(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej

Transkrypt

1 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego Założenia wstępne W rozdziale 3 wyazaliśmy twierdzenie (3.84) mówiące, ze dla funcji falowej uładu fizycznego będącej stanem własnym obserwabli  dyspersja wielości fizycznej, tórej odpowiada Â, znia. Jesli zaś stan uładu jest superpozycją stanów własnych Â, to wtedy σ2 (a) 0. Faty te omówimy teraz na przyładzie energii. Niech funcje ϕ 1 ( r) oraz ϕ 2 ( r) będą stanami własnymi hamiltonianu (niezależnego od czasu) uładu fizycznego Ĥϕ ( r) = E ϕ ( r), = 1, 2, E 1 E 2. (24.1) Hamiltonian jest operatorem hermitowsim, więc jego stany własne są ortogonalne i unormowane ϕ j ϕ = d 3 r ϕ j( r) ϕ ( r) = δ j. (24.2) Niech teraz funcja falowa rozważanego uładu będzie superpozycją ψ( r, t) = β 1 e iω 1t ϕ 1 ( r) + β 2 e iω 2t ϕ 2 ( r), (24.3) gdzie oznaczyliśmy ω = E /. Jest to więc superpozycja stanów stacjonarnych (patrz (2.57)). Współczynnii są ta dobrane, aby β β 2 2 = 1. (24.4) Funcja falowa ψ jest więc (zgodnie z (3.12)) unormowana. Gęstość prawdopodobieństwa ψ 2 wynosi ψ 2 = ψ ( r, t)ψ( r, t) = β 1 2 ϕ 1 ( r) 2 + β 2 2 ϕ 2 ( r) Re { β 1 β 2 e i(ω 1 ω 2 )t ϕ 1 ( r)ϕ 2 ( r) }, (24.5) co obliczmy identycznie ja we wzorze (2.36). Gęstość ta zawiera, ja należało oczeiwać, człon interferencyjny zależny od czasu poprzez różnicę faz sładniów superpozycji. Całując wyrażenie (24.5)) po całym zaresie zmienności argumentu r uzysamy jedynę (normowanie), bowiem funcje ϕ są ortonormalne. Celem naszych dalszych rozważań jest obliczenie dyspersji energii σ 2 (E) = ψ Ĥ2 ψ ψ Ĥ ψ 2. (24.6) a więc najpierw musimy obliczyć potrzebne elementy macierzowe hamiltonianu (wartości oczeiwane). S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 33

2 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej Obliczenia elementów macierzowych W zasadzie E = ψ Ĥ ψ możemy wypisać bez obliczeń. Wystarczy uzmysłowić sobie, że amplitudy β są amplitudami prawdopodobieństwa tego, że w wyniu pomiaru energii otrzymamy wartości równe E. Wobec tego od razu mamy E = β 1 2 E 1 + β 2 2 E 2. (24.7) Sprawdzimy jedna (dla ćwiczenia rachunowego) ten wyni. Z definicji wartości oczeiwanej E = ψ ( Ĥ ψ ) ) = β 1 e iω1t ϕ 1 + β 2 e iω2t ϕ 2 Ĥ (β 1 e iω1t ϕ 1 + β 2 e iω2t ϕ 2 = β 1 2 ϕ 1 Ĥ ϕ 1 + β 1β 2 e i(ω 1 ω 2 )t ϕ 1 Ĥ ϕ 2 + β 1 β 2 e i(ω 1 ω 2 )t ϕ 2 Ĥ ϕ 1 + β 2 2 ϕ 2 Ĥ ϕ 2. (24.8) Z ortonormalności stanów własnych hamiltonianu wynia, że ϕ j Ĥ ϕ = E ϕ j ϕ = E δ j, (24.9) więc człony mieszane w (24.8) zniają i dostajemy E = β 1 2 E 1 + β 2 2 E 2, (24.10) co jest oczywiście zgodne z wyniiem (24.7) uzysanym bezpośrednio z probabilistycznej interpretacji sładniów funcji falowej ψ. Drugi element macierzowy potrzebny do obliczenia dyspersji, tj. E 2 obliczamy w podobny sposób. Cała różnica polega na tym, że we wzorach (24.8) i (24.9) zamiast Ĥ trzeba wstawić Ĥ2, co wyproduuje E 2 zamiast E. Wobec tego E 2 = β 1 2 E β 2 2 E 2 2. (24.11) Dyspersja energii Mając już wartości oczeiwane E i E 2 łatwo wyliczamy dyspersję energii. Z (24.6) otrzymujemy σ 2 (E) = β 1 2 E β 2 2 E 2 2 ( β 1 2 E 1 + β 2 2 E 2 ) 2. (24.12) Proste wymnożenie prowadzi do σ 2 (E) = β 1 2 E 2 1 ( 1 β 1 2) + β 2 2 E 2 2 ( 1 β 2 2) 2 β 1 2 β 2 2 E 1 E 2. (24.13) Ponieważ z (24.4) wynia, że ( 1 β 1 2) = β 2 2 (i na odwrót), zatem σ 2 (E) = β 1 2 β 2 2 ( E E2 2 2 E 1E 2 ) = β 1 2 β 2 2( E 1 E 2 ) 2. (24.14) Widać więc, że σ 2 (E) > 0 jeśli tylo E 1 E 2. Możemy policzyć dyspersję energii również w inny sposób. Sorzystamy ze wzoru (3.83), w tórym podstawimy C = β e iωt dla = 1, 2, oraz C = 0 dla > 2. Ponadto weźmiemy a = E, bowiem rolę obserwabli  odgrywa teraz hamiltonian. Wobec tego z (3.83) otrzymujemy σ 2 (E) = 2 =1 E β 2 [ E 2 m=1 E m β m 2 ]. (24.15) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 34

