Wykład 13 Teoretyczny opis właściwości kryształów

Transkrypt

1 Wyład 3 Teoetyczy opis właściwości yształów Opis ścisły patyczie ieożliwy są to ułady zbyt sopliowae. c 3 3 atoów

2 Wyład 3 Rozdział: Pasa eegetycze Rozdział te ie ależy do ajłatwiejszyc ozdziałów w siążce, ale pzedstawioe są w i spawy ajważiejsze...

3 Metale. Model eletoów pawie swobodyc Jąda eletoy powło zaiętyc ieozdziele joy dzeie atoowe letoy walecyje stosuowo słabo związae. W wyiu oddziaływań odywają się od aciezystyc dzei i pouszają się ieal swobodie w całej objętości yształu. Kyształ związay dzięi eletostatyczy oddziaływaio poiędzy ujeą cuą eletoową a dodatii joai. Właściwości: duże pzewodictwo eletycze Kowalość - poieważ joy etalu ie są ze sobą ściśle związae i ogą się względe siebie stosuowo łatwo pzesuwać, iewielii siłai oża zieić ształt

4 Pzybliżeia: Rdzeie ieucoe, ustawioe w sieć pzestzeą. Pzybliżeie jedoeletoowe pzybliżeie Hatee ego Jedoeletoowe ówaie Scödigea Potecjał efetywy, peiodyczy z oese sieci, jedaowy dla wszystic eletoów....,...,, Ψ Ψ Ψ Ψ V p Ψ Ψ V V Metale. Model eletoów pawie swobodyc

5 Potecjał słaby oża go potatować jao zabuzeie ailtoiau eletoów swobodyc. Opisujey ozcodzeie się fali eletoowej w peiodyczy ośodu, pzy czy oddziaływaie eletou z ty ośodie jest iewielie. Zagadieie podobe do ozpaszaia poiei X w ysztale. Powiiśy oczeiwać siliejszyc efetów tylo wtedy gdy itefeecja fal, tóe uległy dyfacji a poszczególyc cetac, a więc efety istote dla fal eletoowyc o taic wetoac falowyc dla tóyc spełioe są waui Lauego ˆ V p H V V Ψ Ψ Ψ Metale. Model eletoów pawie swobodyc Wyład 3

6 Wyład 3 Model jedowyiaowy V x d dx V x Ψ x Ψ x V e e ix igx Ψ x Potecjał a taą saą peiodyczość ja sieć, to oża go ozwiąć w szeeg Fouiea: gπ/a weto sieci odwotej Poszuiwaa fucja falowa oże być wyażoa w postaci fucji Bloca: c e igx weto z piewszej stefy Billouia e ix u x

7 Fucja Bloca Uwaga! Otzyaa postać fucji falowej jest pawdziwa dla dowolego potecjału peiodyczego, iezależie czy potecjał jest sily czy słaby. ˆ ˆ G G H H x u e e c e x G G G ix igx ix Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Wyład 3

8 Wyład 3 Waży wiose! Z ogólego wauu peiodyczości wyia, że ożliwe stay eletoowe ie są ogaiczoe do pojedyczej paaboli w pzestzei, lecz ówie dobze ogą być zalezioe a paabolac pzesuiętyc o dowoly weto G. W pzypadu gaicy stefy, ta gdzie pzeciają się dwie paabole acue zabuzeń dla zdegeeowayc staów własyc. -g/ g/ g J. Gite

9 Wyład 3 Uposzczoy obaz V x Rozważy sta w pobliżu gaicy stefy, g/ η π/a η η badzo ałe Możey wówczas poiąć pzyczyi od badziej odległyc staów eegetyczyc. Paiętay, że V cos gx V igx igx e e e i g Ψ x g x Wtedy fucja falowa a postać: c e i e g i x g η x c -g/ g/ g e g i η x J. Gite J. Gite

