Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Transkrypt

1 Strona 1 z 27 Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego. Alicja Rzeszótko Wiesław Kosek Waldemar Popiński Seminarium Sekcji Dynamiki Ziemi Komitetu Geodezji PAN Wybrane problemy dynamiki Ziemi Józefosław, września 2006

2 Strona 2 z 27 1 Dane 3 2 Metody wyznaczania zmian fazy Metoda najmniejszych kwadratów Transformata falkowa FTBPF+CD FTBPF+HT CD+FTLPF Metody wyznaczania zmian okresu Okres z maksimum modułu transformaty falkowej Okres ze zmian fazy Metody wyznaczania zmian okresu zdudnienia oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego Okres zdudnienia ze zmian okresu oscylacji Chandlera i rocznej Okres zdudnienia z długości łuku polhodii Okres zdudnienia z długości promienia polhodii Wnioski 25 6 Cele pracy 26

3 1. Dane Strona 3 z 27 Rys. 1: Współrzędne bieguna ziemskiego w latach Linia ciągła: średnie przemieszczenie bieguna w latach

4 Strona 4 z 27 Rys. 2: Współrzędne bieguna ziemskiego otrzymane poprzez połączenie danych IERS EOPC01( ) oraz EOPC04( ).

5 Strona 5 z Metody wyznaczania zmian fazy 2.1. Metoda najmniejszych kwadratów Dopasowanie modelu do współrzędnych bieguna ziemskiego z przedziału o danej długości, przesuwającego się wzdłuż całego przedziału czasowego danych. Dane: Model: ẑ(t) = + + z(t) = x(t) iy(t) kołowa oscylacja Chandlera {}}{ A Ch (t)e i(ω Cht+ϕ Ch (t)) + eliptyczna oscylacja roczna {}}{ A An x (t) cos(ω An t + ϕ An x (t)) ia An y (t) sin(ω An t + ϕ An y (t)) + eliptyczna oscylacja półroczna {}}{ A Sa x (t) cos(ω Sa t + ϕ Sa x (t)) ia Sa y (t) sin(ω Sa t + ϕ Sa y (t)) ω Ch = 2π 434, ω An = 2π , ω Sa = 2π

6 2.2. Transformata falkowa W (t, T ) = 1 + f(t )ψ( t t T T )dt f - sygnał ψ - falka podstawowa t - parametr translacji T - parametr dylatacji Strona 6 z 27 ψ(t) = e t2 2 e itσ - falka podstawowa Morleta σ - parametr sterujący rozdzielczością czasowo-częstotliwościową Dla ustalonego okresu T mean : A(t) = C abs[w (t, T mean )] ϕ(t) = arg[w (t, T mean )] φ(t) = ϕ(t) 2πt T mean

7 Strona 7 z FTBPF+CD Wyznaczenie oscylacji o centralnej częstotliwości ω 0 przez zastosowanie filtru środkowoprzepustowego transformaty Fouriera: gdzie G(ω, ω 0 ) = x(t, ω 0 ) = F T 1 [F T (x(t)) G(ω, ω 0 )], 1 (ω ω 0 ) 2 /λ 2 dla ω ω 0 λ 0 dla ω ω 0 > λ jest paraboliczną funkcją przenoszenia, zaś λ - parametrem sterującym rozdzielczością częstotliwościową. Pomnożenie oscylacji x(t, ω 0 ) przez zespoloną sinusoidę o centralnej częstotliwości ω 0 : z(t, ω 0 ) = x(t, ω 0 )e iω 0t A(t) = abs[z(t, ω 0 )] ϕ(t) = arg[z(t, ω 0 )]

8 2.4. FTBPF+HT Wyznaczenie oscylacji o centralnej częstotliwości ω 0 przez zastosowanie filtru środkowoprzepustowego transformaty Fouriera. Utworzenie szeregu zespolonego, którego część rzeczywistą stanowi wyznaczona oscylacja, zaś część urojoną transformata Hilberta tej oscylacji: z(t, ω 0 ) = x(t, ω 0 ) + i H[x(t, ω 0 )]. Strona 8 z 27

9 2.5. CD+FTLPF Pomnożenie sygnału x(t) przez sinusoidę zespoloną o częstotliwości ( ω 0 ): x(t, ω 0 ) = x(t) e iω 0t Filtracja uzyskanego sygnału x(t, ω 0 ) przy użyciu filtru dolnoprzepustowego transformaty Fouriera: Strona 9 z 27 gdzie z(t, ω 0 ) = F T 1 [F T (x(t, ω 0 )) G(ω)], G(ω) = 1 ω 2 /λ 2 dla ω λ 0 dla ω > λ jest paraboliczną funkcją przenoszenia, zaś λ - połową szerokości okna (λ > π/n).

10 Strona 10 z 27 Rys. 3: Faza oscylacji Chandlera

11 Strona 11 z 27 Rys. 4: Faza oscylacji rocznej (współrzędna x)

12 Strona 12 z 27 Rys. 5: Faza oscylacji rocznej (współrzędna y)

13 Strona 13 z Metody wyznaczania zmian okresu 3.1. Okres z maksimum modułu transformaty falkowej Niech A(t, T ) = abs[w (t, T )]. Wówczas dla danego momentu czasu t okres oscylacji dominującej T (t) określamy jako T (t) = argmax[a(t, T )], gdzie T [T mean ɛ, T mean + ɛ].

