WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Transkrypt

1 WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość i inne. Do określeni wielkości wektorowej nie wystrcz podnie jednej liczby. Przykłdem tkiej wielkości jest sił. Aby ją określić, nleży podć wrtość bezwzględną, kierunek w przestrzeni orz zwrot. W ogólnym przypdku, by określić wektor, nleży znć: ) Wrtość bezwzględną wektor, zwną modułem lub długością, b) Kierunek, czyli prostą, n której leży wektor (linię dziłni), c) Zwrot, d) Punkt przyłożeni. Nie wszystkie wielkości wektorowe wymgją dl swego określeni podni wszystkich wymienionych cech. Z tego punktu widzeni rozróżnimy: wektory zczepione, wektory przesuwne lub ślizgjące się orz wektory swobodne. Wektory 1

2 Wektory, cd. Wektory - zczepione Do ich określeni wymgją podni wszystkich czterech cech. Wektorów tkich nie możn przemieszczć ni przesuwć. Wektory - przesuwne Są określone z pomocą modułu, zwrotu orz linii dziłni. Tkie wektory mogą być jedynie przesuwne wzdłuż prostych, n których leżą. Wektory - swobodne Są określone przez moduł, zwrot orz kierunek równoległy do ich linii dziłni. Ozncz to, że wektor swobodny możn dowolnie przemieszczć, równolegle do kierunku jego dziłni. W nszych rozwżnich będziemy zjmowć się wektormi swobodnymi. Grficznie wektory przedstwi się z pomocą odcink skierownego. Wektory 2

3 Wektory, cd. Oznczeni wektorów:, b, υ, F, b, υ, Oznczeni modułu:,, F Istotną włsnością wektorów jest to, że możn je skłdć (dodwć) zgodnie z regułą równoległoboku. Dodwnie i odejmownie wektorów ) sum - metod równoległoboku lub metod wieloboku N ogół: + b + b Wektory 3

4 Dodwnie i odejmownie wektorów, cd. b) różnic - różnicą wektorów i b jest tki wektor c, który dodny do wektor b dje wektor N ogół: b b Mnożenie wektor przez sklr b = b = α - sklr. Kierunki wektorów b i są zgodne. Zwrot: zgodny ze zwrotem, gdy α > 0, przeciwny zwrotowi, gdy α < 0. Wektory 4

5 Wersor Kżdy wektor możn przedstwić w postci = e e - wektor jednostkowy, wersor wektor (lub równowżnie = e ) Wersor jest wielkością bezwymirową: e = = Rzut wektor n oś Rzut wektor n oś jest sklrem, zdefiniownym jko = cosϕ l Rysunek przedstwi interpretcję geometryczną rzutu wektor n oś l. Rzut wektor n oś może być dodtni, ujemny lub równy zeru. Wektory 5

6 Wyrżenie wektor przez jego rzuty n osie ukłdu współrzędnych Wektor możn przedstwić w postci liniowej kombincji wersorów e x i e y : = e + e x x y y lub ogólnie: = e x x + e y y + e z z = x + y + z,, - skłdowe wektor x y z = x + y + z, = x y z Wektory 6

7 Wektor położeni Do określni położeni jkiegoś wybrnego punktu P w krtezjńskim ukłdzie współrzędnych xyz,, używny jest wektor położeni r r = xex + yey + zez r = x + y + z Iloczyn sklrny wektorów Iloczyn sklrny b zdefiniownym nstępująco: b = b cos Włściwości iloczynu sklrnego Jeśli α = π /2, to b = 0. Iloczyn sklrny jest: - przemienny: b = b, dwóch wektorów, i b, jest sklrem - rozdzielny względem dodwni: ( ) = = 2 2 b + c +... = b + c +... Wektory 7

8 Iloczyn sklrny wersorów osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni δδ ee = δ i k ik, δ ik - symbol Kronecker, δ ik 1 = 0 i= k i k Zleżność iloczynu sklrnego od skłdowych: b = xbx + yby + zbz Pondto możn pokzć, że: x = e x, y = e y, z = e z Iloczyn wektorowy wektorów Iloczynem wektorowym wektorów i b jest wektor c dny wzorem c = b sin n n - wersor normlny do płszczyzny, w której leżą wektory i b i tworzący z tymi wektormi ukłd prwoskrętny. Wektory 8

9 Iloczyn wektorowy wektorów, cd. c = b = b sin n Długość (moduł) wektor, będącego iloczynem wektorowym wektorów i b, jest liczbowo równ polu powierzchni równoległoboku rozpiętego n wektorch i b. c = b = b sin Dw sposoby zpisu iloczynu wektorowego: b lub [ b ] [ b] b Wektory 9

10 Iloczyn wektorowy wektorów, cd. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny b = b Iloczyn wektorowy jest rozdzielny względem dodwni b + c +... = b + c +... ( ) Iloczyny wektorowe wersorów osi ukłdu współrzędnych e x e x = e y e y = e z e z = 0 e x e y = e, z e e = e, e e = e y z x z x y Wektory 10

11 Pochodn wektor Rozwżmy wektor () t = exx() t + eyy() t + ezz() t e, e, e - stłe w czsie wersory osi ukłdu współrzędnych, x y z x(), t y(), t z() t - znne funkcje czsu. Anlizując grnicę odpowiedniego ilorzu różnicowego otrzymujemy d d d d dx d dy d dz = lim = ex + ey + ez dt t 0 t dt dt dt W fizyce często stosuje się kropkę nd literą symbolizującą wielkość dl oznczeni pochodnej tej wielkości po czsie dϕ ϕ, dt Np. wyrżenie 2 d ϕ 2, ϕ dt d d d d d x d y d d = ex + ey + ez dt dt dt dt d 2 d d dt d d, 2 dt z d możn zpisć jko = e x x + e y y + e z z Wektory 11