Zastosowanie zespolonego wektora Poyntinga do wyznaczania impedancji
|
|
- Wiktoria Czajka
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 napisał Michał Wierzbicki Zastosowanie zespolonego wektora Poyntinga do wyznaczania impedancji Dla pól elektromagnetycznych harmonicznie zależnych od czasu z czynnikiem e iωt można zdefiniować zespolony wektor Poyntinga: S = 1 2µ 0 E B (1) Jeśli wykonamy całkę z tego wektora po zamkniętej powierzchni otaczającej pewien układ elektromagnetyczny zawierający ładunki oraz pola elektryczne i magnetyczne to w wyniku otrzymamy zespoloną średnią po czasie moc Π wydzielaną w tym układzie: S d A = Π = P + iq (2) gdzie P jest średnią mocą czynną równą A a Q jest średnią mocą bierną równą P = 1 2 I 2 R (3) Q = 1 2 I 2 X (4) W ten sposób można określić zależne od częstotliwości rezystancję R(ω) i reaktancję X(ω) układu elektromagnetycznego, który z punktu widzenia elektrotechniki można traktować jako dwójnik o zespolonej impedancji Z = X + iz, przez który płynie harmoniczny prąd I. W zależności od znaku X reaktancja układu może mieć charakter pojemnościowy (X < 0) lub indukcyjny (X > 0). Układowi elektromagnetycznemu można także przypisać pojemność C i indukcyjność L obliczając średnie po czasie energie zgromadzone w polu elektrycznym i magnetycznym W e = V ɛ 0 E 2 4 W m = V dv = q 2 4C = B 2 dv = L I 2 4µ 0 4 I 2 4ω 2 C (5) (6) 1
2 gdzie dla wielkości harmonicznie zależnych od czasu I = dq dt = iω q (7) Średnią po czasie moc bierną układu można wówczas zapisać jako Q = 2iω(W m W e ) = I 2 2 Reaktancja kondensatora płaskiego ( i ) iωl ωc Przez kondensator płaski o okładkach w kształcie koła o promieniu a, leżących w odległości d od siebie, płynie prąd I = I 0 e iωt. Niech oś symetrii kondensatora będzie osią z układu cylindrycznego 1. W kondensatorze pojawia się zmienne w czasie harmoniczne pole elektryczne o składowej E z, prostopadłej do okładek kondensatora. Wskutek działania zjawiska indukcji elektromagnetycznej Faradaya wewnątrz kondensatora pojawi się także zależne od czasu wirowe pole magnetyczne B ϕ. Pominiemy przy tym efekty brzegowe, to znaczy zignorujemy wygięcie linii sił pola na brzegu kondensatora dla ρ = a. W próżni między okładkami kondensatora działa prawo Ampera z prądem przesunięcia: (8) oraz prawo Faradaya ( B) z = µ 0 ɛ 0 E z t = iω c E 2 z = 1 ρ ρ ( ρb ϕ) (9) ( E) ϕ = B ϕ t = iω B ϕ = E z ρ Wstawiając równanie (10) do równania (9) otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu dla pola E z : iω c E 2 z = 1 ρ ρ ( ρ iω E z ) ρ Wprowadźmy oznaczenie stosowane dla fal elektromagnetycznych (10) (11) ω c = k = 2π λ gdzie λ jest długością fali. Wówczas E z spełnia równanie (12) 1 J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, wyd. III, zad ( E z ) ρ + k 2 E z = 0 (13) ρ ρ ρ 2
3 Wprowadzając zmienną bezwymiarową u = kρ dostajemy znane z metod matematycznych równanie Bessela 1 ( E z ) ρ + Ez = 0 (14) u u u którego rozwiązaniem są funkcje Bessela rzędu 0 E z (u) = A J 0 (u) + B Y 0 (u) (15) Funkcja Bessela drugiego rodzaju Y 0 jest nieskończenie duża dla u = 0. Ponieważ nie ma fizycznego powodu aby pole elektryczne było nieskonczenie duże na osi kondensatora tę część rozwiązania odrzucamy. Znamy więc pole elektryczne w kondensatorze: E z (ρ) = E 0 J 0 (kρ) (16) gdzie E 0 jest amplitudą pola. Korzystając ze wzoru J 0 (x) = J 1(x), na podstawie równania (10) możemy stwierdzić, że pole magnetyczne w kondensatorze wyraża się przez funkcję Bessela rzędu 1. B ϕ = 1 E z iω ρ = i c E 0 J 1 (kρ) (17) Możemy teraz obliczyć zespolony wektor Poyntinga (1) na brzegu kondensatora dla ρ = a. Ponieważ dla wersorów układu cylindrycznego obowiązuje zależność: to zespolony wektor Poyntinga ma składową radialną równą: S ρ = e z e ϕ = e ρ (18) i 2cµ 0 E 0 2 J 0 (kρ) J 1 (kρ) (19) Całka powierzchniowa we wzorze (2) dotyczy powierzchni bocznej walca, który tworzy kondensator. Z powodu symetrii cylindrycznej ta całka jest równa po prostu iloczynowi S ρ przez powierzchnię boczną walca równą A = 2πa d. Średnia po czasie moc zespolona dla kondensatora wynosi więc Π = A S d A = i 2cµ 0 E 0 2 J 0 (kρ) J 1 (kρ) 2πa d (20) Z prawa Gaussa wynika, że gęstość ładunku σ zgromadzona na okładce kondensatora wynosi σ = ɛ 0 E z = ɛ 0 E 0 J 0 (kρ) (21) Całkowity ładunek q zgromadzony na okładce kondensatora wynosi 3
