Prawdopodobieństwo i statystyka
|
|
- Bronisław Michalak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadanie Rozważmy następujący model strzelania do tarczy. Współrzędne puntu trafienia (, Y ) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednaowym rozładzie normalnym N ( 0, σ ). Punt (0,0) uznajemy za środe tarczy, zatem + Y jest odległością od środa. Oddano n niezależnych strzałów (, Y ),...,( n, Yn ). Oblicz wartość oczeiwaną odległości od środa najlepszego ze strzałów, czyli ( Y,..., n Yn ) E min + +. πσ n (B) πσ n πσ n σ n πσ n Wsazówa: Zmienna losowa min( + Y n + Y ) Można sorzystać z fatu, że ( / ),..., Γ 3 = π. n ma rozład wyładniczy.
2 Zadanie W urnie znajduje sie 0 ul Amarantowych, 0 ul Białych i 0 ul Czarnych. Losujemy bez zwracania ul. Niech A oznacza liczbę wylosowanych ul Amarantowych, B oznacza liczbę wylosowanych ul Białych, C oznacza liczbę wylosowanych ul Czarnych. Oblicz współczynni orelacji zmiennych losowych corr( A, B) A i B, (B) Wsazówa: Var ( A + B + C) = 0.
3 Zadanie 3 Wyonujemy rzuty ostą do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby ocze otrzymane w olejnych rzutach tworzą ciąg ściśle rosnący. 6 (B) 6 6 6! 6! 6! 3
4 Zadanie Dysponujemy danymi o liczbie szód zgłoszonych przez lientów,,..., w ciągu n lat. Niech S i (n) oznacza sumaryczną liczbę szód dla lienta numer i w ciągu n lat. Wiemy, że S ( n),..., S ( n) są niezależnymi zmiennymi o rozładzie Poissona. Mamy też pewne przypuszczenia dotyczące intensywności pojawiania się szód, czyli wartości oczeiwanych tych zmiennych, ale nie jesteśmy ich pewni. Weryfiujemy hipotezę statystyczną H : dla ażdego i =,...,, zmienna losowa (n) ma rozład Poissona z 0 parametrem nλ i. Hipotetyczne intensywności λ,...,λ są danymi, ustalonymi liczbami dodatnimi. Używamy pewnej odmiany testu chi-wadrat: obliczamy statystyę χ = i= ( Si( n) nλ i) nλ i Jai jest rozład graniczny tej statystyi, jeśli H jest prawdziwa i n?. χ 0 S i rozład χ z stopniami swobody (B) rozład χ z stopniami swobody pewien rozład prawdopodobieństwa mający gęstość, nie należący do rodziny rozładów χ. zdegenerowany rozład prawdopodobieństwa, supiony w puncie 0 rozład χ z n stopniami swobody
5 Zadanie 5 Rozważamy model K obietów obserwowanych przez T oresów czasu, gdzie zarówno K ja i T są dużymi liczbami. Przyjmujemy następujące założenia: dla ażdego =,,..., K oraz t =,,..., T warunowy rozład zmiennej losowej t, przy danej wartości zmiennej µ jest rozładem normalnym o wartości oczeiwanej i wariancji (,σ ) µ ; dla ażdego =,,..., K rozład zmiennej losowej µ jest rozładem normalnym o wartości oczeiwanej i wariancji ( µ,a ). Przyjmijmy typowe oznaczenia dla średnich obietowych i średniej ogólnej: T T = t,, =,,..., K, oraz =. T t= K t= Międzyobietową i wewnątrzobietową sumę wadratów odchyleń oznaczmy: K T K SSB = ( ), SSW = ( t, ) = t= = Wiadomo, że zmienne losowe SSB i SSW są niezależne, σ { } ( ) E SSB = K a +, E { SSW} = K( T ) σ T Dobierz stałą const ta, aby wartość oczeiwana wyrażenia: SSW σ const wyniosła. SSB a T + σ (B) const = const = const = const = T const = T K TK K TK K TK 3 ( T ) ( T ) ( T ) K ( K + )( T ) K ( K + )( T ) Uwaga (dopisana po egzaminie): Wyni stanowi podstawę onstrucji nieobciążonego estymatora współczynnia credibility z, a doładniej jego dopełnienia ( z). Wyni ten prowadzi do wniosu, że na zwięszenie precyzji predycji µ na drodze uwzględnienia danych o pozostałych grupach (collateral data) możemy liczyć dopiero wtedy, gdy liczba grup K wyniesie co najmniej. 5
6 Zadanie 6 Załóżmy, że,..., jest próbą z rozładu normalnego (, N µ σ ) o nieznanej wartości oczeiwanej i nieznanej wariancji, zaś jest zmienną losową z tego samego rozładu, niezależną od próbi. Interpretujemy zmienną jao olejną obserwację, tóra pojawi się w przyszłości, ale obecnie jest nieznana. Zbuduj,,przedział ufności [ L U ] = [ L(,..., ), U (,..., )] 5, 5 oparty na próbce,..., tai, że { } 95 Pr L (,..., ) 5 U (,..., ) = 0., przy tym żądamy, żeby przedział był symetryczny, tzn. tutaj oznaczeń: = =, = ( ) = i i S i i 3 ( L + U ) =.. Używamy (B) L = S, U = S L =. 59 S, U = S L = 3. 8 S, U = S L = 3. 0 S, U = S L = S, U = S 6
7 Zadanie 7 Niech,,..., 9 będzie próbą z rozładu normalnego N (µ,) o nieznanej wartości oczeiwanej i znanej wariancji σ =. Rozpatrzmy zadanie testowania hipotezy H0 : µ = 0 przeciwo alternatywie H : µ = Należy zbudować tai test, dla tórego suma prawdobodobieństw błędów I i II rodzaju, oznaczanych odpowiednio przez α i β jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość α + β (B)
8 Zadanie 8 Wetor losowy (,Y ) ma łączny rozład prawdopodobieństwa dany następującą tabelą: Y = Y = = ( θ ) θ 3 = θ 3 ( θ ) gdzie θ (0,) jest nieznanym parametrem. Na podstawie 5-elementowej próbi z tego rozładu, (, Y ),...,( 5, Y5) obliczono estymator najwięszej wiarogodności θˆ. Oblicz wariancję estymatora, Var (θˆ ). (B) θ ( θ ) Var ( ˆ) θ = 5 Var ( ˆ) θ = 3 0 θ ( θ ) Var ( ˆ) θ = 0 θ ( θ ) Var ( ˆ) θ = 5 θ Var ( ˆ) θ = 5 8
9 Zadanie 9 Niech,..., n,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednaowym rozładzie wyładniczym o gęstości α x α e dla x > 0; f ( x) = 0 w przeciwnym przypadu. Niech N będzie zmienną losową niezależną od,..., n,..., o rozładzie Poissona z parametrem λ. Niech Y { }, min =,..., N 0 gdy gdy N = 0. N > 0; Oblicz E ( N Y = y) przy założeniu, że y > 0. + λ y e α (B) α y e λ y λe α λ y e α y αλe α 9
10 Zadanie 0 Rozważmy trzy zdarzenia losowe E, C, C w pewnej przestrzeni probabilistycznej. Niech E, C C oznaczają zdarzenia przeciwne. Wiemy, że Ω, Zdarzenia C,C są niezależne i Pr( C ) = Pr( C ) = p ; Pr( E C ) = Pr( E C ) = Pr( E C C) = r ; Pr( E C C ) =. Oblicz Pr( C E). p (B) p r p + p r + p 0
11 Egzamin dla Atuariuszy z 7 maja 003 r. Prawdopodobieństwo i Statystya Arusz odpowiedzi * Imię i nazwiso...k L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Puntacja C B 3 C B 5 A 6 A 7 E 8 D 9 A 0 A * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Aruszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoHipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.
