DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie

Transkrypt

1 DRGANIA MECHANICZNE ateriały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Saochodów i Maszyn Roboczych studia inżyniersie prowadzący: gr inż. Sebastian Korcza część 6 ułady dysretne o wielu stopniach swobody Poniższe ateriały tylo dla studentów uczęszczających na zajęcia. Zaaz rozpowszechniania i powielania bez zgody autora. PRZYKŁAD Wyprowadzenie równania ruchu etodą Równań Lagrange'a II rodzaju i obliczenie postaci ogólnej rozwiązania drgań swobodnych uładu (bez uwzględniania warunów początowych). Energia inetyczna wagoniów (puntów aterialnych) oraz energia potencjalna sprężyn nieważich i liniowych: E x + x E p x + ( x x ) pochodne niezbędne do ułożenia Równań Lagrange'a: d E d ( x ) x dt x dt x ( x x ) d E d ( x ) x dt x dt ( x x ) d E + dt x d E + dt x

2 x + x x x + x dla ażdego z równań różniczowych ay jeszcze dwa waruni początowe (t ), x (t)x, x (t )v, x (t )v Powyższe równania różniczowe zapisujey w postaci acierzowej: ] ] x + x ] ] ] lub M X + K X Przewidujey rozwiązanie ruch haroniczny obu ciał z różnyi aplitudai i niewiadoą jeszcze częstością (rozwiązanie ogólne równania jednorodnego; drgania swobodne nietłuione): x A sin (ω t +ϕ) x A sin (ω t +ϕ) lub X Asin (ω t +ϕ) Liczyy pochodne rozwiązania aby podstawić je do równań ruchu: x A ω cos(ω t+ϕ) x A ω cos(ω t +ϕ) lub X A ω cos(ω t+ϕ) x A ω sin (ω t +ϕ) x A ω sin(ω t +ϕ) lub X A ω sin (ω t +ϕ) ] ] A ( ω sin (ω t +ϕ))+ A ] ] ] A sin (ω t +ϕ) A Upraszczay paiętając, że nożenie acierzy nie jest przeienne ( ] ( ω ) + ]) ] ] ] A sin(ω t+ϕ) A ] ] ω A sin(ω t +ϕ) ω A Aby powyższe było spełnione usi zerować się iloczyn acierzy, tóre oznaczyy jao B i A B A ( )

3 Warunie zerowania powyższego iloczynu jest zerowy wyznaczni acierzy B (lub inaczej, powyższe jest jednorodny ułade równań liniowych) det B ( ω )( ω ) wprowadzay paraetr λω - interesują nas rzeczywiste nieujene częstości w liczbie równej liczbie stopni swobody uładu. Po uproszczeniu rozwiązujey równanie wadratowe: λ 4 λ+ λ ω,9 ω,54 +,7 ω,3 λ ω Mateatycznie poazaliśy, że dla proponowanego rozwiązania haronicznego ogą wystąpić dwie częstości drgań uładu. Uład a tyle częstości drgań ile stopni swobody. Rozwiązanie równań ruchu usiy teraz zodyfiować aby uwzględnić obie częstości: x A sin(ω t +ϕ )+ A sin (ω t+ϕ ) x A sin (ω t +ϕ )+ A sin (ω t +ϕ ) (uwaga, ponieważ ten pli przygotowany został w poprzednich latach to oznaczenia indesów aplitud ogą różnić się od tych na zajęciach, ale nie a to wpływu na wyni) Rozwiązanie zawiera 6 niewiadoych, a dostępne są tylo 4 waruni początowe. Sorzystay zate jeszcze raz z równania ( ) i podstawiy do niego znane już częstości: ω ] ] ] ω A ω A Po uproszczeniu otrzyujey jednorodny uład równań liniowych z niewiadoyi aplitudai. ] ]] A A

