Geometria analityczna przestrzeni

Transkrypt

1 ALGEBRA LINIOWA 1 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr zimowy 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Wetory, długość wetora Geometria analityczna przestrzeni Zadanie 1 [5.1] Obliczyć długości podanych wetorów: a = ( 3, 4, 12 ) b = ( 3, 5, 2 5 ) c = ( ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, h ) ρ 0 ϕ, h R d = ( ρ cos ϕ cos ψ, ρ sin ϕ cos ϕ, ρ sin ψ ) ρ 0 ϕ, ψ R a) ; b) ; c), gdzie oraz ; d), gdzie oraz. Zadanie 2 [5.2] Wetory a, b wetory. a, b tworzą dwa sąsiednie boi trójąta. Wyrazić środowe tego trójąta przez u Zadanie 3 [5.3] Znaleźć wersor, tóry: a) leży w płaszczyźnie xoy i tworzy ąt α z dodatnią częścią osi Ox; b) tworzy z dodatnimi częściami osi odpowiednio ąty ; Ox, Oy, Oz α, β, γ a = ( 0, 3, 4 ) b = ( 8, 6, 0 ) c) tworzy jednaowe ąty z wetorami, i jest położony w płaszczyźnie wyznaczonej przez te wetory. Iloczyn salarny Zadanie 4 [5.4] Obliczyć iloczyny salarne podanych par wetorów: a = ( 1, 2, 5 ) b = ( 3, 1, 0 ) u = 3 i 2 v = i + 3 j + 7 x = p + 2 q r y = 3 p q + 2 r p, q, r a), ; b), ; c),, gdzie są parami prostopadłymi wersorami.. Zadanie 5 [5.5] Korzystając z iloczynu salarnego obliczyć miary ątów między: a = ( 3, 0, 4 ) b = ( 0, 1, 2 ) Ox, Oy Oy, Oz Oxyz u = ( 1, 2, 3 ) v = ( 1, 0, 2 ) a) wetorami, ; b) dwusiecznymi ątów utworzonych przez osie oraz osie uładu ; c) przeątnymi równoległościanu rozpiętego na wetorach,, w = ( 3, 1, 5 ). Zadanie 6 [5.6] Obliczyć długość rzutu prostoątnego wetora b = ( 8, 0, 5 ). a = ( 2, 3, 5 ) na wetor Iloczyn wetorowy Zadanie 7 [5.7] Obliczyć iloczyny wetorowe podanych par wetorów: a = ( 3, 2, 0 ) b = ( 1, 5, 2 ) u = 2 i 3 v = i + j 4 a), ; b), ;

2 c) x = 2 p + q + r, y = p + 3 q + 4 r, gdzie p, q, r są parami prostopadłymi wersorami o orientacji zgodnej z orientacją uładu współrzędnych. Zadanie 8 [5.8] Obliczyć pola podanych powierzchni: a = ( 1, 2, 3 ) b = ( 0, 2, 5 ) A = ( 1, 1, 3 ) B = ( 0, 2, 3 ) C = ( 2, 2, 1 ) u, v, w a) równoległobo rozpięty na wetorach, ; b) trójąt o wierzchołach,, ; c) czworościan rozpięty na wetorach. ABC AB = ( 0, 5, 3 ) C AC = ( 1, 0, 4 ) Zadanie 9 [5.9] Trójąt jest rozpięty na wetorach,. Obliczyć wysoość tego trójąta opuszczoną z wierzchoła. Iloczyn mieszany Zadanie 10 [5.10] Obliczyć iloczyny mieszane podanych tróje wetorów: a = ( 3, 2, 1 ) b = ( 0, 1, 5 ) c = ( 2, 3, 4 ) a),, ; u = i + j v = 2 i 3 j + w = i + 2 j 5 b),,. Zadanie 11 [5.11] Obliczyć objętości podanych wielościanów: a = ( 0, 0, 1 ) b = ( 1, 2, 3 ) c = ( 2, 5, 1 ) A = ( 1, 1, 1 ) B = ( 1, 2, 3 ) C = ( 2, 3, 1 ) D = ( 1, 3, 5 ) u, v, w a) równoległościan rozpięty na wetorach,, ; b) czworościan o wierzchołach,,, ; c*)równoległościan o przeątnych. Zadanie 12 [5.12] Sprawdzić, czy: a = ( 1, 3, 5 ) b = ( 1, 1, 1 ) c = ( 4, 2, 0 ) P = ( 0, 0, 0 ) Q = ( 1, 2, 3 ) R = ( 2, 3, 4 ) S = ( 2, 1, 5 ) a) wetory,, są współpłaszczyznowe; b) punty,,, są współpłaszczyznowe. Równania płaszczyzn i prostych Zadanie 13 [5.13] Napisać równania ogólne i parametryczne płaszczyzn spełniających podane waruni: P = ( 1, 2, 0 ) n = ( 0, 3, 2 ) a) płaszczyzna przechodzi przez punt i jest prostopadła do wetora ; b) płaszczyzna przechodzi przez punty P 1 = ( 0, 0, 0 ), P 2 = ( 1, 2, 3 ), P 3 = ( 1, 3, 5 ); c) płaszczyzna przechodzi przez punty P 1 = ( 1, 3, 4 ), P 2 = ( 2, 0, 1 ) i jest prostopadła do płaszczyzny ; xoz d) płaszczyzna przechodzi przez punt P = ( 1, 1, 3 ) i jest równoległa do wetorów a = ( 1, 1, 0 ), b = ( 0, 1, 1 ); e) płaszczyzna przechodzi przez punt P = ( 0, 3, 0 ) i jest równoległa do płaszczyzny π : 3x y + 2 = 0; f) płaszczyzna przechodzi przez punt P = ( 2, 1, 3 ) i jest prostopadła do płaszczyzn π 1 : x + y = 0, π 2 : y z = 0. Zadanie 14 [5.14] Napisać równania parametryczne i ierunowe prostych spełniających podane waruni: P = ( 3, 5, 2 ) P 1 = ( 1, 0, 6 ) P 2 = ( 2, 2, 4 ) v = ( 2, 1, 3 ) a) prosta przechodzi przez punt i jest równoległa do wetora ; b) prosta przechodzi przez punty, ;

3 P = ( 0, 2, 3 ) π : 3x y + 2z = 6 P = ( 7, 2, 0 ) v1 = ( 2, 0, 3 ) c) prosta przechodzi przez punt i jest prostopadła do płaszczyzny ; d) prosta przechodzi przez punt i jest prostopadła do wetorów, v2 = ( 1, 2, 0 ); e) prosta jest dwusieczną ąta ostrego utworzonego przez proste x + 2 l 1 : = y 4, ; 3 1 = z 2 l 2 2 : x + 2 = y = z 3 f*) prosta jest dwusieczną ąta ostrego utworzonego przez proste l 1 : x 1 = y + 1,. 2 1 = z 2 x + 6 l 2 2 : = y = z Wzajemne położenia puntów, płaszczyzn i prostych Zadanie 15 [5.15] Zbadać, czy A = ( 1, 2, 3 ) B = ( 1, 2, 0 ) x = 1 + t l : y = 2 + 2t z = 3 t t R m : 2x + y z + 3 = 0 x 2y + z 5 = 0 π : 5y 3z + 13 = 0 A = ( 0, 1, 5 ) B = ( 1, 2, 3 ) x = 1 + s + t π : y = 2 + 3s t z = 3 s + 2t s, t R x + 1 l 1 : 2 = y 3 = z + 4 x l : 1 = y 1 = z x = t l : y = 1 + 2t t R π : x + y z + 3 = 0 z = 2 + 3t a) punty, należą do prostej, gdzie ; b) prosta jest zawarta w płaszczyźnie ; c) punty, należą do płaszczyzny, gdzie ; d) proste, mają punt wspólny; e) prosta, gdzie, jest równoległa do płaszczyzny. Zadanie 16 [5.16] Znaleźć punty przecięcia: l 1 : x + 2y z + 4 = 0 l 2 : 2x y 2z + 8 = 0 y + z 3 = 0 x + 2y + 2z 5 = 0 l : x 1 = y + 2 x = s + t = z 4 π : y = 1 + s + 2t z = 3 + 2s + 4t π 1 : 3x + y + z + 1 = 0 π 2 : x + 2z + 6 = 0 π 3 : 3x + 2z = 0 a) prostych, ; s, t R b) prostej i płaszczyzny, gdzie ; c) płaszczyzn,,. Zadanie 17 [5.17] Obliczyć odległość: a) puntu P = ( 1, 2, 3 ) od płaszczyzny π : x + y 3z + 5 = 0; b) płaszczyzn π 1 : 2x + y 2z = 0, π 2 : 2x + y 2z 3 = 0; c) płaszczyzn, ; π 1 : x 2y + 2z + 5 = 0 π 2 : 3x 6y + 6z 3 = 0 P = ( 0, 1, 1 ) l : x 2 = y d) puntu od prostej ; 1 = z 3 e) prostych równoległych l 1 : x 1 = y + 1 = z x, ; = y 1 4 = z 3 2 l 1 : x = 0 l 2 : y = 0 x = 1 z = 1 l 1 : x 9 = y 2 3 = z 1 l x 2 : 9 f) prostych sośnych, ; g) prostych, ; 4 2 = y + 7 = z 2 2

