Równania różniczkowe cząstkowe - metoda Fouriera. Przykładowe rozwiązania i wskazówki

Transkrypt

1 INSTYTUT MATEMATYKI POLITECHNIKA KRAKOWSKA Dr Mrgret Wicik e-mi: Równni różniczkowe cząstkowe - metod Fourier. Przykłdowe rozwiązni i wskzówki zd.1. Wyznczyć funkcję opisującą drgni podłużne jednorodnego pręt o długości zmocownego n obu końcch, jeśi w chwii początkowej t = 0 ndno mu ksztłt u(0, x) = sin 2π x d x (0, ), po czym puszczono go nie ndjąc prędkości początkowej. Rozwiznie. Niech u : [0, + ) [0, ] R ozncz szukną funkcję. W obszrze Ω = (0, + ) (0, ) funkcj u spełni równnie różniczkowe 2 u t 2 u 2 2 = 0, (1) x2 gdzie 2 = E, E ozncz moduł sprężystości podłużnej (moduł Young), ρ gęstość mteriłu ρ pręt. Uwg. To smo równnie opisuje drgni poprzeczne struny, drgni podłużne beki orz drgni skrętne pręt. Inn jest wtedy tyko interpretcj współczynnik. Funkcj u spełni pondto wrunki początkowe orz wrunki brzegowe u(0, x) = sin 2π x d x (0, ), (2) u (0, x) t = 0 d x (0, ) (3) u(t, 0) = u(t, ) = 0 d t > 0. (4) Zgdnienie rozwiążemy metodą rozdzieeni zmiennych (Fourier). Szukmy rozwiązni postci podstwijąc do (1) otrzymujemy stąd u(t, x) = T (t)x(x) T (t)x(x) 2 T (t)x (x) = 0, T (t) T (t) = 2 X (x) X(x). (5) Funkcj po ewej stronie równości (5) zeży tyko od zmiennej x, zś po prwej stronie mmy funkcje zmiennej t. Skoro zchodzi równość d wszekich x, t, obie te funckje muszą mieć 1

2 stłą wrtość, oznczmy ją: ω 2. Otrzymujemy wtedy z (5) i z wrunków brzegowych (4) (zkłdjąc, że T 0), że funkcj X spełni równnie zwyczjne z wrunkmi brzegowymi zś funkcj T spełni równnie X + ω2 2 X = 0 (6) X(0) = 0, X() = 0, (7) T + ω 2 T = 0. (8) Równnie (6) jest równniem różniczkowym zwyczjnym, iniowym, o stłych współczynnikch, d którego równnie chrkterystyczne jest postci r 2 + ω2 2 = 0, stąd rozwiąznie ogóne równni (6) m postć X(x) = A sin ω x + B cos ω x, (9) gdzie A, B są dowonymi stłymi, które wyznczymy z wrunków (7). Minowicie, czyi X(0) = A sin ω 0 + B cos ω 0 = 0, X() = A sin ω + B cos ω = 0, B = 0, A sin ω = 0. Powyższy ukłd równń m nietrywine rozwiązni wtedy i tyko wtedy, gdy sin ω = 0, czyi d ω n = nπ, n N. Ztem otrzymujemy ciąg rozwiązń równni (6) X n (x) = A n sin nπ x, n N. (10) Funkcje (10) nzywmy postcimi drgń włsnych bo funkcjmi włsnymi. Stłą A n będziemy w dszym ciągu przyjmowć równą 1. Podobnie jk (6) rozwiązujemy równnie (8). T (t) = K cos ωt + L sin ωt. Podstwijąc wcześniej wyznczone ω n w miejsce ω otrzymujemy cły ciąg rozwiązń T n (t) = K n cos ω n t + L n sin ω n t d n N, przy czym stłe K n, L n wyznczymy z wrunków początkowych. 2