4 q = σ da = a ɛ 0 E 0 J 0 (kρ) 2πρ dρ (22) A 0 gdzie A jest powierzchnią okładki kondensatora. Korzystając ze wzoru x J 0 (x) dx = x J 1 (x) (23) otrzymujemy q = ɛ 0 E 0 2πa J 1(ka) k Prąd I płynący przez kondensator wynosi więc I = dq dt = iωq = iωɛ 0 E 0 2πa J 1(ka) k a jego moduł w kwadracie jest równy (24) (25) I 2 = ω 2 ɛ 2 0 E 0 2 4π 2 a 2 J2 1 (ka) k 2 (26) Wyrażając za pomocą powyższego równania E 0 2 przez I 2 i korzystając ze wzoru (20) możemy zapisać średnią po czasie moc zespoloną Π jako Π = i I 2 k 2 d πa J 0 (ka) J 1 (ka) 4ω 2 cµ 0 ɛ 2 0 Jak widać ze wzoru formalnie moc ta jest czysto urojona (bierna), a reaktancja X ma charakter czysto pojemnościowy (X < 0). Na podstawie wzoru (4), korzystając z definicji (12) liczby falowej k oraz z tego że 1/c 2 = ɛ 0 µ 0, reaktancja kondensatora wynosi X = 1 ω d ka ɛ 0 πa 2 2 J 0 (ka) J 1 (ka) Jak wiadomo z elektrotechniki reaktancja kondensatora powinna być równa 1/(ωC). Stąd pojemność kondensatora dla prądów harmonicznych w czasie można zapisać w postaci prostej zależności (27) (28) gdzie C = C 0 F(ka) (29) C 0 = ɛ 0 πa 2 d (30) 4
5 jest pojemnością kondensatora wziętą z elektrostatyki, a bezwymiarowa funkcja F(x) parametru x = ka F(x) = 2J 1(x) xj 0 (x) zawiera w sobie zależność pojemności od częstości ω = k /c. Dla x 1 rozwinięcie tej funkcji w szereg ma postać F(x) 1 + x2 (32) 8 Przykładowo: dla częstotliwości f = 10 MHz i promienia okładki kondensatora a = 10 cm wielkość x = ka = 0,021 stąd F(x) = 1, Jeśli argument x jest równy zeru funkcji Bessela J 0 (x) = 0 to funkcja F(x) =. Jak wynika ze wzoru (28) impedancja kondensatora jest wówczas równa zeru! W elektrotechnice oznacza to zjawisko rezonansu prądów. Dla zadanego harmonicznego napięcia na kondensatorze, prąd płynący przez kondensator jest nieskończenie duży. Pierwsze zero funkcji Bessela J 0 wynosi x 01 2,4. Dla kondensatora o promieniu okładki równej a = 10 cm częstotliwość rezonansowa f r wynosi f r = c x 01 1,1 GHz (33) 2πa Jest ona równa częstotliwości rezonansowej rezonatora cylindrycznego o tych samych rozmiarach co kondensator. Porównanie kondensatora z rezonatorem cylindrycznym jest przybliżone, ponieważ zaniedbaliśmy na początku rozważań efekty brzegowe. Jak wynika z rysunku 1 dla częstotliwości większych niż f r reaktancja kondensatora jest większa od zera, a więc ma charakter indukcyjny! Fizycznie oznacza to, że dla tak dużej częstotliwości energia zgromadzona w polu magnetycznym kondensatora jest większa niż zgromadzona w polu elektrycznym, zgodnie ze wzorem (8). Energia pola elektromagnetycznego zgromadzona w kondensatorze Energia pola elektrycznego zgodnie ze wzorami (5) i (16) wynosi Korzystając ze wzoru W e = V ɛ 0 E 2 4 = a 0 (31) ɛ 0 E 0 2 J 0 (kρ) 2 2πρ dρ d (34) 4 xj 0 (x) 2 dx = x2 2 [J2 0 (x) + J2 1 (x)] (35) 5
6 Rysunek 1: Zależność reaktancji kondensatora X = X 0 J 1 (x) /J 0 (x) od argumentu x = ka. mamy gdzie W e = W 0 [J 2 0 (ka) + J2 1 (ka)] (36) W 0 = ɛ 0 E 0 2 πa 2 d = w e V (37) 4 jest elektrostatyczną energią kondensatora równą iloczynowi objętości kondensatora V = πa 2 d i średniej po czasie gęstości energii elektrycznej w e = ɛ 0 E 0 2 /4. Energia zgromadzona w polu magnetycznym zgodnie ze wzorami (6) i (17) wynosi Korzystając ze wzoru otrzymujemy W m = V B 2 a = 4µ 0 0 E 0 2 J 1 (kρ) 2 4c 2 µ 0 2πρ dρ d (38) xj 1 (x) 2 dx = x2 2 [J2 1 (x) J 0(x) J 2 (x)] (39) W m = W 0 [J 2 1 (ka) J 0(ka) J 2 (ka)] (40) Rysunek 2 przedstawia zależność energii elektrycznej W e i magnetycznej W m kondensatora od częstotliwości, poprzez bezwymiarowy parametr x = ka = ωa/c. Wartości x, dla których W e = W m odpowiadają częstotliwościom rezonansowym. 6
7 Rysunek 2: Zależności W e /W 0 i W m /W 0 od parametru x = ka. Kwadrat amplitudy pola elektrycznego możemy wyrazić przez kwadrat amplitudy prądu stosując równanie (25) Stąd E 0 2 = I 2 k 2 ω 2 ɛ 2 0 4π2 a 2 J 2 1 (ka) (41) W e = I 2 k 2 d 16ω 2 ɛ 0 π J 2 0 (ka) + J2 1 (ka) J 2 1 (ka) (42) Stosując wzór (5), zależna od częstości ω pojemność kondensatora wynosi C = C 0 G(ka) (43) gdzie C 0 jest pojemnością (30) kondensatora wziętą z elektrostatyki, a bezwymiarowa funkcja G(x) wynosi G(x) = 4 x 2 J 2 1 (x) J 2 0 (x) + J2 1 (x) (44) gdzie x = ka. Dla x 1 można stosować przybliżenie: G(x) 1 x 4 /192. Równanie (43) różni się od wcześniejszego równania (29). Poprzednio całą reaktancję zapisaliśmy w postaci Teraz rozdzielamy ją na dwa składniki X = 1 ωc (45) 7
8 X = ωl 1 ωc (46) Przy użyciu równania (41) energię zgromadzoną w polu magnetycznym kondensatora możemy zapisać jako W m = I 2 k 2 d 16ω 2 ɛ 0 π J2 1 (ka) J 0(ka) J 2 (ka) J 2 1 (ka) Stąd zależna od częstości ω indukcyjność kondensatora wynosi = L I 2 4 (47) gdzie indukcyjność L = L 0 H(ka) (48) L 0 = µ 0 8π d = 50nH d [m] (49) m jest równa wewnętrznej indukcyjności przewodu o długości d. Dla bardzo małych częstotliwości L L 0. W przypadku prądu stałego ładującego kondensator dla ω = 0, wewnątrz kondensatora pole elektryczne rośnie liniowo w czasie. Wskutek działania zjawiska indukcji elektromagnetycznej Faradaya w kondensatorze powstaje wirowe pole magnetyczne, co prowadzi do niezerowej indukcyjności kondensatora. Ponieważ całkowity prąd przesunięcia jest równy prądowi ładowania kondensatora, to indukcyjność wewnętrzna kondensatora liczona na jednostkę długości jest taka sama jak dla przewodów doprowadzających do niego prąd i równa µ 0 /(8π) = 50 nh/m. Przykładowo: jeśli odległość między okładkami kondensatora jest równa d = 1 mm to L 0 = 50 ph. Częstotliwość rezonansową kondensatora można w prosty sposób oszacować mnożąc przez siebie jego pojemność elektrostatyczną C 0 przez indukcyjność wewnętrzną L 0. L 0 C 0 = 1 (2π f r ) 2 (50) Biorąc pod uwagę równania (30) i (49) otrzymujemy przybliżoną formułę f r = 2 2c (51) 2πa która dla a = 10 cm daje f r = 1,3 GHz. Bezwymiarowa funkcja H(x) parametru x = ka występująca w równaniu (48) wynosi [ H(x) = 2 1 J ] 0(ka) J 2 (ka) J 2 1 (ka) (52) 8