4 x = 2 + t l : y = 3 + 2t z = 2 t t R π : 2x + y + 4z = 0 h) prostej, gdzie, od płaszczyzny. Zadanie 18 [5.18] Obliczyć miarę ąta między: a) prostą l : x 3 = y 1 = z i płaszczyzną π : x z = 0; b) płaszczyznami, ; π 1 : x 2y + 3z 5 = 0 π 2 : 2x + y z + 3 = 0 x = 1 t x = 3 2t l 1 : y = 2 + t t R l 2 : y = 4 t z = 3t z = 1 + 3t t R c) prostymi, gdzie,, gdzie. Zadanie 19 [5.19] Znaleźć rzut prostoątny: a) puntu P = ( 3, 2, 0 ) na płaszczyznę π : x + y + z = 0; b) puntu P = ( 1, 2, 0 ) na prostą l : x = y = z; c) prostej l : x 3 = y 5 = z + 1 na płaszczyznę π : x + 3y 2z 6 = P = ( 2, 3, 1 ) S = ( 1, 1, 2 ) l : x + y = 0 y + z = 0 Zadanie 20 [5.20] Znaleźć punt symetryczny do puntu względem: π : 2x y + z 6 = 0 a) puntu ; b) prostej ; c) płaszczyzny. Zadanie 21 [5.21] Znaleźć rzut uośny w ierunu wetora v = ( 2, 3, 1 ) : a) puntu O = ( 0, 0, 0 ) na płaszczyznę π : x 2z + 8 = 0; b) prostej l : x 1 = y + 1 = z 2 na płaszczyznę π : x y + z 1 = 0. Zadanie 22 [5.22] Obliczyć objętości i pola powierzchni brył ograniczonych podanymi płaszczyznami : a) x = 1, y = 1, z = 3, x + y + z = 5; b),,,,,. x y = 1 x y = 5 x + 2z = 0 x + 2z = 3 z = 1 z = 4 Zadanie 23 [5.23] Obliczyć pole trójąta utworzonego przez parami przecinające się proste: x = 2 + 2t l 1 : y = 0 z = 4t Przyłady zastosowań x = 0 l 2 : y = 3 + 3s z = 4s x = 2p l 3 : y = 3 3p z = 0 t, s, p R,,, gdzie. S 1, S 2, S 3 Zadanie 24 [5.24] Stacje radioloacyjne są umieszczone w wierzchołach trójąta prostoątnego o przyprostoątnych l 1 = 300 m, l 2 = 400 m. Pomiary odległości raiety R od tych stacji dały następujące wynii: d 1 = 300 m, d 2 = 400 m, d 3 = 400 m. Obliczyć, na jaiej wysoości h leciała raieta. t 1 = 2 Zadanie 25 [5.25] Cząstecza porusza się po linii prostej ze stałą prędością. W chwili cząstecza znajdowała się w puncie P 1 = ( 0, 2, 5 ), a w chwili t 2 = 3 w puncie P 2 = ( 2, 3, 3 ). Znaleźć położenie tej cząsteczi w chwili. P 0 t 0 = 0

5 A 1 A 2 A 3 A 4 Zadanie 26 [5.26] Na pochyłym płasim terenie wytyczono wadrat. Wzniesienia nad poziom morza puntów A 1, A 2, A 3 wynoszą odpowiednio h 1 = 100 m, h 2 = 110 m, h 3 = 160 m. Obliczyć wzniesienie puntu nad poziom morza. h 4 A 4 Zadanie 27 [5.27] W celu oreślenia ąta nachylenia płasiego nasypu do poziomu wyonano pomiary ąta nachylenia tego nasypu w ierunu wschodnim i południowym. Pomiary te dały następujące wynii: w ierunu wschodnim nasyp wznosi się pod ątem α = 30, a w ierunu południowym opada pod ątem. Obliczyć ąt nachylenie tego nasypu do poziomu. β = 45 Zadanie 28 [5.28] Płasa trójątna siata masująca tajny obiet wojsowy zaczepiona jest w wierzchołach trójąta na trzech