Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych (1101-4FS22) Michał Baj

Transkrypt

1 Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych FS Mchał Baj Załad Fzy Cała Stałego Istytut Fzy Dośwadczalej Wydzał Fzy Uwesytet Waszaws Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 1

2 Pla wyładu 4 Eleety echa watowej w cele stały: stefy Blloua wau peodyczośc Boa-Kaaa Stutua pasowa staów eletoowych: odel pustej sec odel eletoów pawe swobodych odel casego wązaa etoda p, teso asy efetywej Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4

3 Stefy Blloua Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 3

4 1.. Stefy Blloua Pzypoee waże własośc fucj Blocha: ϕ u exp ϕ ϕ, G, E G E,, wystaczy węc, jeśl chodz o zależość od wetoa falowego, ogaczyć sę p. do obszau ajejszych co do długośc wetoów, leżących wewątz oó pytywej sec odwotej. Taa oóa jest wystaczający obszae zeośc wetoa falowego. Koóa pytywa w sec odwotej sostuowaa w ta sa sposób, ja oóa Wgea-Setza w sec Bavas azywa sę pewszą stefą Blloua Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 4

5 Stefy Blloua Pewsza duga stefa Blloua w dwuwyaowej, wadatowej sec odwotej Płaszczyzy tutaj le dzelące a pół odpowede wetoy sec odwotej wyzaczają obszay ależące do olejych stef Blloua. Każda stefa a taą saą objętość tutaj powezchę Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 5

6 Stefy Blloua Weto dalej: g z gacy I stefy Blloua: g G G z defcj stefy Blloua G g G G g G g Weto: g G ' leży po pzecwej stoe I stefy Blloua jest ówoważy wetoow w sese własośc fucj Blocha. Dla wetoów g tych spełoy jest waue Lauego: g ' G Stay z gacy I stefy Blloua odpowadają eletoowy falo stojący Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 6

7 Stefy Blloua Pewsza stefa Blloua dla stutuy fcc - czteastośca Odległośc: d Γ L 3π a d Γ X π a Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 7

8 Stefy Blloua Stutua hesagoala Stutua bcc H. Ibach, H. Lüth, Sold-State Physcs Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 8

9 Wau peodyczośc Boa-Kaaa Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 9

10 Wau peodyczośc Boa-Kaaa yształy są sończoych ozaów oża wpowadzć wau bzegowe zaa fucj falowej a bzegach yształu powadz to jeda do tego, że wszyste fale eletoowe, secowe etc. będą stojące, co w welu wypadach utuda ops poeważ w yształach aosopowych dog swobode eletoów są dużo ejsze ż ozay yształów, ajwygodejszy ozwązae jest pzyjęce tzw. wauów peodyczośc Boa-Kaaa: Ψ N ja j Ψ ; j 1, a j N a L gdze są wetoa sec Bavas, a duży lczba całowty, ta że jest zędu ozau całego j j j yształu, 3 N j Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 10

11 Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 11 Wau peodyczośc Boa-Kaaa w pzypadu fucj Blocha ay: żądae, aby powadz do: dozwoloe wetoy falowe staową dysetą seć putów ówoee ozłożoą w pzestze wetoa falowego; oóę eleetaą sec odwotej stefę Blloua wypeła tach putów. Tyle też będze staów w ażdy paśe. ogą być óże, ale ajczęścej pzyjujey tae sae { } j j j j j j j j a N u a N a N u a N exp exp exp ϕ 1 exp j j a N Z a N a N a N 3 1 * * * 1 1 1,, 3 1 N N N 3 1,, N N N

12 Stutua pasowa staów eletoowych Model pustej sec Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 1

13 Zależość dążącego do zea daje: Model pustej sec E E G E E G G w pzypadu jedowyaowy:, dla potecjału peodyczego, ale H. Ibach, H. Lüth, Sold-State Physcs Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 13

14 Model pustej sec P. Y. Yu, M. Cadoa, Fudaetals of Secoductos Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 14

15 Model pustej sec w pzypadu tójwyaowy stutua sc: Ch. Kttel, Wstęp do fzy cała stałego Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 15

16 Model pustej sec W obaze zeduoway do I stefy Blloua występuje wele óżych zależośc E oecze jest ch ueowae ue pasa: E Fucje Blocha bez uwzględea spu są węc ueowae wetoe falowy oaz dese pasa : ϕ u exp,, Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 16

17 Nazewctwo pas, gupa wetoa falowego pusta seć Stutua daetu achu etodą pseudopotecjału P. Y. Yu, M. Cadoa, Fudaetals of Secoductos Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 17