3 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 35 Rozpisując najpierw sumę wewnętrzną, a potem zewnętrzną, dostajemy σ 2 (E) = E 1 β 1 2 [ E 1 E 1 β 1 2 E 2 β 2 2] + E 2 β 2 2 [ E 2 E 1 β 1 2 E 2 β 2 2] = β 1 2 β 2 2 (E 1 E 2 ) 2, (24.16) gdzie ponownie posłużyliśmy się relacją (24.4). Oczywiście uzysany w ten sposób wyni jest identyczny z uprzednim, tj. z (24.14). Energia uładu ma więc różną od zera dyspersję energii. Twierdzenie (3.84) nie jest spełnione. Stan ψ( r, t) nie jest stanem własnym hamiltonianu, mimo że jest superpozycją taich stanów. Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla funcji falowej będącej superpozycją stanów własnych dowolnej innej obserwabli ˆK. Wniosi będą taie same: ψ( r, t) nie będzie stanem własnym ˆK Pomiary i stany pośrednie Rozważmy pewien uład fizyczny, w tórym można oreślić dwie nieomutujące obserwable  i ˆB. Ponieważ są one nieprzemienne więc zbiory ich stanów własnych wyznaczają w przestrzeni stanów dwie różne bazy  a = α a { a } baza w H, (24.17a) ˆB b m = β m b m { b m } baza w H. (24.17b) Obie bazy są ortonormalne i zupełne a a = δ a a = ˆ1, (24.18a) b m b m = δ mm m b m b m = ˆ1. (24.18b) Przyjmujemy (dla prostoty rozważań), ze wartości własne obu obserwabli {α } i {β m } są niezdegenerowane Doświadczenie 1: dwa olejne pomiary Niech stan uładu, w pewnej chwili początowej, będzie dany wetorem ψ H. W ta przygotowanym uładzie doonujemy pomiaru obserwabli Â. W wyniu pomiaru, z prawdopodobieństwem P ( a ψ ) = a ψ 2 = ψ a a ψ = ψ P (a) ψ, (24.19) gdzie P (a) = a a jest operatorem rzutu na stan a, otrzymano wartość własną α obserwabli Â. Natychmiast po pomiarze nastąpiła taże reducja stanu ψ do stanu ψ P (a) = ψ pomiar α P (a) ψ a ψ = a a a ψ = a a ψ a ψ, (24.20) bo stan a jest z założenia unormowany. Czynni po prawej stronie (24.20) jest czynniiem fazowym, więc możemy napisać pomiar α ψ = a e iφ. (24.21) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 35

