyładniczy E(λ) z parametrem λ, jeżeli jej funcja gęstości wyraża się wzorem 1 f(x) = λ exp{ x λ }, gdy x > 0, 0, gdy x 0. Dystrybuanta rozładu E(λ) wyraża się wzorem 1 exp{ F (x) = λ x }, gdy x > 0, 0, gdy x 0. Wartość oczeiwana zmiennej losowej X o rozładzie wyładniczym E(λ) jest postaci E(X) = λ, Var(X) = λ Rozład normalny N (µ, σ 2 ) Zmienna losowa ma rozład normalny N (µ, σ 2 ) z parametrami µ R i σ (0, ), jeżeli jej funcja gęstości wyraża się wzorem f(x) = 1 [ exp 2πσ ] (x µ)2. 2σ 2 Rozład normalny N (0, 1) nazywamy standardowym rozładem normalnym. Nie istnieje jawna postać dystrybuanty rozładu normalnego. 5

6 Fat 4 Jeżeli zmienna losowa X ma rozład normalny N (µ, σ 2 ), to zmienna losowa Y = X µ σ ma rozład N (0, 1) (standardowy rozład normalny). Powyższe przeształcenie zmiennej losowej X nazywamy standaryzacją zmiennej losowej. Z powyższego fatu wynia, że wartość dystrybuanty dowolnego rozładu normalnego N (µ, σ 2 ), można wyrazić przez odpowiednią wartość dystrybuanty standardowego rozładu normalnego N (0, 1). Doładnie opisuje to poniższy wniose. Wniose 1 Jeżeli zmienna losowa X ma rozład normalny N (µ, σ 2 ), to ( X µ P (X x) = P x µ ) ( ) x µ = Φ, σ σ σ gdzie Φ oznacza dystrybuantę zmiennej losowej o standardowym rozładzie normalnym. Dla dodatnich wartości argumentów x (gdzie x jest dane z doładnością do dwóch miejsc po przecinu), wartości dystrybuanty standardowego rozładu normalnego są stablicowane. Stąd, że gęstość standardowego rozładu normalnego jest funcją parzystą, jej wyres jest symetryczny względem osi Y, mamy, że dla ujemnych wartości argumentów x wartość dystrybuanty standardowego rozładu normalnego jest równa Φ(x) = 1 Φ( x), gdzie Φ( x) możemy już odczytać z tablic wartości dystrybuanty standardowego rozładu normalnego. Przyład 1 Niech X będzie zmienną losową o rozładzie normalnym N (1, 4). Wówczas ( X 1 P (X 2) = P 2 1 ) ( 1 = Φ = 0, 6915, 2 2 2) gdzie Φ oznacza dystrybuantę zmiennej losowej o standardowym rozładzie normalnym i wartość Φ ( ) 1 2 została odczytana z tablic wartości dystrybuanty rozładu normalnego. Wartość oczeiwana zmiennej losowej X o rozładzie normalnym N (µ, σ 2 ) jest postaci E(X) = µ, Var(X) = σ 2. 6