10 Podstawiay tej postaci fucji falową do ailtoiau Otzyujey dwa ozwiązaia a eegię w oolicac gaicy stefy Billouia : c g Vc Vc c g η η ± ± 4 V g g g g η η η η x x x V dx d Ψ Ψ x g i x g i e c e c x Ψ η η x g i e η i całujey po obszaze oói eleetaej Możyy pze fucję x g i e η i całujey po obszaze oói eleetaej

11 Na gaicy stefy pojawia się pzewa eegetycza, dla η otzyujey: 4 V g g g g ± ± V g ± ± Wyład 3

12 Poieważ fucja Bloca pzesuięta o weto sieci odwotej ie zieia się to wygodie jest pzedstawiać wyii tylo w piewszej stefie Billouia. Tzeba wówczas ueować pasa eegetycze. Sta eletou w ciele stały zaday jest pzez weto falowy z piewszej stefy, ue pasa oaz zut spiu. T. Stacewicz & A. Witowsi

13 Wyład 3 leto w ciele stały jao quasicząsta Zależość dla eletou w ciele stały óżi się od zależości dla eletou swobodego póżi, poieważ eleto w ysztale stale oddziałuje z pozostałyi cząstai uładu eletoai i jądai. Quasicząsta eleto w ciele stały. V V Pędość gupowa g dω d T. Stacewicz & A. Witowsi

14 Wyład 3 Kyształy owalecyje Atoy dzeie atoowe eletoy walecyje letoy walecyje są zloalizowae

15 Metoda ciasego wiązaia zodyfiowaa etoda obitali oleulayc V A potecjał swobodego atou Zabuzeie: ˆ ˆ A A v V V H H A V v H H Φ Φ Φ Φ Ψ Ψ Ψ Ψ ˆ ˆ Szuay ozwiązań pzybliżoyc w postaci obiacji atoowyc fucji własyc Stosujey etodę waiacyją

16 Metoda ciasego wiązaia Stay eegetycze eletou w ysztale, wywodzące się z poziou eegetyczego i swobodego atou. Załaday, że fucja falowa jest obiacją liiową atoowyc fucji własyc Φ Φ Φ A i A e a d e A A i, Φ Φ Φ Φ Dla eletou zloalizowaego fucja Φ A a zaczące watości tylo w sąsiedztwie węzła sieci. Dlatego uwzględiay tylo wyażeia dla tóyc N liczba atoów w ysztale. N d A A Φ Φ Φ Φ Wyład 3 H Φ Φ Φ Φ ˆ

17 Metoda ciasego wiązaia Dla wyazów zawieającyc zabuzeie v- uwzględiay pzeywaie fucji falowyc zloalizowayc a ajbliższyc sąsiadac. [ ] d v e N A i A i, Φ Φ Φ Φ Φ Φ i i i i i i i i i i e B A d v B d v A Sua po zawiea tylo te watości, dla tóyc opisuje ajbliższyc sąsiadów. A i > Wyład 3 H. Ibac

18 ± a,,;, ± a,;,, ± a i Wyład 3 A i B i cos Pzyład: sieć egulaa posta x a cos y a cos z a Uwaga! w pobliżu cos i Ai 6Bi Bia a Szeoość pasa ty więsza i więsze B i pzeywaie się fucji falowyc sąsiadującyc atoów. x x a W. Ibac

19 Wyład 3 Pzyłady J. Gite Sile pzeywaie szeoie pasa Słabe pzeywaie wąsie pasa H. Ibac

20 Rola zaazu Pauliego - etal, izolato Pzyład Sieć egulaa posta - N atoów pzypada a N oóe eleetayc W wyiu oddziaływaia pozio eegetyczy swobodego atou ulega ozszczepieiu z pozostałyi N- atoai a N staów. Stay te utwozą wazi-ciągłe paso, tóe ze względu a degeeacje spiową oże być obsadzoe, pzez N eletoów! Kyształ sodu Kofiguacja atoowego sodu s, s, p 6, 3s Do pzeywającyc się pas w ysztale wład woszą atoowe pozioy 3s, 3p Pozio atoowy 3s wosi do pasa 3s tylo jede eleto a oóę eleetaą, jeda paso 3s oże pzyjąć dwa eletoy a ażdą oóę sieci. Ta więc awet bez pzyycia pas 3s-3p paso 3s będzie zapełioe w połowie. May wiec do czyieia z etale!

