Efekt naskórkowy (skin effect)

Transkrypt

1 Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia, co jest równoważne pominięciu efektu wypromieniowania energii przez przewód w postaci fali elektromagnetycznej. Gęstość prądu oraz natężenia pól elektrycznego i magnetycznego zapisujemy w formie zespolonej, z harmoniczną zależnością od czasu e iωt. Prawa Faraday a i Ampera dla pól wewnątrz przewodu wynoszą: H = ȷ = σ E, E = B = iωµµ 0 H (1) t gdzie σ przewodnictwo właściwe, µ względna przenikalność magnetyczna materiału, z którego wykonano przewód. Dla rotacji we współrzędnych cylindrycznych obowiązują następujące wzory: ( A ) z = A φ r + A φ r, ( A ) φ = A z φ Zakładając, że przewód skierowany jest wzdłuż osi z, równania (1) w układzie cylindrycznym można zapisać jako: H r + dh dr = σ E, de dr = iωµµ 0 H (3) gdzie H = H φ, E = E z. Różniczkując drugie z równań (3) po r, możemy zapisać równanie różniczkowe dla natężenia pola elektrycznego d 2 E dr r (2) de dr = iωµµ 0σ E (4) oznaczając q = iωµµ 0 σ = ϵ k, gdzie ϵ = i = e iπ/4, k = ωµµ 0 σ mamy d 2 E dr + 1 de 2 r dr + q2 E = 0 (5) Wprowadzając zmienną x = qr otrzymujemy równanie d 2 E dx + 1 de 2 x dx + E = 0 (6) Jest to równanie Bessela zerowego rzędu. Jego ogólnym rozwiązaniem jest kombinacja liniowa funkcji Bessela pierwszego i drugiego rodzaju A J 0 (x) + B Y 0 (x). Funkcję Bessela drugiego rodzaju Y 0 musimy odrzucić, ponieważ Y 0 (0) =. Pole 1

2 elektryczne na osi przewodu, dla r = 0, nie może być nieskończenie duże. Pole elektryczne wewnątrz przewodu wynosi więc E = C J 0 (qr) (7) gdzie C = const. Korzystając z drugiego z równań (3) możemy obliczyć natężenie pola magnetycznego wewnątrz przewodu H = σ q 2 de dr = σ q Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji Bessela J 0 (x) = J 1(x) otrzymujemy de dx (8) H = σ C q J 1(qr) (9) Na podstawie równań (3) można sprawdzić, że równanie różniczkowe dla H jest rzeczywiście równaniem Bessela rzędu 1. Zgodnie z całkową wersją prawa Ampera wartość natężenia pola magnetycznego na powierzchni przewodu powinna wynosić Stąd stała całkowania C wynosi H(a) = I (10) C = qi σ (11) Ostatecznie, natężenia pól elektrycznego i magnetycznego wewnątrz przewodu wynoszą E(r) = qi σ J 0 (qr), H(r) = I J 1 (qr) (12) Zgodnie z różniczkowym prawem Ohma gęstość prądu wewnątrz przewodu wynosi j(r) = σ E(r) = qi J 0 (qr) (13) Stosunek gęstości prądu wewnątrz przewodu do gęstości prądu na jego powierzchni, dla r = a 2

3 1 ka=1 ka=2 j(r) / j(a) ka= r / a 1 Rysunek 1: Wartość bezwględna gęstości prądu j(r) wewnątrz przewodu, w stosunku do jej wartości j(a) na powierzchni j(r) j(a) = J 0(qr) J 0 (qa) = J 0(ξ ϵka) J 0 (ϵka) (14) gdzie ξ = r/a < 1. Mamy do czynienia z funkcjami Bessela od zespolonego argumentu, co fizycznie oznacza, że w różnych odległościach od osi przewodu zależność gęstości prądu od czasu jest przesunięta w fazie. W argumencie funkcji Bessela występuje bezwymiarowa stała ka = ωµµ 0 σa, zależna od promienia przewodu a, częstości prądu ω oraz od stałych materiałowych σ i µ metalu, z którego wykonany jest przewód. Na rysunku 1 przedstawiono wartość bezwględną stosunku gęstości prądu wewnątrz przewodu do jej wartości na powierzchni, dla kilku wybranych wartości parametru ka. Można zauważyć, że dla dostatecznie dużych wartości ka, prąd praktycznie w całości płynie po powierzchni przewodu. Efekt ten zwany jest efektem naskórkowym (ang. skin effect). W poniższej tabelce przedstawiono wartości parametru ka, dla przewodu o średnicy 1 mm, dla wybranych częstotliwości prądu. Dla miedzi σ = 5, S/m, µ = 1. Dla stali σ = 1, S/m, µ =

