Transformacja: płytka - włókno w zorientowanej eutektyce Al-Si
|
|
|
- Magdalena Angelika Drozd
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Tasfoacja: płyta - włóo w zoietowaej eutetyce Al-i Waldea Wołczyńsi IMIM PA duacja i Kultua
2 Kyteiu wzostu płyte lub włóie Teoia Jacsoa-Huta elacja: pzechłodzeie pędość wzostu wzost płyte T ( ) a Q ( ) wzost włóie T a Q yteiu J-H yteiu wzostu płyte lub włóie jest zapopoowae w teoii Jacsoa Huta (J-H) a a a ξ a ξ > P ( ξ ). 5 * iedy eeie swobode dla fotu ystalizacji są izotopowe wtedy lewa stoa yteiu jest ówa jedości K.A. Jacso J.. Hut Tas. AIM (966) MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA
3 Kyteiu wzostu płyti lub włóa ieówość J-H (yteiu) zieia za pzy f(ζ).3 Y. f(ζ). dla diaau fazoweo Al-i stąd oczeiwaa jest stutua włóista a a a ξ a ξ > P ( ξ ). 5 * yteiu J-H Y. pawa stoa yteiu J-H w zależości od f(ζ) K.A. Jacso J.. Hut Tas. AIM (966) MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 3
4 Poiay odlełości iędzypłytowej lub iędzywłóowej poieważ pewe stałe typowe dla daeo diaau fazoweo występują po pawej stoie yteiu J-H stąd yteiu to ie jest właściwe dla opisu tasfoacji płyta / włóo jaa zachodzi pzy ytyczej pędości wzostu oczeuje się że płyti są foą stabilą poiżej ytyczej pędości wzostu zate włóa są foą stabilą powyżej tej pędości Y. odlełość iędzy-płytowa λ lub iędzy-włóowa w fucji pędości wzostu wyi poiau [83] B. Toloui A. Hellawell Acta Met. 565 (976) MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA
5 Tasfoacja płyta włóo Wzost zoietoway yste Bidaa Y. 3 a/ 37 µ/s G K/c b/ 5 µ/s G K/c MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 5
6 Tasfoacja płyta włóo Wzost zoietoway yste Bidaa Y. c/ 79 µ/s G K/c d/ 79 µ/s G 5 K/c e/ 37 µ/s G 5 K/c f/ 5 µ/s G 5 K/c MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 6
7 Tasfoacja płyta włóo Wzost zoietoway yste Bidaa Y. 5 / 79 µ/s G 5 K/c h/ 37 µ/s G K/c MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 7
8 Tasfoacja płyta włóo Wzost zoietoway yste Bidaa ba pędości poowej dla tasfoacji: płyta włóo! udział włóie wzasta waz z pędością wzostu w zaesie od: µ/s do 7 µ/s płyti i włóa współistieją w ty zaesie pędości! zaes opeacyjy dla tasfoacji płyta włóo Y. 6 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 8
9 Tasfoacja płyta włóo Wzost zoietoway yste Bidaa wyaay jest ie tylo opis tasfoacji płyta włóo wyaae jest taże wyjaśieie współistieia płyte i włóie w zaesie pędości zaes opeacyjy dla tasfoacji płyta włóo Y. 7 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 9
10 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA Teodyaia fotu ystalizacji pzechłodzeie śedie (teoia J-H) stutua płytowa T P B T θ σ si * stutua włóista T P B T θ σ si * T A T θ σ si T A T θ σ si ) ( K.A. Jacso J.. Hut Tas. AIM (966) pzechłodzeie śedie oże być pzeliczoe a eeię swobodą: T G*
11 Geoetia stutuy pzechłodzeie śedie (teoia J-H) stutua włóista stutua płytowa Y. 8 Y. 9 K.A. Jacso J.. Hut Tas. AIM (966) pzechłodzeie śedie oże być pzeliczoe a eeię swobodą: T G* MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA
12 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA Teodyaia fotu ystalizacji oaz aicy iędzyfazowej / pzechłodzeie śedie pzeliczoe a śedią eeię swobodą: T G* stutua płytowa λ σ ζ θ σ θ σ λ ζ ζ ζ λ ζ P T G } si si { * * stutua włóista ζ σ ζ θ σ θ σ ζ ζ ζ } si si { * T G dzie
13 Geoetia aicy iędzyfazowej / ζ λ ( ) ζ Y. a/ stutua płytowa b/ stutua włóista MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 3
14 ówowaa echaicza w pucie potójy Y. a/ fot wypuło / wlęsły b/ fot wypuło / płasi c/ fot wypuło / wypuły σ σ si θ σ siθ σ si θ σ siθ σ MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA
15 5 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA Teodyaia fotu ystalizacji oaz aicy iędzyfazowej / defiicje ońcowe P T Q W C ζ ζ ζ * W C a σ ζ θ σ θ σ ζ si si stutua płytowa λ λ W C W C a Q G * stutua włóista T Q W C ζ ζ a Q G W C W C * ζ σ ζ θ σ θ σ ζ si si W C a