21 Metal, izolato Pzyład - diaet Izolowae atoy węgla ofiguacja s, s, p W pzypadu diaetu a ażdą oóę eleetaą pzypadają po dwa atoy węgla. Na jede ato w oóce pzypadają po cztey eletoy walecyje Hybydyzacja sp 3 staów s i p Oddziaływaie poiędzy ybydai sp 3 powoduje ozszczepieie staów a dwa pasa, z tóyc ażde wyłączając spi oże pzyjąć po cztey eletoy. Cztey eletoy ze staów s i p w suie osie zapełiają całowicie dolą część pasa sp 3, góe paso pozostaje puste i jest oddzieloe od dolego pzewą eegetyczą May więc do czyieia z izolatoe! Moża spojzeć też a to jao oddziaływaie ja a oddziaływaie staów walecyjyc p i s..

22 Wyład 3 Pzewodii i izolatoy

23 Wyład 3 Pzewodii i izolatoy Półpzewodii ajczęściej substacje ystalicze, tóyc pzewodictwo właściwe oże być zieiaa w szeoi zaesie popzez doieszowaie. Watość pzewy eegetyczej dla óżyc półpzewodiów W tepeatuze poojowej: Ge,7 ev, Si, ev, GaAs,4 ev, GaN 3,4 ev, AlN 6, ev Półpzewodii szeoopzewowe wielość pzewy eegetyczej ja dla izolatoów Kiedyś stosowao podział dla g < 3 ev półpzewodi dla g > 3 ev izolato, jeda ożliwość zia pzewodictwa pzez doieszowaie jest zaczie ważiejsza. Pzyład: diaet doieszoway jest półpzewodiie

24 Wyład 3 Pzyłady

25 Wyład 3 Doświadczale etody wyzaczaia pzew eegetyczyc Jeśli jest pzewa eegetycza to oża ją wyzaczyć badając tasisję światła, odbicie, luiescecję, itd M. Fox

26 Wyład 3 Półpzewodii Co to jest? Wielość ħ a wyia pędu, ale ie jest pęde poieważ fucja Bloca ie jest fucją własą opeatoa pędu jest liczbą watową opisującą stay Bloca. Pędość gupowa dω Vg d V J. Gite

27 Masa efetywa W oolicac esteu V d d V d d d d d d lub Wyład 3 Kwazipęd Pasa paabolicze dyspesja paabolicza

28 Wyład 3 Siła zewętza F leto w ciele stały zacowuje się iaczej iż w póżi, poieważ oddziałuje z siecią ystaliczą. FV t ziaa eegii eletou: d d F t V poówując wzoy dostajey: ziaa wazipędu popęd czyli badzo podobie ja dla cząsti swobodej, ale a dv dt d dt dω V Vg d d dt foalie ożey to zapisać d d - pędość eletou utożsaiay z pędością gupową d d d dt d d Rówaie Newtoa z asą efetywą F F

29 Wyład 3 Stutua pasowa gafeu liiowa dyspesja zaa od lat: P.R. Wallace, Pys. Rev. 947 M A.H. Casto Neto, F. Guiea, N.M. Pees, K.S. Novoselov, ad A.K. Gei, Te electoic popeties of gapee, Rev. Mod. Pys.

