(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej"

Transkrypt

1 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego Założenia wstępne W rozdziale 3 wyazaliśmy twierdzenie (3.84) mówiące, ze dla funcji falowej uładu fizycznego będącej stanem własnym obserwabli  dyspersja wielości fizycznej, tórej odpowiada Â, znia. Jesli zaś stan uładu jest superpozycją stanów własnych Â, to wtedy σ2 (a) 0. Faty te omówimy teraz na przyładzie energii. Niech funcje ϕ 1 ( r) oraz ϕ 2 ( r) będą stanami własnymi hamiltonianu (niezależnego od czasu) uładu fizycznego Ĥϕ ( r) = E ϕ ( r), = 1, 2, E 1 E 2. (24.1) Hamiltonian jest operatorem hermitowsim, więc jego stany własne są ortogonalne i unormowane ϕ j ϕ = d 3 r ϕ j( r) ϕ ( r) = δ j. (24.2) Niech teraz funcja falowa rozważanego uładu będzie superpozycją ψ( r, t) = β 1 e iω 1t ϕ 1 ( r) + β 2 e iω 2t ϕ 2 ( r), (24.3) gdzie oznaczyliśmy ω = E /. Jest to więc superpozycja stanów stacjonarnych (patrz (2.57)). Współczynnii są ta dobrane, aby β β 2 2 = 1. (24.4) Funcja falowa ψ jest więc (zgodnie z (3.12)) unormowana. Gęstość prawdopodobieństwa ψ 2 wynosi ψ 2 = ψ ( r, t)ψ( r, t) = β 1 2 ϕ 1 ( r) 2 + β 2 2 ϕ 2 ( r) Re { β 1 β 2 e i(ω 1 ω 2 )t ϕ 1 ( r)ϕ 2 ( r) }, (24.5) co obliczmy identycznie ja we wzorze (2.36). Gęstość ta zawiera, ja należało oczeiwać, człon interferencyjny zależny od czasu poprzez różnicę faz sładniów superpozycji. Całując wyrażenie (24.5)) po całym zaresie zmienności argumentu r uzysamy jedynę (normowanie), bowiem funcje ϕ są ortonormalne. Celem naszych dalszych rozważań jest obliczenie dyspersji energii σ 2 (E) = ψ Ĥ2 ψ ψ Ĥ ψ 2. (24.6) a więc najpierw musimy obliczyć potrzebne elementy macierzowe hamiltonianu (wartości oczeiwane). S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 33

2 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej Obliczenia elementów macierzowych W zasadzie E = ψ Ĥ ψ możemy wypisać bez obliczeń. Wystarczy uzmysłowić sobie, że amplitudy β są amplitudami prawdopodobieństwa tego, że w wyniu pomiaru energii otrzymamy wartości równe E. Wobec tego od razu mamy E = β 1 2 E 1 + β 2 2 E 2. (24.7) Sprawdzimy jedna (dla ćwiczenia rachunowego) ten wyni. Z definicji wartości oczeiwanej E = ψ ( Ĥ ψ ) ) = β 1 e iω1t ϕ 1 + β 2 e iω2t ϕ 2 Ĥ (β 1 e iω1t ϕ 1 + β 2 e iω2t ϕ 2 = β 1 2 ϕ 1 Ĥ ϕ 1 + β 1β 2 e i(ω 1 ω 2 )t ϕ 1 Ĥ ϕ 2 + β 1 β 2 e i(ω 1 ω 2 )t ϕ 2 Ĥ ϕ 1 + β 2 2 ϕ 2 Ĥ ϕ 2. (24.8) Z ortonormalności stanów własnych hamiltonianu wynia, że ϕ j Ĥ ϕ = E ϕ j ϕ = E δ j, (24.9) więc człony mieszane w (24.8) zniają i dostajemy E = β 1 2 E 1 + β 2 2 E 2, (24.10) co jest oczywiście zgodne z wyniiem (24.7) uzysanym bezpośrednio z probabilistycznej interpretacji sładniów funcji falowej ψ. Drugi element macierzowy potrzebny do obliczenia dyspersji, tj. E 2 obliczamy w podobny sposób. Cała różnica polega na tym, że we wzorach (24.8) i (24.9) zamiast Ĥ trzeba wstawić Ĥ2, co wyproduuje E 2 zamiast E. Wobec tego E 2 = β 1 2 E β 2 2 E 2 2. (24.11) Dyspersja energii Mając już wartości oczeiwane E i E 2 łatwo wyliczamy dyspersję energii. Z (24.6) otrzymujemy σ 2 (E) = β 1 2 E β 2 2 E 2 2 ( β 1 2 E 1 + β 2 2 E 2 ) 2. (24.12) Proste wymnożenie prowadzi do σ 2 (E) = β 1 2 E 2 1 ( 1 β 1 2) + β 2 2 E 2 2 ( 1 β 2 2) 2 β 1 2 β 2 2 E 1 E 2. (24.13) Ponieważ z (24.4) wynia, że ( 1 β 1 2) = β 2 2 (i na odwrót), zatem σ 2 (E) = β 1 2 β 2 2 ( E E2 2 2 E 1E 2 ) = β 1 2 β 2 2( E 1 E 2 ) 2. (24.14) Widać więc, że σ 2 (E) > 0 jeśli tylo E 1 E 2. Możemy policzyć dyspersję energii również w inny sposób. Sorzystamy ze wzoru (3.83), w tórym podstawimy C = β e iωt dla = 1, 2, oraz C = 0 dla > 2. Ponadto weźmiemy a = E, bowiem rolę obserwabli  odgrywa teraz hamiltonian. Wobec tego z (3.83) otrzymujemy σ 2 (E) = 2 =1 E β 2 [ E 2 m=1 E m β m 2 ]. (24.15) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 34

