Wykład 21: Studnie i bariery cz.1.

Transkrypt

1 Wyład : Studnie i bariery cz.. Dr inż. Zbigniew Szlarsi Katedra Eletronii, paw. C-, po.3 szla@agh.edu.pl Wydział Informatyi, Eletronii i

2 Równanie Schrödingera - przypomnienie Wydział Informatyi, Eletronii i Ogólne równanie Schrödingera dla cząsteczi swobodnej o stałej energii inetycznej E nie uwzględniamy energii spoczynowej. t t i t m,, t t i t V t m +,,, Równanie Schrödingera dla cząsteczi poruszającej się w potencjale V. E V d d m + Równanie Schrödingera niezależne od czasu energia potencjalna V jest stała w czasie t E i n n n e t, me i me i Be Ae + lub dla cząsteczi swobodnej

3 Zastosowanie równania Schrödingera dla bariery potencjału Cząstecza o masie m i energii E porusza się w ierunu dodatnim osi X, napotyając w potencjał schodowy o wysoości V ja na rysunu. Przyjąć E < V. Z równań lasycznych wynia że: energia cząsteczi E E p + E p E + dla < I E V V VV V m p p E + V V V m m cząstecza nie może wejść w obszar >!! II Wydział Informatyi, Eletronii i 3

4 równanie Schrödingera dla obszaru I: d m d E ja dla cząsteczi swobodnej Rozwiązaniem ogólnym jest funcja własna fala bieżąca: I i i Ae + Be fala bieżąca w ierunu + osi X fala odbita w ierunu - osi X Funcja falowa odpowiadająca funcji własnej: gdzie obliczamy podstawiając rozwiązanie do równania dla obszaru I: me, t Ae i e Et i + Be i e Et i Ae i Et + Be i Et

5 równanie Schrödingera dla obszaru II: d > + V E m d Rozwiązaniem jest podobna funcja własna fala bieżąca: II i i Ce + De gdzie m E V ale: gdy + rozbieżne więc C II De Funcja własna i jej pierwsza pochodna dla całego obszaru osi X musi być wszędzie sończona, ciągła i jednoznaczna, zatem:

6 dla zszycie tzn. I II A + B D oraz d I d d II d A B i D A D i + B D i D De + i e i D + dla i e i dla * D * De!! D można obliczyć z warunu normalizacji Wydział Informatyi, Eletronii i 6

7 3.6.8 Wydział Informatyi, Eletronii i 7

8 Padająca na barierę cząstecza ma energię E > V lasycznie przejdzie bez problemu, z pędem wantowo p II m E V może się odbić. I E V V VV II Dla obszaru I: I d m d i E i Ae + Be Dla obszaru II: bra odbicia d m d E II Vo i Ce p II

9 dla zszycie tzn. I II A + B C oraz d I d d II d A B C Ae i + A + A e i + e i dla dla

10 Sończona bariera potencjału Energia potencjalna eletronu ma postać: dla <-a region I V V dla a<<a region II dla >+a region III Kiedy cząsta mająca oreślony pęd i energię zbliża się do bariery potencjału może zostać rozproszona. Wyni, tóry otrzymujemy w fizyce lasycznej transmisja lub odbicie zależy od relacji pomiędzy energią cząsti i wysoością bariery. W mechanice wantowej wyni jest inny i nieoczeiwany. szeroość bariery a wysoość bariery V Wydział Informatyi, Eletronii i Fizya II dla Eletronii, lato

11 Klasycznie: Jeżeli E>V, wtedy cząsta przechodzi przez barierę Jeżeli E<V, wtedy cząsta odbija się od bariery p me p' m E V p me pęd zmienia się iedy cząsta jest ponad barierą i wraca do wartości początowej dla a Wydział Informatyi, Eletronii i Fizya II dla Eletronii, lato

12 W mechanice wantowej : Jeżeli E>V, to cząsta przechodzi ponad barierą lub odbija się od niej Jeżeli E<V, wtedy istnieje niezerowe prawdopodobieństwo, że cząsta przejdzie przez barierę; jest to tunelowanie Długość fali de Broglie;a, λ p me jest rzeczywista i taa sama dla >a i <-a Dla a<<a, λ j est urojona -a a m E V Klasycznie mamy falę zaniającą evanescent wave, espotencjalny zani wraz z, dlatego amplituda fali dla >a jest zmniejszona Wydział Informatyi, Eletronii i Fizya II dla Eletronii, lato

13 Funcje falowe w zagadnieniu sończonej bariery potencjału Funcje falowe można otrzymać jao rozwiązania równania Schrödingera niezależnego od czasu d m d + V E I II III Wydział Informatyi, Eletronii i Fizya II dla Eletronii, lato 3 3

14 W obszarach I i III, iedy V : d d m + E W obszarze II równanie Schrödingera : I II III d d m V E W obszarach tych rozwiązania są w formie fal płasich poruszających w prawo lub w lewo Wydział Informatyi, Eletronii i 4

15 Obszar I i i e + R e me fala padająca fala odbita Obszar II Ae iq + B e iq q m E V współczynnii A i B można oreślić formułując odpowiednie waruni fizyczne Obszar III Te i tylo fala przechodząca I II III Wydział Informatyi, Eletronii i Fizya II dla Eletronii, lato 5 5