9 Dla x 1 można stosować przybliżenie H(x) 1 + x 2 /12. Rysunek 3 przedstawia wykresy funkcji G(x) = C /C 0 oraz 1/H(x) = L 0 /L. Wartości parametru x dla których C = 0 i L = odpowiadają zerom funkcji Bessela J 1 (x). Pierwsze zero wynosi x 11 = 3,8 co dla a = 10 cm odpowiada częstotliwości f = 1,8 GHz. Rysunek 3: Zależności pojemności i odwrotności indukcyjności kondensatora od częstotliwości, poprzez bezwymiarowy parametr x = ka. Reaktancja cewki walcowej Rozważmy teraz cewkę walcową o promieniu a i długości d posiadają N zwojów. Niech osią symetrii cewki będzie oś z układu cylindrycznego. Jeśli zaniedbamy efekty brzegowe, czyli wygięcie linii sił pola na krawędzi cewki, to możemy ją traktować jako fragment solenoidu o długości d. Dzięki temu założeniu pola wewnątrz cewki będą miały symetrię cylindryczną i translacyjną, czyli ich wartość powinna zależeć jedynie od odległości ρ od osi cewki. Zmienne w czasie pole magnetyczne cewki B z wywoułuje wirowe pole elektryczne E ϕ. Prawo Faradaya dla pól wewnątrz cewki ma postać ( E) z = B z t Prawo Ampera z prądem przesunięcia wynosi = iωb z = 1 ( ) ρeϕ ρ ρ (53) ( B) ϕ = µ 0 ɛ 0 E ϕ t = iω c E 2 ϕ = B z ρ Wstawiając jedno równanie do drugiego otrzymujemy równanie Bessela (54) 9
10 1 ( ) ρbz + k 2 B z = 0 (55) ρ ρ gdzie k = ω /c. Odrzucamy funkcję Bessela drugiego rodzaju Y 0 (kρ), ponieważ nie ma fizycznego powodu aby pole magnetyczne było nieskończenie duże na osi cewki. Otrzymujemy więc rozwiązanie w postaci B z (ρ) = B 0 J 0 (kρ) (56) gdzie B 0 jest amplitudą pola magnetycznego. Z równania (54) możemy obliczyć pole elektryczne. E ϕ = ic2 ω B z ρ = icb 0 J 1 (kρ) (57) Ponieważ e ϕ e z = e ρ zespolony wektor Poyntinga ma składową radialną równą S ρ = 1 2µ 0 E ϕ B z = ic 2µ 0 B 0 2 J 0 (kρ) J 1 (kρ) (58) Całka z zespolonego wektora Poyntinga po powierzchni bocznej A cewki pozwala wyznaczyć zespoloną moc Π. S d A = ic B 0 2 J 0 (kρ) J 1 (kρ) 2πa d = Π (59) 2µ 0 A Jak widać moc zespolona jest czysto urojona Π = iq, gdzie Q jest mocą bierną. Aby wyrazić amplitudę pola magnetycznego B 0 poprzez prąd I płynący w cewce zastosujmy całkową wersję prawa Ampera z prądem przesunięcia ( dφ E ) C B = µ 0 I + ɛ0 (60) dt do konturu w postaci prostokąta leżącego w płaszczyźnie symetrii cewki, pokazanego na rysunku 4. Z powodu symetrii translacyjnej krążenie pola magnetycznego wynosi po prostu C b = B z (ρ) d. Strumień pola elektrycznego E ϕ przez prostokątną powierzchnię wynosi Φ E = a ρ E ϕ (ρ) dρ d = icb 0 d a ρ J 1 (kρ) dρ = icb 0 d [J 0 (ka) J 0 (kρ)] (61) k Uzwględniając, że kontur całkowania jest przecinany przez N zwojów cewki, na podstawie prawa Ampera (60) możemy napisać następujące wyrażenie na prąd płynący przez cewkę: 10
11 Rysunek 4: Kontur całkowania dla prawa Ampera (60) I = 1 N ( ) CB ɛ 0 iω Φ E = B 0 d J 0 (ka) (62) µ 0 Nµ 0 W przypadku prądu stałego dla ω = 0 mamy J 0 (0) = 1. Wyrażenie (62) jest równe wówczas wartości prądu w solenoidzie znanemu z magnetostatyki. Wyrażając amplitudę pola magnetycznego B 0 przez natężenie prądu I i wstawiając do wyrażenia na moc zespoloną (59) otrzymujemy Π = iq = icµ 0 N 2 πa I 2 d J1(ka) J 0 (ka) Porównując powyższe równanie ze wzorem (4) możemy napisać wyrażenie na reaktancję X cewki: X = 2µ 0cπaN 2 d J1(ka) J 0 (ka) Reaktancja ta powinna być równa X = ωl, gdzie L jest indukcyjnością cewki. Stąd, korzystając z zależności ω /c = k otrzymujemy: (63) (64) gdzie L = µ 0 N 2 πa2 d 2 ka J 1 (ka) J 0 (ka) = L 0 F(x) (65) L 0 = µ 0 N 2 πa2 (66) d jest indukcyjnością solenoidu znaną z magnetostatyki, a bezwymiarowa funkcja parametru x = ka wynosi F(x) = 2 x J 0 (x) J 1 (x) (67) 11
12 Co ciekawe, jest to ta sama funkcja, co w równaniu (31) dla kondensatora. Kiedy x jest równe miejscu zerowemu funkcji Bessela J 0 (x) wówczas reaktancja cewki jest nieskończenie duża. Mamy wówczas do czynienia ze zjawiskiem rezonansu napięć. Dla zadanego harmonicznego prądu płynącego przez cewkę generowane napięcie jest nieskończenie duże. Częstotliwość rezonansowa cewki jest równa częstotliwości rezonansowej (33) dla kondensatora o tych samych wymiarach. Rysunek 5: Zależność indukcyjności cewki L/L 0 = F(x) od częstości ω, poprzez bezwymiarowy parametr x = ka = ω a/ c. Jak widać z rysunku 5 dla częstości większej od rezonansowej reaktancja cewki ma charakter pojemnościowy (X < 0). W tym przypadku energia zgromadzona w polu elektrycznym cewki jest większa od energii pola magnetycznego. Energia pola elektromagnetycznego zgromadzona w cewce Średnia po czasie energia pola magnetycznego zgromadzona w cewce, zgodnie ze wzorami (6) i (56) wynosi: W m = V B 2 dv = B 0 2 a J 2 0 2µ 0 4µ (kρ) 2πρ dρ d = W [ J 2 0 (ka) + J2 1 (ka)] (68) gdzie wielkość W 0 = B 0 2 4µ 0 π a 2 d = w m V (69) 12