16 Zastosowaie diaau fazoweo defiicje ońcowe stutua płytowa Q CW ζ T ( ζ ) P * ζ stutua włóista Q CW ζ T ζ Y. pzyładowy diaa fazowy MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 6
17 owe yteiu dla foowaia płyte lub włóie σ σ siθ siθ σ siθ ζ σ siθ ζ σ ζ σ ζ > P * ζ.5 dy apięcia powiezchiowe dla fotu oaz eeie aicy iędzyfazowej / są izotopowe wtedy lewa stoa yteiu jest ówa jede ieówość C-W (yteiu) zieia się pzy f(ζ).3 f(ζ). dla diaau fazoweo Al-i stąd oczeiwaa jest stutua włóista poieważ pewe stałe typowe dla daeo diaau fazoweo są wpowadzoe do pawej stoy yteiu C-W to yteiu C-W ie jest właściwe by opisać tasfoację płyta / włóo zachodzącą w zaesie opeacyjy Y. 7.Cupyś Paca otosa Aadeia Góiczo Huticza Wydział Odlewictwa Kaów MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 7
18 owe yteiu dla foowaia płyte lub włóie Pędość wzostu poieważ f(ζ). dla diaau fazoweo Al-i oaz począte tasfoacji pojawia się pzy µ/s lewa stoa oweo yteiu powia być ówa.8 byłoby to spełioe jeśli odpowiedie ziay apięć powiezchiowych stałyby się ożliwe stąd zostaie wpowadzoy odel ształtu fotu ystalizacji eaująceo a ziay pędości ystalizacji sueowae zachowaie się apięć powiezchiowych zostało już poazae Y. Y. 3 zieiająca się zywiza fotu ystalizacji sutująca ziaai apięć powiezchiowych pzy zachowaiu ówowai echaiczej w pucie potójy MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 8
19 owe yteiu dla foowaia płyte lub włóie Wzost płyte Y. G * oaz G* obliczoe dla µ/s i odpowiediej ówowai echaiczej zdefiiowaej w pucie potójy Y. 3 WYIK - iiu dla płyte jest poiżej iiu dla włóie! MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 9
20 owe yteiu dla foowaia płyte lub włóie Tasfoacja Y. 5 G * oaz G* obliczoe dla µ/s i odpowiediej ówowai echaiczej zdefiiowaej w pucie potójy Y. 3 WYIK - iiu dla płyte jest a ty say pozioie co iiu dla włóie! MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA
21 owe yteiu dla foowaia płyte lub włóie Wzost włóie Y. 6 G * oaz G* obliczoe dla µ/s i odpowiediej ówowai echaiczej zdefiiowaej w pucie potójy Y. 3 WYIK - iiu dla włóie jest poiżej iiu dla płyte! MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA
22 owe yteiu dla foowaia płyte lub włóie Poowa pędość wzostu Y. 7 iia dla G * oaz G * obliczoe dla - µ/s i odpowiediej ówowai echaiczej zdefiiowaej w pucie potójy Y. 3 WYIK jedyie poowa pędość wzostu yt oże być oszacowaa! ba ożliwości wpowadzeia zaesu opeacyjeo! MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA
23 Teodyaia pocesu ystalizacji lobala poducja etopii dla pocesu stacjoaeo dla zoietowaej eutetyi Al-i odiesioa do obszaów stutuy eulaej ufoowaej loalie wewątz oólie ieeulaej stutuy P σ d dla izoteiczeo fotu ystalizacji σ i * ε ( ) i ad. i σ poducja etopii a jedostę czasu i jedostę objętości związaa z taspote asy w stefie dyfuzyjej uśedioa lobala poducja etopii foowaie stutuy płytowej P σ d foowaie stutuy włóistej P π ( ) σ d MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 3
24 Objętość tutua eulaa eoetia stutuy eulaej odpowiedie objętości wyaae całowaie Y. 8 wzost płytowy Y. 9 wzost włóisty MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA
25 Całowaie ( z) ad. ( z) d ( z) da ( ( z) ) A ( z) z d wzost płyte wzost włóie Y. Y. MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 5
26 Ziea z Całowaie wzost płyte P z ad. ( ) [ ] ( z) dzd ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) d d d w całowaiu wyozystao scheat z Y. oaz pewe waui dae teoią J-H K.A. Jacso J.. Hut Tas. AIM (966) MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 6
27 Odchyleie od ówowai teodyaiczej ± Y. typowy diaa fazowy MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 7
28 8 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA Ziea z Całowaie wzost płyte [ ] z d dzd z ad P. d d d d wpowadzoo pod całę pewe paaety z Y.