16 Waruni ciągłości R Soro gęstość prawdopodobieństwa musi być funcją ciągłą a rzeczywisty potencjał nigdy nie jest niesończony, funcja falowa i jej pierwsza pochodna muszą być ciągłe w ażdym puncie Po zastosowaniu warunów ciągłości w -a i a na zadanie domowe otrzymujemy: i q sinqa sin ia qcosqa i + q sinqa R jest miarą odbicia T q ep ia qcosqa i + q sinqa T jest miarą transmisji Wydział Informatyi, Eletronii i Fizya II dla Eletronii, lato 6 6

17 Własności rozwiązania dla E>V me Przyjęto: m q E V. Jeżeli E>V, q jest rzeczywiste i V, q stąd R R i q sinqa sin ia qcosqa i + q sinqa W zaresie energii, w tórym lasycznie cząsta nie będzie odbijana od bariery, w mechanice wantowej będzie istniało sończone prawdopodobieństwo, że cząsta zostanie odbita. V R oraz T E Zawsze: T + R oraz R. Kiedy E>>V, wtedy q, i Wydział Informatyi, Eletronii i Fizya II dla Eletronii, lato 7 7

18 Tunelowanie przez barierę potencjału Rozwiązania dla E<V Klasycznie, cząsta będzie odbijała się od bariery. W mechanice wantowej cząsta może tunelować przez barierę, zwłaszcza gdy bariera jest ciena. W taim przypadu: m V E Wydział Informatyi, Eletronii i q q jest urojone i współczynni transmisji T wyazuje zani espotencjalny 6 4a T e + m V E a jest szeroością bariery Fizya II dla Eletronii, lato 8 8

19 Współczynni transmisji oreśla prawdopodobieństwo, z tórym cząsta przechodzi przez barierę, czyli prawdopodobieństwo tunelowania. Przyład: T Jeżeli T., to oznacza, że z cząste eletronów zbliżających się do bariery, średnio będzie tunelowało przez nią a 98 ulegnie odbiciu. m T ep 4a V E Z powodu zależności espotencjalnej, współczynni transmisji jest bardzo czuły na niewielie zmiany: szeroości bariery a, różnicy energii V -E. Współczynni ten zależy również od masy cząsti Wydział Informatyi, Eletronii i Fizya II dla Eletronii, lato 9 9

20 Niesończona studnia potencjału Niesończenie duży potencjał na rawędziach studni nie pozwala eletronom opuścić obszaru <<L; w tym obszarze eletron jest swobodny. na zewnątrz studni, gęstość prawdopodobieństwa znalezienia V V eletronu wynosi zero L Potencjał wynosi zero wewnątrz i zmierza do niesończoności na zewnątrz studni Wydział Informatyi, Eletronii i W obszarze wewnątrz studni, tj. dla <<L, niezależne od czasu równanie Schrödingera ma postać: Waruni brzegowe: L E Fizya II dla Eletronii, lato d m d

21 Proponowane rozwiązanie wygodniejsze w przypadu ruchu ograniczonego: Asin + B cos Stosując warune brzegowy: dla, A + B cos B pozostaje Asin po podstawieniu do równania będzie to rozwiązaniem gdy: E m Wydział Informatyi, Eletronii i Fizya II dla Eletronii, lato

22 Stosując waruni brzegowe: dla L, dysretne poziomy energetyczne Stąd: sin L L n n L dla n,, Energia eletronu przyjmuje tylo wartości dysretne Energia jest swantowana Wydział Informatyi, Eletronii i

23 Relacja dyspersji Zależność pomiędzy energią E a liczbą falową nazywamy relacją dyspersji, E. Relacja dyspersji dla cząsti swobodnej jest wadratowa paraboliczna E m Energia eletronu przyjmuje tylo wartości dysretne w studni niesończonej i relacja dyspersji ma postać: Najniższa wartość energii E stan podstawowy dla n, energia drgań zerowych E ml Wydział Informatyi, Eletronii i Fizya II dla Eletronii, lato 3 3

24 Energy Energia drgań zerowych jest to najniższa energia całowita jaą może mieć cząsta ograniczona w swoim ruchu do obszaru: <<L Cząsta ta nie może mieć energii równej zero, E. Jest to wyniiem obowiązywania zasady nieoznaczoności Heisenberga: L Dla zgodnie z zasadą Heisenberga otrzymujemy p L Cząsta związana w studni niesończonej nie może mieć E bo oznaczałoby to p a zatem p Tymczasem, najmniejsza wartość pędu dla n wynosi 4 studnia niesończona p me m ml L Wydział Informatyi, Eletronii i Fizya II dla Eletronii, lato 4 4

25 Niesończona studnia potencjału c.d. Rozwiązania równania Schrödingera n n Asin L odpowiadają falom stojącym z różną liczbą n węzłów wewnątrz studni Amplituda A jest obliczana z normalizacji funcji falowej A L Funcje własne n dla niesończonej studni Dozwolone mody drgań dla lasycznej struny z węzłami na ońcach Wydział Informatyi, Eletronii i Fizya II dla Eletronii, lato 5 5