30 Bezasowe feioy Diaca w pobliżu putów K, K' c p c H σ γ σ σ ˆ ˆ ~ ˆ ~ ˆ p c ± ε ~ ˆ, ˆ, ˆ ˆ z y x σ σ σ σ x x x i i σ σ σ x y F a t 3 K' K 3 c c c / ~ Relacja dyspesyja ja dla fotou Rówiaie Diaca dla bezasowyc feioów!

31 Wyład 3 Półpzewodii z zeową pzewą gafe HgTe J. Bliowsi et al., J. Pysique Y. Gulde, M. Gybeg, Pys. Rev. B 8,

32 Liiowe elacje dyspesji występuja ie tylo w gafeie!

33 Waui Boa-Kááa Ile staów ay w ysztale? Wyobażay sobie pewie ficyjy obsza w ysztale iesończoy w postaci sześciau o bou L i żąday aby fucja falowa posiadała peiodyczość dla tego obszau: Ψx L,y,z Ψx, y L,z Ψx, y, z L Ψ fucja Bloca Stąd: e e e i i i i x y z L L L i Wyład 3 π L Stay te wyzaczają w pzestzei odwotej siatę o gęstości V/π 3 Zate gęstość staów a jedostę obj. tójwyiaowej pzestzei ρ Gęstość staów W pzestzei jest stała! π L 3 ρ L π Zwyle pzyjuje się, że wyóżioy obsza a objętość jedostową ay w tzec wyiaac, zate po uwzględieiu degeeacji spiowej : ρ ρ 3 π 3 π L y π L x

34 Ile staów d jest w pzedziale eegii, d, czyli szuay Paso paabolicze i sfeycze d d d d d d V z y x π ρ π π ρ Uwaga -ta jest w 3 wyiaac dla dyspesji paaboliczej! Wyład 3 Objętość uli w 3D V π d dv 4π d d d ρ

35 Objętość uli w 3D V π V 4π Gęstość staów - iy sposób liczeia V V π ρ ρ π ρ ρ π ρ ρ Liczba staów w pzestzei eegii Liczba staów w pzestzei pędów 3 π ρ

36 j Zadaie a ćwiczeia D D D3 π ρ N [ ] [ ] π π ρ π N [ ] [ ] π π ρ π N 3 3 π 4 N π π N π π N π ρ 3 π ρ π ρ 3 π ρ d dn ρ

37 Gęstość staów dla pasa paaboliczego ρ 3D 3D ρ D D gdy ay więcej pas, w studi watowej ρ D D gdy ay więcej pas, p. w aoducie

38 Małe podsuowaie Weto falowy jest wielością ueującą stay w paśie. Każde paso jest ozaczae idese j. Pędość eletou w paśie. d V d Ziaa wetoa falowego pod wpływe siły. d F dt Fucja falowa jest postaci Ψ x e u u j Wyład 3 i j u j T iepeiodycza z oese sieci peiodycza z oese sieci Fucja ta opisuje stay, tóe są stacjoayi ozwiązaiai ówaia Scödigea z potecjałe peiodyczy.

39 Wyład 3 Taspot eletoowy W idealy iesończoy ysztale eleto ie ulega ozposzeio. Doga swoboda w isic tepeatuac czystyc yształac etali jest ogoa ~ lub awet c Mecaiz ozpaszaia wszelie odstępstwa od peiodyczości.

40 Wyład 3 Zjawiso teoeletycze Na, K, Co, Al eletoy Z, Cu, Au -??? Paso pawie całowicie zapełioe eletoai. Masa efetywa ujea. Jede sta pusty. Całowity pęd j ev i i J. Gite

41 Wyład 3 Quasi cząsta dziua j j v fet w polu eletyczy: ev ev v ebez pay ew pustyiejscu ew pustyiejscu Dziua: wazicząsta z dodatią asą efetywą, tóa opisuje własości zbiou eletoów w ciele stały o asie ujeej z jedy stae pusty J. Gite

