Struktura energetyczna ciał stałych-cd. Fizyka II dla Elektroniki, lato

Transkrypt

1 Struktur energetyczn cił stłych-cd Fizyk II dl Elektroniki, lto 011 1

2 Fizyk II dl Elektroniki, lto 011 Przybliżenie periodycznego potencjłu sieci krystlicznej model Kronig- Penney potencjł rzeczywisty

3 Strefy Brillouin Enegi elektronu E Psmo przewodnictw Krzyw elektronów swobodnych II SB I SB Psmo zbronione Psmo przewodnictw Psmo zbronione Psmo przewodnictw Psmo zbronione Psmo przewodnictw 0 Nieciągłości funkcji E = E(k) występują dl Wektor flowy k Fizyk II dl Elektroniki, lto k n

4 Fizyk II dl Elektroniki, lto Strefy Brillouin Dl wrtości k zwrtych między tymi, w których relcj dyspersji E(k) jest nieciągł, wszystkie wrtości włsne są dopuszczlne. Wrtości k zwrte między - orz + wyznczją I-szą strefę Brillouin. Wrtości k zwrte między + i + orz - i - wyznczją II-gą strefę Brillouin. Możn wykreślić krzywe stłej energii E = const. Gdy relcj dyspersji jest kwdrtow (E k ) to krzywe E=const są kołmi. Przykłd elektrony swobodne w modelu Fermiego.

5 Fizyk II dl Elektroniki, lto Strefy Brillouin Gdy elektrony poruszją się w polu zmiennego potencjłu np. w sieci krystlicznej (potencjł periodyczny) to relcj dyspersji nie jest kwdrtow.

6 Strefy Brillouin Przerwy pomiędzy wierzchołkiem dozwolonego psm dnem nstępnego wyższego psm mogą być rozumine jko wynik odbici Brgg fli bieżącej opisującej elektron poruszjący się w sieci. Fl odbij się od brier i gdy jest spełniony wrunek Brgg: n występuje interferencj konstruktywn. Otrzymujemy Ale k n k Fizyk II dl Elektroniki, lto 011 6

7 Fizyk II dl Elektroniki, lto Wrtości k, dl których pojwiją się przerwy w E(k) są dokłdnie tymi wrtościmi liczby flowej, dl których długość fli λ spełni wrunki odbici Brgg. Strefy Brillouin Przerwy powstją bo istnieją dw sposoby n to, by mplitud fli pdjącej był równ mplitudzie fli odbitej (tworzy się fl stojąc), dl kżdej krytycznej wrtości k: ) cos( ) ( ) ( e e i i lub n k ) sin( ) ( ) ( e e i i fl pdjąc fl odbit

8 Fizyk II dl Elektroniki, lto Strefy Brillouin Przypi: e i( ) e i( ) cos( ) e i( ) e i( ) sin( ) różnią się ze względu n położenie węzłów fli stojącej ztem położeni mksimów i minimów gęstości prwdopodobieństw ψψ * W pierwszym przypu (cos π) gęstość prwdopodobieństw będzie mksymln dl =0, ±, ±...podczs gdy dl drugiego przypu (sin π) gęstość prwdopodobieństw w tych punktch będzie równ 0. Jeżeli punkty te są położenimi brier pomiędzy jonmi to elektron będzie odczuwł większe odpychnie w przypu drugim czyli będzie mił wyższą energię niż w przypu pierwszym. Istnieją dwie energie dl tej smej krytycznej liczby flowej k.

9 Fizyk II dl Elektroniki, lto Ms efektywn elektronu w krysztle Ruch elektronu w zewnętrznym polu elektrycznym jest równowżny propgcji pczki fl. Pczk t jest utworzon ze stnów leżących w pobliżu dowolnej szczególnej wrtości k w pojedynczym pśmie. Pręość grupow tej pczki wynosi: dω 1 v g de

10 W obecności zewnętrznego pol elektrycznego n elektron w krysztle dził sił: Wyliczmy przyspieszenie jkie uzyskuje elektron pod wpływem dziłni siły: Otrzymujemy: Po przeksztłceniu: Ms efektywn elektronu w krysztle dv g dt dv g dt F e dt Fizyk II dl Elektroniki, lto F d E dt dv dt g d E d E 1 F d 1 E ( dt )

11 Fizyk II dl Elektroniki, lto Ms efektywn elektronu w krysztle F dv dt g d E Zgodnie z drugą zsdą dynmiki Newton dostjemy definicję msy efektywnej: m * d E Ms efektywn m * uwzględni siły wewnątrz krysztłu ztem potencjł periodyczny, gdyż wyrżenie d E zleży od relcji dyspersji, t z kolei od chrkteru potencjłu. 1 1

12 Fizyk II dl Elektroniki, lto Ms efektywn Przykłd obliczni msy efektywnej dl elektronu swobodnego. Dl elektronu swobodnego relcj dyspersji opisn jest wzorem: Stąd: Korzystjąc z definicji: E d E m m k * m d E 1 m m

13 Ms efektywn elektronu w modelu Kronig-Penney 1m* 1m E 1m* 0 1m*>0 1m*<0 Ms efektywn jest objśni rekcję elektronu w krysztle n przyłożone pole elektryczne. Ms efektywn jest 0 k też mirą krzywizny Wektor f psm i jest mł * d E 1 m gdy E rośnie szybko z k (gęstość poziomów mł) Fizyk II dl Elektroniki, lto

14 Fizyk II dl Elektroniki, lto Ms efektywn elektronu w krysztle Zleżność energii elektronu od wektor flowego k (relcj dyspersji) w pierwszej strefie Brillouin Zleżność msy efektywnej elektronu od wektor flowego k w pierwszej strefie Brillouin