13 jest równa magnetostatycznej energii pola równej iloczynowi gęstości energii w m i objętości cewki V. Z kolei, na podstawie wzorów (5) i (57) średnia po czasie energia pola elektrycznego cewki wynosi ɛ 0 E 2 [ W e = dv = W 0 J (ka) J 0(ka) J 2 (ka) ] (70) V Powyższe wzory, jeśli chodzi o ich zależność od parametru x = ka, są takie same jak wzory (36) i (40) dla kondensatora, tylko teraz pola elektryczne i magnetyczne zamienione są rolami. Zależność energii pól od częstości jest więc taka sama jak na rysunku 2, jeśli zamienić kolorami wykresy. W przypadku cewki zapisywanie jej reaktancji w postaci analogicznej do równania (46) jako X = ω L 1 (71) ω C i przypisywanie cewce pojemności C nie ma uzasadnienia fizycznego. Pole elektryczne E ϕ w cewce ma charakter wirowy i nie istnieje kondensator w którym tego typu pole można by wytworzyć. Reaktancja płaskiego kondensatora o prostokątnych okładkach Kondensator płaski 2 o prostokątnych okładkach długości a i b, leżących równolegle do siebie w odległości d, jest zasilany prądem harmonicznym I = I 0 e iωt płynącym przez górną szerokość b okładek ze stałą gęstością liniową j (patrz rysunek 6. Jeśli zaniedbamy efekty brzegowe na krawędziach kondensatora, czyli zakrzywienie linii sił pola, to możemy uznać, że kondensator wzdłuż osi x jest wycinkiem o szerokości b wziętym z kondensatora o nieskończonej długości. Możemy wówczas uznać, że pole elektromagnetyczne i przepływ prądu mają symetrię translacyjną wzdłuż osi x, to znaczy nie zależą od zmiennej x. Jeśli uznamy, że odległość między okładkami jest znacznie mniejsza od ich rozmiarów, to możemy także założyć stałość pól w przekroju wzdłuż osi z. Ostatecznie zakładamy, że pole elektryczne ma postać E = E z (y) e z harmonicznie zależną od czasu. Jeśli prąd płynie wzdłuż osi y to pole magnetyczne powinno mieć postać B = B x (y) e x. Wynika to także z równań Maxwella i założonej niezależności pól od zmiennych x i z. Prawo Faradaya w układzie kartezjańskim przyjmuje postać: ( E) x = E x t Prawo Ampera z prądem przesunięcia zapisujemy w postaci: 2 J.D. Jackson,Classical Electrodynamics, wyd. III, zad = E z y E y z = iωb x (72) 13
14 Rysunek 6: Kondensator płaski o prostokątnych okładkach a b leżących w odległości d. ( B) z = µ 0 ɛ 0 E z t = B y x B x y = iω c E 2 z (73) Wstawiając jedno równanie do drugiego otrzymujemy równanie dla E z : gdzie k = ω c, którego rozwiązaniem ogólnym jest 2 E z 2 y + k2 E z = 0 (74) E z = A cos ky + B sin ky (75) Przepływ prądu periodycznie ładujący kondensator powinien spełniać równanie ciągłości j + ρ t = 0 (76) W naszym przypadku zamiast objętościowej gęstości ładunku ρ stosujemy gęstość powierzchniową σ ładunku na okładce kondensatora. Liniwa gęstość prądu j ma tylko składową y zależną od y. Uwzględniając harmoniczną zależność od czasu wszystkich wielkości występujących w równaniach Maxwella, wzór (76) możemy zapisać w postaci: j y y + iω σ = 0 (77) 14
15 Przepływ prądu powinien spełniać warunek brzegowy j y (a) = 0, gdyż na dolnej krawędzi kondensatora prąd nie ma gdzie dalej płynąć. Zależność j y (y) spełniająca ten warunek i mająca formę równania (75) jest następująca: j y = j 0 sin k(a y) (78) Z prawa Gaussa zastosowanego do powierzchni obejmującej okładkę kondensatora wynika, że gęstość powierzchniowa ładunku jest równa σ = ɛ 0 E z. Biorąc pod uwagę równanie ciągłości (77) mamy Stąd musi być j y y = iωɛ 0E 0 (79) E z = E 0 cos k(a y) (80) gdzie związek pomiędzy amplitudami pola elektrycznego i liniowej gęstości prądu płynącej przez okładki kondensatora jest następujący: j 0 k = iω ɛ 0 E 0 (81) Zgodnie z prawem Ampera (73) pole magnetyczne wewnątrz kondensatora wynosi B x = 1 E z iω y = ie 0 sin k(a y) (82) c Ponieważ dla wersorów układu kartezjańskiego obowiązuje zależność e z e x = e y to zespolony wektor Poyntinga wewnątrz kondensatora skierowany jest wzdłuż osi y i wynosi S y = 1 E z B x = i E 0 2 2µ 0 4µ 0 c sin 2k(a y) (83) Całkowity prąd elektryczny wchodzący do okładki kondensatora przez jej górną krawędź o długości b dla y = 0 wynosi I = j y (0) b = j 0 b sin ka = iωɛ 0E 0 b sin ka (84) k Całkowita moc zespolona Π równa jest całce z zespolonego wektora Poyntinga po zamkniętej powierzchni A obejmującej badany układ elektromagnetyczny. Π = S d A (85) A W naszym wypadku, ponieważ na dolnej podstawie kondensatora dla y = a mamy S y (a) = 0, oraz wobec niezależności pól od zmiennych x i z możemy napisać 15
