Równanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.

Transkrypt

1 Równanie falowe Schrödingera h Ψ( x, t) + V( x, t) Ψ( x, t) W jednym wymiarze ( ) ( ) gdy V x, t = V x x Ψ = ih t Gdy V(x,t)=V =const cząstka swobodna, na którą nie działa siła Fala biegnąca Ψ s ( x, t) ( x, t) = Aexp[ i( kx ωt) ] = A[ cox( kx ωt) + isin( kx ωt) ] Związek między częstością kątową ω a liczbą falową k wyraża związek między energią E=ħω i pędem p=ħk Rozdzielenie zależności od czasu i od położenia Ψ h k V = = x Równanie Schrödingera niezależne od czasu d ψ( x) h + V( x) ψ( x) = Eψ( x) dx Funkcje falowe są rozwiązaniami równania Schrödingera. Funkcje własne: Erwin Schrödinger w 9 -skończone -unormowane nagroda Nobla za odkrycie -jednoznaczne nowych sformułowań teorii -ciągłe atomowej w 96 roku. p + ( x, t) = ψ( x) φ( t) = ψ( x) exp( iωt) F x + V V = E i =- jednostka urojona = hω Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości Funkcje falowe stanów związanych elektronu i odpowiadające im poziomy energii dla prostokątnych studni potencjału o tej samej szerokości a= - m ale o różnych głębokościach od,5 ev do ev. Liczba stanów związanych rośnie z głębokością studni. Fala wnika w ściany studni potencjału o skończonej głębokości, długość fali jest większa (a energia mniejsza) niż w studni nieskończenie głębokiej.

2 Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości Funkcje falowe stanów związanych elektronu i odpowiadające im poziomy energii dla studni potencjału o tej samej głębokości V = ev ale o różnych szerokościach od a=.7 - m do a= - m. Liczba stanów związanych rośnie z szerokością studni. Elektron w studni potencjału o skończonej głębokości - graficzne rozwiązanie równania rozwiązanie równania: y tg(y )=pierwiastek(y -y ) y =, y =,5 y tg(y ) ytg(y) pierwiastek(yoyo-yy) y =,595 y ϕ ϕ,,,8,6,,, L = nm V =,55 ev E =,5 ev E =, ev, psipsi psipsi E E V - - x [nm],8,6,,,,8,6,,, V, E, E [ev]

3 Próg potencjału E<V Klasycznie Obszar I Kwantowo Obszar I Obszar II v = E m I Próg potencjału E<V V V II Współczynnik odbicia dla cząstek padających na próg z lewej strony k k i i vb B k k R = = = va A k k + i + i k k W obszarze x> energia cząstki jest mniejsza od energii potencjalnej E<V, prawdopodobieństwo znalezienie cząstki zanika wykładniczo z odległością od progu k x ( x) = Ψ ( x) Ψ ( x) = C Ce P Przebieg w czasie części urojonej i kwadratu modułu funkcji falowej cząstki o energii E<V padającej na próg potencjału. Przed progiem powstaje fala stojąca.

4 Próg potencjału E>V I V II Współczynnik odbicia vb B R = = v A A Współczynnik przejścia v T = v C C = A A R+T= ( k k ) ( k + k ) k k ( k + k ) Część rzeczywista i kwadrat modułu funkcji falowej cząstki padającej na próg potencjału w zależności od energii oznaczonej przez zieloną linię przerywaną. Schodek potencjału V < Gdy cząstka pada na ujemny schodek potencjału również następuję częściowe odbicie przed uskokiem potencjału powstaje fala stojąca. Część rzeczywista i kwadrat modułu funkcji falowej cząstki padającej na schodek potencjału w zależności od energii oznaczonej przez zieloną linię przerywaną.