29 Ziea z Całowaie P ad. π π wzost włóie π [ ] ( y z) d ( () ) ( () ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( () ) ( ) ( ) d d d wyozystao w całowaiu scheat z Y. i pewe waui dae teoią J-H MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 9
30 3 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA Ziea z Całowaie wzost włóie () [ ] d d z y ad P π. () () π d d () π d d wpowadzoo pod całę pewe paaety z Y.
31 Paaety apilae wzost płytowy defiicje paaetów Y. uposzczeia ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) σ ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) σ ( ( ) ) K ( ( ) ) K ( ( ) ) ) siθ ( ( ) ) T ) T K ( ( ) ) ) K ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) siθ ( ( ) ) σ σ ( ( ) ) σ σ dodatowo T σ M T σ M MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 3
32 3 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA Paaety apilae Poducja etopii wzost płytowy d d P [ ] θ d M d si [ ] θ d M d si [ ] [ ] d d wpowadzoo do obliczeń paaety apilae
33 Paaety apilae wzost włóisty uposzczeia defiicje paaetów Y. ( () ) ( ) σ ( () ) ( () ) ( ) σ ( () ) T T ( () ) ( () ) ( () ) ) K ( () ) K ( () ) ) siθ ( () ) ) ) K K ( () ) ( () ) siθ ( ) ( ) σ σ ( ) σ σ dodatowo T T σ M σ M MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 33
34 3 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA Paaety apilae Poducja etopii wzost włóisty () () π d d P () [ ] () θ π d M d si () [ ] () θ π d M d si () [ ] () [ ] π d d wpowadzoo do obliczeń paaety apilae
35 35 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA zeczywistyształt fotu ystalizacji aalitycze ozwiązaia dla d (()) oaz d (()) są iezae ale teoia J-H daje ozwiązaia dla d () oaz d () stąd postuluje się wpowadzeie astępujących ówań wzost włóisty wzost płytowy d 3 P d * d 3 P d * 3 * si P π π 3 J J γ γ γ
36 36 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA zeczywisty ształt fotu ystalizacji aalitycze ozwiązaia dla d (()) oaz d (()) są iezae ale teoia J-H daje ozwiązaia dla d () oaz d () stąd postuluje się wpowadzeie astępujących ówań wzost włóisty wzost płytowy [ ] [ ] * H U d [ ] Θ * 3 T d [ ] Θ * 3 T d [ ] [ ] * * H U d Θ si π π * J J γ γ γ
37 37 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA zeczywisty ształt fotu ystalizacji postuluje się zastosowaie astępujących wyażeń wzost płytowy wzost włóisty 5 * si si si si T π π π π π 3 5 cos si.5 π π π J J J J J U γ γ γ γ γ γ * J J J J J J J J H γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ
38 38 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA Poducja etopii wzost płytowy po pewych pzeształceiach W W W W W P M M W siθ siθ θ θ M M W si.5 si.5 dzie * 3 si 3 si 3 P M M W θ θ * P W { } * T W Θ Θ
39 39 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA Poducja etopii po pewych pzeształceiach wzost włóisty P M M θ siθ si M M θ θ si si 3 si 3 si 3 M M θ θ { } 3 * * * 5.5 H U dzie
40 Poducja etopii Wizualizacja poducja etopii wyzaczoa jao fucja oaz ( ) wzost płytowy P ( ( )) poducja etopii a/ w ujęciu oóly b/ dla zeczywisteo zaesu pędości Y. 3 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA
41 Poducja etopii Wizualizacja poducja etopii wyzaczoa jao fucja oaz ( ) wzost włóisty P ( ( )) poducja etopii a/ w ujęciu oóly b/ dla zeczywisteo zaesu pędości Y. MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA
42 Tasfoacja: płyta-włóo Kształt fotu ystalizacji ziea zywiza fotu ystalizacji sutująca ziaai udziału oietacji ystaloaficzych i ziaai apięć powiezchiowych pzy zachowaiu ówowai echaiczej w pucie potójy Y. 5 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA
43 Miiu poducji etopii Płyti ystalizacja pzebiea w iiu poducji etopii Y. 6 wzost płytowy wzost włóisty zieloy put: śedia odlełość iędzy-płytowa ziezoa poducja etopii wyzaczoa dla zaesu odlełości iędzy-płytowych/iędzy-włóowych i odpowiediej ówowai echaiczej zdefiiowaej w pucie potójy Y. 5 µ/s WYIK - iiu dla płyte jest poiżej iiu dla włóie! MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 3
44 Miiu poducji etopii Tasfoacja ystalizacji pzebiea w iiu poducji etopii wzost płytowy Y. 7 wzost włóisty zieloy put: śedia odlełość iędzy-płytowa czewoy put śedia odlełość iędzy-włóowa ziezoe poducja etopii wyzaczoa dla zaesu odlełości iędzy-płytowych/iędzy-włóowych i odpowiediej ówowai echaiczej zdefiiowaej w pucie potójy Y. 5 µ/s WYIK - iiu dla płyte jest a ty say pozioie co iiu dla włóie! MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA
45 Miiu poducji etopii Włóa ystalizacja pzebiea w iiu poducji etopii wzost płytowy Y. 8 wzost włóisty czewoy put:śedia odlełość iędzy-włóowa ziezoa poducja etopii wyzaczoa dla zaesu odlełości iędzy-płytowych/iędzy-włóowych i odpowiediej ówowai echaiczej zdefiiowaej w pucie potójy Y. 5 µ/s WYIK - iiu dla włóie jest poiżej iiu dla płyte! MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 5
46 Poowa pędość wzostu wzost płytowy wzost włóisty Y. 9 iia poducji etopii dla zaesu pędości wzostu µ/s i odpowiedich ówowa echaiczych zdefiiowaych w pucie potójy Y. 5 WYIK oszacowaa została poowa pędość wzostu yt! ale zaes opeacyjy ie został jeszcze uiejscowioy MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 6
![Zaes pędości wzostu Tasfoacja: płyta - włóo espeyetalie potwiedzoy zaes pędości wzostu dla tasfoacji (zaes opeacyjy) [..7 /s] wzost płyte wzost włóie Y.](/docs-images/63/48583509/images/47-3.jpg "3 iia poducji etopii dla zaesu pędości ystalizacji µ/s i odpowiedich ówowa echaiczych zdefiiowaych w pucie potójy Y.")