16 Π = S y (0) bd = i E 0 2 bd sin 2ka (86) 4µ 0 c gdzie A = bd jest górną powierzchnią kondensatora. Znak ( ) we we wzorze (85) pomijamy, gdyż wektor Poyntinga skierowany jest w naszym wypadku do wewnątrz kondensatora. Amplitudę pola elektrycznego E 0 możemy wyrazić przez całkowity prąd I (84) wpływający do kondensatora. Ik E 0 = (87) iωɛ 0 b sin ka Stosując zależności k = ω c oraz µ 0 ɛ 0 = 1/ c 2 wyrażenie na moc zespoloną Π możemy wówczas zapisać w postaci Π = i d I 2 ka ctg ka (88) 2 ɛ 0 ab ω Widzimy, że moc zespolona ma formę czysto urojoną Π = iq = i 2 I 2 X (89) Ujemny znak mocy biernej Q oznacza charakter pojemnościowy reaktancji X. X = d 1 ɛ 0 ab ω u ctg u = 1 (90) ω C gdzie bezwymiarowy parametr u = ka = ωa/ c. Jak widać wyrażenie na pojemność kondensatora w funkcji częstości ω poprzez parametr u jest następujące: gdzie C = C 0 tg u u ab C 0 = ɛ 0 (92) d jest pojemnością kondensatora płaskiego znaną z elektrostatyki. Dla u = π/2 pojemność kondensatora dąży do nieskończoności, a jego reaktancja równa się zeru. Mamy wówczas do czynienia z rezonansem prądów. Dla zadanego napięcia na kondensatorze prąd płynący przez niego jest nieskończenie duży. Częstotliwość rezonansowa kondensatora o rozmiarze okładki a = 10 cm wynosi f r = c = 0,75 GHz (93) 4a Jest ona równa częstotliwości rezonansowej otwartego z jednej strony rezonatora o długości a = λ /4. Pole elektryczne w kondensatorze spełnia równanie (80), więc rzeczywiście kondensator jest otwartym z jednej strony rezonatorem elektromagnetycznym. 16 (91)
17 Rysunek 7: Zależność impedancji X = X 0 ctg u od częstości poprzez bezwymiarowy parametr u = ka. Dla u > π/2 impedancja X kondensatora przyjmuje charakter indukcyjny (X > 0). Energia pola elektromagnetycznego zgromadzona w kondensatorze Średnia po czasie energia pola elektrycznego wewnątrz kondensatora wynosi W e = V ɛ 0 E 2 4 dv = ɛ 0 E bd a 0 cos 2 k(a y) dy = ɛ 0 E ka + sin 2ka bd 4k (94) Średnia po czasie energia pola magnetycznego wewnątrz kondensatora wynosi W m = V B 2 4µ 0 dv = E 0 2 4µ 0 c bd a 0 sin 2 k(a y) dy = E 0 2 Obie energie można zapisać w skróconej formie jako 4µ 0 c bd 2ka sin 2ka 4k (95) gdzie W e = W 0 2u + sin 2u 4u, W m = W 0 2u sin 2u 4u (96) W 0 = ɛ 0 E abd (97) 17
18 jest elektrostatyczną energią zgromadzoną w kondensatorze płaskim o objętości V = abd. Rysunek 8 przestawia zależność energii W e i W m od częstości ω, poprzez bezwymiarowy parametr u = ka. Dla częstości rezonansowej u = π/2 widzimy, że obie energie są sobie równe. Rysunek 8: Energie pola elektrycznego i magnetycznego wewnątrz kondensatora jako funkcje u = ka. Ponieważ w kondensatorze występują jednocześnie pola elektryczne i magnetyczne to możemy przypisać mu jednocześnie pojemność C i indukcyjność L. Wielkość W 0 można zapisać w uproszczonej postaci jako W 0 = C 0 u 2 4 I 2 sin 2 u Energia pola elektrycznego zgromadzona w kondensatorze powinna być równa (98) W e = Q 2 4c = I 2 (99) 4ω 2 C gdzie Q jest ładunkiem zgromadzonym na okładce kondensatora. Stąd pojemność kondensatora C wynosi gdzie C = C 0 f (u) (100) f (u) = 4 sin 2 u u(2u + sin 2u) (101) 18
19 Dla u 1 można stosować przybliżenie f (u) 1 u 4 /45. Nie jest to ta sama pojemność co we wzorze (91), ponieważ wcześniej przedstawiliśmy reaktancję kondensatora jako czysto pojemnościową. X = 1 ω C = ωl 1 (102) ω C Energia zgromadzona w polu magnetycznym kondensatora powinna formalnie dać się zapisać jako energia cewki o indukcyjności L. W m = L I 2 (103) 4 Stąd po prostych przekształceniach algebraicznych otrzymujemy następujące wyrażenie na indukcyjność kondensatora gdzie L = L 0 g(u) (104) L 0 = µ 0 da 3b (105) Wielkość L 0 jest równa 3 indukcyjności wewnętrznej kondensatora podczas ładowania go stałym prądem I. Pole elektryczne między okładkami kondensatora rośnie w czasie. Wewnątrz kondensatora pojawia się pewne pole magnetyczne jako skutek istnienia prądu przesunięcia. Dla kondensatora o wymiarach a = b = 10 cm i d = 1 mm L 0 = 1,3 nh. Bezwymiarowa funkcja g(u) wynosi 3(2u sin 2u) g(u) = 4u sin 2 u Dla u 1 można stosować przybliżenie g(u) 1 + 2u 2 /15. (106) 3 Liczba 3 we wzorze L 0 została formalnie dopisana aby g(0) = 1. 19
20 Rysunek 9: Zależność pojemności C i odwrotności indukcyjności 1/L od częstości poprzez bezwymiarowy parametr u = ka. 20
Efekt naskórkowy (skin effect)
Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?
RÓWNANIA MAXWELLA Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? Wykład 3 lato 2012 1 Doświadczenia Wykład 3 lato 2012 2 1
Bardziej szczegółowoObliczanie indukcyjności cewek
napisał Michał Wierzbicki Obliczanie indukcyjności cewek Indukcyjność dla cewek z prądem powierzchniowym Energia zgromadzona w polu magnetycznym dwóch cewek, przez uzwojenia których płyną prądy I 1 i I
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH
METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoWykład 14: Indukcja cz.2.