3 Otrzymiśmy ciąg rozwiązń równni (1), z których kżde spełni wrunki brzegowe (4) u n (t, x) = T n (t)x n (x) = (K n cos ω n t + L n sin ω n t) sin nπ x d n N. Z iniowości równni (1) rozwiązniem probemu (1), (4) jest również sum rozwiązń, tzn. u(t, x) = u n (t, x) = N koniec uwzgędnimy wrunki początkowe (2), (3) u(0, x) = przy czym w nszej sytucji (K n cos ω n t + L n sin ω n t) sin nπ x. K n sin nπ x = ϕ(x) d x (0, ), (11) u t (0, x) = L n ω n sin nπ x = ψ(x) d x (0, ), (12) ϕ(x) = sin 2π x, ψ(x) = 0. Funkcje ϕ, ψ rozwijmy w szereg Fourier wzgędem sinusów przy czym k n = 2 0 ϕ(x) = ψ(x) = ϕ(x) sin nπ xdx, k n sin nπ x, n sin nπ x, n = 2 0 ψ(x) sin nπ xdx. Porównując współczynniki w otrzymnych rozwinięcich i odpowiednio w (11), (12), otrzymujemy Osttecznie drgni pręt opisuje funkcj K 1 = 0, K 2 = 1, K 3 = K 4 =... = 0, L n = 0, n N. u(t, x) = cos 2π t sin 2π x. zd.2. Wyznczyć funkcję opisującą drgni podłużne jednorodnego pręt o długości o jednym końcu zmocownym i drugim swobodnym, który w chwii początkowej t = 0 zostł rozciągnięty siłą S i puszczony bez prędkości początkowej. Wskzówki Zdnie neży rozwiązć nogicznie jk zd.1. Wrunki brzegowe: 3

4 d końc zmocownego x = 0 d końc swobodnego x = u(t, 0) = 0, u (t, ) = 0. x Wrunki początkowe u(0, x) = S F E x, u (0, x) = 0, t gdzie E ozncz moduł sprężystości podłużnej, F poe przekroju pręt. Rozwiąznie: u(t, x) = S 2 ( ) 2 ( 1) n 1 2 (2n 1)π (2n 1)π sin x cos t. F E (2n 1)π 2 2 zd.3. Jednorodn bek o długości jest swobodnie podprt n obu końcch. Dne są funkcje ϕ, ψ : [0, ] R, przy czym w chwii początkowej t = 0 odchyenie beki w dowonym jej punkcie x [0, ] okreś funkcj ϕ, ntomist rozkłd prędkości opisuje funkcj ψ. Wyznczyć funkcję opisującą drgni poprzeczne beki d x (0, ), t > 0. Rozwiznie. Niech u : [0, + ) [0, ] R ozncz szukną funkcję. W obszrze Ω = (0, + ) (0, ) funkcj u spełni równnie różniczkowe (równnie drgń giętnych beki) 4 u x + 2 u 4 2 = 0, (13) t2 ρf gdzie =, E ozncz moduł Young, I powierzchniowy moment bezwłdności przekroju EI beki wzgędem osi poziomej, F powierzchnię przekroju, ρ gęstość mteriłu beki. Funkcj u spełni pondto wrunki początkowe orz wrunki brzegowe u(0, x) = ϕ(x) d x [0, ), (14) u (0, x) = ψ(x) t d x [0, ) (15) u(t, 0) = 2 u (t, 0) = 0 x2 d t > 0, (16) u(t, ) = 2 u (t, ) = 0 x2 d t > 0. (17) Zgdnienie rozwiążemy metodą rozdzieeni zmiennych (Fourier). Szukmy rozwiązni postci podstwijąc do (13) otrzymujemy u(t, x) = T (t)x(x) T (t)x (4) (x) + 2 T (t)x(x) = 0, stąd X (4) X = 2 T 4 T. (18)