3 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 35 Rozpisując najpierw sumę wewnętrzną, a potem zewnętrzną, dostajemy σ 2 (E) = E 1 β 1 2 [ E 1 E 1 β 1 2 E 2 β 2 2] + E 2 β 2 2 [ E 2 E 1 β 1 2 E 2 β 2 2] = β 1 2 β 2 2 (E 1 E 2 ) 2, (24.16) gdzie ponownie posłużyliśmy się relacją (24.4). Oczywiście uzysany w ten sposób wyni jest identyczny z uprzednim, tj. z (24.14). Energia uładu ma więc różną od zera dyspersję energii. Twierdzenie (3.84) nie jest spełnione. Stan ψ( r, t) nie jest stanem własnym hamiltonianu, mimo że jest superpozycją taich stanów. Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla funcji falowej będącej superpozycją stanów własnych dowolnej innej obserwabli ˆK. Wniosi będą taie same: ψ( r, t) nie będzie stanem własnym ˆK Pomiary i stany pośrednie Rozważmy pewien uład fizyczny, w tórym można oreślić dwie nieomutujące obserwable  i ˆB. Ponieważ są one nieprzemienne więc zbiory ich stanów własnych wyznaczają w przestrzeni stanów dwie różne bazy  a = α a { a } baza w H, (24.17a) ˆB b m = β m b m { b m } baza w H. (24.17b) Obie bazy są ortonormalne i zupełne a a = δ a a = ˆ1, (24.18a) b m b m = δ mm m b m b m = ˆ1. (24.18b) Przyjmujemy (dla prostoty rozważań), ze wartości własne obu obserwabli {α } i {β m } są niezdegenerowane Doświadczenie 1: dwa olejne pomiary Niech stan uładu, w pewnej chwili początowej, będzie dany wetorem ψ H. W ta przygotowanym uładzie doonujemy pomiaru obserwabli Â. W wyniu pomiaru, z prawdopodobieństwem P ( a ψ ) = a ψ 2 = ψ a a ψ = ψ P (a) ψ, (24.19) gdzie P (a) = a a jest operatorem rzutu na stan a, otrzymano wartość własną α obserwabli Â. Natychmiast po pomiarze nastąpiła taże reducja stanu ψ do stanu ψ P (a) = ψ pomiar α P (a) ψ a ψ = a a a ψ = a a ψ a ψ, (24.20) bo stan a jest z założenia unormowany. Czynni po prawej stronie (24.20) jest czynniiem fazowym, więc możemy napisać pomiar α ψ = a e iφ. (24.21) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 35