4 f 50 Hz 10 khz 100 MHz miedź 0, stal Efekt naskórkowy ma duże znaczenie praktyczne w elektrotechnice. Dla prądów wysokiej częstotliwości opór przewodnika pochodzi w całości od cienkiej warstwy materiału na powierzchni. Ponieważ miedź i aluminium, z którego wykonywane są przewody elektryczne, mają tendencję do utleniania się, opór ten może być znacznie większy, niż wynikało by to z wartości przewodnictwa właściwego czystego metalu. Można także zauważyć, że większa część metalu wewnątrz przewodu nie bierze w ogóle udziału w przesyłaniu prądu elektrycznego, a zwiększanie średnicy przewodu nie prowadzi do zmniejszenia jego oporu. Dla prądów wysokiej częstotliwości stosuje się więc często przewód w postaci plecionki złożonej z wielu cienkich przewodów (niem. Litzdrat, ang. litzwire). Zależność impedancji przewodu od częstotliwości prądu Na podstawie wzorów (12) możemy napisać wyrażenie na zespolony wektor Poyntinga S = 1 2 E B S(r) = 1 2 E(r) B(r) = 1 2 = 1 2 I 2 () 2 σ qi σ J 0 (qr) J 0 (qr) J 1 (qr) 2 I J 1 (qr) = (15) J 1 (qa) Na powierzchni przewodu zespolony wektor Poyntinga jest skierowany do wewnątrz powierzchni i wynosi S(a) = 1 2 I 2 () 2 σ J 0 (qa) (16) Zgodnie z twierdzeniem Poyntinga strumień zespolonego wektora Poyntinga przez powierzchnię boczną A przewodu jest równy zespolonej mocy czynnej P i biernej Q wydzielanej wewnątrz przewodu S d A = P + iq (17) A 4

5 gdzie P = 1 2 I 2 R oraz Q = 1 2 I 2 ωl. Przy zaniedbaniu prądu przesunięcia moc bierna w przewodzie jest związana z energią pola magnetycznego, stąd impedancja przewodu ma charakter indukcyjny (jej część urojona jest większa od zera). Jeżeli wykonywać obliczenia w odniesieniu do jednostki długości przewodu, to całkę z wektora Poyntiga po powierzchni bocznej przewodu można zapisać jako A S d A = S(a) = I 2 4πa σ J 0 (qa) Zespolona impedancja przewodu na jednostkę długości wynosi więc Z(ω) = R + iωl = q σ J 0 (qa) (18) (19) Oznaczając przez R 0 = 1/(σπa 2 ) opór omowy przewodu na jednostkę długości, możemy ostatecznie napisać R + iωl = qa J 0 (qa) (20) R 0 2 Rysunek 2 przedstawia zależność oporu i indukcyjności przewodu w zależności od bezwymiarowego parametru ka = ωµµ 0 σa. Jak należało się spodziewać, dla bardzo niskich częstości prądu opór przewodu liczony na jednostkę długości wynosi R 0, a część urojona impedancji dąży do zera. Iloraz funkcji Bessela występujący w równaniu (20) dla małych argumentów można zapisać w przybliżeniu jako x J 0 (x) 2 J 1 (x) 1 x2 dla x 1 (21) 8 Stąd dla niskich częstotliwości R R 0, natomiast część urojona impedancji wynosi w przybliżeniu Mamy więc zależność iωl R 0 (qa)2 8 = 1 8 ωµµ 0 σa 2 (22) L R 0 8 µµ 0 σa 2 = µµ 0 8π = 0,5µ 10 7 H/m (23) Jest to tak zwana indukcyjność wewnętrzna przewodu, którą wcześniej wyznaczyliśmy obliczając energię W zgromadzoną w polu magnetostatycznym prądu stałego wewnątrz przewodu i porównując ją ze wzorem z elektrotechniki W = 1 2 LI2. 5

6 3 2 Z / R 0 R / R 0 1 ω L / R ka Rysunek 2: Zależność części rzeczywistej i urojonej impedancji przewodu od bezwymiarowego parametru ka. * * * Należy pamiętać, że dla bardzo wysokich częstotliwości prąd przesunięcia nie jest już do zaniedbania. Impedancja przewodu jest wówczas określona przez proces emisji fali elektromagnetycznej. Przewód pełni wówczas rolę anteny. Do obliczania impedancji można dalej stosować wzór (17), ale należy do niego wstawić wektor Poyntinga cylindrycznej fali elektromagnetycznej emitowanej przez przewód z prądem. 6