Wykład 14: Indukcja cz.. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 10.05.017 Wydział Informatyki, Elektroniki i 1 Przykład
Bardziej szczegółowoWykład 15: Indukcja. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok
Wykład 15: Indukcja Dr inż. Zbigniew zklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ 1 Pole magnetyczne a prąd elektryczny Do tej pory omawiano skutki
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoWykład 14: Indukcja. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok
Wykład 14: Indukcja Dr inż. Zbigniew zklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ Pole magnetyczne a prąd elektryczny Do tej pory omawiano skutki
Bardziej szczegółowoPole elektromagnetyczne
Pole elektromagnetyczne Pole magnetyczne Strumień pola magnetycznego Jednostką strumienia magnetycznego w układzie SI jest 1 weber (1 Wb) = 1 N m A -1. Zatem, pole magnetyczne B jest czasem nazywane gęstością
Bardziej szczegółowoPrzedmowa do wydania drugiego Konwencje i ważniejsze oznaczenia... 13
Przedmowa do wydania drugiego... 11 Konwencje i ważniejsze oznaczenia... 13 1. Rachunek i analiza wektorowa... 17 1.1. Wielkości skalarne i wektorowe... 17 1.2. Układy współrzędnych... 20 1.2.1. Układ
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoWyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych
napisał Michał Wierzbicki Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych Rozważmy tak zwaną linię Lechera, czyli układ dwóch równoległych, nieskończonych przewodników, o przekroju
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowocz. 2. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 14: Pole magnetyczne cz.. dr inż. Zbigniew zklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego - doświadczenie Oersteda Kiedy przez
Bardziej szczegółowoWykład Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu
Wykład 7 7. Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu M d x kx Rozwiązania x = Acost v = dx/ =-Asint a = d x/ = A cost przy warunku = (k/m) 1/. Obwód
Bardziej szczegółowo) I = dq. Obwody RC. I II prawo Kirchhoffa: t = RC (stała czasowa) IR V C. ! E d! l = 0 IR +V C. R dq dt + Q C V 0 = 0. C 1 e dt = V 0.
Obwody RC t = 0, V C = 0 V 0 IR 0 V C C I II prawo Kirchhoffa: " po całym obwodzie zamkniętym E d l = 0 IR +V C V 0 = 0 R dq dt + Q C V 0 = 0 V 0 R t = RC (stała czasowa) Czas, po którym prąd spadnie do
Bardziej szczegółowoStrumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie
Problemy elektrodynamiki. Prawo Gaussa i jego zastosowanie przy obliczaniu pól ładunku rozłożonego w sposób ciągły. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 19 marca 2012 Nowe spojrzenie na prawo Coulomba
Bardziej szczegółowoFizyka współczesna. Zmienne pole magnetyczne a prąd. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego
Zmienne pole magnetyczne a prąd Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego Zmienne pole magnetyczne a prąd Wnioski (które wyciągnęlibyśmy, wykonując doświadczenia
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 7 Elektrodynamika 3 7.1 Siła elektromotoryczna................ 3 7.2
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoMoment pędu fali elektromagnetycznej
napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoMAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY
Włodzimierz Wolczyński 47 POWTÓRKA 9 MAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY Zadanie 1 W dwóch przewodnikach prostoliniowych nieskończenie długich umieszczonych w próżni, oddalonych od siebie o r = cm, płynie prąd.
Bardziej szczegółowoCharakterystyki częstotliwościowe elementów pasywnych
Charakterystyki częstotliwościowe elementów pasywnych Parametry elementów pasywnych; reaktancji indukcyjnej (XLωL) oraz pojemnościowej (XC1/ωC) zależą od częstotliwości. Ma to istotne znaczenie w wielu
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC
Ćwiczenie 3 3.1. Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą
Zwój nad przewodzącą płytą Z potencjału A można też wyznaczyć napięcie u0 jakie będzie się indukować w pojedynczym zwoju cewki odbiorczej: gdzie: Φ strumień magnetyczny przenikający powierzchnię, której
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne
Fale elektromagnetyczne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykładu Spis treści 1. Analiza pola 2 1.1. Rozkład pola...............................................
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoPrąd przemienny - wprowadzenie
Prąd przemienny - wprowadzenie Prądem zmiennym nazywa się wszelkie prądy elektryczne, dla których zależność natężenia prądu od czasu nie jest funkcją stałą. Zmienność ta może związana również ze zmianą
Bardziej szczegółowoPracownia fizyczna i elektroniczna. Wykład lutego Krzysztof Korona
Pracownia fizyczna i elektroniczna Wykład. Obwody prądu stałego i zmiennego 4 lutego 4 Krzysztof Korona Plan wykładu Wstęp. Prąd stały. Podstawowe pojęcia. Prawa Kirchhoffa. Prawo Ohma ().4 Przykłady prostych
Bardziej szczegółowoElektrodynamika. Część 6. Elektrodynamika. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 6 Elektrodynamika Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 7 Elektrodynamika 3 7.1 Siła elektromotoryczna.................. 3
Bardziej szczegółowoII prawo Kirchhoffa Obwód RC Obwód RC Obwód RC
II prawo Kirchhoffa algebraiczna suma zmian potencjału napotykanych przy pełnym obejściu dowolnego oczka jest równa zeru klucz zwarty w punkcie a - ładowanie kondensatora równanie ładowania Fizyka ogólna
Bardziej szczegółowoFizyka 2 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
Fizyka w poprzednim odcinku Obliczanie natężenia pola Fizyka Wyróżniamy ładunek punktowy d Wektor natężenia pola d w punkcie P pochodzący od ładunku d Suma składowych x-owych wektorów d x IĄGŁY ROZKŁAD
Bardziej szczegółowoElektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa
Elektrostatyka Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa 1 Potencjał pola elektrycznego Energia potencjalna zależy od (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:
Bardziej szczegółowoII. Elementy systemów energoelektronicznych
II. Elementy systemów energoelektronicznych II.1. Wstęp. Główne grupy elementów w układach impulsowego przetwarzania mocy: elementy bierne bezstratne (kondensatory, cewki, transformatory) elementy przełącznikowe
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC
Podstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Układ RC
Bardziej szczegółowoPOMIARY CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ IMPEDANCJI ELEMENTÓW R L C
ĆWICZENIE 4EMC POMIARY CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ IMPEDANCJI ELEMENTÓW R L C Cel ćwiczenia Pomiar parametrów elementów R, L i C stosowanych w urządzeniach elektronicznych w obwodach prądu zmiennego.