4 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 36 Podreślmy raz jeszcze, że po pomiarze  uład przeszedł (nastąpiła reducja stanu) do stanu (24.21) z prawdopodobieństwem (24.19). Tuż po pomiarze  doonujemy następnego pomiaru, lecz tym razem mierzymy obserwablę ˆB. Ważne jest, aby odstęp czasu pomiędzy pomiarami był mały, aby ewolucja czasowa (zgodna z równaniem Schrödingera) nie zdążyła w znaczący sposób zmienić stanu ψ. Wobec tego pomiar ˆB z prawdopodobieństwem (czynni fazowy e iφ nie ma tu znaczenia) P ( b m ψ ) = b m ψ 2 = b m a 2 = P ( b m a ), (24.22) da wartość własną β m obserwabli ˆB. Nastąpi taże (z tym samym prawdopodobieństwem) reducja stanu ψ ψ = b m e iθ. (24.23) Oba pomiary są całowicie niezależne. Stan ψ wystąpił po pomiarze  z prawdopodobieństwem P ( a ψ ). Prawdopodobieństwo łączne tego, że w wyniu pomiaru  otrzymano wartość α, zaś pomiar ˆB dał β m wynosi P ( b m a ψ ) = P ( b m a ) P ( a ψ ) = b m a 2 a ψ 2. (24.24) Prawdopodobieństwo to możemy taże zapisać za pomocą odpowiednich operatorów rzutowych w postaci P ( b m a ψ ) = ψ a a b m b m a a ψ = ψ P (a) P (b) m P (a) ψ (24.25) W uładzie doonano (szybo, jeden po drugim) pomiarów obserwabli  i ˆB, co spowodowało przejścia pomiar α a b m, (24.26) gdzie pominęliśmy czynnii fazowe. Prawdopodobieństwo całego procesu jest równe iloczynowi (24.24) prawdopodobieństw poszczególnych przejść. Zwracamy uwagę, że dzięi pomiarowi  stan pośredni został ustalony, zaszła bowiem reducja (24.21) Doświadczenie 2: bez stanu pośredniego Rozważmy znów ten sam uład fizyczny, przygotowany w tym samym stanie początowym ψ. Zbadamy teraz sytuację, w tórej od razu mierzymy obserwablę ˆB, pomijając pomiar pośredni obserwabli Â. W tym przypadu z prawdopodobieństwem P ( b m ψ ) = b m ψ 2 = ψ b m b m ψ = ψ P (b) m ψ, (24.27) otrzymano wartość własną β m obserwabli ˆB. Stan ψ uległ reducji (z tym samym prawdopodobieństwem) do stanu ψ = b m e iλm. (24.28) Zanalizujmy uważnie prawdopodobieństwo (24.27). Korzystamy z zupełności (24.18a) stanów własnych obserwabli Â, dzięi czemu mamy P ( b m ψ ) = ψ b m b m ψ = ψ ˆ1 b m b m ˆ1 ψ = ψ a a b m b m a a ψ. (24.29) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 36

5 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 37 W otrzymanej podwójnej sumie wyodrębnijmy te sładnii, w tórych =, otrzymamy wówczas P ( b m ψ ) = ψ a a b m b m a a ψ + ψ a a b m b m a a ψ = b m a 2 a ψ 2 + ψ a a b m b m a a ψ. (24.30) W pierwszym sładniu rozpoznajemy iloczyny prawdopodobieństw typu (24.24), tym samym piszemy P ( b m ψ ) = P ( b m a ψ ) { } człony interferencyjne = + P ( b m a ) P ( a ψ ) { } człony interferencyjne. (24.31) + Jest to bardzo ważny rezultat. Stany początowy i ońcowy są w obu doświadczeniach te same. Jedna prawdopodobieństwo obu esperymentów jest istotnie różne gdy nie oreślamy stanu pośredniego pojawiają się złożone wyrazy interferencyjne Dysusja Różnica prawdopodobieństw wyniów obu doświadczeń polega na tym, że w doświadczeniu pierwszym doonaliśmy pomiaru pośredniego (obserwabli Â). Zaburzenie uładu wywołane pomiarem  liwiduje człony interferencyjne i ustala stan pośredni a. W drugim doświadczeniu nie można powiedzieć, że uład "przechodzi" przez tai, czy inny stan a. Przed pomiarem obserwabli ˆB wszystie stany { a } są "możliwe", interferują ze sobą i stąd pojawia się drugi sładni wzoru (24.31). Uzysanie (ja w doświadczeniu pierwszym) informacji o stanie pośrednim niszczy ich spójność i człony interferencyjne nie pojawiają się. Sytuacja ta jest w pewnej mierze analogiczna do interferencyjnego doświadczenia Younga. Jeżeli oreślimy stan pośredni (tj. stwierdzimy przez tóry otwór przesłony przejdzie foton) to zniszczymy obraz interferencyjny na eranie. "Nieoreśloność" stanów pośrednich (tzn. sytuacja, gdy nie doonujemy pomiarów pozwalających je oreślić) ma więc zasadnicze znaczenie przy przewidywaniu wyniów doświadczeń. W mechanice lasycznej zawsze znamy stany pośrednie, bowiem w przypadu lasycznym nie ma czegoś taiego ja reducja stanu. Klasyczny pomiar nie załóca stanu uładu. W mechanice wantowej, ja poazaliśmy, sytuacja jest jedna zupełnie inna. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 37

