Elektrony i dziury.

Transkrypt

1 letrony i dziury. Jce.Szczyto@fuw.edu.pl Uniwersytet Wrszwsi 00

2 Podstwy modelu jednoeletronowego Twierdzenie Bloch ) ( ) ( ) ( 0 r r r V m p r u e r n ir n,, Jeśli potencjł jest periodyczny gdzie tzw. f. Bloch: ) ( ) ( R r V r V to rozwiązni równni Schrodinger Wetory sieci Brvis R r u r u n n,, mją postć: ) ( ) (,, r r n n ) ( ) ( ) ( ˆ, r e u i i r p ir n ), ( ), ( n n

3 Podstwy modelu jednoeletronowego Twierdzenie Bloch Przyłd: Ruch eletronu w potencjle periodycznym. ( r) u n, n, ( r) e ir n ( r) ( r), n,

4 Model pustej sieci Twierdzenie Bloch m m n ) ( ) ( ), ( 3 g l g hg i i g W pustej przestrzeni? Liczymy energię dl wetorów przesuniętych do pierwszej strefy Brillouine ' IstrefBrillouine ' ; ' ' ') ( : ' ') ( : ' ') ( : 0 m m m [hl]= 000, 00,00, 00, 00, wymir:

5 Podstwy modelu jednoeletronowego Twierdzenie Bloch ( n, ) ( n, ) Wrtości włsne energii są periodyczną funcją liczby wntowej. hg g l g3 Model prwie swobodnych eletronów dl fli płsiej w pustej przestrzeni energi od wetor flowego wyrż się wzorem: ( n, ) m g i ( ) i ( ) m

6 Podstwy modelu jednoeletronowego Twierdzenie Bloch ( n, ) ( n, ) Wrtości włsne energii są periodyczną funcją liczby wntowej. hg g l g3 Model prwie swobodnych eletronów dl fli płsiej w pustej przestrzeni energi od wetor flowego wyrż się wzorem: ( n, ) m g i ( ) i ( ) m

7 Podstwy modelu jednoeletronowego Twierdzenie Bloch ( n, ) ( n, ) Wrtości włsne energii są periodyczną funcją liczby wntowej. hg g l g3 Model prwie swobodnych eletronów dl fli płsiej w pustej przestrzeni energi od wetor flowego wyrż się wzorem: ( n, ) m g i ( ) i ( ) m Jest tzw. zreduown stref Brillouin. N grnicy strefy +/- /=p/ wrtości energii są zdegenerowne. W pustej przestrzeni?

8 Podstwy modelu jednoeletronowego Stref Brillouin ( n, ) ( n, ) Wrtości włsne energii są periodyczną funcją liczby wntowej. hg g l g3 Stref Brillouin w przestrzeni -wymirowej Stref Brillouin w przestrzeni -wymirowej, sieć uośnoątn. Stref Brillouin dl sieci ubicznej powierzchniowo centrownej (fcc). Ogrniczjące strefę ściny wdrtowe i sześcioątne pochodzą, odpowiednio, od puntów sieci odwrotnej typu (,0,0) i (,,).

9 Sieć prost 0,, ;,0, ; 3,,0; Pust sieć - fcc Sieć odwrotn do fcc to bcc N ćwiczenich rozwiązliśmy problem sieci odwrotnej do sieci fcc. Sieć odwrotn * 3 * * R,, ; R,, ; R,, ;

10 Pust sieć fcc. I stref Brillouine Sieć odwrotn do fcc to bcc Komór Vigner-Seitz

11 Pust sieć fcc. I stref Brillouine Sieć odwrotn do fcc to bcc Komór Vigner-Seitz R. Stępniewsi

12 Podstwy modelu jednoeletronowego Twierdzenie Bloch ), ( ), ( n n m n ), ( m ) ( ) ( x x Strutur psmow dl gzu eletronów swobodnych w sieci regulrnej prostej (stł sieci ), wierzchołi prbol mją wsźnii 3 g l g hg i i g [hl]= 000, 00,00, 00, 00, x