47 Zaes pędości wzostu Tasfoacja: płyta - włóo espeyetalie potwiedzoy zaes pędości wzostu dla tasfoacji (zaes opeacyjy) [..7 /s] wzost płyte wzost włóie Y. 3 iia poducji etopii dla zaesu pędości ystalizacji µ/s i odpowiedich ówowa echaiczych zdefiiowaych w pucie potójy Y. 5 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 7
48 Zaes pędości wzostu dla tasfoacji tutua ieeulaa destabilizacja fotu ystalizacji fazy (Al) dla foowaia stutuy ieeulaej Y. 3 wyjaśieie dla współistieia płyte i włóie w zaesie opeacyjy loalie stutua a iejszą pędość wzostu dzie destabilizacja jest więsza pouje to foowaie płyte MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 8
49 Foowaie stutuy ieeulaej eulaej cheat destabilizacja fotu ystalizacji fazy (Al): () dla foowaia stutuy ieeulaej wyóżioo dwa paaety stutuy: λ i związay z foowaie stutuy eulaej oaz iiu poducji etopii λ a związay z asyalą destabilizacją fotu ystalizacji fazy (Al) ozaczoej () oaz stabilością aialą Y. 3 WYIK oscylacja paaetu stutuy MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 9
50 Oscylacje paaetu stutuy Poducja etopii Y. 33 śedia odlełość iędzy-płytowa λ jest iezoa w stutuze zeczywistej Y. 6 wyóżioo dwa paaety stutuy: λ i λ si związay z foowaie stutuy eulaej oaz iiu poducji etopii - put A λ a λ s związay z asyalą destabilizacją fotu ystalizacji fazy (Al) ozaczoej () oaz yteiu stabilości aialej - put B MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 5
51 Oscylacje paaetu stutuy Uposzczoy scheat stutuy destabilizacja fotu ystalizacji fazy (Al) dla foowaia stutuy ieeulaej Y. 3 wyóżioo dwa paaety stutuy: λ i λ i związay z foowaie stutuy eulaej oaz iiu poducji etopii λ a λ związay z asyalą destabilizacją fotu ystalizacji fazy (Al) ozaczoej () oaz yteiu stabilości aialej WYIK oscylacje paaetu stutuy są odpowiedziale za loale ziay pędości wzostu i ostateczie za zastąpieie poowej pędości ystalizacji pzez zaes opeacyjy MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 5
52 Poducja etopii cheat A tajetoia iiów poducji etopii B tajetoia putów stabilości aialej poducja etopii w fucji pędości wzostu i adietu tepeatuy G oaz jedocześie w fucji dwu sił teodyaiczych: X C X T Y. 35 iedy foowaie stutuy ieeulaej zaia dla lub dla G G K wtedy jedyie stutua eulaa oże powstawać a oscylacja iędzy tajetoiai ówież zaia MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 5
53 Pawa wzostu pawo wzostu jao wyi zastosowaia yteiu iialeo pzechłodzeia teoia Jacsoa-Huta wzost płyte λ cost J H wzost włóie cost J H pawo wzostu jao wyi zastosowaia yteiu iialej poducji etopii popooway odel wzost płyte 3 W W 5 W W wzost włóie 3 5 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 53
54 Pawa wzostu Uoólieia pawo wzostu jao wyi zastosowaia yteiu iialeo pzechłodzeia teoia Jacsoa-Huta wzost płyte λ cost wzost włóie J H cost J H pawo wzostu jao wyi zastosowaia yteiu iialej poducji etopii; pezetoway odel uzasadioe uposzczeia (W W 5 oaz 5 są do zaiedbaia) wzost płyte W wzost włóie W cost C WYIK lewe stoy paw wzostu są idetycze W cost C W MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 5
55 Kyteia pawe stoy odpowiedich paw wzostu powiy być taże idetycze wzost płyte cost J H cost CW wzost włóie cost J H cost CW WYIK pawe stoy paw wzostu stają się idetycze ale wpowadzeie pewych uposzczeń w defiicjach W W oaz jest iezbęde WIOK yteiu iialej poducji etopii jest badziej oóle iż yteiu iialeo pzechłodzeia yteiu iialej eeii swobodej wydaje się być badziej właściwe dla teo typu aalizy iż yteiu iialeo pzechłodzeia MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 55
