Wykład 3: Jak wygląda dźwięk? Katarzyna Weron. Matematyka Stosowana

Transkrypt

1 Wykład 3: Jak wygląda dźwięk? Katarzyna Weron Matematyka Stosowana

2 Fala dźwiękowa Podłużna fala rozchodząca się w ośrodku Powietrzu Wodzie Ciele stałym (słyszycie czasem sąsiadów?) Prędkość dźwięku: stal m/s beton m/s woda m/s powietrze m/s Źródło:

3 Fala dźwiękowa W pobliżu źródła fala jest kulista Dalej przybliżamy przez płaszczyzny (proste) fala płaska promień Czoła fali (powierzchnie, na których drgania mają tą samą fazę) Źródło dźwięku Promienie czół fali, wskazują kierunek ruchu czół Źródło: University Physics

4 Prędkość fali Prędkość zależy od własności ośrodka inercyjnych (gromadzących energię kinetyczną) sprężystych (gromadzących energię potencjalną) Przykład fala poprzeczna w napiętej linie Naprężenie liny v = F μ = mmmmm ssssssssssss mmmmm bbbbbbbbbbbb gęstość linowa

5 Źródła dźwięków w muzyce Drgające ciała: Struny: gitara, skrzypce, fortepian, Membrany: kocioł, werbel, Słupy powietrza: flet, obój, organy, Drewniane lub metalowe płytki: ksylofon, marimba

6 Warunki brzegowe i odbijanie się fal

7 Fale stojące i rezonans Struna w dwóch zaciskach (gitara) Wytwarzamy falę o pewnej częstości Fala odbija się od końca, itd. Interferencja wielu fal Przy pewnych częstościach rezonans

8 Fala stojąca Dwie fale sinusoidalne o takiej samej: Amplitudzie Długości Przeciwnym kierunku rozchodzenia Jaka będzie fala wypadkowa? y 1 x, t = y m sin kk ωω y 2 x, t = y m sin kk + ωω Superpozycja: y x, t = y m sin kk ωω + sin kk + ωω = 2y m sin kk ccccc

9 Fala stojąca i strzałki y x, t = 2y m sin kk ccccc Maksymalna amplituda dla sin kk = 1, kk = π 2, 3π 2, 5π 2,, k = 2π λ x = λ 2 n + 1 2, n = 0,1,2, x = π 2k, 3π 2k, 5π 2k,, = π 2 λ 2π, 3π 2 λ 2π, = λ 2 1 2, λ 2 3 2,

10 Fala stojąca i węzły y x, t = 2y m sin kk ccccc Zerowa amplituda dla: x = n λ, n = 0,1,2, 2 Grzbiety i doliny nie przemieszczają się Odbicie fali od granicy: fala pierwotna i odbita interferują

11 Rezonans Przy pewnych częstościach fala stojąca (częstości rezonansowe lub własne) Niech odległość między zaciskami L Znajdź częstości rezonansowe Na końcach węzły (nie mogą drgać) 2W+1S: λ = L λ = 2L 2 3W+2S: λ = L 5W+3S: λ = 2L 3 λ = 2L n, n = 1,2,3,, f = v/λ Restnik, Halliday, Walker, Podstawy Fizyki tom 2, rozdział 17 (Fale I)

12 Fala stojąca w rurze Poznaliśmy już falę stojącą w strunie Analogicznie fala stojąca w wypełnionej powietrzem rurze Możliwe nawet w rurach otwartych częściowe odbicie Zaleta fali stojącej duża, niezanikająca amplituda dźwięk wychodzący z rury o częstości tej samej co drgania w rurze

13 Fala stojąca w rurze otwartej na obu końcach Na każdym końcu mamy strzałkę pierwsza harmoniczna (n=1): L = λ 2 λ = 2L = 2L 1 druga harmoniczna (n=2): L = λ λ = L = 2L 2 trzecia harmoniczna (n=3) : L = 3λ 2 λ = 22 n λ = 22 3, n = 1, 2, 3, f = v λ = nn 22 częstości rezonansowe Źródło:

14 Fala stojąca w rurze otwartej na jednym końcu częstości rezonansowe Na zamkniętym końcu węzeł, na otwartym strzałka, n- harmoniczne: n=1: L = λ 4 λ = 4L n=2: L = 3 4 λ λ = 4 3 L n=3: L = 5λ λ = 4L 4 5 λ = 4L, n = 1,2,3 2n 1 λ = 4L, n = 1,3,5 n f = v λ = (2n 1)v 4L częstości