18 Nazewctwo pas, gupa wetoa falowego Weto jest dobą lczbą watową; dla ażdego ówoważego ' G fucja Blocha jest taa saa Co obą opeacje syet z wetoe falowy a węc z fucja falowy? Czy tasfoują go w ówoważy u ' G czy też e? Zbó tych opeacj syet pełej gupy putowej yształu, tóe tasfoują day weto falowy w ówoważy u ' G staow gupę wetoa falowego jest podgupą pełej gupy putowej yształu W zależośc od tego, czy jest jaś syetyczy pute 1BZ p. Γ, X, L, czy leży a jaś syetyczy euu p. Λ, czy też e gupa wetoa falowego jest a Dla 0 put Γ stefy Blloua ażda opeacja gupy putowej yształu pzepowadza go w weto u ówoważy, a węc gupa wetoa falowego z putu Γ ówa sę pełej gupe putowej yształu Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 18

19 Nazewctwo pas, gupa wetoa falowego Stay lasyfujey azyway epzywedly epezetacja odpowedch gup wetoa falowego. Pzyjęło sę w ty wypadu używać w azwach epezetacj azw putów euów w stefe Blloua Pzyład: stutua bledy cyowej, gupa putowa T d. epezetacje epzywedle: A 1 1-wy., A 1-wy., E -wy., T 1 3-wy., T 3-wy.. Gupa wetoa falowego z putu Γ też T d. Teaz jeda azewctwo e: BSW Boucaet, Soluchows, Wge P. Y. Yu, M. Cadoa, Fudaetals of Secoductos Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 19

20 Nazewctwo pas, gupa wetoa falowego Weto falowy z putu L lub a euu Λ: opeacje, tóe pzepowadzają ta weto w ówoważy u twozą gupę C 3v. Tzy epzywedle epezetacje: A 1 1-wy., A 1-wy., E -wy. L 1, L, L 3 Λ 1, Λ, Λ 3 Podobe z pute X gupa D d czy z eue gupa C v. epezetacje: X 1, X, X 3, X 4 wszyste 1- wy., X 5 -wy. oaz 1,, 3, 4 wszyste 1-wy.. P. Y. Yu, M. Cadoa, Fudaetals of Secoductos Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 0

21 Nazewctwo pas, gupa wetoa falowego Uwzględee spu Mechaa watowa uczy, że obót fucj spowej woół wybaej os tutaj z o ąt φ daje wy: α Dla ąta φ π otzyujey: α c 1 c S zφ φ φ U α exp α exp c1 exp c α c 1 c α!!! a węc obót fucj spowej o ąt π e jest opeacją tożsaoścową. Dodae taej opeacj do gupy podwaja lczbę eleetów gupy gupy podwóje Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 1

22 Nazewctwo pas, gupa wetoa falowego P. Y. Yu, M. Cadoa, Fudaetals of Secoductos Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4

23 Nazewctwo pas, gupa wetoa falowego GaAs Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 3

24 Stutua pasowa staów eletoowych Model pawe swobodych eletoów Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 4

25 Model pawe swobodych eletoów Bez potecjału: stay a gacy stefy zdegeeowae Fale eletoowe z gacy stefy spełają waue Bagga Dla G/ π/a ay obację lową fal padającej: ψ exp Gx odbtej: Gx ψ exp Ich tefeecja powadz do powstaa fal stojących Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 5

26 Model pawe swobodych eletoów ψ ψ Gx exp Gx Gx exp Gx Gx cos Gx exp exp s W pzypadu ezającego potecjału oba stay uszą eć óże eege: Ch. Kttel, Wstęp do fzy cała stałego Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 6

27 Model pawe swobodych eletoów Weźy zeczywsty potecjał pzycągający, w tóy tylo foueowse sładowe są óże od zea: Gx V exp Gx V cos Gx V x V exp G G W oolcy G/ G/η ożey poszuwać ozwązaa w postac obacj lowej ozwązań dla eletou swobodego: G G ψ x C1 exp η x C exp η x Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 7

28 Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 8 Model pawe swobodych eletoów Podstawee do ówaa Schödgea daje: ozwązae: C C E G V V E G η η V G G V G G G G E ± ± ± η η η η η η

29 Model pawe swobodych eletoów Eege obu staów: E E a.u. E - w jedostach G/ Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 9

30 Model pawe swobodych eletoów Współczy C 1 C : C 1, C O C 1 C O C 1 C w jedostach G/ Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 30