56 Aizotopia zieiająca się ówowaa echaicza jest wyiie zia zywizy Y. ale pzede wszysti wyiie zia udziału oietacji ystaloaficzych a focie ystalizacji i aicy iędzy-fazowej (pod wpływe zia pędości ) WIOK pojawiają się ziay watości apięć powiezchiowych Y. apięcie powiezchiowe dla fotu ystalizacji faza (i) / faza cieła oaz eeia aicy iędzy-fazowej (Al)-(i) w fucji pędości ystalizacji zodie z pezetoway odele Y. 36 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 56
57 Uwai ońcowe poszuiwae jest yteiu tasfoacji płyta włóo aaloicze do tzw. oweo yteiu dla foowaia płyte lub włóie ale wyiające z teodyaii pocesu ystalizacji (obliczeń poducji etopii) poszuiwae yteiu powio defiiować zaes opeacyjy dla tasfoacji a ie pzewidywać odzaju stutuy jaa a być foowaa: płyti lub włóa dla daeo diaau fazoweo wpływ adietu tepeatuy a tasfoację płyta włóo ie został jeszcze wyazay MTO Mtaluiczy Tei O-lie Copyiht 5 Waldea Wołczyńsi - IMIM PA 57
58 MTO Mtaluiczy Tei O-lie Tasfoacja: płyta - włóo w zoietowaej eutetyce Al-i Koiec wyładu duacja i Kultua
Wytrzymałość śruby wysokość nakrętki
Wyzymałość śuby wysoość aęi Wpowazeie zej Wie Działająca w śubie siła osiowa jes pzeoszoa pzez zeń i zwoje gwiu. owouje ozciągaie lub ścisaie zeia śuby, zgiaie i ściaie zwojów gwiu oaz wywołuje acisi a
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe
MMF ćwiczeia - Rówaia óżicowe Rozwiązać ówaia óżicowe piewszego zędu: (a) y + y =, y = (b) y + y =!, y = Wsk Podzielić ówaie pzez! i podstawić z = y /( )! Rozwiązać ówaia óżicowe dugiego zędu: (a) + 6,
Przejmowanie ciepła przy kondensacji pary
d iż. Michał Stzeszewski 004-01 Pzejowaie ciepła pzy kodesacji pay Zadaia do saodzielego ozwiązaia v. 0.9 1. powadzeie Jeżeli paa (asycoa lub pzegzaa) kotaktuje się z powiezchią o tepeatuze T s iższej
Funkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
I kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Ćwiczenie 43. Halotron
Ćwiczeie 4 Haloto Cel ćwiczeia Cechowaie halotou pzy użyciu pola magetyczego o zaej iducji. Wyozystaie halotou do pomiau pzestzeego ozładu pola cewi ołowej i magesu feytowego. Wpowadzeie Zasada działaia
Twierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
20. Model atomu wodoru według Bohra.
Model atou wodou według Boha Wybó i opacowaie zadań Jadwiga Mechlińska-Dewko Więcej zadań a te teat zajdziesz w II części skyptu Opieając się a teoii Boha zaleźć: a/ poień -tej obity elektou w atoie wodou,
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy przydziału
Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przediotu: Badaia operacyje Teat ćwiczeia: Probley przydziału Zachodiopoorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki Szczeci 20 Opracował:
Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Wynik finansowy transakcji w momencie jej zawierania jest nieznany z uwagi na zmienność ceny przedmiotu transakcji, czyli instrumentu bazowego
.Istmety ochoe otaty temiowe azywae sa istmetami ochoymi (eivatives. otat temiowy zobowiazje wie stoy o zeowazeia w zyszłosci ewej tasacji a wczesiej staloych waach. Jea stoa otatów (abywca - te, co je
STATYSTYCZNY OPIS UKŁADU CZĄSTEK
WYKŁAD 6 STATYSTYCZNY OPIS UKŁADU CZĄSTK Zespół statcz moża opisać: ) Klasczie pzestzeń fazowa P ( P PN, q, q q N) q Każda kofiguacja N cząstek zespołu statczego opisaa jest puktem w pzestzei fazowej.