masztach. Maszty te mają wysoości,, i są ustawione w wierzchołach trójąta równobocznego o bou a = 20 m. Obliczyć pole siati masującej. h 1 = 5 m h 2 = 7 m h 3 = 10 m Zadanie 29 [5.29] Nad Wrocławiem przebiegają dwa prostoliniowe orytarze powietrzne dla samolotów. Pierwszy z nich przebiega poziomo na wysoości h 1 = 1000 m ze wschodu na zachód, a drugi przebiega z południowego-wschodu na północny-zachód i wznosi się pod ątem α = 10. Samoloty poruszające się tym orytarzem przelatują nad Wrocławiem na wysoości h 2 = 3000 m. Obliczyć najmniejszą możliwą odległość między samolotami lecącymi tymi orytarzami. m Zadanie 30 [5.30] Trzy punty materialne o masie są przymocowane do nieważich ramion o długości l, tóre tworzą między sobą ąty 120. Uład ten jest osadzony na poziomej osi i może obracać się woół niej. Uzasadnić, że ten uład pozostaje w równowadze niezależnie od położenia początowego. Zastosowania rachunu wetorowego w mechanice (materiał dodatowy) Zadanie 31 Korzystając z rachunu wetorowego uzasadnić, że b) środe S odcina o ońcach A, B ma wetor wodzący OS = 1 ; 2 ( OA + OB ) b) środowe trójąta przecinają się w jednym puncie, tóry dzieli ażdą z nich w stosunu 2 : 1 licząc od wierzchołów (ten punt nazywamy środiem ciężości trójąta); c) środe ciężości trójąta o wierzchołach ma wetor wodzący S A, B, C OS = 1 3 ( OA + OB + OC ) d*)odcini łączące wierzchołi czworościanu ze środami ciężości przeciwległych boów przecinają się w jednym puncie, tóry dzieli te odcini w stosunu 3 : 1 licząc od wierzchołów (ten punt nazywamy środiem ciężości czworościanu); e*)środe ciężości czworościanu o wierzchołach ma wetor wodzący S A, B, C, D OS = 1 4 ( OA + OB + OC + OD ).. Zadanie 32 [5.8.4] a) W wierzchołach trójąta prostoątnego o przyprostoątnych a = 2 i b = 3 umieszczono jednaowe masy. Znaleźć położenie środa masy tego uładu. b) W siedmiu wierzchołach sześcianu o rawędzi d = 1 umieszczono masy m = 1, a w ósmym umiesz- czono masę M = 7. Znaleźć położenie środa masy tego uładu. c) W wierzchołach trójąta umieszczono jednaowe masy. Uzasadnić, że środe masy tego uładu porywa się z puntem przecięcia środowych trójąta. d*)korzystając z pojęcia środa masy uzasadnić twierdzenie: punt przecięcia odcinów łączących środi przeciwległych boów czworoąta wypułego dzieli na połową odcine łączący środi przeątnych tego czworoąta. :

6 Zadanie 33 [5.8.7] a) W wierzchołach podstawy sześcianu o rawędzi a = 2 umieszczono jednaowe masy m = 1, a w pozostałych wierzchołach jednaowe masy M = 3. Obliczyć moment bezwładności tego uładu względem pionowej osi symetrii sześcianu.. b) W wierzchołach czworościanu foremnego o rawędzi a = 1 umieszczono jednaowe masy m. Obliczyć moment bezwładności tego uładu względem prostej łączącej środi sośnych rawędzi czworościanu. c*)wyazać, że moment bezwładności względem dowolnej