R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

Transkrypt

1 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił: P P 0 ( + i) P 2 P ( + i) P 3 P 2 ( + i) P 4 P 3 ( + i) P 5 P 4 ( + i) P 6 P 4 ( + i) P k Zuwżmy, że n koniec szóstego roku zyski z polis są większe niż strty wynikłe z kosztów kwizycji. Ztem jeśli m dojść do spdku poniżej to nstąpi to n koniec piątego roku. Złożę więc, że P i wyznczę P 0 : P P , 333 P , 84 P , 563 P , 776 P , Zdnie 2. Kredyt w wysokości udzielony n okres 20 lt może być spłcony n d sposoby rtmi płtnymi n końcu roku. ozwiąznie. Treść zdni jest sformułown mocno niejsno. Omówię njpierw dokłdnie możliwe plny spłty. Sposób. Spłty w pierwszym dziesięcioleciu wynoszą, rt wynosi 0, 9, 2 rt wynosi 0, 9 2 itd. Sposób 2. Pierwsz spłt jest w wysokości. W pierwszym dziesięcioleciu k-t spłt wynosi k + (k ) P, gdzie P jest pewną stłą. Pondto widomo, że 0, ztem 9P. Z powyższego: v 0 0, 9 k v k k v k + v 0 0 Z pierwszego równni otrzymuję 32475, Dlej mm: P k v k + v 0 0 ( 9P + (k )P )v k + v 0 0 (k 0)v k + ( + v 0 ) 0

2 Co dje orz 9P P 3 05 ( + v 0 ) 0 0 (k 0)v k 240, 7595 Zdnie 3. Portfel inwestycyjny zwier nstępujące rodzje instrumentów finnsowych ozwiąznie. Niech d, d 2, d 3, d 4 oznczją durtion odpowiednich obligcji (w tkiej kolejności jk są wymienine w treści zdni. Niech pondto x, x 2, x 3, x 4 oznczją udziły w portfelu odpowiednich obligcji, gdzie Wówczs: 22 x i P V i P V + P V 2 + P V 3 + P V 4 dl i, 2, 3, 4 4 P V P V 2 P V 4 d k x k 24, 27 d + d 2 + d 4 P V + P V 2 + P V 3 P V + P V 2 + P V 3 P V + P V 2 + P V 3 Korzystjąc z oznczeń x i drugą równość mogę zpisć jko: 24, 27 x x + x 2 + x 3 d + x 2 x + x 2 + x 3 d , 27(x + x 2 + x 3 ) x d + x 2 d 2 + x 4 d 4 Podstwijąc powyższe do pierwszej równości: 22 x 3 d , 27(x + x 2 + x 3 ) ( ) x 4 x + x 2 + x 3 d 4 Wyznczę durtion d 3, uwzględnijąc fkt, że wycen jest dokonywn po stopie YTM, czyli P V 3 N, gdzie N jest nominłem: d 3 Mm dlej: 25 k6%nvk + 25Nv 25 (I) N 25 0, v 25 3, 55 ( ) 3, 55x 3 +24, 27(x +x 2 +x 3 ) 24, 27(x + +x 4 ) 0, 72x 3 24, 27 0, 72x 3 Co dje x 3 2, %. Zdnie 4. Wiedząc, że n n b wskż, który z poniższych wzorów wyrż (I) n. ozwiąznie. Mm, że: 2n b n v t dt n 0 0 n 2n v t dt + v t dt n + v n n ( + v n ) n 2

3 Z powyższego: Wyznczę terz dokłdnie δ i n: esumując: b ( + v n ) b + exp( δn) δn ln orz δ b n ln b n exp( δn) δ ln n 2 b orz δ 2 b (I) n n nvn δ ) 2 ln( ( ln ( ) exp ln n ln ) 3 3 ln 2 b 3 (2 b) 3 ln (b ) (2 b) 2 (3 b 4 ) ln 3 b (2 b) 2 Zdnie 5. Zkłd ubezpieczeń mjątkowych prowdzi dziłlność od styczni 2006 roku. ozwiąznie. Zdnie 6. Cen rynkow P pewnego instrumentu dłużnego spełni równnie różniczkowe: dp di 0v(I) v2 gdzie v jest czynnikiem dyskontującym dl stopy i YTM. Wyzncz wrtość P tego instrumentu dl i YTM 7%, jeżeli dl i YTM 5% wynosi on 62. 3