5 Bariera potencjału o skończonej szerokości Obszar I Obszar II Obszar III κ = ( V E) h Bariera potencjału Gdy energia cząstki padającej jest mniejsza od energii potencjalnej E<V funkcja falowa zanika w obszarze bariery ale występuje przenikanie fali do obszaru za barierą zjawisko tunelowe. Gdy energia cząstki jest większa od energii potencjalnej bariery E>V również występuje częściowe odbicie. Studnia potencjału Funkcja falowa ma postać oscylacyjną we wszystkich obszarach, bo energia cząstki jest wszędzie większa od energii potencjalnej. Wewnątrz studni długość fali jest mniejsza. Część rzeczywista funkcji falowej cząstki padającej na barierą lub studnię potencjału w zależności od energii. 5

6 Zjawisko tunelowe - bariera potencjału o skończonej szerokości Współczynnik przejścia zgrubne oszacowanie T exp ( κl) L = exp ( E) U h Skaningowy mikroskop tunelowy STM Powierzchnia grafitu 6

7 Atomy ksenonu na powierzchni () kryształu niklu - obraz STM skaningowy mikroskop tunelowy 8 atomów żelaza na powierzchni () kryształu miedzi tworzy kolistą zagrodę dla elektronów na powierzchni metalu Atomowy stadion - atomy żelaza Fe na powierzchni miedzi Cu. Etapy tworzenia zagrody z atomów Fe na Cu Oscylator harmoniczny Energia potencjalna w zależności od położenia i poziomy energii = n + hω Strzałkami zaznaczono dozwolone przejścia między sąsiednimi poziomami energii n=± - absorpcja lub emisja fotonu o energii ħω. E n 7

8 Oscylator harmoniczny Równanie Schrödingera ( x) h d φ dx mω x + φ ( x) = Eφ( x) Bezwymiarowa zmienna y = x mω h Unormowane funkcje własne φ n wielomiany Hermite a H H H H H ( y) H ( y) exp ( y) = ( y) = y ( y) = y ( y) = 8y y ( y) = 6y 8y + y = n n n! π wielomiany Hermite a funkcje własne oscylatora harmonicznego Oscylator harmoniczny Funkcje własne i wartości własne energii oscylatora harmonicznego. Wartości własne energii E n = n + hω Zielone linie oznaczają dozwolone wartości energii i stanowią linie odniesienia dla funkcji falowych ϕ(x) i rozkładów gęstości prawdopodobieństwa ϕ(x). 8

9 8 Oscylator harmoniczny n=, E=hω / V/(h ) 5.6. Pklas, Pkwant potencjał V P klasycznie P kwantowo y=(mω /h) / x Prawdopodobieństwo znalezienia w różnych położeniach cząstki wykonującej drgania harmoniczne o energii E =.5ħω w potencjale V(x)=mω x / zgodnie z klasycznym opisem ruchu (krzywa amarantowa); zgodnie z opisem kwantowy stanu podstawowego n= (krzywa zielona). 8 Oscylator harmoniczny n=, E=hω / 7 V/(h ) 6 5 potencjał V P klasycznie P kwantowo.8.6. Pklas, Pkwant y=(mω /h) / x Prawdopodobieństwo znalezienia w różnych położeniach cząstki wykonującej drgania harmoniczne o energii E =,5ħω w potencjale V(x)=mω x / zgodnie z klasycznym opisem ruchu (krzywa amarantowa); zgodnie z opisem kwantowym - pierwszy stan wzbudzony n= (zielona). 9

10 8 Oscylator harmoniczny n=, E=5hω / V/(h ) potencjał V P klasycznie P kwantowo.8.6. Pklas, Pkwant y=(mω /h) / x Prawdopodobieństwo znalezienia w różnych położeniach cząstki wykonującej drgania harmoniczne o energii E =.5ħω w potencjale V(x)=mω x / zgodnie z klasycznym opisem ruchu (krzywa amarantowa); zgodnie z opisem kwantowy drugiego stanu wzbudzonego n= (zielona). V/(ħω ) Oscylator harmoniczny n=7, E=5ħω / potencjał V P klasycznie P kwantowo P klas, P kwant y=(mω /ħ) / x Prawdopodobieństwo znalezienia w różnych położeniach cząstki wykonującej drgania harmoniczne o energii E 7 =7.5ħω w potencjale V(x)=mω x / zgodnie z klasycznym opisem ruchu (krzywa amarantowa); zgodnie z opisem kwantowy stanu wzbudzonego n=7 (krzywa zielona).

11 Wykresy gęstości prawdopodobieństwa w zależności od zmiennej y=x(mω/ħ) ½ dla stanu podstawowego n= i stanów wzbudzonych n=,,, oscylatora harmonicznego.