13 Model pustej sieci Twierdzenie Bloch m m n ) ( ) ( ), ( 3 g l g hg i i g Liczymy energię dl wetorów przesuniętych do pierwszej strefy Brillouine ' IstrefBrillouine ' ; '...,0,,0,0,, 0,0, ') ( : ' ') ( : 3 0 x m x m m 4 4 ') ( : x m x m 0,0,,0, 0,,0,0 ; 4

14 Model pustej sieci Twierdzenie Bloch m m n ) ( ) ( ), ( 3 g l g hg i i g Liczymy energię dl wetorów przesuniętych do pierwszej strefy Brillouine ' IstrefBrillouine ' ; ' [hl]= 000, 00,00, 00, 00, 00,00,00,00, 0,0,0,0,0,0,0,0 3 wymiry:...,0,,0,0,, 0,0, ') ( : ' ') ( : 3 0 x m x m m

15 Model pustej sieci Twierdzenie Bloch ( n, ) ( n, ) hg g l g3 ( n, ) m ( ) ( ) m g i i Strutur psmow dl gzu eletronów swobodnych w sieci regulrnej prostej (stł sieci ), wierzchołi prbol mją wsźnii [hl]= 000, 00,00, 00, 00, 00,00,00,00, x x x

16 Model pustej sieci Twierdzenie Bloch ( n, ) ( n, ) hg g l g3 ( n, ) m ( ) ( ) m g i i Strutur psmow dl gzu eletronów swobodnych w sieci regulrnej prostej (stł sieci ), wierzchołi prbol mją wsźnii [hl]= 000, 00,00, 00, 00, 00,00,00,00, 0,0,0,0,0,0,0,0 x W pustej przestrzeni? x x

17 R. Stępniewsi nergy Model pustej sieci Kierune [00] X Wve vector [00] X

18 R. Stępniewsi nergy Model pustej sieci Kierune [] L 4 [,,] Wve vector L

19 R. Stępniewsi nergy Model pustej sieci L= 0 00 X= 0

20 R. Stępniewsi Model pustej sieci Dimond, Sslow et l. PRL966

21 Model pustej sieci R. Stępniewsi

22 Podstwy modelu jednoeletronowego Twierdzenie Bloch Pojwi się przerw energetyczn n grnicy strefy Brillouin now współrzędn x x * cos * sin x x x

23 Podstwy modelu jednoeletronowego Twierdzenie Bloch Pojwi się przerw energetyczn n grnicy strefy Brillouin now współrzędn x x * cos * sin x x x

24 Podstwy modelu jednoeletronowego Twierdzenie Bloch Pojwi się przerw energetyczn n grnicy strefy Brillouin now współrzędn 4 6 psmo psmo psmo 8 x x * cos * sin x x x

25 Podstwy modelu jednoeletronowego Twierdzenie Bloch Poniewż funcj Bloch przesunięt o wetor sieci odwrotnej nie zmieni się to wygodnie jest przedstwić wynii tylo w I-szej strefie Brillouin. Trzeb wówczs numerowć psm energetyczne. Stn eletronu w ciele stłym zdny jest przez wetor flowy z I-szej strefy, numer psm orz rzut spinu. T. Stcewicz & A. Witowsi

26 Podstwy modelu jednoeletronowego Ms efetywn. Przybliżenie p ir r) u ( r) e ( n, n, Przybliżenie p Wetor nie jest pędem (mówimy, że jest qusi-pędem). pˆ ( r) i( i u ir ) e ( r), Funcj Bloch w równniu Schrodinger: n

27 Podstwy modelu jednoeletronowego Ms efetywn. Przybliżenie p Po uproszczeniu exp(ir): nergi n () woół =0: gdzie Jeśli rozwijmy woół estremum =0 liniowe w