4 Po przenożeniu acierzy ożey zauważyć, że jest to uład nieoznaczony, jego wyniie jest zależność iędzy ziennyi proporcja iędzy aplitudai drgań obu ciał z pierwszą częstością A A A A A + A Powtarzay operację dla drugiej częstości: ω ] ] ] ω A ω A A A A A ] ]] A A A A Korygujey ostateczne rozwiązanie o wyznaczone zależności, posiada ono teraz tylo 4 niewiadoe tóre znajdujey z podstawienia onretnych warunów początowych. x (t ) A sin (ω t +ϕ )+ A sin (ω t +ϕ ) x (t) A sin (ω t +ϕ ) A sin (ω t +ϕ ) ] ] ] (t ) A sin (ω t +ϕ )+ A sin (ω t +ϕ ) x (t) Widziy, że ażdy z wagoniów uładu oże drgać z dwiea częstościai, przy czy aplitudy drgań drugiego są więsze (co wynia z jego niejszej asy przy podobnych sztywnościach). Uład oże więc drgać z dwiea charaterystycznyi postaciai drgań o różnych częstościach. Pierwsza postać drgań to ruch obu wagoniów w jedną stronę z częstością ω. Druga postać drgań to ruch haroniczny wagoniów w ierunach przeciwnych z częstością ω. -- tu proszę zajrzeć do ateriałów z wyładu (postacie drgań, współczynnii wpływu) --

5 PRZYKŁAD E x + x d E d ( x ) x dt x dt ( x ) E p ( x x ) d E d ( x ) x dt x dt ( x x ) x + x x x + x ] ] x + x + W.P. ] ] ] x A sin (ω t+ϕ) x A sin (ω t +ϕ) ] ] A ( ω sin (ω t +ϕ))+ A ] ] ( ] ]) ] ] ] ] A sin(ω t +ϕ) A ] A sin (ω t +ϕ) A ( ω ) + ω A sin (ω t+ϕ) ω A ] B A det B ]

6 ( ω )( ω ) λ λ λ ω λ ω Tu ay do czynienia ze specyficzną sytuacją zerowanie się częstości drgań własnych. Oznacza ona ożliwość poruszania się uładu jao ciało sztywne bez drgań. Nie ożey już zate przewidzieć taiego rozwiązania: x A sin(ω t +ϕ )+ A sin (ω t+ϕ ) x A sin (ω t +ϕ )+ A sin (ω t +ϕ ) Prawidłowe rozwiązanie a postać: x A (+ B t)+ A sin (ω t +ϕ ) x A (+ B t )+ A sin(ω t +ϕ ) Nadal ay 6 niewiadoych a 4 waruni początowe. Ta ja poprzednio podstawiay częstości do uładu i wyznaczyy proporcje iędzy aplitudai. ω ω A ω A ] ] ] ] ] ] A A A A A + A A A

7 ω ] ] ] ω A ω A ] ] ] A A A A A A A A Po uwzględnieniu otrzyanych proporcji iędzy aplitudai ay ostateczną postać drgań: x A (+ B t)+ A sin(ω t+ϕ ) x A (+ B t) A sin(ω t +ϕ ) INNE PRZYKŁADY a) 3 b) c)

8 PRZYKŁAD 3 g Przyład uładania równań ruchu uładu dwóch wahadeł ateatycznych połączonych sprężyną, przy założeniu ałych ątów. L L/ Współrzędne uogólnione: ąty obrotu wahadeł względe pionowego położenia równowagi ϕ, ϕ E ( ϕ L) + ( ϕ L) L ϕ + L ϕ E p E ps +E pg dla energii potencjalnej sprężyny założono od razu ałe ąty podczas jej odształcania: ( ) L L E ps ϕ ϕ L (ϕ ϕ) 8 dla energii potencjalnej grawitacji nie wolno od razu załadać ałych ątów: E pg g L( cos ϕ )+ g L ( cos ϕ ) d E L ϕ dt ϕ d E L ϕ dt ϕ L (ϕ ϕ )+ g L sin ϕ ϕ 4 L (ϕ ϕ )+ g L sin ϕ ϕ 4 Po linearyzacji dla ałych ątów sin ϕ ϕ, sin ϕ ϕ L L L ϕ +( +gl)ϕ ϕ 4 4 L L L ϕ ϕ +( + gl) ϕ 4 4 ] ] + W.P. ] ] ] L L /4 ϕ + L / 4+gL ϕ L ϕ L /4 L / 4+gL ϕ