5 Funkcj po ewej stronie równości (18) zeży tyko od zmiennej x, zś po prwej stronie mmy funkcje zmiennej t. Skoro zchodzi równość obie te funckje muszą mieć stłą wrtość, oznczmy ją λ 4. Otrzymujemy wtedy z (18) i z wrunków (16), (17), że funkcj X spełni równnie zwyczjne X (4) λ 4 X = 0 (19) z wrunkmi brzegowymi zś funkcj T spełni równnie X(0) = X() = X (0) = X () = 0, T + λ4 2 T = 0 (20) Równnie (19) jest równniem różniczkowym zwyczjnym, iniowym, o stłych współczynnikch, d którego równnie chrkterystyczne jest postci r 4 λ 4 = 0, stąd rozwiąznie ogóne tego równni m postć X(x) = A cos λx + B sin λx + Ce λx + De λx, Rozwiąznie to możn również zpisć równowżnie X(x) = A cos λx + B sin λx + Cch λx + Dsh λx, (21) gdzie funkcje ch, sh oznczją odpowiednio cosinus i sinus hiperboiczny, ch x = ex + e x 2, sh x = ex e x. 2 Uwzgędnijąc wrunki brzegowe, otrzymujemy gebrichny ukłd równń iniowych o niewidomych A, B, C, D B + D = 0, Bλ 2 + Dλ 2 = 0 A sin λ + B cos λ + Csh λ + Dch λ = 0, Aλ 2 sin λ λ 2 B cos λ + Cλ 2 sh λ + Dλ 2 ch λ = 0. Ukłd ten posid niezerowe rozwiąznie, jeśi wyzncznik λ 2 0 λ 2 sin λ cos λ sh λ ch λ = 0, λ 2 sin λ λ 2 cos λ λ 2 sh λ λ 2 ch λ czyi λ 4 sh λ sin λ = 0. Odrzucjąc trywine rozwiązni λ = 0, sh λ = 0, otrzymujemy sin λ = 0, czyi λ n = nπ d n N. 5

6 Ztem Mmy więc ciąg funkcji włsnych B n = D n = 0 d n N, C n = sin λ n sh λ n A sin nπ n = sh nπ A n = 0 d n N X n (x) = A n sin λ n x = A n sin nπ x. W dszym ciągu będziemy przyjmowć A n = 1. Funkcje X n nzywmy drgnimi włsnymi bo funkcjmi włsnymi rozwżnego zgdnieni. Z koei rozwiąznie równni (20) jest postci gdzie ω 2 rozwiązń = λ4. 2 T (t) = K cos ωt + L sin ωt, Podstwijąc wcześniej wyznczone λ n w miejsce λ otrzymujemy cły ciąg gdzie ω 2 n = λ4 n 2. Otrzymiśmy ciąg rozwiązń równni (13) T n (t) = K n cos ω n t + L n sin ω n t d n N, u n (t, x) = T n (t)x n (x) = (K n cos ω n t + L n sin ω n t) sin nπ x d n N. Z iniowości równni (13) jego rozwiązniem jest również sum rozwiązń, tzn. u(t, x) = u n (t, x) = (K n cos ω n t + L n sin ω n t) sin nπ x. (22) Rozwiąznie to sepłni wrunki brzegowe (16), (17). N koniec uwzgędnimy wrunki początkowe. Podstwijąc (14), (15) do (22) otrzymujemy u(0, x) = K n sin nπ x = ϕ(x) u t (0, x) = L n ω n sin nπ x = ψ(x) Funkcje ϕ, ψ rozwijmy w szereg Fourier według sinusów gdzie k n = 2 0 ϕ(x) = ψ(x) = ϕ(x) sin nπ xdx, k n sin nπ x, n sin nπ x, n = 2 0 d x (0, ), d x (0, ). ψ(x) sin nπ xdx. Porównując odpowiednie wyrzy w uzysknych rozwinięcich otrzymujemy K n = k n, L n = n ω n. 6