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne
Rozdział 7 Fale elektromagnetyczne 7.1 Prąd przesunięcia. II równanie Maxwella Poznane dotąd prawa elektrostatyki, magnetostatyki oraz indukcji elektromagnetycznej można sformułować w czterech podstawowych
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 4 Magnetostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 5 Magnetostatyka 3 5.1 Siła Lorentza........................ 3 5.2 Prawo
Bardziej szczegółowoDrgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)
Bardziej szczegółowo30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY
30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY Magnetyzm Indukcja elektromagnetyczna Prąd przemienny Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod
Bardziej szczegółowoKsięgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki
Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki Spis treści Przedmowa... 11 Wstęp: Czym jest elektrodynamika i jakie jest jej miejsce w fizyce?... 13 1. Analiza wektorowa... 19 1.1. Algebra
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 2 6. Indukcja magnetyczna
Podstawy fizyki sezon 2 6. Indukcja magnetyczna Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Dotychczas
Bardziej szczegółowoZad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m.
Segment B.XIV Prądy zmienne Przygotowała: dr Anna Zawadzka Zad. 1 Obwód drgający składa się z pojemności C = 4 nf oraz samoindukcji L = 90 µh. Jaki jest okres, częstotliwość, częstość kątowa drgań oraz
Bardziej szczegółoworezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym
Lekcja szósta poświęcona będzie analizie zjawisk rezonansowych w obwodzie RLC. Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC przy którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie. W stanie rezonansu przesunięcie
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 2 6. Równania Maxwella
Podstawy fizyki sezon 2 6. Równania Maxwella Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Dotychczas pokazaliśmy:
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ELEKTRONIKI
WSTĘP DO ELEKTONIKI Część II Podstawowe elementy elektroniczne dwójniki bierne LC Formalizm zespolony opisu napięć i prądów harmonicznie zmiennych w czasie impedancja Źródła napięcia i prądu Przekazywanie
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA II. 4. Indukcja elektromagnetyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA II 4. Indukcja elektromagnetyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ PRAWO INDUKCJI FARADAYA SYMETRIA W FIZYCE
Bardziej szczegółowoFala elektromagnetyczna prowadzona wzdłuż pojedynczego przewodu
napisał Michał Wierzbicki Fala elektromagnetyczna prowadzona wzdłuż pojedynczego przewodu Problem rozchodzenia się fali elektromagnetycznej wzdłuż pojedynczego przewodu został rozwiązany w sposób ścisły
Bardziej szczegółowoTeoria pola elektromagnetycznego
Teoria pola elektromagnetycznego Odpowiedzialny za przedmiot (wykłady): prof. dr hab. inż. Stanisław Gratkowski Ćwiczenia i laboratoria: dr inż. Krzysztof Stawicki ks@zut.edu.pl e-mail: w temacie wiadomości
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoWielkości opisujące sygnały okresowe. Sygnał sinusoidalny. Metoda symboliczna (dla obwodów AC) - wprowadzenie. prąd elektryczny
prąd stały (DC) prąd elektryczny zmienny okresowo prąd zmienny (AC) zmienny bezokresowo Wielkości opisujące sygnały okresowe Wartość chwilowa wartość, jaką sygnał przyjmuje w danej chwili: x x(t) Wartość
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrodynamiki / David J. Griffiths. - wyd. 2, dodr. 3. Warszawa, 2011 Spis treści. Przedmowa 11
Podstawy elektrodynamiki / David J. Griffiths. - wyd. 2, dodr. 3. Warszawa, 2011 Spis treści Przedmowa 11 Wstęp: Czym jest elektrodynamika i jakie jest jej miejsce w fizyce? 13 1. Analiza wektorowa 19
Bardziej szczegółowo2.Rezonans w obwodach elektrycznych
2.Rezonans w obwodach elektrycznych Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie podstawowych właściwości szeregowych i równoległych rezonansowych obwodów elektrycznych. 2.1. Wiadomości ogólne 2.1.1
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne. Gradient pola. Gradient pola... Gradient pola... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek 2013/14
dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2013/14 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Gradient pola Gradient funkcji pola skalarnego ϕ przypisuje każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace
Bardziej szczegółowoIndukcyjność. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Indukcyjność Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 2019 Indukcyjność Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Powszechnie stosowanym urządzeniem, w którym wykorzystano zjawisko indukcji elektromagnetycznej
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoIndukcja wzajemna. Transformator. dr inż. Romuald Kędzierski
Indukcja wzajemna Transformator dr inż. Romuald Kędzierski Do czego służy transformator? Jest to urządzenie (zwane też maszyną elektryczną), które wykorzystując zjawisko indukcji elektromagnetycznej pozwala
Bardziej szczegółowoIndukcja elektromagnetyczna. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Indukcja elektromagnetyczna Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strumień indukcji magnetycznej Analogicznie do strumienia pola elektrycznego można
Bardziej szczegółowoFIZYKA 2. Janusz Andrzejewski
FIZYKA wykład 7 Janusz Andrzejewski Niedoceniany geniusz Nikola Tesla Nikola Tesla wynalazł (lub znakomicie ulepszył) większość urządzeń, które spowodowały to, że prąd zmienny wyparł z naszych domów prąd
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoPodstawy elektromagnetyzmu. Wykład 2. Równania Maxwella
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 2 Równania Maxwella Prawa Maxwella opisują pola Pole elektryczne... to zjawisko występujące w otoczeniu naładowanych elektrycznie obiektów lub jest skutkiem zmiennego
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ
Ćwiczenie 4 WYZNCZNE NDUKCYJNOŚC WŁSNEJ WZJEMNEJ Celem ćwiczenia jest poznanie pośrednich metod wyznaczania indukcyjności własnej i wzajemnej na podstawie pomiarów parametrów elektrycznych obwodu. 4..