H brak zgodności rozkładu z zakładanym
WSPÓŁZALEŻNOŚĆ PROCESÓW MASOWYCH Test zgodości H : rozład jest zgody z załadaym 0 : H bra zgodości rozładu z załadaym statystya: p emp i p obszar rytyczy: K ;, i gdzie liczba ategorii p Przyład: Wyoujemy
cz. 1. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 10: Gawitacja cz. 1. d inż. Zbiniew Szklaski szkla@ah.edu.pl http://laye.uci.ah.edu.pl/z.szklaski/ Doa do pawa powszechneo ciążenia Ruch obitalny planet wokół Słońca jak i dlaczeo? Reulane, wieloletnie
STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r
Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub
Źródła finansowania i ich koszt
Źódła fiasowaia i ich koszt Kapitalizacja i dyskoto: k K K0 (1 ) ; 1 ; k 0 k log k0 log 1 efektywa stopa pocetowa; 1 1 Stałe płatości (ety): ef m m ; K o K 1 (1 ) (pzy płatościach częstszych iż ocze) 1
Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)
Rys.. Cash flow wypływów. Rys.. Cash flow: wypływów (strzałki skierowane w dół) i wpływów (strzałki skierowane w górę).
3 WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Ziea watość pieiądza w czasie to ieodłączy atybut pieiądza właściwy ie tylko aszy czaso W teoii fiasów, okesowe płatości azywa się stuieie pieiędzy, pzepływe pieiędzy lub z
Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
magnetyzm ver
e-8.6.7 agnetyz pądy poste pądy elektyczne oddziałują ze soą. doświadczenie Apèe a (18): Ι Ι 1 F ~ siła na jednostkę długości pzewodów pądy poste w póżni jednostki w elektyczności A ape - natężenie pądu
GRAWITACJA. przyciągają się wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu ich odległości r.
GRAWITACJA Pawo powszechnego ciążenia (pawo gawitacji) Dwa punkty mateialne o masach m 1 i m pzyciągają się wzajemnie siłą popocjonalną do iloczynu ich mas i odwotnie popocjonalną do kwadatu ich odległości.
Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
DYNAMIKA. Dynamika jest działem mechaniki zajmującym się badaniem ruchu ciał z uwzględnieniem sił działających na ciało i wywołujących ten ruch.
DYNMIK Daika jes działe echaiki zajując się badaie uchu ciał z uwzględieie sił działającch a ciało i wwołującch e uch. Daika opiea się a pawach Newoa, a w szczególości a dugi pawie (zwa pawe daiki). Moża
Chemiczne metody analizy ilościowej (laboratorium)
Cheicze etody aalizy ilościowej (laboratoriu) Broiaoetria 9. Przygotowaie iaowaego roztworu broiau (V) potasu Broia(V) potasu ależy do stosowaych w aalizie cheiczej substacji podstawowych. oże być otrzyay
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Twierdzenie 15.3 (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałem oraz A F pewnym zbiorem. Niech L<F.
15. Wyład 15: Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia ciał. Charaterystya pierścieia i ciała, ciała proste i lasyfiacja ciał prostych. 15.1. Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia
Prosta w 3. t ( t jest parametrem).
Prosta w 3 by wyacy rówaie prostej w 3 wystarcy a jede put tej prostej i wetor adajcy jej ierue (way wetore ieruowy) Jei P = ( P yp P ) = [ p] to rówaia paraetryce prostej aj posta = P t : y = yp t t (
Rozwiązanie zadania 1.
ozwiązaie zadaia. Zagadieie będziemy ozatywali w układzie, w któym stożek jest ieuhomy. a Poieważ zdezeie jest doskoale sężyste, a owiezhia stożka ieuhoma, atom gazu o zdezeiu będzie miał ędkość v skieowaą
Parametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Czyiki wpływające a zmiaę watości pieiądza w czasie:. Spadek siły abywczej. 2. Możliwość iwestowaia. 3. Występowaie yzyka. 4. Pefeowaie bieżącej kosumpcji pzez człowieka. Watość
Sygnały pojęcie i klasyfikacja, metody opisu.
