Sieć odwrotna. Fale i funkcje okresowe

Transkrypt

1 Sieć odwotn Fle i funkcje okesowe o Wiele obiektów w pzyodzie d; o Różne fle ozchodzą się w pzestzeni (zówno w póżni jk i w mteii); o Aby mtemtycznie opisć tkie okesowe zminy stosuje się funkcje sinus i cosinus

2 Pzykłd: fle λ dłuość fli k wekto flowy λ v T y Acos k -ωt ( ) k π/λ y Acos(k -ω t + ϕ ) Podstwow cech sieci kystlicznej: peiodyczność o Sieć kystliczn jest peiodyczn; o Atomy w ciłch stłych dją w swoich położenich ównowi; o Dźwięk ciepło i świtło ozchodzące się w mteii to też fle;

3 Sieć odwotn o Sieć odwotn jest konstukcją ułtwijącą intepetcję wyników bdni dń tomów, włsności elektonów w kysztle, ozchodzeni się dźwięku, stuktuy kystlicznej tkże ułtwi wszelkie obliczeni kystloficzne. Sieć odwotn: definicj 1 o Sieć odwotn jest to zbió tkich wektoów że spełnion jest zleżność: T πn dzie T jest dowolnym wektoem tnslcji n jest liczbą cłkowitą. Wunek ten możn inczej zpisć: cos T ( ) 1

4 Sieć odwotn: definicj o Złóżmy że w kysztle ozchodzi się fl: y Acos ( k -ωt) o Tylko niektóe fle będą miły tką okesowość w pzestzeni jk sieć kystliczn. Będą to fle dl któych: y ( + T ) y( ) o Ztem: Sieć odwotn: definicj Acos k ( -ωt) Acos( k( + T ) ωt ) o Rozwiązując to ównnie otzymujemy: k T πn

5 Sieć odwotn: definicj o Ztem otzymliśmy bdzo podobny wunek do popzednio sfomułownej definicji: k T πn T πn Sieć odwtotn to zbió wektoów flowych dl któych odpowiednie fle płskie mją okesowość sieci kystlicznej Sieć odwotn: definicj o Fl o wektoze flowym k w pzestzeni zeczywistej: Fl o wektoze flowym k w pzestzeni odwotnej: 0 π/λ

6 Sieć odwotn: definicj 3 o Wszystkie popzednie definicje spełnione są pzez nstępujące wektoy (czyli sieć odwotn to zbió wektoów postci): h kl ( h * + kb * + lc *) dzie h k i l są liczbmi cłkowitymi * b* c* są wektomi pymitywnymi sieci odwotnej zdefiniownymi nstępująco: Sieć odwotn: definicj 3 h k i l są liczbmi cłkowitymi * b* c* są wektomi pymitywnymi sieci odwotnej: * π b c ( b c) c h kl ( h * + kb * + lc *) b* π ( b c) b c* π ( b c)

7 Konstukcj sieci odwotnej n pzykłdzie sieci eulnej postej Sieć zeczywist c b i, b j, c k V 3 ( b c) Sieć odwotn * π ( j k ), 3 i j k j k i π * i π v π b* j, c* k Konstukcj sieci odwotnej n pzykłdzie sieci eulnej postej c* * b* π π v π * i b* j, c* k Ztem: Sieć odwotn sieci eulnej postej jest ównież siecią eulną postą. Komók elementn jest sześcinem o kwędzi π/

8 Stuktu euln płsko centown Uw n wyzncznie wektoów pymitywnych w innych komókch. Np. fcc: ( i + j ), b ( i + k ), c ( j + bk ) Włściwości sieci odwotnej o Jest to sieć Bvis o w pzestzeni odwotnej (w pzestzeni wektoów flowych); h kl ( h * + kb * + lc *)

9 Włściwości sieci odwotnej o Objętość komóki pymitywnej sieci odwotnej jest odwotnie popocjonln do objętości odpowiedniej komóki pymitywnej sieci zeczywistej. V odw 8π V 3 zecz Włściwości sieci odwotnej o Sieć zeczywist jest siecią odwotną swojej sieci odwotnej.

10 Włściwości sieci odwotnej Posłuiwnie się wektomi (lub węzłmi) sieci odwotnej to to smo, co posłuiwnie się wskźnikmi Mille. Kżdemu węzłowi sieci odwotnej (o współzędnych h k l) możn pzypoządkowć odzinę płszczyzn ównolełych o wskźnikch h k l. Wekto hkl jest postopdły do swojej odziny płszczyzn (hkl). Włściwości sieci odwotnej T O T πn tki sm zut T n kieunek m cł odzin tomów n płszyźnie postopdłej do

11 Włściwości sieci odwotnej Jeśli skłdowe wekto sieci odwotnej nie mją wspólneo podzielnik, to odlełość między njbliższymi płszczyznmi ównolełymi wynosi: d hkl hkl π hkl h * + kb * + lc * Włściwości sieci odwotnej O T d D T πn T d d - zut T n kieunek Dl nstępnej płszczyzny: zut R n kieunek wynosi D T1 D T π ( n 1) 1 +

12 Włściwości sieci odwotnej T T d T πn T1 D T π ( n 1 + odlełość między sąsiednimi płszczyznmi: 1) d D d hkl d hkl π D d hkl π ( n + 1) hkl πn hkl Co stąd wynik? Kolejny sposób wyznczeni wektoów sieci odwotnej: eometyczny.

13 Konstukcj eometyczn sieci odwotnej (110) (010) 90 (100) b O 100 W sieci odwotnej punkt hkl znjduje się w odlełości π/d hkl od początku ukłdu 000 i w kieunku postopdłym do odziny płszczyzn o wskźnikch (hkl). Ilustcj włściwości sieci odwotnej n pzykłdzie stuktuy eulnej postej c* * b* π π v π * i b* j, c* k

14 1. Objętość komóki pymitywnej sieci odwotnej. * c* b* i π * k c j b v π π *, * ( ) V c b V b * * * π π π. Odlełości międzypłszczyznowe. c b Wiemy, że w ukłdzie eulnym: l k h d hkl + +

15 . Odlełości międzypłszczyznowe dhkl hkl π hkl h * + kb * + lc * Skozystjmy z obliczonych popzednio wektoów pymitywnych sieci odwotnej: π π v π * i b* j, c* k d hkl π x + y + z. Odlełości międzypłszczyznowe d hkl π x + y + z π 4π 4 4 π π h + k + l d hkl π π h + k + l h + k + l Jk widć wynik jest identyczny.

16 Odlełości międzypłszczyznowe w óżnych stuktuch: Kąty między płszczyznmi o Pojęcie sieci odwotnej pzydje się też do obliczni kątów między płszczyznmi. Poniewż wekto sieci odwotnej jest postopdły do odpowiedniej płszczyzny, to kąt między wektomi jest kątem między płszczyznmi. cos( ( hkl ),( HKL)) hkl hkl HKL HKL