31 Model pawe swobodych eletoów H. Ibach, H. Lüth, Sold-State Physcs Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 31

32 Stutua pasowa staów eletoowych Metoda casego wązaa LCAO lea cobato of atoc obtals Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 3

33 Metoda casego wązaa LCAO dość dobze opsuje pasa eletoowe powstałe a baze wewętzych powło eletoowych atou; słabo dzała dla eletoów pzewodctwa OK p. do opsu pas d etal pzejścowych czy pas walecyjych yształów owalecyjych 1. Bazą do poszuwaa ozwązaa pobleu będą fucje falowe jedoeletoowe eletoów zajdujących sę a pozoach E swobodych atoów A ozeszczoych w węzłach sec ystalczej: H A ϕ E ϕ gdze H A jest haltoae eletou zwązaego pzez swobody ato A ueszczoy w puce Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 33

34 Metoda casego wązaa LCAO. Haltoa eletou pzyblżee jedoeletoowe!, w potecjale pochodzący od wszystch atoów: H H A v V 3. Jeśl -ty ato ueszczoy jest w ysztale, a eleto początowo a zwązay dzała taże potecjał pochodzący od wszystch pozostałych atoów: 4. Eleto jest jeda elatywe sle zwązay pzez swój ato, potecjał v jest słaby oże być tatoway jao zabuzee A v V A v Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 34

35 Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 35 Metoda casego wązaa LCAO 5. Pzyblżoego ozwązaa szuay w postac: tóa a wszele własośc fucj Blocha, p.: 6. Eega: Φ a exp ϕ ϕ exp exp ] exp[ G G G Φ Φ ϕ ϕ H E Φ Φ Φ Φ exp ] [ ] exp[ exp exp T T T T T T Φ Φ ϕ ϕ

36 Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 36 Metoda casego wązaa LCAO 7. Lczyy oę pzy założeu ałego aywaa sę fucj falowych dla e jest to oecze, ale upaszcza achu: 8. Stąd watość oczewaa eeg: N dv dv Φ Φ ] exp[ * *, ϕ ϕ ϕ ϕ dv v E N E ] [ ] exp[ 1 *, ϕ ϕ

37 Metoda casego wązaa LCAO 9. Dalsze postępowae w ajpostszej wesj polega a: ogaczeu sę do wyazów dagoalych w człoe zaweający E uwzględeu aywaa sę fucj falowych co ajwyżej ajblższych sąsadów w człoe zaweający zabuzee v 10. Jeśl jeszcze fucje ϕ są sfeycze syetycze stay s, to cał aywaa zależą wyłącze od odległośc poędzy poszczególy węzła otzyujey: E E A B exp[ ] gdze suowae odbywa sę wyłącze po węzłach odpowadających ajblższy sąsado : * A ϕ v ϕ dv * B ϕ v ϕ dv Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 37

38 Metoda casego wązaa LCAO 11. Wy suowaa z putu 10 zależy od stutuy dla tóej wyoujey achu!!!: p. dla sc ay: a, 0, 0; 0, a, 0; 0, 0, a ± ± ± E E A B cos a cos a cos a dla bcc: E E dla fcc: x y A 8B xa cos ya za cos cos ya za E E A 4B cos cos c. p. z Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 38

39 Metoda casego wązaa LCAO H. Ibach, H. Lüth, Sold-State Physcs Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 39

40 Stutua pasowa staów eletoowych ówae p, teso asy efetywej Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 40

41 Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 41 ówae p Fucja Blocha jest doby ozwązae jedoeletoowego ówaa Schödgea z peodyczy potecjałe: Po podstaweu postac fucj Blocha sóceu pzez czy otzyujey: Jest to tzw. ówae p. Często wyozystywae jest oo do oblczeń etoda achuu zabuzeń eeg fucj falowych staów odpowadających, jeśl zay ozwązaa w : u exp,, ϕ exp,, E V ϕ ϕ 0 0 ' ˆ ˆ,,,, u E u E u V p u H ' ˆ ˆ , 0, 0, u E u V p u H

42 Fzya ate sodesowaej stutu półpzewodowych - wyład 4 4 ówae p, teso asy efetywej Peły haltoa: Zabuzee: Fucj eeg poszuujey w aach achuu zabuzeń odpowedo dla staów ezdegeeowaych lub zdegeeowaych blso leżące pasa ' ' ˆ ˆ ˆ,,, 0 u E u H H u H p H ˆ ' ˆ 0, u ' E