Bardziej szczegółowoX L = jωl. Impedancja Z cewki przy danej częstotliwości jest wartością zespoloną
Cewki Wstęp. Urządzenie elektryczne charakteryzujące się indukcyjnością własną i służące do uzyskiwania silnych pól magnetycznych. Szybkość zmian prądu płynącego przez cewkę indukcyjną zależy od panującego
Bardziej szczegółowoPracownia fizyczna i elektroniczna. Wykład 1. 9 marca Krzysztof Korona
Pracownia fizyczna i elektroniczna Wykład. Obwody prądu stałego i zmiennego 9 marca 5 Krzysztof Korona Plan wykładu Wstęp. Prąd stały. Podstawowe pojęcia. Prawa Kirchhoffa. Prawo Ohma ().4 Przykłady prostych
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe
Bardziej szczegółowoPracownia fizyczna i elektroniczna. Wykład marca Krzysztof Korona
Pracownia fizyczna i elektroniczna Wykład. Obwody prądu stałego i zmiennego 8 marca 0 Krzysztof Korona Plan wykładu Wstęp. Prąd stały. Podstawowe pojęcia. Prawa Kirchhoffa,. Prawo Ohma ().4 Przykłady prostych
Bardziej szczegółowoFizyka 2 Wróbel Wojciech
Fizyka w poprzednim odcinku 1 Prawo Faradaya Fizyka B Bd S Strumień magnetyczny Jednostka: Wb (Weber) = T m d SEM B Siła elektromotoryczna Praca, przypadająca na jednostkę ładunku, wykonana w celu wytworzenia
Bardziej szczegółowoElektrostatyka, cz. 1
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 3 Elektrostatyka, cz. 1 Prawo Coulomba F=k q 1 q 2 r 2 1 q1 q 2 Notka historyczna: 1767: John Priestley - sugestia 1771: Henry Cavendish - eksperyment 1785: Charles Augustin
Bardziej szczegółowoPrądy wirowe (ang. eddy currents)
Prądy wirowe (ang. eddy currents) Prądy można indukować elektromagnetycznie nie tylko w przewodnikach liniowych, ale również w materiałach przewodzących o dowolnym kształcie i powierzchni, jeżeli tylko
Bardziej szczegółowoWspółczynniki pojemności
napisał Micał Wierzbicki Współczynniki pojemności Rozważmy układ N przewodników. Powierzcnia każdego z nic jest powierzcnią ekwipotencjalną: ϕ i = const, i = 1,,..., N. W obszarze między przewodnikami
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM OBWODÓW I SYGNAŁÓW
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Instytut Radioelektroniki Zakład Radiokomunikacji WIECZOROWE STUDIA ZAWODOWE LABORATORIUM OBWODÓW I SYGNAŁÓW Ćwiczenie Temat: OBWODY PRĄDU SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO Opracował: mgr
Bardziej szczegółowoLaboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 8
Laboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 8 Analiza właściwości zmiennoprądowych materiałów i elementów elektronicznych I. Zagadnienia do przygotowania:. Wykonanie i przedstawienie
Bardziej szczegółowo- Strumień mocy, który wpływa do obszaru ograniczonego powierzchnią A ( z minusem wpływa z plusem wypływa)
37. Straty na histerezę. Sens fizyczny. Energia dostarczona do cewki ferromagnetykiem jest znacznie większa od energii otrzymanej. Energia ta jest tworzona w ferromagnetyku opisanym pętlą histerezy, stąd
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoMagnetyzm cz.ii. Indukcja elektromagnetyczna Równania Maxwella Obwody RL,RC
Magnetyzm cz.ii Indukcja elektromagnetyczna Równania Mawella Obwody RL,RC 1 Indukcja elektromagnetyczna Prawo indukcji Faraday a Co się stanie gdy przewodnik elektryczny umieścimy w zmiennym polu magnetycznym?
Bardziej szczegółowoBADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC
Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia
Bardziej szczegółowoPrąd d zmienny. prąd zmienny -(ang.:alternating current, AC) prąd elektryczny, którego natężenie zmienia się w czasie.
Prąd d zmienny prąd zmienny -(ang.:alternating current, AC) prąd elektryczny, którego natężenie zmienia się w czasie. 1 Oś wartości natężenia prądu Oś czasu 2 Definicja natężenia prądu zmiennego i dq =
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoPomiar indukcyjności.
Pomiar indukcyjności.. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodami pomiaru indukcyjności, ich wadami i zaletami, wynikającymi z nich błędami pomiarowymi, oraz umiejętnością ich właściwego
Bardziej szczegółowoIndukcja elektromagnetyczna
Rozdział 6 ndukcja elektromagnetyczna 6.1 Zjawisko indukcji elektromagnetycznej 6.1.1 Prawo Faraday a i reguła Lenza W rozdziale tym rozpatrzymy niektóre zagadnienia, związane ze zmiennymi w czasie polami
Bardziej szczegółowoRezonator prostopadłościenny
napisał Michał Wierzbicki Rezonator prostopadłościenny Rozważmy prostopadłościan o bokach a > b > d (pusty w środku), którego scianki wykonane są z idealnego przewodnika. Wewnątrz takiego rezonatora będziemy
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoKolokwium 2. Środa 14 czerwca. Zasady takie jak na pierwszym kolokwium
Fizyka Kolokwium Środa 14 czerwca Zasady takie jak na pierwszym kolokwium 1 Fizyka w poprzednim odcinku Prawo Faradaya Fizyka B Bd S Strumień magnetyczny Jednostka: Wb (Weber) = T m d SEM dt B Siła elektromotoryczna
Bardziej szczegółowoMAGNETYZM, INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. Zadania MODUŁ 11 FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY
MODUŁ MAGNETYZM, INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA OPRACOWANE W RAMACH PROJEKTU: FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA. PROGRAM NAUCZANIA FIZYKI Z ELEMENTAMI TECHNOLOGII
Bardziej szczegółowoIndukcja elektromagnetyczna Faradaya
Indukcja elektromagnetyczna Faradaya Ryszard J. Barczyński, 2017 Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Po odkryciu Oersteda zjawiska
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Fale elektromagnetyczne
Rozdział 8. Fale elektromagnetyczne 208 Spis treści Widmo fal elektromagnetycznych Równanie falowe Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych Wektor Poyntinga Podsumowanie z indukcji EM i fal EM Zadania
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoLaboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych
ĆWICZENIE 1 Badanie obwodów jednofazowych rozgałęzionych przy wymuszeniu sinusoidalnym Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest Poznanie podstawowych elementów pasywnych R, L, C, wyznaczenie ich wartości na
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoRównania Maxwella. Wstęp E B H J D
Równania Maxwella E B t, H J D t, D, B 0 Równania materiałowe B 0 H M, D 0 E P, J E, gdzie: 0 przenikalność elektryczną próżni ( 0 8854 10 1 As/Vm), 0 przenikalność magetyczną próżni ( 0 4 10 7 Vs/Am),
Bardziej szczegółowo