28 Podstwy modelu jednoeletronowego Ms efetywn. Przybliżenie p nergi n () woół estremum: Przez nlogię do lsycznej zleżności energii inetycznej od pędu wprowdzmy tensor odwrotności msy efetywnej m - ij : Jeśli estremum energii jest w puncie (=0) to powierzchni stłej energii jest elipsoidą w przestrzeni, tór po sprowdzeniu do osi głównych m postć:

29 Podstwy modelu jednoeletronowego Ms efetywn. Przybliżenie p nergi n () woół estremum dl rysztłu jednoosiowego (np. N): Dl rysztłu ubicznego: tzw. psmo sferyczne W pobliżu estremum (np. punt (=0)) możemy ogrniczyć się do przybliżeni prbolicznego psmo prboliczne. W ogólności w zleżności energii od wetor flowego występują człony wyższego rzędu, tóre zostły zniedbne (wyższe rzędy rchunu zburzeń). W ogólności energi eletronu jest funcją słdowych wetor flowego =(,, 3 ). Powierzchni stłej energii w ogólnym przypdu może mieć sompliowny chrter, jej sztłt zleży od wszystich psm. Bdnie tensor msy efetywnej to jeden z głównych problemów fizyi cił stłego.

30 Podstwy modelu jednoeletronowego Ms efetywn. Przybliżenie p nergi n () woół estremum R. Stępniewsi

31 Podstwy modelu jednoeletronowego Strutur psmow cił stłych Przyłdy: D. Wsi.

32 Podstwy modelu jednoeletronowego Strutur psmow cił stłych Przyłdy:

33 Pust sieć fcc. I stref Brillouine Sieć odwrotn do fcc to bcc Komór Vigner-Seitz

34 Pust sieć fcc. I stref Brillouine Krzem i germn przerw sośn Krzem Si ermn e

35 Pust sieć fcc. I stref Brillouine Krzem i germn przerw sośn Krzem Si ermn e

36 Podstwy modelu jednoeletronowego Strutur psmow cił stłych Przyłdy: D. Wsi.

37 T. Stcewicz & A. Witowsi Twierdzenie Bloch letrony i dziury Zleżność () dl eletronu w ciele stłym różni się od zleżności dl eletronu swobodnego (próżni), poniewż eletron w rysztle stle oddziłuje z pozostłymi cząstmi ułdu eletronmi i jądrmi. ( p) mv p m ( p) c m c p ( p) letron w ciele stłym jest qusi-cząstą. Dlczego?

38 Co to jest? letrony i dziury Wetor nie jest pędem (mówimy, że jest qusi-pędem). pˆ ( r) i( i u ir ) e ( r), Wielość ħ m wymir pędu, le nie jest pędem poniewż funcj Bloch nie jest funcją włsną opertor pędu. jest liczbą wntow opisującą stny Bloch. n Prędość grupow d Vgr d V

39 letrony i dziury Co to jest? W oolicch estremum m V m d d V d d m m d d n n n n * * * * 0 (0) (0) V d d V gr Prędość grupow

40 Sił zewnętrzn letrony i dziury letron w ciele stłym zchowuje się inczej niż w próżni, poniewż oddziłuje z siecią rystliczną. d d V FVt Ft FVt F d dt Ms efetywn zchowuje się j zwył ms dv d d d d d F * dt dt d d dt d m F Prędość grupow d Vgr d V

41 ęstość stnów Wruni Born-Krmn letrony i dziury Jeśli nsz rysztł m sończone rozmiry zbiór wetorów jest sończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne wruni brzegowe i wtedy: Sończone rozmiry rysztłu L x, L y, L z Ψ postć funcji Bloch Ψ(x + L x,y,z) = Ψ(x, y + L y,z) = Ψ(x, y, z + L z ) L z e i x L x e e i i y z L L y z i 4 n 0,,,..., L L L i i i i Ly L x Stny te wyznczją w przestrzeni odwrotnej sitę o gęstości (V/π) 3 ęstość stnów n jednostę trójwymirowej przestrzeni 3