4 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 36 Podreślmy raz jeszcze, że po pomiarze  uład przeszedł (nastąpiła reducja stanu) do stanu (24.21) z prawdopodobieństwem (24.19). Tuż po pomiarze  doonujemy następnego pomiaru, lecz tym razem mierzymy obserwablę ˆB. Ważne jest, aby odstęp czasu pomiędzy pomiarami był mały, aby ewolucja czasowa (zgodna z równaniem Schrödingera) nie zdążyła w znaczący sposób zmienić stanu ψ. Wobec tego pomiar ˆB z prawdopodobieństwem (czynni fazowy e iφ nie ma tu znaczenia) P ( b m ψ ) = b m ψ 2 = b m a 2 = P ( b m a ), (24.22) da wartość własną β m obserwabli ˆB. Nastąpi taże (z tym samym prawdopodobieństwem) reducja stanu ψ ψ = b m e iθ. (24.23) Oba pomiary są całowicie niezależne. Stan ψ wystąpił po pomiarze  z prawdopodobieństwem P ( a ψ ). Prawdopodobieństwo łączne tego, że w wyniu pomiaru  otrzymano wartość α, zaś pomiar ˆB dał β m wynosi P ( b m a ψ ) = P ( b m a ) P ( a ψ ) = b m a 2 a ψ 2. (24.24) Prawdopodobieństwo to możemy taże zapisać za pomocą odpowiednich operatorów rzutowych w postaci P ( b m a ψ ) = ψ a a b m b m a a ψ = ψ P (a) P (b) m P (a) ψ (24.25) W uładzie doonano (szybo, jeden po drugim) pomiarów obserwabli  i ˆB, co spowodowało przejścia pomiar α a b m, (24.26) gdzie pominęliśmy czynnii fazowe. Prawdopodobieństwo całego procesu jest równe iloczynowi (24.24) prawdopodobieństw poszczególnych przejść. Zwracamy uwagę, że dzięi pomiarowi  stan pośredni został ustalony, zaszła bowiem reducja (24.21) Doświadczenie 2: bez stanu pośredniego Rozważmy znów ten sam uład fizyczny, przygotowany w tym samym stanie początowym ψ. Zbadamy teraz sytuację, w tórej od razu mierzymy obserwablę ˆB, pomijając pomiar pośredni obserwabli Â. W tym przypadu z prawdopodobieństwem P ( b m ψ ) = b m ψ 2 = ψ b m b m ψ = ψ P (b) m ψ, (24.27) otrzymano wartość własną β m obserwabli ˆB. Stan ψ uległ reducji (z tym samym prawdopodobieństwem) do stanu ψ = b m e iλm. (24.28) Zanalizujmy uważnie prawdopodobieństwo (24.27). Korzystamy z zupełności (24.18a) stanów własnych obserwabli Â, dzięi czemu mamy P ( b m ψ ) = ψ b m b m ψ = ψ ˆ1 b m b m ˆ1 ψ = ψ a a b m b m a a ψ. (24.29) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 36

5 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 37 W otrzymanej podwójnej sumie wyodrębnijmy te sładnii, w tórych =, otrzymamy wówczas P ( b m ψ ) = ψ a a b m b m a a ψ + ψ a a b m b m a a ψ = b m a 2 a ψ 2 + ψ a a b m b m a a ψ. (24.30) W pierwszym sładniu rozpoznajemy iloczyny prawdopodobieństw typu (24.24), tym samym piszemy P ( b m ψ ) = P ( b m a ψ ) { } człony interferencyjne = + P ( b m a ) P ( a ψ ) { } człony interferencyjne. (24.31) + Jest to bardzo ważny rezultat. Stany początowy i ońcowy są w obu doświadczeniach te same. Jedna prawdopodobieństwo obu esperymentów jest istotnie różne gdy nie oreślamy stanu pośredniego pojawiają się złożone wyrazy interferencyjne Dysusja Różnica prawdopodobieństw wyniów obu doświadczeń polega na tym, że w doświadczeniu pierwszym doonaliśmy pomiaru pośredniego (obserwabli Â). Zaburzenie uładu wywołane pomiarem  liwiduje człony interferencyjne i ustala stan pośredni a. W drugim doświadczeniu nie można powiedzieć, że uład "przechodzi" przez tai, czy inny stan a. Przed pomiarem obserwabli ˆB wszystie stany { a } są "możliwe", interferują ze sobą i stąd pojawia się drugi sładni wzoru (24.31). Uzysanie (ja w doświadczeniu pierwszym) informacji o stanie pośrednim niszczy ich spójność i człony interferencyjne nie pojawiają się. Sytuacja ta jest w pewnej mierze analogiczna do interferencyjnego doświadczenia Younga. Jeżeli oreślimy stan pośredni (tj. stwierdzimy przez tóry otwór przesłony przejdzie foton) to zniszczymy obraz interferencyjny na eranie. "Nieoreśloność" stanów pośrednich (tzn. sytuacja, gdy nie doonujemy pomiarów pozwalających je oreślić) ma więc zasadnicze znaczenie przy przewidywaniu wyniów doświadczeń. W mechanice lasycznej zawsze znamy stany pośrednie, bowiem w przypadu lasycznym nie ma czegoś taiego ja reducja stanu. Klasyczny pomiar nie załóca stanu uładu. W mechanice wantowej, ja poazaliśmy, sytuacja jest jedna zupełnie inna. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 37