7 Osttecznie u(t, x) = (k n cos n2 π 2 2 t + 2 n n 2 π sin n2 π 2 nπ t) sin 2 2 x. zd.4. Jednorodn bek o długości jest utwierdzon n końcu x = 0, ntomist jej drugi koniec x = jest swobodnie podprty. Wyznczyć drgni włsne beki. Wskzówki Zdnie neży rozwiązć nogicznie jk zd.3. Wrunki brzegowe: d końc utwierdzonego x = 0 u(t, 0) = u (t, 0) = 0, x d końc swobodnego x = 2 u x (t, ) = 3 u (t, ) = 0. 2 x3 Postć drgń włsnych: X n (x) = (sh k n + sin k n )(ch k n x cos k n x) (ch k n + cos k n )(sh k n x sin k n x), gdzie k n jest rozwiązniem równni ch k n cos k n = 1, n N. zd.5. Rozwiązć zgdnienie brzegowe drgń poprzecznych membrny o ksztłcie prostokąt o bokch, b, npiętej i utwierdzonej n wszystkich bokch. Rozwiznie. Równnie drgń poprzecznych membrny [0, ] [0, b] jest postci gdzie w ozncz psjn w, tzn. 2 w t 2 2 w = 0, (23) w = 2 w x w y 2, w(t, x, y) ozncz przemieszczenie punktu membrny (x, y) [0, ] [0, b] w chwii t 0, zś = T, T jest siłą npinjącą n jednostkę długości obwodu, ρ to gęstość mteriłu membrny, ρh h jej grubość. Wrunki brzegowe d boków utwierdzonych: w(t, 0, y) = 0, w(t,, y) = 0 (bok równoegły do osi 0y), w(t, x, 0) = 0, w(t, y, b) = 0 (bok równoegły do osi 0x). Równnie rozwiążemy metodą rozdzieni zmiennych. ioczynu funkcji w(t, x, y) = T (t)v (x, y). Szukmy rozwiązni w postci 7

8 Wtedy równnie (23) przyjmuje postć czyi po rozdzieeniu zmiennych T (t)v (x, y) 2 T (t) V (x, y) = 0, 2 V (x, y) V (x, y) = T (t) T (t). (24) Poniewż funkcj po ewej stronie (24) zeży tyko od zmiennych x, y, zś prw stron (24) jest funkcją zmiennej t, równość d wszekich t, x, y zchodzi wtedy i tyko wtedy, gdy obie te funkcje są stłe. Niech będą równe ω 2. Wtedy (24) ozncz ukłd dwóch równń Ntomist wrunki brzegowe przymują postć ( ω ) 2 V (x, y) + V (x, y) = 0, (25) T (t) + ω 2 T (t) = 0. (26) V (0, y) = 0, V (, y) = 0, (27) V (x, 0) = 0, V (x, b) = 0. (28) Rozwiązni równni (25) poszukujemy w postci ioczynu funkcji zeżnych tyko od x i tyko od y V (x, y) = X(x)Y (y). (29) Podstwijąc do równni (25) i rozdziejąc zmienne otrzymujemy X (x) X(x) = Y (y) ( ω ) 2 Y (y) + Podobnie jk poprzednio powyższ równość zchodzi d wszekich x, y wtedy i tyko wtedy, gdy gdzie β i γ oznczją stłe, przy czym X (x) X(x) = β2, Y (y) Y (y) = γ2, Mmy więc dw równni zwyczjne, iniowe, drugiego rzędu ( ω ) 2 β 2 + γ 2 =. (30) X (x) + β 2 X(x) = 0, (31) Y (y) + γ 2 Y (y) = 0, (32) z wrunkmi brzegowymi, które po rozdzieeniu zmiennych przyjmują postć Równnie (31) m rozwiąznie ogóne postci X(0) = 0, X() = 0, (33) Y (0) = 0, Y (b) = 0. (34) X(x) = A sin βx + B cos βx, 8