4 ozwiąznie. Cłkując stronmi równnie różniczkowe otrzymuję: P i k k ( + i) k 2000 ( + i) di 2000 ( + i) k+ 2 di di ( + i) 2 k k ( + i) k ( + i) 20 + C ( + i) k + 00 ( + i) 20 + C v 20 + C Wiedząc, że dl i 5% cen wynosi 62 otrzymuję, że C 0 orz cen dl 7% wynosi 32. Zdnie 7. N rynku finnsowym dny jest instrument pochodny typu europejskiego X zpdjący z 5 lt od dziś. ozwiąznie. Z informcji o cenie obligcji zerokuponowej mm, że dyskonto 5-letnie zleży od zmiennej Y i jest równe exp( 0, 2Y ). Cen instrumentu pochodnego jest zdyskontowną funkcj wypłty ztem: Cen EV 5 exp( 0, 2Y ) mx(2(2y 00) 300, 0) exp( 0, 38y) exp( 0, 2y) dy mx(4y 500, 0) exp( 0, 5y) 60 dy 220 (4y 500) exp( 0, 5y)dy f(y) 4y 500 g (y) exp( 0, 5y) f (y) 4 g(y) 2 exp( 0, 5y) 220 ((4y 500)( 2 exp( 0, 5y)) ( 2 exp( 0, 5y))dy ( 760 exp( 0) 6(exp( 0) exp( 62, 5))) 60 4, 85 exp( 0) + 0, exp( 62, 5) 0, exp( 62, 5)( 48, 5 exp( 47, 5)) 25 Zdnie 8. Dny jest dyskretny proces X t, t 0,, 2, 3 opisujący zchownie rocznej stopy zmiennoprocentowej. 4

5 ozwiąznie. Zdnie 9. Dwuletni obligcj korporcyjn o nominle 000 i kuponie 8% płtnym rocznie jest wycenin w momencie emisji n 08 PLN. ozwiąznie. Z informcji o obligcjch rządowych mm, że stop roczn w obu przypdkch (jedno bądź dwuletnich obligcji)wynosi 5%, gdyż jeśli cen zkupu równ się wrtości nominlnej to YTM równ się stopie kuponowej. Obliczę przy jkiej stopie jest wycenin obligcj korporcyjn: 08 80v + 080v 2 v 0, 9345 v, 0086 odrzucmy i 7% Stąd nrzut n ryzyko wynosi 7% 5% 2%. Zdnie 0. ozwżmy nstępujący model wyceny obligcji, w którym: ozwiąznie. Aby zchowć brk rbitrżu portfel skłdjący się z x i obligcji zpdlnych w i-tym roku, i, 2, 3, 4 nie może dć zysku bez ryzyk. Ztem w kżdym z możliwych scenriuszów nic nie zrobimy. Ztem: 0, 9x + 0, 8x 2 + 0, 729x 3 + 0, 666x 4 0 x + 0, 87x 2 + 0, 75x 3 + 0, 7x 4 0 x + 0, 9x 2 + 0, 8x 3 + 0, 75x 4 0 x + 0, 96x 2 + 0, 95x 3 + xx 4 0 x + 0, 9x 2 + 0, 8x 3 + 0, 74x 4 0 x + 0, 87x 2 + 0, 75x 3 + 0, 7x 4 0 x + 0, 9x 2 + 0, 8x 3 + 0, 75x 4 0 x + 0, 96x 2 + 0, 95x 3 + xx 4 0 Odejmując stronmi trzecie równnie od pierwszego mm, że x 3 x 4, co dje: x + 0, 87x 2 +, 45x 3 0 x + 0, 9x 2 +, 55x 3 0 x + 0, 96x 2 + (0, 95 + x)x 3 0 Odejmując stronmi pierwsze dw otrzymuję x 3 0, 3x 2, co dje: { x + 0, 435x 2 0 x + 0, 96x 2 0, 3(0, 95 + x)x 2 0 Z pierwszego otrzymuję x 0, 435x 2, wstwijąc do drugiego i skrcjąc x 2 otrzymuję x 0, 8. 5