42 letrony i dziury Zjwiso termoeletryczne Seebec (8) N, K, Co, Al eletrony Zn, Cu, Au -??? Psmo prwie cłowicie zpełnione eletronmi. Ms efetywn ujemn. Jeden stn pusty. Cłowity pęd j ev i 0 i

43 letrony i dziury Kwzicząsti - dziury Sumryczny pseudopęd zpełnionego psm: Dl funcji oresowej f(r): omór elementrn Dl f(r = 0):

44 letrony i dziury Kwzicząsti - dziury Sumryczny pseudopęd zpełnionego psm: Ztem: Cłowity prąd: Przyspieszenie: Dl f(r = 0):

45 letrony i dziury Kwzicząsti - dziury Sumryczny pseudopęd zpełnionego psm: e h i i h Ms efetywn eletronu w pśmie wlencyjny jest ujemn. h h pry bez e pry bez e miejscu pustym w e h m m m v v v * * * Pseudopęd dziury:

46 letrony i dziury Kwzicząsti - dziury Dl opisni sumrycznych włściwości tych N- eletronów wprowdzmy pojęcie nowej wzicząsti -dziury. Dziur qusi cząst z dodtnią msą efetywną, tór opisuje włsności zbioru eletronów w ciele stłym o msie ujemnej z jednym stnem pustym. Jeśli f() pewn wielość fizyczn chrteryzując eletron o wetorze flowym to wrtość tej wielości dl dziury: dl psm w tórym bruje eletronu w stnie j Np. wetor flowy dziury: Np. prędość dziury:

47 letrony i dziury Kwzicząsti - dziury Dl opisni sumrycznych włściwości tych N- eletronów wprowdzmy pojęcie nowej wzicząsti -dziury. Dziur qusi cząst z dodtnią msą efetywną, tór opisuje włsności zbioru eletronów w ciele stłym o msie ujemnej z jednym stnem pustym. Np. prędość dziury:

48 Kwzicząsti - dziury letrony i dziury Dl opisni sumrycznych włściwości tych N- eletronów wprowdzmy pojęcie nowej wzicząsti -dziury. Dziur qusi cząst z dodtnią msą efetywną, tór opisuje włsności zbioru eletronów w ciele stłym o msie ujemnej z jednym stnem pustym. Pole eletryczne j j v h ev ev v ebez pry ew pustym miejscu ew pustym miejscu

49 Kwzicząsti - dziury Wyzncznie msy efetywnej: Rezonns cylotronowy letrony i dziury c eb m* e, J. inter

50 Przerw energetyczn Wyzncznie przerwy energetycznej: letrony i dziury D. Wsi.

51 Przerw energetyczn

52 Włsności psm f 0 Fermiony: e T B F letrony i dziury Prwdopodobieństwo obsdzeni stnu wntowego o energii F potencjł chemiczny letrony Dziury Triony (escytony nłdowne) f 0 Bozony: e T B F Polritony Fonony Mgnony scytony, biescytony Plzmony f 0 i e Rozłd Boltzmn: e T B F F F e F n U T i B TS Anyons np. composite fermions Slve fermions (chrgon, holon, spinon) = fermion+bozon w seprcji spin-łdune F

53 Teori psmow cił stłych. Przerw energetyczn

54 NRIA LKTRONÓW Teori psmow cił stłych. psmo puste psmo puste psmo puste psmo pełne psmo pełne psmo pełne metl półprzewodni izoltor J zobczyć przerwę?

55 Studni Kwntow AlAs As AlAs g g g

56 Studni Kwntow AlAs As AlAs AlAs As AlAs g g g

57 Studni Kwntow AlAs As AlAs

58 Studni Kwntow

59 Studni Kwntow eletrony dziury

60 Studni Kwntow eletrony hn dziury

61 Studnie Kwntowe Lsery półprzewodniowe