9 przy czym stłe A, B dobiermy tk by spełnione były wrunki (33), tj. B = 0, A sin β + B cos β = 0. Ukłd ten posid niezerowe rozwiązni wtedy i tyko wtedy, gdy czyi sin β = 0, β = mπ, m N. Stąd β m = mπ. Mmy więc ciąg rozwiązń równni (31) X m (x) = A m sin mπ x. Anogicznie rozwiązujemy równnie (32) i otrzymujemy γ n = nπ b orz Y n (y) = C n sin nπ b y Podstwijąc otrzymne rozwiązni do (29) otrzymujemy rozwiąznie równni (25), które spełni wrunki brzegowe (27), (28), minowicie V mn (x, y) = sin mπ x sin nπ b y. Stłe A m, C n możemy wybrć tk, że A m C n = 1. Ntomist wrunek (30) przyjmuje postć (m ) 2 ( n ) 2. ω mn = π + b Z koei rozwiąznie równni (26) jest postci T (t) = K mn cos ω mn t + L mn sin ω mn t. Osttecznie rozwiąznie zgdnieni brzegowego wyrż się wzorem w(t, x, y) = m=1 (K mn cos ω mn t + L mn sin ω mn t) sin mπ x sin nπ b y, gdzie ω mn = π (m ) 2 + ( n b ) 2, m, n N. zd.6. Rozwiązć zgdnienie brzegowe drgń jednorodnej płyty prostokątnej o bokch, b swobodnie podprtej n wszystkich bokch. Rozwiznie. Zdnie rozwiążemy nogicznie jk zd.5. 9

10 Równnie drgń poprzecznych jednorodnej płyty [0, ] [0, b] jest postci D( 4 w x w 4 x 2 y + 4 w 2 y ) + w 4 µ 2 = 0, (35) t2 gdzie D ozncz wcową sztywność płyty n zginnie, µ gęstość płyty n jednostkę powierzchni. W równniu tym niewidom jest funkcj w : [0, ) [0, ] [0, b] R, przy czym w(t, x, y) interpretujemy jko przemieszczenie punktu płyty (x, y) [0, ] [0, b] w chwii t 0. Równnie (35) możn zpisć krótko w postci gdzie 2 w = 4 w x w 4 x 2 y + 4 w 2 y. 4 Wrunki brzegowe 2 w + µ D d brzegów swobodnie podprtych, równoegłych do osi 0y 2 w = 0, (36) t2 w(t, 0, y) = 0, w(t,, y) = 0, 2 w x (t, 0, y) + ν 2 w (t, 0, y) = 0, 2 y2 2 w x (t,, y) + ν 2 w (t,, y) = 0, 2 y2 t > 0, y [0, b], t > 0, y [0, b], d brzegów swobodnie podprtych, równoegłych do osi 0x w(t, x, 0) = 0, w(t, x, b) = 0, 2 w y (t, x, 0) + ν 2 w (t, x, 0) = 0, 2 x2 2 w y (t, x, b) + ν 2 w (t, x, b) = 0, 2 x2 t > 0, x [0, ], t > 0, x [0, ]. Równnie rozwiążemy metodą rozdzieni zmiennych. ioczynu funkcji w(t, x, y) = T (t)v (x, y). Wtedy równnie (36) przyjmuje postć Szukmy rozwiązni w postci stąd T (t)v (x, y) + D µ T (t) 2 V (x, y) = 0, D µ 2 V (x, y) V (x, y) = T (t) T (t). Funkcj po ewej stronie powyższej równości zeży od zmiennych x, y, zś po prwej stronie mmy funkcję tyko zmiennej t, skoro zchodzi równość, to obie funkcje muszą być stłe. Oznczmy tę stłą ω 2. Mmy wtedy ukłd dwóch równń 2 V (x, y) µω2 V (x, y) = 0, D (37) T (t) + ω 2 T (t) = 0, (38) 10

11 zś wrunki brzegowe przyjmują postć V (0, y) = 0, V (, y) = 0, V (x, 0) = 0, V (x, b) = 0, Funkcję włsną przewidujemy w postci V mn (x, y) = sin mπ 2 V (0, y) = 0, x2 2 V (, y) = 0, x2 2 V (x, 0) = 0, x2 2 V (x, b) = 0. x2 mπ x sin y, m, n N. b Funkcj t spełni wrunki brzegowe, po podstwieniu do równni (37) otrzymujemy wrunek Z koei rozwiąznie równni (38) m postć ωmn 2 = D ( (mπ ) 2 ( nπ ) ) µ b T (t) = K mn cos ω mn t + L mn sin ω mn t. Osttecznie rozwiąznie zgdnieni brzegowego wyrż się wzorem w(t, x, y) = m=1 (K mn cos ω mn t + L mn sin ω mn t) sin mπ x sin mπ b y. 11