9 Dla uładów o dużej liczbie stopni swobody wyorzystujey już tylo zapis acierzowy. M X + K X X Asin (ω t +ϕ) M ( ω ) A sin(ω t +ϕ) + K Asin (ω t +ϕ) ( ω M + K ) Asin (ω t +ϕ) ( K λ M ) A det ( K λ M ) wartości własne acierzy ( K M ) lub λ, λ,... ( K λ M ) A ( K λ M ) A lub wetory własne acierzy ( K M )... A, A,... dla λ i X A sin( λ t+ϕ ) + A sin( λ t +ϕ ) +... Obliczanie częstości drgań i postaci drgań ożna zastąpić ateatycznyi operacjai szuania wartości własnych i wetorów własnych acierzy KM-. W prograach do obliczeń ateatycznych funcje te odnajdziey pod nazwai np. eigenvalues(...), eigenvectors(...).

10 PRZYKŁAD 4 Uład z wyuszenie siłą haroniczną. E x + x ] ] d E d ( x ) x dt x dt ( x ) E p ( x x ) d E d ( x ) x dt x dt ( x x ) x + x x x + x F sin ν t x + x Fsin(νt) + W.P. ] ] ] sin( ν t) F (***) Pełne rozwiązanie ruchu tego uładu słada się z rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (drgania swobodne, spełnienie warunów początowych) i rozwiązania szczególnego równania pełnego (drgania ustalone spowodowane wyuszenie). X (t) X og.jedn. (t ) + X sz.peł. (t) Rozwiązanie ogólne znay z poprzedniego zadania: ] X og A (+ B t )+ A sin(ω t+ϕ ) A (+ B t ) A sin(ω t+ϕ ) ω Rozwiązanie ustalone przewidujey w tej saej postaci funcji haronicznej co wyuszenie, ale o różnych aplitudach drgań obu ciał i z ożliwością opóźnienia w czasie odpowiedzi uładu względe wyuszenia. ] ] X sz (t ) x C sin (ν t +δ) C, ale w uładzie bez tłuienia δ Rozwiązanie szczególne usi spełniać równania ruchu uładu, zate podstawiay je do (***)

11 ] ] C ( ν sin (ν t))+ C ] ] ] C sin( νt ) sin(ν t) F C ] ] ] ν C F ν C May teraz do rozwiązania niejednorodny uład równań liniowych postaci: S C F Sorzystay z etody wyznaczniów wzorów Craera (ożna też użyć np. etody eliinacji Gaussa): Δ det S ( ν )( ν ) ν + ν4 ν ν ( ) F ν F F C Δ Δ ν (ν / ) ν F F ( ν ) F ( ν ) C Δ Δ ν ( ν / ) Ostatecznie rozwiązanie ustalone ożey zapisać w postaci: X sz (t ) F ] sin (ν t ) ν ν (ν / )

12 Fsin(νt) Ta przedstawiają się wartości współczynniów C w funcji częstości wyuszenia (dla przyładowej wartości drugiej częstości drgań własnych tego uładu równej : Często reśli się wyresy wartości bezwzględnej współczynniów C, czyli aplitud drgań obu wagoniów z przyładu. Ciągłą linią oznaczono fragenty gdzie wartości współczynniów są ujene - występują drgania uładu w przeciwfazie do wyuszenia. Zapis pełnego rozwiązania drgań tego uładu: ] ] A (+ B t)+ A sin( t +ϕ )+ A F ] ν (ν / ) sin (ν t) + F ( ν ) ν (ν / ) Dopiero teraz ożey wyorzystać waruni początowe: ()x, x () x, x ()v, x ()v

13 PRZYKŁAD 5

14 Powyższe wyresy aplitudy drgań tego uładu poazują, że istnieje pewna częstość wyuszenia, przy tórej oddziaływanie dynaiczne eliinatora równoważą siłę wyuszającą drgania obietu co prowadzi do zerowych aplitud jego drgań. proszę zwrócić uwagę na wpływ tłuienia na charaterystyi aplitudowe, co było na wyładzie Sebastian Korcza, atualizacja: atualizacja:.5.5