Hipotezy proste Zadanie 1. Niech X ma funkcję gęstości f a (x) = (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, Testujemy H 0 : a = 1 przeciwko H 1 : a = 2. Dysponujemy pojedynczą obserwacją X. Wyznaczyć obszar krytyczny
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki
Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.
Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoWykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZA 1. Wyład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy ombinatoryi. Zmienne losowe i ich rozłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.0.00 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie 1. W pewnej populacji podmiotów każdy podmiot narażony jest na ryzyko straty X o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą μ i wariancją równą. Wszystkie podmioty z tej populacji kierują
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10
Stanisław Cichoci Natalia Nehrebeca Wyład 10 1 1. Testowanie hipotez prostych Rozład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyi t Przedziały ufności Badamy czy hipotezy teoretyczne
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoStatystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład X, 9.05.206 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH II: PORÓWNYWANIE TESTÓW Plan na dzisiaj 0. Przypomnienie potrzebnych definicji. Porównywanie testów 2. Test jednostajnie
Bardziej szczegółowoRóżne rozkłady prawdopodobieństwa
Różne rozłady prawdopodobieństwa. Rozład dwupuntowy D(p). Zmienna losowa ξ ma rozład D(p), jeżeli P p {ξ = 0} = p oraz P p {ξ = } = p. Eξ = p D ξ = p( p). Rozład dwumianowy Bin(n, p). Zmienna losowa ξ
Bardziej szczegółowo= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1
1. W populacji B natężenie wymierania µ ( B ) x jest większe od natężenia wymierania ( A) µ x w populacji A, jednostajnie o µ > 0, dla każdego wieku x tzn. ( B) ( A) µ µ x = µ. Niech ponadto x M( s) oznacza
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoWykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez
Bardziej szczegółowoZadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),
Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowo), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0
Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych cd.
Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
Bardziej szczegółowoLISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich
Bardziej szczegółowoMetoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Bardziej szczegółowoMateriały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Wykłady
Materiały dydatyczne Matematya Semestr III Wyłady Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego - 70-500 Szczecin WIII RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU. Pojęcia wstępne. Równania różniczowe
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy
Bardziej szczegółowo4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1
LISTA 7 W rozwiązaniu zadań 1-4 wykorzystać centralne twierdzenie graniczne. 1.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 8 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 29 listopada 2015 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoStatystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych..00 r. Zadanie. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoSygnały stochastyczne
Sygnały stochastyczne Zmienne losowe E zbiór zdarzeń elementarnych (zbiór możliwych wyniów esperymentu) e E zdarzenie elementarne (wyni esperymentu) B zbiór wybranych podzbiorów zbioru E β B zdarzenie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 11 i 12 1 / 41 TESTOWANIE HIPOTEZ - PORÓWNANIE
Bardziej szczegółowoElektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy
Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5
Bardziej szczegółowoWykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu
Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.
# # Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd. Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna 9 40-006 Katowice E-mail: www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl
Bardziej szczegółowoEstymatory i testy statystyczne - zadania na kolokwium
Estymatory i testy statystyczne - zadania na kolokwium Zad. 1. Cecha X populacji ma rozkład N(µ, σ), gdzie µ jest znane, a σ nieznane. Niech X 1,...,X n będzie n-elementową próbą prostą pobraną z tej populacji.
Bardziej szczegółowoMETODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie
METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VIII: Przestrzenie statystyczne. Estymatory 1 grudnia 2014 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji r(x, Z) = 0, 986 Wprowadzenie Przykład: pomiar z błędem Współczynnik korelacji
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Bardziej szczegółowo2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7
Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II
WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak
Bardziej szczegółowoPobieranie prób i rozkład z próby
Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.
Bardziej szczegółowoWykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym
Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną
Bardziej szczegółowoTESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.
TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe
Bardziej szczegółowo