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

Postulaty mechaniki kwantowej

Postulaty mechaniki kwantowej 3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".

Bardziej szczegółowo

Stany stacjonarne w potencjale centralnym

Stany stacjonarne w potencjale centralnym 3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 149 Rozdział 14 Stany stacjonarne w potencjale centralnym 14.1 Postawienie problemu 14.1.1 Przypomnienie lasycznego problemu Keplera Rozważmy cząstę

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić

Bardziej szczegółowo

(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym

(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 3.10.2004 35. U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 131 Rozdział 35 U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 35.1 Niezmienniczość ze względu na W rozdziale 16 wspominaliśmy jedynie o podstawowych

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje położeniowa i pędowa

Reprezentacje położeniowa i pędowa 3.10.2004 9. Reprezentacje położeniowa i pędowa 103 Rozdział 9 Reprezentacje położeniowa i pędowa 9.1 Reprezentacja położeniowa Reprezentacja położeniowa jest szczególnie uprzywilejowana i najczęściej

Bardziej szczegółowo

A4: Filtry aktywne rzędu II i IV

A4: Filtry aktywne rzędu II i IV A4: Filtry atywne rzędu II i IV Jace Grela, Radosław Strzała 3 maja 29 1 Wstęp 1.1 Wzory Poniżej zamieszczamy podstawowe wzory i definicje, tórych używaliśmy w obliczeniach: 1. Związe między stałą czasową

Bardziej szczegółowo

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza

Bardziej szczegółowo

Notacja Diraca. Rozdział Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu

Notacja Diraca. Rozdział Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu 3.10.2004 7. Notacja Diraca 84 Rozdział 7 Notacja Diraca 7.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu Do tej pory posługiwaliśmy się postulatem, że stan układu fizycznego jest w mechanice kwantowej w pełni

Bardziej szczegółowo

( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego

( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego Chodzi o wyznaczenie pochodnych cząstowych funcji błędu E względem parametrów elementów uładu

Bardziej szczegółowo

Wykład 21: Studnie i bariery cz.1.

Wykład 21: Studnie i bariery cz.1. Wyład : Studnie i bariery cz.. Dr inż. Zbigniew Szlarsi Katedra Eletronii, paw. C-, po.3 szla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szlarsi/ 3.6.8 Wydział Informatyi, Eletronii i Równanie Schrödingera

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci

Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Ćwiczenie 4 - Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Strona 1/13 Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Spis treści 1.Cel ćwiczenia...2 2.Wstęp...2 2.1.Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym(o19)

4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym(o19) 256 Fale 4.15 Badanie dyfracji światła laserowego na rysztale oloidalnym(o19) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stałej sieci dwuwymiarowego ryształu oloidalnego metodą dyfracji światła laserowego. Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Zadanie Rozważmy następujący model strzelania do tarczy. Współrzędne puntu trafienia (, Y ) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednaowym rozładzie normalnym N ( 0, σ ). Punt (0,0) uznajemy za środe tarczy,

Bardziej szczegółowo

Równanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki

Równanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1)

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

(U.16) Dodawanie momentów pędu

(U.16) Dodawanie momentów pędu .0.004 7. (U.6) Dodawanie momentów pędu 5 Rozdział 7 (U.6) Dodawanie momentów pędu 7. Złożenie orbitalnego momentu pędu i spinu / 7.. Przejście do bazy sprzężonej W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy

Bardziej szczegółowo

Zaliczenie wykładu Technika Analogowa Przykładowe pytania (czas zaliczenia minut, liczba pytań 6 8)

Zaliczenie wykładu Technika Analogowa Przykładowe pytania (czas zaliczenia minut, liczba pytań 6 8) Zaliczenie wyładu Technia Analogowa Przyładowe pytania (czas zaliczenia 3 4 minut, liczba pytań 6 8) Postulaty i podstawowe wzory teorii obowdów 1 Sformułuj pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa Wyjaśnij

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyi i Informatyi Stosowanej Aademia Górniczo-Hutnicza Wyład 12 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Wykłady z Mechaniki Kwantowej Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 7 Jesteśmy uczniami w szkole natury i kształtujemy nasze pojęcia z lekcji na lekcję.