Sygały pojęcie i klasyfikacja, meody opisu. Iformacja przekazywaa jes za pośredicwem sygałów, kóre przeoszą eergię. Sygał jes o fukcja czasowa dowolej wielkości o charakerze eergeyczym, w kórym moża wyróżić
Analiza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Wyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
POLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
n k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
FAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe
Arytmetyka finansowa Wykład 6 Dr Wioletta Nowak
Aytmetya finansowa Wyład 6 Wioletta Nowa Ryne apitałowy zez yne apitałowy ozumie się ogół tansacji upna-spzedaży, tóych pzedmiotem są instumenty finansowe o oesie wyupu dłuższym niż o. Śodi uzysane z emisji
Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
XXX OLIMPIADA FIZYCZNA (1980/1981). Stopień I, zadanie teoretyczne T4 1
XXX OLMPADA FZYCZNA (1980/1981). Stopień, zadanie teoetyczne T4 1 Źódło: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Waldema Gozowsi; Andzej Kotlici: Fizya w Szole, n 3, 1981.; Andzej Nadolny, Kystyna Pniewsa:
MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MEDYCYNIE (wyłącznie do celów dydaktycznych zakaz rozpowszechniania)
MATRIAŁY POMOCNICZ DO WYKŁADU Z PODSTAW ZASTOSOWAŃ ULTRADŹWIĘKÓW W MDYCYNI (wyłączie do celów dydaktyczych zakaz rozpowszechiaia) 4. Drgaia brył prętów, membra i płyt. ****************************************************************
Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Wykład 3 : Podstawowe prawa, twierdzenia i reguły Teorii Obwodów
OBWODY SYNAŁY Wyład 3 : Podstawowe prawa, twierdzeia i reguły Teorii Obwodów 3. PODSTAWOWE PAWA TWEDZENA TEO OBWODÓW 3.. SCHEMAT DEOWY OBWOD Schematem ideowym obwodu (siecią) azywamy graficze przedstawieie
Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
7. Różniczkowanie. x x. f (x 0 ) = df(x). dx x=x0 Pierwsze oznaczenie pochodzi od Lagrange a, a drugie od Leibniza.
7 Różiczowaie Niech będzie daa fucja f oreśloa w pewym otoczeiu putu x 0 R Mówimy, że f jest różiczowala w x 0 (ma w x 0 pochodą), jeśli iloraz różicowy x f(x) f(x 0) x x 0 ma w pucie x 0 graicę Ozaczamy
WZORY Z FIZYKI POZNANE W GIMNAZJUM
WZORY Z IZYKI POZNANE W GIMNAZJM. CięŜa ciała. g g g g atość cięŝau ciała N, aa ciała kg, g tały ółczyik zay zyiezeie zieki, N g 0 0 kg g. Gętość ubtacji. getoc aa objetoc ρ V Jedotką gętości kładzie SI
Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Siła. Zasady dynamiki
Siła. Zasady dynaiki Siła jest wielkością wektoową. Posiada okeśloną watość, kieunek i zwot. Jednostką siły jest niuton (N). 1N=1 k s 2 Pzedstawienie aficzne A Siła pzyłożona jest do ciała w punkcie A,
Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu
Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Procedura wymiarowania mimośrodowo ściskanego słupa żelbetowego wg PN-EN-1992:2008
Poua wymiaowaia mimośoowo śikago łupa żlbtowgo wg P-E-99:8. Utalamy zy łup jt mukły zy kępy a) wyzazamy ługość obliziową i mukłość łupa (5.8.3.) 3 bh I I i (jżli watość ϕ i jt zaa, moża pzyjąć,7) +,ϕ S
Chemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
w popzednim odcinku 1 Paca Paca jest ówna iloczynowi pzemieszczenia oaz siły, któa te pzemieszczenie wywołuje. Paca jest wielkością skalaną wyażaną w dżulach (ang. Joul) [J] i w ogólności może być zdefiniowana
Analiza Matematyczna
Aliz Mtemtycz Przykłdy: Cłki ozczoe. Oprcowie: dr hb. iż. Agieszk Jurlewicz, prof. PWr Przykłd 9. : Korzystjąc z defiicji cłki ozczoej orz fktu, że fukcj ciągł jest cłkowl, oblicz e x dx przyjmując podził
tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Fizyka I (2013/2014) Kolokwium Pytania testowe (B)
Imię i Nazwisko:... N. albm:... Gpa ćwiczeiowa:... Fizyka I (013/014) Kolokwim 18.11.013 Pytaia testowe (B) Na każde pytaie jest dokładie jeda pawidłowa odpowiedź. Należy ją zazaczyć stawiając czytely
co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P
WIADOMOŚCI WSTĘPNE Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teaźiejszej K kwoty początkowej K 0, zate Z = K K 0. Z ekooiczego puktu widzeia właściciel kapitału K 0 otzyuje odsetki jako zapłatę od baku
3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Chłodnictwo i Kriogenika - Ćwiczenia Lista 2
Chłodictwo i Kriogeika - Ćwiczeia Lista 2 dr hab. iż. Bartosz Zajączkowski bartosz.zajaczkowski@pwr.edu.pl Politechika Wrocławska Wydział Mechaiczo-Eergetyczy Katedra Termodyamiki, Teorii Maszy i Urządzeń
Mechanika ogólna. Więzy z tarciem. Prawa tarcia statycznego Coulomba i Morena. Współczynnik tarcia. Tarcie statyczne i kinetyczne.