42 Wyład 3 Pseudopęd dziuy i e i Quasi cząsta dziua Sua pseudopedów wszystic eletoów w paśie walecyjy pseudopęd dziuy pseudopęd eletou bez pay v Masa efetywa eletou w paśie walecyjy jest ujea: v ew pustyiejscu ebez pay v ebez pay ebez pay

43 Wyład 3 Quasi cząsta dziua ħ e Pzeiesieie jedego eletou o pseudopędzie ħ z pasa walecyjego do pasa pzewodictwa powoduje powstaie jedego eletou w ciele stały o psudopędzie ħ i pędości ħ/ e Zwalia się jede sta w paśie walecyjy. Powstaje jeda dziua o ówy co do watości, ale pzeciwie sieoway pseudopędzie ħ tai jest całowity psudopęd wszystic eletoów w pawie peły paśie walecyjy, czyli eletoou bez pay. Pędość dziuy ħ/ J. Gite

44 Wyład 3 Quasi cząsta dziua Masy efetywe dziu z óżyc podpas óżią się!

45 leto swobody dziua swoboda w polu agetyczy e Pozioy Ladaua B,6 ev/t 5 3 ω Rezoas cylotoowy - absopcja światła pzez eleto w polu agetyczy pouszający się po obitac cylotoowyc pzejścia optycze poiędzy pozioai Ladaua c z ωc, s, ± gµ z B ω c µ B eb gµ B B g,58 ev/t B letoowy Rezoas Spiowy PR badzo użytecze badaie

46 Rezoas cylotoowy dziuy i eletoy absobują światło o pzeciwyc polayzacjac ołowyc! Wyład 3 Wyzaczaie asy efetywej eletoów i dziu eb ω J. Gite

47 Wyład 3 Pzewodictwo Model Dudego 9 dv v dt τ dv v dt Rucliwość µ eτ D D e Dwa odzaje ośiów eτ Pzewodictwo j σ ev eµ D e eµ σ e µ peµ Paul Kal Ludwig Dude σ p

48 Wyład 3 fet Halla dla jedego odzaju ośiów W sytuacji ówowagowej sładowa y siły Loetza jest ówoważoa pzez pole eletycze powstające postopadłe do pądu F q q v B U R H H q σ qµ y v x B jb q R H jb za ośiów, ocetacja ośiów, ucliwość ośiów σ j S U I x S Na ćwiczeiac spawdzicie ja to jest dla wielu ośiów T. Stacewicz & A. Witowsi

49 Kwatowy efet Halla /e 5,83 Ω Klaus vo Klitzig "fo te discovey of te quatized Hall effect

50 F QH B Stay zloalizowae izolujące Gęstość staów Na ażdy pozioie Ladaua ieści się eb ρ ωc π eletoów pzy ziesioej degeeacji spiowej, stąd czyi ½ Gdy pozio Feiego pzecodzi pzez stay zloalizowae ie dające władu do pądu, apięcie Halla opó Hall owsi ie zieia się pzy ziaie pola B: Stay zdeloalizowae pzewodzące eb U H ρ xy RH B B B j e eb v e v v współczyi wypełieia ówi o wypełieiu pozioów ladauowsic e

51 Ułaowy efet Halla Nagoda Nobla 998 Robet B. Laugli, Host L. Stoee, ad Daiel C. Tsui "fo tei discovey of a ew fo of quatu fluid wit factioally caged excitatios. Factioal quatu Hall effect

52 Aoaly watowy efet Halla Piewiastowa zależość eegii od pola agetyczego! K. Novoselov et al., Natue 5

53 Kwatowy efet Halla w tepeatuze poojowej! K.S. Novoselov, Z. Jiag, Y. Zag, S. V. Moozov, H.L. Stoe, U. Zeitle, J.C. Maa, G. S. Boebige, P. Ki, A.K. Gei, Sciece 35, Metologia ożliwość zastosowaia w tepeatuze ciełego azotu