Bardziej szczegółowo

(U.6) Oscylator harmoniczny

(U.6) Oscylator harmoniczny 3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 47 Rozdział 7 U.6 Oscylator harmoniczny 7. Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg W głównej części wykładu rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu kwantowo-mechanicznego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,

Bardziej szczegółowo

Zasada nieoznaczoności

Zasada nieoznaczoności 3.10.2004 5. Zasada nieoznaczoności 63 Rozdział 5 Zasada nieoznaczoności 5.1 Formalna zasada nieoznaczoności 5.1.1 Średnie i dyspersje. Pojęcia wstępne Niech Â, ˆB oraz Ĉ będą operatorami hermitowskimi

Bardziej szczegółowo

Sygnały stochastyczne

Sygnały stochastyczne Sygnały stochastyczne Zmienne losowe E zbiór zdarzeń elementarnych (zbiór możliwych wyniów esperymentu) e E zdarzenie elementarne (wyni esperymentu) B zbiór wybranych podzbiorów zbioru E β B zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Postulaty mechaniki kwantowej

Postulaty mechaniki kwantowej Wyk lad 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1 wymiar Postulat Stan czastki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(x, t) zależna od po lożenia czastki x oraz czasu t. Interpretacje fizyczna ma jedynie kwadrat modu lu

Bardziej szczegółowo

(U.11) Obroty i moment pędu

(U.11) Obroty i moment pędu 3.10.2004 32. U.11) Obroty i moment pędu 96 Rozdział 32 U.11) Obroty i moment pędu 32.1 Wprowadzenie Obroty w przestrzeni R 3 są scharakteryzowane przez podanie osi obrotu, którą określa wektor jednostkowy

Bardziej szczegółowo

5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa

5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Modelu Standardowego

Wstęp do Modelu Standardowego Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

DSP-MATLAB, Ćwiczenie 5, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 5. Przemysław Korohoda, KE, AGH

DSP-MATLAB, Ćwiczenie 5, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 5. Przemysław Korohoda, KE, AGH DSP-MATLAB, Ćwiczenie 5, P.Korohoda, KE AGH Instrucja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie 5 Wybrane właściwości Dysretnej Transformacji Fouriera Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość

Bardziej szczegółowo

Relaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1

Relaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1 Relasaja Relasaja oznaza powrót uładu do stanu równowagi po zaburzeniu równowagi pierwotnej jaimś bodźem (wielośią zewnętrzną zmieniająą swoją wartość soowo, np. stężenie jednego z reagentów, iśnienie

Bardziej szczegółowo

KOLOKWIUM Z ALGEBRY I R

KOLOKWIUM Z ALGEBRY I R Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane

Bardziej szczegółowo

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) . Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Moment pędu fali elektromagnetycznej

Moment pędu fali elektromagnetycznej napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0

Bardziej szczegółowo

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa

Bardziej szczegółowo

x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:

x 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu: RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma

Bardziej szczegółowo

(U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie

(U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie 3.10.2004 31. (U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie 81 Rozdział 31 (U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie 31.1 Równanie Schrödingera i operator ewolucji 31.1.1 Podstawowe definicje Gdy układ

Bardziej szczegółowo

A. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna

A. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna A. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wsaźniami esploatacyjnymi eletronicznych systemów bezpieczeństwa oraz wyorzystaniem ich do alizacji procesu esplatacji z uwzględnieniem przeglądów

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Równanie Schrödingera

Równanie Schrödingera Fizyka 2 Wykład 3 1 Równanie Schrödingera Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną. Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 35: Elektroliza

Ćwiczenie nr 35: Elektroliza Wydział PRACOWNIA FIZYCZNA WFiIS AGH Imię i nazwiso 1.. Temat: Ro Grupa Zespół Nr ćwiczenia Data wyonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 35: Eletroliza Cel

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa Schrödingera

Mechanika kwantowa Schrödingera Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału

Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału Fizyka 2 Wykład 4 1 Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału Niezależne od czasu równanie Schödingera ma postać: 2 d ( x)

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne Rozwiązania zadań

Metody probabilistyczne Rozwiązania zadań Metody robabilistyczne Rozwiązania zadań 6. Momenty zmiennych losowych 8.11.2018 Zadanie 1. Poaż, że jeśli X Bn, to EX n. Odowiedź: X rzyjmuje wartości w zbiorze {0, 1,..., n} z rawdoodobieństwami zadanymi

Bardziej szczegółowo

Temat ćwiczenia: POMIARY W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO. A Lp. U[V] I[mA] R 0 [ ] P 0 [mw] R 0 [ ] 1. U 0 AB= I Z =

Temat ćwiczenia: POMIARY W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO. A Lp. U[V] I[mA] R 0 [ ] P 0 [mw] R 0 [ ] 1. U 0 AB= I Z = Laboratorium Teorii Obwodów Temat ćwiczenia: LBOTOM MD POMY W OBWODCH LKTYCZNYCH PĄD STŁGO. Sprawdzenie twierdzenia o źródle zastępczym (tw. Thevenina) Dowolny obwód liniowy, lub część obwodu, jeśli wyróżnimy

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Wykłady z Mechaniki Kwantowej Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na

Bardziej szczegółowo

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej Klasyczny

Bardziej szczegółowo

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F; Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie VI KATALIZA HOMOGENICZNA: ESTRYFIKACJA KWASÓW ORGANICZNYCH ALKOHOLAMI

Ćwiczenie VI KATALIZA HOMOGENICZNA: ESTRYFIKACJA KWASÓW ORGANICZNYCH ALKOHOLAMI Zjawisa powierzchniowe i ataliza Ćwiczenie VI ATALIZA HMGNIZNA: STYFIAJA WASÓW GANIZNYH ALHLAMI WPWADZNI stry wasów organicznych stanowią jedną z ważniejszych grup produtów przemysłu chemicznego, ta pod

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki

Wybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych

Bardziej szczegółowo

Równanie Schrödingera

Równanie Schrödingera Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]

Bardziej szczegółowo

R w =

R w = Laboratorium Eletrotechnii i eletronii LABORATORM 6 Temat ćwiczenia: BADANE ZASLACZY ELEKTRONCZNYCH - pomiary w obwodach prądu stałego Wyznaczanie charaterysty prądowo-napięciowych i charaterysty mocy.

Bardziej szczegółowo

Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A

Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz

Bardziej szczegółowo

Wstęp do komputerów kwantowych

Wstęp do komputerów kwantowych Obwody kwantowe Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Obwody kwantowe Bramki kwantowe 1 Algorytmy kwantowe 2 3 4 Algorytmy kwantowe W chwili obecnej znamy dwie obszerne

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II

Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II 1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność

Bardziej szczegółowo

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Metody omputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Soczonych Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Jest to najprostszy element: współrzdne loalne i globalne jego wzłów s taie same nie potrzeba

Bardziej szczegółowo

ZARYS METODY OPISU KSZTAŁTOWANIA SKUTECZNOŚCI W SYSTEMIE EKSPLOATACJI WOJSKOWYCH STATKÓW POWIETRZNYCH

ZARYS METODY OPISU KSZTAŁTOWANIA SKUTECZNOŚCI W SYSTEMIE EKSPLOATACJI WOJSKOWYCH STATKÓW POWIETRZNYCH Henry TOMASZEK Ryszard KALETA Mariusz ZIEJA Instytut Techniczny Wojs Lotniczych PRACE AUKOWE ITWL Zeszyt 33, s. 33 43, 2013 r. DOI 10.2478/afit-2013-0003 ZARYS METODY OPISU KSZTAŁTOWAIA SKUTECZOŚCI W SYSTEMIE

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze

Bardziej szczegółowo

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Wykłady

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Wykłady Materiały dydatyczne Matematya Semestr III Wyłady Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego - 70-500 Szczecin WIII RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU. Pojęcia wstępne. Równania różniczowe

Bardziej szczegółowo

Modelowanie przez zjawiska przybliżone. Modelowanie poprzez zjawiska uproszczone. Modelowanie przez analogie. Modelowanie matematyczne