Więzy z tacie Mechanika oólna Wykład n Zjawisko tacia. awa tacia. awa tacia statyczneo Couloba i Moena Siła tacia jest zawsze pzeciwna do występująceo lub ewentualneo uchu. Wielkość siły tacia jest niezależna
Projektowanie wzmacniacza tranzystorowego OE
Pojetowanie wzacniacza tanzystooweo OE Poniżej pzedstawiono dwa pzyłady pojetu wzacniacza tanzystooweo pacująceo w oniuacji OE. Piewsze z zadań pzedstawia pojet uładu, tóeo zadanie jest uzysanie na zadanej
Prawo odbicia i załamania. Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski
Prawo odbicia i załamaia Autorzy: Zbigiew Kąkol Piotr Morawski 207 Prawo odbicia i załamaia Autorzy: Zbigiew Kąkol, Piotr Morawski Jeżeli światło pada a graicę dwóch ośrodków, to ulega zarówo odbiciu a
R Z N C. p11. a!b! = b (a b)!b! d n dx n [xn sin x] = x n(n k) (sin x) (n) = n(n 1) (n k + 1) sin(x + kπ. n(n 1) (n k + 1) sin(x + lπ 2 )
![R Z N C. p11. a!b! = b (a b)!b! d n dx n [xn sin x] = x n(n k) (sin x) (n) = n(n 1) (n k + 1) sin(x + kπ. n(n 1) (n k + 1) sin(x + lπ 2 )](/thumbs/102/156200514.jpg "R Z N C. p11. a!b! = b (a b)!b! d n dx n [xn sin x] = x n(n k) (sin x) (n) = n(n 1) (n k + 1) sin(x + kπ. n(n 1) (n k + 1) sin(x + lπ 2 )")
5 Z N p ) a a + b)! b ) a!b! a a! b a b)!b! p n n k nn k) n ) n k) d n d n [n sin ] n nn k) sin ) n) k n nn ) n k + ) sin + lπ ) k d n d n [n sin ] n k ) n n ) n k) sin ) k) k n k ) n nn ) n k + ) sin
EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA
EFEKTYWNA STOPA PROCENTOWA O RÓWNOWAŻNA STPOPA PROCENTOWA Nekedy zachodz koneczność zany okesu kapt. z ównoczesny zachowane efektów opocentowane. Dzeje sę tak w nektóych zagadnenach ateatyk fnansowej np.
[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
![[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)](/thumbs/88/115575588.jpg "[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)")
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Temat 15. Rozwinięcie Sommerfelda. Elektronowe ciepło właściwe.
emat 5 Rozwiięcie Sommerfelda letroowe ciepło właściwe letroy podleają rozładowi ermieo-diraca wedł tóreo prawdopodobieństwo że sta o eerii jest zajęty przez eletro wyosi f 5 ep dzie wielość jest zaa pod
Rzut z góry na strop 1
Rzut z góry na strop 1 Przekrój A-03 Zestawienie obciążeń stałych oddziaływujących na płytę stropową Lp Nazwa Wymiary Cięzar jednostko wy Obciążenia charakterystyczn e stałe kn/m Współczyn n. bezpieczeń
INSTRUMENTY DŁUŻNE. Duracja jako funkcja stopy procentowej Duracja skończonego ciągu płatności Immunizacja portfela aktywów
INSTRUMENTY ŁUŻNE aja jao fja opy poeowej aja ońzoego iąg płaośi Iizaja pofela aywów aja iąg pzepływów pzy apializaji iągłej oza opa ' ; aja jao fja ] [ ' T VR T E T E e d d d d aja jao fja apializaja
Prawo Gaussa. Potencjał elektryczny.
Pawo Gaussa. Potencjał elektyczny. Wykład 3 Wocław Univesity of Technology 7-3- Inne spojzenie na pawo Coulomba Pawo Gaussa, moŝna uŝyć do uwzględnienia szczególnej symetii w ozwaŝanym zagadnieniu. Dla
Numeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Modele propagacji fal ELF na powierzchni Ziemi
Obsewatoium Astoomicze UJ Zakład Fizyki Wysokic Eegii Istytut Fizyki UJ Zakład Doświadczalej Fizyki Komputeowej Akademia Góiczo-Huticza Kateda Elektoiki Adzej Kułak, Jausz Młyaczyk - Kateda Elektoiki AGH
Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Metoda najszybszego spadku
Metody Gradietowe W tym rozdziale bdziemy rozwaa metody poszuiwaia dla fucji z przestrzei R o wartociach rzeczywistych Metody te wyorzystuj radiet fucji ja rówie wartoci fucji Przypomijmy, czym jest zbiór
I. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Zbiorowość statystyczna zbiór elementów (osób, przedmiotów, itp.) mających jedną lub kilka wspólnych cech.
Statsta Statsta aua zajująca się wrwaie, badaie i opiswaie zależości wstępującch w zjawisach asowch; zbiór etod służącch groadzeiu, prezetacji, aalizie i iterpretacji dach. Przediote badaia statstczego