prostej uładu puntów materialnych o łącznej masie równej m wyraża się wzorem Steinera I = I 0 + md 2, gdzie I 0 jest momentem bezwładności tego uładu względem prostej przechodzącej przez jego środe masy i równoległej do początowej prostej, a jest odległością obu prostych. d d*)tensorem bezwładności uładu puntów materialnych w przestrzeni o wetorach wodzących, r2 rn m 1 m 2 m n I x I xy I xz I = I xy I y I yz, I xz I yz I z I x I y I z Ox, Oy, Oz n n n I xy = Σ i=1 m i x i y i I xz = Σ i=1 m i x i z i I yz = Σ i=1 m i y i z i l v T = [a, b, c] cej przez począte uładu współrzędnych wyraża się wzorem I v = v T I v.,..., i masach równych odpowiednio,,..., nazywamy macierz symetryczną postaci gdzie,, są momentami bezwładności tego uładu względem osi oraz,,. Uzasadnić, że moment bezwładności tego uładu względem prostej o unormowanym wetorze ierunowym przechodzą- Uwaga. Dla dowolnego wetora niezerowego v jest spełniona nierówność v T I v 0 oznaczająca z definicji, że macierz I jest nieujemnie oreślona. Zadanie 34 [5.8.9] F = 3 i + 5 j P = ( 1, 0, 1 ) a) Obliczyć moment siły przyłożonej w puncie, względem puntu Q = ( 2, 0, 3 ).. b) Obliczyć moment siły F = 5 N działającej stycznie do obwodu oła rowerowego o średnicy d = 1 m, względem osi obrotu. Zadanie 35 [5.8.11, ] a) Obliczyć siłę, z jaą masy m 1 = 1, m 2 = 2, m 3 = 3, m 4 = 4 rozmieszczoe w wierzchołach wadratu o bou a = 2 przyciągają masę puntową M = 1 znajdującą się na wysoości h = 1 nad środiem tego wadratu... b*) Zbadać, czy siła przyciagania grawitacyjnego masy puntowej przez uład puntów materialnych jest równoległa do wetora lączącego masę puntową ze środiem masy tego uładu.. Zadanie 36 [5.31P] W puntach P 1 = ( 0, 1, 3 ), P 2 = ( 7, 3, 2 ), P 3 = ( 1, 4, 2 ) są umieszczone odpowiednio masy m 1 = 3, m 2 = 1, m 3 = 2. a) Wyznaczyć położenie środa masy tego uładu. b) Obliczyć moment bezwładności podanego uładu mas względem osi Ox. c) Obliczyć moment bezwładności podanego uładu mas względem prostej l : x = y = 3z. d) Obliczyć siłę przyciągania grawitacyjnego masy M = 4 znajdującej się w początu uładu współrzednych przez podany uład mas. a = 10 m 1 = 1 m 2 = 2 m 3 = 3 m 4 = 4 m 5 = 5 m 6 = 6 m 7 = 7 m 8 = 8 Zadanie 37 [5.31Z] W wierzchołach sześcianu o rawędzi są umieszczone punty materialne o masach odpowiednio,,,,,,,. Masy r1

7 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6,,, znajdują się w olejnych wierzchołach podstawy tego sześcianu, a masy,, m 7, m 8 znajdują się odpowiednio ponad nimi. a) Oreślić położenie środa masy tego uładu. b) Obliczyć moment bezwładności podanego uładu mas względem osi Oz. c) Obliczyć moment bezwładności podanego uładu mas względem osi łączącej masy m 3 i m 7. d) Obliczyć siłę przyciągania grawitacyjnego masy przez uład pozostałych mas. m 8 Teresa Jurlewicz, 1 październia 2009 r.