Modelowanie przez zjawiska przybliżone. Modelowanie poprzez zjawiska uproszczone. Modelowanie przez analogie. Modelowanie matematyczne Modelowanie rzeczywistości- JAK? Modelowanie przez zjawisa przybliżone Modelowanie poprzez zjawisa uproszczone Modelowanie przez analogie Modelowanie matematyczne Przyłady modelowania Modelowanie przez

Bardziej szczegółowo

1 Płaska fala elektromagnetyczna

1 Płaska fala elektromagnetyczna 1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej

Bardziej szczegółowo

KWANTOWA SZTUCZNA SIEĆ NEURONOWA CZĘŚĆ 1. METODA I WYNIKI OBLICZEŃ

KWANTOWA SZTUCZNA SIEĆ NEURONOWA CZĘŚĆ 1. METODA I WYNIKI OBLICZEŃ POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS No 96 Electrical Engineering 2018 DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.96.0002 Jerzy TCHÓRZEWSKI *, Dariusz RUCIŃSKI * KWANTOWA SZTUCZNA SIEĆ NEURONOWA CZĘŚĆ

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie dipolowe

Promieniowanie dipolowe Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07) Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością

Bardziej szczegółowo

(U.19) Zaburzenia zależne od czasu

(U.19) Zaburzenia zależne od czasu 3.10.2004 40. (U.19) Zaburzenia zależne od czasu 194 Rozdział 40 (U.19) Zaburzenia zależne od czasu 40.1 Rachunek zaburzeń zależny od czasu Przedstawimy tu inny, bardziej elegancki choć i bardziej złożony

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PRZEPUSTOWOŚCI SIECI KOMPUTEROWYCH ZA POMOCĄ ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH

OPTYMALIZACJA PRZEPUSTOWOŚCI SIECI KOMPUTEROWYCH ZA POMOCĄ ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH OPTYMALIZACJA PRZEPUSTOWOŚCI SIECI KOMPUTEROWYCH ZA POMOCĄ ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH Andrzej SZYMONIK, Krzysztof PYTEL Streszczenie: W złożonych sieciach omputerowych istnieje problem doboru przepustowości

Bardziej szczegółowo

Pomiary napięć przemiennych

Pomiary napięć przemiennych LABORAORIUM Z MEROLOGII Ćwiczenie 7 Pomiary napięć przemiennych . Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie sposobów pomiarów wielości charaterystycznych i współczynniów, stosowanych do opisu oresowych

Bardziej szczegółowo

9. Sprzężenie zwrotne własności

9. Sprzężenie zwrotne własności 9. Sprzężenie zwrotne własności 9.. Wprowadzenie Sprzężenie zwrotne w uładzie eletronicznym realizuje się przez sumowanie części sygnału wyjściowego z sygnałem wejściowym i użycie zmodyiowanego w ten sposób

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Algebra liniowa z geometrią analityczną WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór

Bardziej szczegółowo

21 Symetrie Grupy symetrii Grupa translacji

21 Symetrie Grupy symetrii Grupa translacji 21 Symetrie 21.1 Grupy symetrii Spróbujmy odpowiedzieć sobie na pytanie, jak zmienia się stan układu kwantowego pod wpływem transformacji układu współrzędnych. Najprostszą taką transformacją jest np. przesunięcie

Bardziej szczegółowo

Wykład 13 Mechanika Kwantowa

Wykład 13 Mechanika Kwantowa Wykład 13 Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński mrow@if.pw.edu.pl Wydział Fizyki Politechnika Warszawska 25 maja 2016 Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 13 25 maja 2016 1 / 21 Wprowadzenie Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 13

Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś   Wykład 13 Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 13 Spis treści 19 Algorytmy kwantowe 3 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit)........... 3 19. Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Stacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła

Stacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła Stacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła autokorelacji Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl Instytut Podstaw Informatyki PAN autokorelacji p. 1/25 Zarys referatu Co to sa procesy

Bardziej szczegółowo

Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze

Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze Seminarium CFT p. 1/24 Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze Tomasz Sowiński 1 paździenika 2008 Seminarium CFT p. 2/24 Atom dwupoziomowy Hamiltonian Ĥ = Ĥ0 + ĤI Ĥ 0 = mσ z + 0 dk k a (k)a(k), Ĥ I

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia 1 Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia Piotr Szańkowski Ćwiczenia nr 3 : Podstawowy aparatu matematycznego mechaniki kwantowej I OPERATORY Operator to odwzorowanie  : V V, które działa na stan,

Bardziej szczegółowo