15 Fala stojąca w rurze zamkniętej i strunie Na końcach strzałki n=1: L = λ λ = 2L 2 n=2: L = λ λ = L n=3: L = 3λ λ = 2L 2 3 λ = 2L, n = 1,2,3, n f n = v λ = nn 2L częstości v = F μ = nnnnnnnnnn ggggggg rezonansowe Źródło:

16 Dźwięki na gryfie gitary f n = v λ = nn 22 = n 22 F μ E1 E6 A1 Częstość zależy od: 1. Długości struny L 2. Naciągu struny F 3. Gęstości μ 4. A co to jest n? E6

17 Kolejne częstotliwości dźwięku A (220 Hz) i akordy Hz (ton podstawowy) Hz (pierwsza harmoniczna, dźwięk o oktawę wyższy) Hz (druga harmoniczna, dźwięk E) Hz (trzecia harmoniczna, dźwięk wyższy o dwie oktawy) Hz (czwarta harmoniczna, dźwięk wyższy o 28 półtonów, dźwięk Cis/Des) 6. Akord A-dur: A: ton podstawowy E: druga harmoniczna Cis: czwarta harmoniczna

18 Dźwięk A1(440Hz) na różnych instrumentach Ton Kamerton, dźwięk a1 w stroju wiedeńskim f = 440 HH. 1 T = 440 HH = 0.002s 0.002s 10 = 0.02s Gitara Nagrania studentów matematyki stosowanej Pwr, semestr letni 2015/16 Skrzypce

19 Dźwięk A1(440Hz) na różnych instrumentach Ton Kamerton, dźwięk a1 w stroju wiedeńskim f = 440 HH. 1 T = 440 HH = 0.002s 0.002s 10 = 0.02s Flet Nagrania studentów matematyki stosowanej Pwr, semestr letni 2016/17 Saksofon

20 Suma fal o różnych częstościach y i t = cos ω i t

21 Suma fal o różnych częstościach y i t = cos ω i t

22 Czy można uzyskać na gitarze dźwięk czysty? Chcemy mieć tylko jedną częstość Specjalna technika gry: flażolet Delikatnie przytrzymaj strunę opuszkiem palca W ½, ⅓ lub ¼ długości węzeł fali stojącej Szarpnij strunę w miejscu strzałki Źródło: Michał Krupiński, I gra gitara, czyli o fizyce gitary, FOTON 99, Zima 2007

23 Fala stojąca w rurze Poznaliśmy już falę stojącą w strunie Analogicznie fala stojąca w wypełnionej powietrzem rurze Możliwe nawet w rurach otwartych częściowe odbicie Zaleta fali stojącej duża, niezanikająca amplituda dźwięk wychodzący z rury o częstości tej samej co drgania w rurze

24 Fala stojąca w rurze zamkniętej i strunie Na końcach strzałki n=1: L = λ λ = 2L 2 n=2: L = λ λ = L n=3: L = 3λ λ = 2L 2 3 λ = 2L, n = 1,2,3, n f n = v λ = nn 2L częstości v = F μ = nnnnnnnnnn ggggggg rezonansowe Źródło:

25 Fala stojąca w rurze otwartej na obu końcach Na każdym końcu mamy strzałkę pierwsza harmoniczna (n=1): L = λ 2 λ = 2L = 2L 1 druga harmoniczna (n=2): L = λ λ = L = 2L 2 trzecia harmoniczna (n=3) : L = 3λ 2 λ = 22 n λ = 22 3, n = 1, 2, 3, f = v λ = nn 22 częstości rezonansowe Źródło:

26 Fala stojąca w rurze otwartej na jednym końcu częstości rezonansowe Na zamkniętym końcu węzeł, na otwartym strzałka, n- harmoniczne: n=1: L = λ 4 λ = 4L n=2: L = 3 4 λ λ = 4 3 L n=3: L = 5λ λ = 4L 4 5 λ = 4L, n = 1,2,3 2n 1 λ = 4L, n = 1,3,5 n f = v λ = (2n 1)v 4L częstości

27 Dla zainteresowanych muzyką od strony fizyki polecam