14 Strona 14 z 27 Rys. 6: Moduł transformaty falkowej Morleta (σ = 3.5).

15 Strona 15 z 27 Rys. 7: Okres oscylacji rocznej wyznaczony z widma transformaty falkowej Morleta dla różnych wartości parametru σ.

16 Strona 16 z 27 Rys. 8: Okres oscylacji rocznej (u góry) oraz Chandlera (u dołu) wyznaczony z widma transformaty falkowej Morleta dla σ = 3.5.

17 3.2. Okres ze zmian fazy W ruchu harmonicznym dla dowolnego momentu czasu t pomiędzy fazą, częstością kołową i okresem zachodzą następujące zależności: ω(t) = dϕ(t) dt T (t) = 2π ω(t) które pozwalają na wyznaczenie zmian okresu oscylacji dominującej na podstawie znanych zmian fazy tej oscylacji. Strona 17 z 27

18 Strona 18 z 27 Rys. 9: Okres oscylacji Chandlera wyznaczony ze zmian fazy

19 Strona 19 z 27 Rys. 10: Okres oscylacji rocznej wyznaczony ze zmian fazy

20 Strona 20 z Metody wyznaczania zmian okresu zdudnienia oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego 4.1. Okres zdudnienia ze zmian okresu oscylacji Chandlera i rocznej Jeżeli dla danego momentu czasu t, znamy wartość okresu oscylacji Chandlera T Ch (t) i okresu oscylacji rocznej T An (t), wówczas wartość okresu zdudnienia tych oscylacji dla tego momentu czasu możemy wyznaczyć ze wzoru: 1 T (t) = 1 T An (t) 1 T Ch (t) 4.2. Okres zdudnienia z długości łuku polhodii Innym sposobem na wyznaczenie okresu zdudnienia oscylacji Chandlera i rocznej jest znalezienie okresu oscylacji dominującej w szeregu czasowym długości łuku polhodii.

21 Znając wartości współrzędnych bieguna ziemskiego w momentach czasu t oraz (t 1) długość łuku polhodii wyznaczamy ze wzoru: L t = (x t x t 1 ) 2 + (y t y t 1 ) 2, t = 1, 2,..., n. Strona 21 z Okres zdudnienia z długości promienia polhodii Znając średnie położenie bieguna ziemskiego x m t, yt m w momencie czasu t oraz aktualne położenie bieguna x t, y t w tym czasie, można obliczyć długość promienia polhodii: R t = (x t x m t ) 2 + (y t y m t ) 2, t = 1, 2,..., n. Okres oscylacji dominującej w szeregu czasowym R t jest okresem zdudnienia oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

22 Rys. 11: Długość łuku polhodii (z lewej) oraz promienia polhodii (z prawej) Strona 22 z 27 Rys. 12: Moduł transformaty falkowej Morleta długości łuku polhodii (z lewej) oraz promienia polhodii (z prawej) dla σ = 0.4.

23 Strona główna JJ II J I Strona 23 z 27 Rys. 13: Okres zdudnienia oscylacji Chandlera i rocznej

24 Tabela 1: Współczynnik korelacji pomiędzy okresem zdudnienia a okresem oscylacji rocznej (Chandlera) dla różnych wartości parametru σ. Strona 24 z 27 σ r(t beat, T An ) r(t beat, T Ch )

25 Strona 25 z Wnioski Omówione metody wyznaczania zmian fazy wykazują dużą zgodność. Metoda wyznaczania zmian okresu oscylacji z maksimum modułu transformaty falkowej jest bardzo czasochłonna ze względu na konieczność wyznaczenia dla każdego momentu czasu dużej liczby wspołczynników falkowych. W zmianach okresu otrzymanych z pierwszej pochodnej fazy po czasie występują oscylacje wysokoczęstotliwościowe ze względu na to, że operacja różniczkowania jest filtrem górnoprzepustowym. Błędy wyznaczania chwilowych faz, okresów lub częstości kołowych można częściowo wyeliminować poprzez przedłużenie szeregu czasowego o jego prognozę. Na zmiany okresu zdudnienia wpływają głównie zmiany okresu oscylacji rocznej.

26 Strona 26 z Cele pracy Badanie zależności pomiędzy okresem zdudnienia oscylacji rocznej i Chandlera we współrzędnych bieguna ziemskiego a zmianami fazy oscylacji rocznej w geofizycznej funkcji pobudzenia Wyjaśnienie przyczyn pobudzania oscylacji Chandlera Wyjaśnienie przyczyn powstawania błędów prognozowania parametrów orientacji Ziemi poprzez badanie zmian faz najbardziej energetycznych oscylacji

27 Strona 27 z 27 Rys. 14: Okres zdudnienia oscylacji rocznej i Chandlera we współrzędnych bieguna ziemskiego, zmiany amplitudy Chandlera oraz faza oscylacji rocznej w geofizycznej funkcji pobudzenia